线性规划——单纯形法文档

线性规划——单纯形法设计文档——《通用优化模块》编写人：徐天爽编写时间：2010年06月完成2010年06月整理目录第一部分功能概述 (1)第二部分理论知识 (2)2.1 线性规划标准型 (2)2.2单纯形法 (4)2.2.1修正单纯形法 (4)2.2.2Bland规则 (7)第三部分程序主要内容 (9)第四部分程序测试 (10)备注 (17)参考文献 (18)第一部分功能概述单纯形法是线性规划算法的一种。

由于若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解，因此单纯形法是通过沿着可行集的边界，从一个顶点转移到改善当前目标函数值的相邻定点，以此来寻找最优解。

程序编写了加入Bland规则的修正单纯形法，只需用户给定设计变量个数、约束条件个数、约束条件系数，委托矩阵操作类MatrixOperation进行矩阵运算，即可实现线性规划问题的优化。

第二部分 理论知识线性规划问题具备以下性质：定理1 若线性规划问题的可行域X 非空，则X 是一个凸集。

定理2 线性规划问题的每一个基本可行解x 都对应于可行域X 的一个顶点。

定理3 若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解。

定理4 若线性规划问题有最优解，则目标函数的最优值一定可以再可行域X 的某个顶点上达到。

2.1 线性规划标准型定义1 如果目标函数是设计变量的线性函数，且约束条件也是关于设计变量的线性等式或线性不等式，则相应的数学问题就称为一个线性规划问题。

单纯形法计算问题的最优值需要将原问题统一为标准形式。

定义线性规划问题的标准形式为：定义2 给定线性规划问题的标准型为()()11min ..1,2,,01,2,,nj jj n ij j i j j z c x s t a x b i m x j n ==⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥=⎪⎩∑∑ (1)其中()01,2,,i b i m ≥=。

即对目标函数一律求最小值；设计变量均非负；约束条件除非负约束条件之外一律为等式约束；约束条件的右端项一律非负。

定义3 如果约束条件中含有不等式1nij j i j a x b =≤∑且0i b ≥，则可引入一个新的变量i x '，称为松弛变量；如果约束条件中含有不等式1nij j i j a x b =≥∑且0i b ≥，则可引入一个新的变量i x ''，称为剩余变量。

任意线性规划问题，总可以在标准化过程中设法使所得到的标准型线性规划的约束系数矩阵A 中存在一个m 阶的单位阵，即（1）若线性规划的m 个约束条件都是“≤”的形式，且右端项都为非负，则在标准化时，每个约束条件的左边都加上一个松弛变量，该松弛变量对应的系数列向量是m 维的单位向量；（2）若第i 个约束条件为“≥”的形式，且右端项为非负，则再改约束条件左端减去剩余变量化成标准形式后，再加上一个非负的新变量，称为人工变量。

显然，人工变量的系数列向量也为m 维的单位向量；（3）若第i 个约束条件为等式，且右端项为非负，则直接在该等式左端添加人工变量。

例：将一线性规划问题的约束条件123123123123..3243235200,0,0s t x x x x x x x x x x x x +-≥-⎧⎪-+≥⎪⎨++=⎪⎪≥≥≥⎩化成标准型。

第一个约束条件可化为1233243x x x --+≤，即12343243x x x x --++=； 第二个约束条件可化为12356235x x x x x -+-+=； 第三个约束条件可化为123720x x x x +++=。

此时()01,2,,7j x j ≥=。

显然，向量4A 、6A 和7A 构成了一个3阶的单位阵。

为讨论方便，可将标准型线性规划中的变量次序重新调整并编号，使的对应单位阵的编号排在最前或最后（本程序中排在最后）m 个变量的位置上，这对计算结果无影响。

而在引入人工变量之后，所得到的线性规划的约束条件与原来的约束条件不完全等价，需要对原目标函数进行修正，通常采用两种方法：（1）大M 法此方法原理是将目标函数中人工变量前乘以一个足够大的正数M ，当人工变量取值大于0时，目标函数就不能实现最优。

例：对于线性规划问题13123123123123min 3..3243235200,0,0z x x s t x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪+-≥-⎪⎪-+≥⎨⎪++=⎪⎪≥≥≥⎩，将其化为标准型为()12345671234123561237min3000..32432352001,2,,7j z x x x x x Mx Mx s t x x x x x x x x x x x x x x j ⎧=+-++++⎪--++=⎪⎪-+-+=⎨⎪+++=⎪⎪≥=⎩，其中6x 和7x 是人工变量，M 是一个足够大的正数。

接下来可用单纯形法进行优化。

（2）两阶段法由于问题的目标函数有两方面作用：其一是使得人工变量都取0值，从而可得问题的一个可行解；其二是在可行域内找到使目标函数达到最小值的最优解。

因此这两种作用也可分为两阶段来完成：第一阶段求解一个目标函数中只包含人工变量的线性规划，由此得到问题的一个可行解；第二个阶段以此基本可行解作为初始基本可行解，应用单纯形法继续求解线性规划问题，从而获得最优解。

由于大M 法需要给定一个足够大的正数M ，而在计算机求解时，如何自动给定这个足够大的正数M 是需要考虑的。

同时，当优化问题系数与这个M 值相对比较接近或者远远小于M 的时候，将可能导致计算机取值误差。

以上两点为大M 法的缺点，但是相对两阶段法而言，大M 法更容易编程实现，因此本程序采用大M 法来处理人工变量。

2.2 单纯形法2.2.1 修正单纯形法标准单纯形法每次迭代不仅需要存储一个m n ⨯维的矩阵A ，而且A 中所有数据都需要计算一遍。

当m 和n 的数值较大时，将会占用较大的内存空间并浪费很多工作量。

事实上，A 中除了换入列以外的其他列没必要计算。

修正单纯形法每次迭代只计算换入列、常数列和检验数行，从而大大减少了所需的计算机存储量，提高了计算效率。

尤其当问题的约束条件数m 远远小于设计变量个数n 时，这种优势更为明显。

修正单纯形法步骤如下：Step1：给定线性规划问题，将其化为标准型； Step2：初始化，确定()0B 、()0N 、()0B x 、()0N x 、()B c、()0N c ；Step3：计算N σ，进行最优性检验。

若满足最优性标准，则将当前最优解*x 和目标函数最优值*z 输出，停止迭代。

否则进行Step4；Step4：根据检验数向量N σ，确定第i 次迭代的进基变量k x ；Step5：根据最小比原则，计算()()()()()()111min 0i i k i jk j ---⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤=>⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭B b θB A B A ，确定第i 次迭代的离基变量l x ，同时将向量()()1i k -BA 中位置为ε的元素记做主元素（ε等于离基变量l x 在原存储基变量的向量()iB x中的位置）；Step6：根据公式()()()()()111i i i --+=BDB ，更新()1i +B 、()1i +N 、()1i +B x 、()1i +N x 、()1i +B c 、()1i +N c 。

其中()()1-=B E ，()[]1211i l l m -+=M e e e ξe e （向量ξ是将()()1ik -B A 的主元素换成其倒数，其余元素除以负的主元素得到的）；Step7：令1i i =+，返回Step3。

例：用改进单纯形法解如下线性规划问题12312312312123min2..4226250,0,0z x x x s t x x x x x x x x x x x =--+⎧⎪++≤⎪⎪-+-≤⎨⎪+≤⎪⎪≥≥≥⎩(2)将上述问题化为标准型()123456123456123456123456min 2000..004220062000501,2,,6j z x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ⎧=--++++⎪+++++=⎪⎪-+-+++=⎨⎪+++++=⎪⎪≥=⎩(3)可知()1,2,1,0,0,0T=--c ，()4,6,5T=b 。

第0次迭代——初始可行基阵()[]0456==B A A A E ，非基阵()[]0123=N A A A ，()()()()()010456,,4,6,5T T x x x -===B x B b ，()()()0123,,0,0,0T Tx x x ==N x ，()()()0456,,0,0,0c c c ==B c ，()()()0123,,1,2,1c c c ==--N c 。

检验数()()()()()()()0001001,2,1-=-=--N N B σc c BN 。

由于()010<σ，()020<σ，则此时并未得出最优解，进入下一次迭代。

第1次迭代——由(){}(){}0021,2,3min 2j j ∈==-σσ可知，2x 为进基变量（即2k =）。

而()()()()1004,6,5T-==bBb ，()()()()100221,2,1T-==A BA ，则{}()()()0001,2,3min 03j j j j ∈⎧⎫⎪⎪=>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭b θA A 。

则()025x =B x 为离基变量（即2l =）。

因此更新为()[]1426=B A A A ，()[]1153=N A A A 。

根据()02A 可确定主元素为()()00222lk a a ==，则()0111,,222T⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ξ，从而()0110210021012⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦D ，()()()()()11100110210021012--⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦BDB，()()()()()111426,,1,3,2T Tx x x -===B x B b 。

检验数()()()()()()()1111112,1,1-=-=--N N B σc c BN 。

由于()110<σ，()130<σ，则此时并未得出最优解，进入下一次迭代。

第2次迭代——由(){}(){}1111,5,3min 2j j ∈==-σσ可知，1x 为进基变量（即1k =）。

而()()()()1111,3,2T-==b Bb ，()()()11111315,,222T-⎛⎫==- ⎪⎝⎭A BA ，则{}()()()1114,6min 03j j j j ∈⎧⎫⎪⎪=>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭b θA A 。