宁夏银川一中2023届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案

x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，
得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x-3）2+（y-1）2=10，．．．．．．．．．．．2分
由 ，消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-3=0．．．．．．．．．．．．4分
（2）由（1）知直线l的参数方程可化为 （t为参数），．．．．．．．．．．．6分
A．0.2481B．0.3471C．0.4582D．0.7345
5．记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则
A．18B．36
C．-18D．-54
6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的
竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益
一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度
银川一中2023届高三年级第一次月考
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
A．127B．129C．131D．133
8．已知函数 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
9．已知 ,且 ,则
A． B． C． D．
10．实数 中值最大的是
A． B． C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．已知数列 满足 ，且 ，若 ,数列 的前n项和为 ，则
（2） ．．．．．8分
则 ．．．．．．．．．．．．．12分
20．解（1）证明： ，．．．．．．．．．2分
又 ，∴数列 是 为首项，1为公差的等差数列．
∴ ．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）记 的前n项和为 ，则
由 ，得 ，即 时， ； 时， ，．．．．．．．．5分
① 时， = ．．．．．6分
② 时 =
(2)¬p是¬q的必要不充分条件，则 是 的充分不必要条件，．．．．．．．．．．．．．．8分
所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18．解：（1）由 是偶函数可得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
则 ，即 ．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以 恒成立，故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
18．（本小题满分12分）
已知函数 是偶函数．
（1）求 的值；
（2）若函数 ，且 在区间 上为增函数，求m的取值范围.
19．（本小题满分12分）
① ；② 为 的前n项和，且
在①②中选择一个，补充在下面的横线上并解答．
已知数列 满足____________
（1）求数列 的通项公式;
（2）设 , 为数列 的前n项和,求证: ．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设点Q(3,0)，直线l与曲线C交于A、B两点，求 的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最小值为m，且a+b+c=m，求证：a2+b2+c2 ．
银川一中2023届高三第一次月考数学(理科)（参考答案）
∴-3≤x≤7，∴不等式的解集为{x|-3≤x≤7}．．．．．．．．．．．．5分
（2）∵f（x）=|x+1|+|x-5|≥|（x+1）-（x-5）|=6，当且仅当(x+1)(x-5)≤0即-1≤x≤5等号成立.
∴f（x）min=m=6，∴a+b+c=6．．．．．．．．．．．7分
∵a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb，．．．．．．．．．．8分
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），
∴3（a2+b2+c2）≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2，
∴a2+b2+c2≥12，当且仅当a=b=c=2时等号成立，∴a2+b2+c2≥12．．．．．．．．．．．10分
A．4950B．4953C．4956D．4959
12．已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，有下列结论：
①函数 在 上单调递增；
②函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点；
③若关于x的方程 恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数f(x)在 上的最大值为 ，则数列 的前7项和为
1．已知集合 则
A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{1,2,3,4,6,8}
2．设复数 在复平面内对应点关于虚轴对称， ， 为虚数单位，则
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则 是 的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．1614年纳皮尔在研究天文学 过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系．对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若 ， ， ，估计 的值约为
代入曲线C的直角坐标方程（x-3）2+（y-1）2=10得 ．．．．．．．．．．．．8分
由韦达定理，得t1•t2=-9，则|QA|•|QB|=|t1•t2|=9．．．．．．．．．．．10分
23.解：（1）f（x）=|x+1|+|x-5|≤10
24.等价于 或 或 ，．．．．．．．．．．．2分
25.∴-3≤x≤-1或-1＜x＜5或5≤x≤7，．．．．．．．．．．4分
当 时， 与 有两个交点，
要使函数 有两个零点，
即使得函数 有且只有一个 上的零点，且 不是该函数的零点，
即方程 在 内只有一个实根，．．．．．．．．．．．10分
若 ，则 ，得 ，
故不存在 使得 ，故 恒成立，
令 ，则使 即可，
解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．．．．．．．．．．．．12分
22．解（1）由ρ=6cosθ+2sinθ，得ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，又由
定义域为（-1，1）．．．．．．．．．．．4分
因为
所以 ，
设 ，则 ，．．．．．．．．．．．5分
因为 的定义域为 ， ，
所以 ， ， ， ，．．．．．．．．．．．7分
即 ， ，因为关于 的不等式 恒成立， ，
所以 ，
故 的取值范围为 ．．．．．．．．．．．．8分
， ，
，解得 ，
，
设 ，
， ，．．．．．．．．．．．9分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
A
D
C
D
B
C
D
A
13．8 14．C 15．-1 16．14; (第1空2分，第2空3分)
17．解：(1) ， ，解得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
，解得 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
当 时， ，
由于 假 真，所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
作差得 ，即 ．．．．．．．．．．．．4分
时， ,也满足上式．．．．．．．．5分
故 ．．．．．．．．．．．．．6分
若选②，由
则 时， ，．．．．．．．．．．．．．2分
作差得， ，即 ．．．．．．．．．．．．．4分
时， ，则 ．．．．．．．．．．．．．5分
则 是首项为4，公比为3的等比数列，则 ．．．．．．．．．．．．．6分
（3）如果函数 ，若函数 有两个零点，求实数k的取值范围．
(二)选考题(共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。)
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为 （t为参数）．
．．．．．．．．．．．．．8分
（3）由 ，得 ．．．．．．．．．．．9分来自又函数 在 和 上均是单调递减．
由函数 的图象，可得： ， ．．．12分
21．解解： 因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ， ，
因为 ， 所以 ，
即 ， ．．．．．．．．．．．．．1分
联立 可得， = ，
．．．．．．．．．．．3分
其中正确的有
A．①④B．①③C．②④D．①②
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)
13．若x，y满足约束条件 则 的最大值是________．
14．学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”；丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A或D作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。)
(一)必考题：(共60分)
17．（本小题满分12分）