等差数列的定义与通项公式(张好科)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列的定义与通项公式
灵宝实验高级中学 张好科
说课流程：
教教 材法 分学 析法
教教 学学 过反 程思
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（1）教材的地位与作用
《数列》是高中数学的重要内容，并且在实际生活中 有着广泛的应用，诸如银行利率、企业股金、产品利润、 人口增长、工作效率、浓度等问题常常通过数列知识加以 解决。《等差数列》是高中数学人教版必修5第2章第二节 的内容。一方面等差数列作为特殊的函数与一次函数密不 可分，另一方面它既延续了数列的相关知识，又为进一步 学好等比数列作铺垫，因此，本节课具有承前启后的作用， 是本章的重点内容之一 。
启发式引导 反馈式评价
学习方法： 自主探究 合作交流
观察发现 归纳总结
教学手段： 结合多媒体网络教学环境， 构建学生自主探究的教学平台。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
以具体实例为载体 以学生活动为主线
创设情境——引入概念 观察归纳——形成概念 探究规律——推导公式 例题互析——应用公式
达标检测——效果反馈 知识小结——布置作业
（一.）创设情境——引入概念
活动（1）：
请你将课前准备好的火柴摆成如图所示的正方形，并将所用火柴 的数目写成数列，并观察所得数列有何规律？
①
②
③
n
4，7，10，13，16，……
活动（2）：
请你将课前准备好的棋子摆“上”字，并将所用棋子的数目写成数 列，并观察所得数列有何规律？并说出得出的两个数列有什么共同 点？
三种方法：迭加法 迭代法 不完全归纳法
设计意图：小结在教师的引导下由学生完成，教师鼓励学 生积极回答,以此培养学生的口头表达能力和归纳概括能力。 从知识，思想，方法层面进行小结。让学生在明确本节课 重难点的同时，强化本节课所学内容。
课后作业：（1）课本练习题A组第1、2题
（2）选做题B组3、4
（3）寻找生活中等差数列的实例 .
6，10，14，18，…
小组合作，动手操作 思考，讨论，回答
设计意图
通过活动引出两个具体的等差数列，初步认 识等差数列的特征，为正确理解概念奠定基 础；学生观察两个数列特点，归纳出等差数 列的特征，通过对问题的总结，培养学生由 具体到抽象、由特殊到一般的认知能力；使 学生在参与活动中，提高学习兴趣。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（3）教学目标与重难点 知识与技能：
正确理解等差数列的概念；初步掌握等差数列的通项公式，并会简单应用。
过程与方法：
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推 理等发现规律的一般方法，通过阶梯性练习，提高学生的分析问题和解决问题的
能力。
迭代法
an an1 d
an2 d d an2 2d
an3 3d
… …
an an1 d
将上边n个式子相加得
an a1 (n 1)d
即 an a1 (n 1)d
a1 (n 1)d
(四)例题互析——应用公式
例1:求等差数列8，5，2，…的通项公式与第20项。
公差 d=0
设计意图：
主要是让学生通过例子直观感受等差数列的定义，检测 学生对等差数列概念的理解
(三.)探究规律——推导公式
不完全
设台阶第一级高度为a1，归纳法
每一级的高度为d， 找出第n级an与n，a1，d 之间的关系？
a2 a1 d a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d 归纳得：an a1 (n 1)d
情感、态度与价值观 ：
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生严谨求实的学习作风和锲而 不舍的学习精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。
重点：等差数列的定义、通项公式的探究
难点：通项公式的推导、理解和灵活应用
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
教学方法： 开放式探究 互动式讨论
例2: 等差数列－5，－9，－13，…第几项是－401？
例3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构 成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄 比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.
设计意图：精选3个体现本节课知识和能力的例题,通过师 生互析方式,共同完成3道例题，初步应用等差数列的通项 公式，教师再进一步总结“知三求一”的解题思想。突破 本节课的教学难点。这样，学生不仅在轻松、融洽的教学 环境中，将所学的知识与现实生活相联系，用数学知识去 解决问题，而且深入到数学知识的本质中去，从而提高解 决问题的能力。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（2）学情分析
由于在上一节课，学生对数列的知识有了初步的接 触和认识，具有了一定的理性分析能力和概括能力， 逐步熟悉由观察到抽象再到具体的数学活动过程,有了 一定的知识储备和能力储备。作为高二的学生，他们 具有一定抽象思维能力和演绎推理能力，所以在教学 过程中要注意引导和探启以符合这类学生心理发展的 特点，从而促进学生思维发展水平的进一步提高。
(二.)观察归纳——形成概念
小组讨论 归纳概括
等差数列的概念:
如果一个数列,从第二项开始每一项与它前 一项的差都等于 同一个常数，这个数列就叫等 差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母d来表示。
等差数列数学表达式 an+1--an=d
请同学们判断下列数列是不是等差数列，若是请求出公差
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的通项公式为：
an d n (a1 d ) 即 an pn q
an是关于n的一次函数。
而直线的一般形式： y kx b
等差数列的图象为相应直线上的点。
(六)知识小结——布置作业
一个定义： an+1-an=d （d是常数，n∈N+） 一个公式：an=a1+(n-1)d 三种思想：方程思想 函数思想 数形结合思想
( 1) 4，5，6，7，8，10，11. 不是等差数列
(2) 1，4，7，10，13，16，… 公差 d=3
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0
(6) 0，0，0，0，0，…
设计意图：由于高中学生活泼好动、争强好胜,开展小组竞 答，激励评价,不仅达到检测目的.更使课堂气氛进一步活跃, 让学生在全员参与中不断提高自我的参与意识、集体意识 和竞争意识。也通过本题的设置进行课堂教学的反馈，内 化知识。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
六.探究等差数列的图象
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
（五.）达标检测——效果反馈
（1）求等差数列1，4，7，10，…的第10项。
（2）在等差数列{an}中，已知a1=1，a20=－37，
求公差 d。 （3）在等差数列{an}中，已知a1=1 ，公差 d= －2 ,
则－397是该数列的第几项？ （4）在等差数列{an}中，已知d=－2 ，a12=－21，求a1。
（七）板书设计
等差数列
1、定义
an+1-an=d (d是常数，n∈N+)
2、通项公式
an=a1+(n-1)d
例 1 、2、3
题组练习1、2、3、4
域 领用应
设计意图：展现过程，突出重点。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
本节课抓住等差数列与实际问题的相关联系,把上课 的着眼点放在如何引导学生探究知识，获得知识上，以 学生的自主探索，合作交流为主线，让学生经历数学知 识的形成、应用过程，加深对所学知识的理解，让“抬 头教学”落到了实处。本节课是一个用眼观察，动脑思 考，寻找规律，动手推导，公式应用，共同提高的动态 生成过程。教师是知识学习的策划者，组织者，学生是 学习的主人，由于学生的层次不一，老师要全程关注学 生的学习动态，进行分层施教，教师在观察学生自主探 究、合作交流中的表现时，给予指导，肯定和鼓励，通 过课堂设问和练习及时反馈学生学习情况，及时进行补 偿性教学。学生在小组活动中实现自我评价和他人评价。 对于生成过程中可能出现的突发事件，做到因势利导， 随机应变，适时调节教学环节，激活课堂气氛，提高课 堂效益，让课堂教学达到最佳状态。
请大家多提宝贵意见！
谢谢！
设计意图：利用台阶问题，巧妙地突破了等差数列通项公 式的推导这一难点，让学生在带有生活气息问题的探究过 程中收获成功的经历。不仅有助于他们对公式的深刻理解 和掌握，更进一步增强他们学习数学的兴趣和信心。
等差数列的通项公式
迭加法：
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
8
●
7 6
●
an f (n)
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
●
10 （2）数列：7，4，1，-2，…
9
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 9
8
7 6
5
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
灵宝实验高级中学 张好科
说课流程：
教教 材法 分学 析法
教教 学学 过反 程思
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（1）教材的地位与作用
《数列》是高中数学的重要内容，并且在实际生活中 有着广泛的应用，诸如银行利率、企业股金、产品利润、 人口增长、工作效率、浓度等问题常常通过数列知识加以 解决。《等差数列》是高中数学人教版必修5第2章第二节 的内容。一方面等差数列作为特殊的函数与一次函数密不 可分，另一方面它既延续了数列的相关知识，又为进一步 学好等比数列作铺垫，因此，本节课具有承前启后的作用， 是本章的重点内容之一 。
启发式引导 反馈式评价
学习方法： 自主探究 合作交流
观察发现 归纳总结
教学手段： 结合多媒体网络教学环境， 构建学生自主探究的教学平台。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
以具体实例为载体 以学生活动为主线
创设情境——引入概念 观察归纳——形成概念 探究规律——推导公式 例题互析——应用公式
达标检测——效果反馈 知识小结——布置作业
（一.）创设情境——引入概念
活动（1）：
请你将课前准备好的火柴摆成如图所示的正方形，并将所用火柴 的数目写成数列，并观察所得数列有何规律？
①
②
③
n
4，7，10，13，16，……
活动（2）：
请你将课前准备好的棋子摆“上”字，并将所用棋子的数目写成数 列，并观察所得数列有何规律？并说出得出的两个数列有什么共同 点？
三种方法：迭加法 迭代法 不完全归纳法
设计意图：小结在教师的引导下由学生完成，教师鼓励学 生积极回答,以此培养学生的口头表达能力和归纳概括能力。 从知识，思想，方法层面进行小结。让学生在明确本节课 重难点的同时，强化本节课所学内容。
课后作业：（1）课本练习题A组第1、2题
（2）选做题B组3、4
（3）寻找生活中等差数列的实例 .
6，10，14，18，…
小组合作，动手操作 思考，讨论，回答
设计意图
通过活动引出两个具体的等差数列，初步认 识等差数列的特征，为正确理解概念奠定基 础；学生观察两个数列特点，归纳出等差数 列的特征，通过对问题的总结，培养学生由 具体到抽象、由特殊到一般的认知能力；使 学生在参与活动中，提高学习兴趣。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（3）教学目标与重难点 知识与技能：
正确理解等差数列的概念；初步掌握等差数列的通项公式，并会简单应用。
过程与方法：
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推 理等发现规律的一般方法，通过阶梯性练习，提高学生的分析问题和解决问题的
能力。
迭代法
an an1 d
an2 d d an2 2d
an3 3d
… …
an an1 d
将上边n个式子相加得
an a1 (n 1)d
即 an a1 (n 1)d
a1 (n 1)d
(四)例题互析——应用公式
例1:求等差数列8，5，2，…的通项公式与第20项。
公差 d=0
设计意图：
主要是让学生通过例子直观感受等差数列的定义，检测 学生对等差数列概念的理解
(三.)探究规律——推导公式
不完全
设台阶第一级高度为a1，归纳法
每一级的高度为d， 找出第n级an与n，a1，d 之间的关系？
a2 a1 d a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d 归纳得：an a1 (n 1)d
情感、态度与价值观 ：
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生严谨求实的学习作风和锲而 不舍的学习精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。
重点：等差数列的定义、通项公式的探究
难点：通项公式的推导、理解和灵活应用
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
教学方法： 开放式探究 互动式讨论
例2: 等差数列－5，－9，－13，…第几项是－401？
例3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构 成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄 比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.
设计意图：精选3个体现本节课知识和能力的例题,通过师 生互析方式,共同完成3道例题，初步应用等差数列的通项 公式，教师再进一步总结“知三求一”的解题思想。突破 本节课的教学难点。这样，学生不仅在轻松、融洽的教学 环境中，将所学的知识与现实生活相联系，用数学知识去 解决问题，而且深入到数学知识的本质中去，从而提高解 决问题的能力。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（2）学情分析
由于在上一节课，学生对数列的知识有了初步的接 触和认识，具有了一定的理性分析能力和概括能力， 逐步熟悉由观察到抽象再到具体的数学活动过程,有了 一定的知识储备和能力储备。作为高二的学生，他们 具有一定抽象思维能力和演绎推理能力，所以在教学 过程中要注意引导和探启以符合这类学生心理发展的 特点，从而促进学生思维发展水平的进一步提高。
(二.)观察归纳——形成概念
小组讨论 归纳概括
等差数列的概念:
如果一个数列,从第二项开始每一项与它前 一项的差都等于 同一个常数，这个数列就叫等 差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母d来表示。
等差数列数学表达式 an+1--an=d
请同学们判断下列数列是不是等差数列，若是请求出公差
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的通项公式为：
an d n (a1 d ) 即 an pn q
an是关于n的一次函数。
而直线的一般形式： y kx b
等差数列的图象为相应直线上的点。
(六)知识小结——布置作业
一个定义： an+1-an=d （d是常数，n∈N+） 一个公式：an=a1+(n-1)d 三种思想：方程思想 函数思想 数形结合思想
( 1) 4，5，6，7，8，10，11. 不是等差数列
(2) 1，4，7，10，13，16，… 公差 d=3
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0
(6) 0，0，0，0，0，…
设计意图：由于高中学生活泼好动、争强好胜,开展小组竞 答，激励评价,不仅达到检测目的.更使课堂气氛进一步活跃, 让学生在全员参与中不断提高自我的参与意识、集体意识 和竞争意识。也通过本题的设置进行课堂教学的反馈，内 化知识。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
六.探究等差数列的图象
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
（五.）达标检测——效果反馈
（1）求等差数列1，4，7，10，…的第10项。
（2）在等差数列{an}中，已知a1=1，a20=－37，
求公差 d。 （3）在等差数列{an}中，已知a1=1 ，公差 d= －2 ,
则－397是该数列的第几项？ （4）在等差数列{an}中，已知d=－2 ，a12=－21，求a1。
（七）板书设计
等差数列
1、定义
an+1-an=d (d是常数，n∈N+)
2、通项公式
an=a1+(n-1)d
例 1 、2、3
题组练习1、2、3、4
域 领用应
设计意图：展现过程，突出重点。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
本节课抓住等差数列与实际问题的相关联系,把上课 的着眼点放在如何引导学生探究知识，获得知识上，以 学生的自主探索，合作交流为主线，让学生经历数学知 识的形成、应用过程，加深对所学知识的理解，让“抬 头教学”落到了实处。本节课是一个用眼观察，动脑思 考，寻找规律，动手推导，公式应用，共同提高的动态 生成过程。教师是知识学习的策划者，组织者，学生是 学习的主人，由于学生的层次不一，老师要全程关注学 生的学习动态，进行分层施教，教师在观察学生自主探 究、合作交流中的表现时，给予指导，肯定和鼓励，通 过课堂设问和练习及时反馈学生学习情况，及时进行补 偿性教学。学生在小组活动中实现自我评价和他人评价。 对于生成过程中可能出现的突发事件，做到因势利导， 随机应变，适时调节教学环节，激活课堂气氛，提高课 堂效益，让课堂教学达到最佳状态。
请大家多提宝贵意见！
谢谢！
设计意图：利用台阶问题，巧妙地突破了等差数列通项公 式的推导这一难点，让学生在带有生活气息问题的探究过 程中收获成功的经历。不仅有助于他们对公式的深刻理解 和掌握，更进一步增强他们学习数学的兴趣和信心。
等差数列的通项公式
迭加法：
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
8
●
7 6
●
an f (n)
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
●
10 （2）数列：7，4，1，-2，…
9
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 9
8
7 6
5
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2