等差数列的定义与通项公式(张好科)
等差数列的定义与通项公式
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
二、等差数列的判定：
例2、已知数列{an}的通项公式为 an 6n 1 问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列 ，其首项与公差分别是多少？
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
（2）等差数列通项公式： an=a1 +(n-1)d
作业：
1、已知数列an ，满足
a
1
2, a n 1
（1）数列
1 an
a
2 an
n
2
是否是等差数列？说明理由。
（2）求数列 an 通项公式
1 1 1 是等差数列， (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单，使问题得以解决.
课堂小结：
（1）等差数列定义：
a
d 或 d （n>1) a a a n1 n n n1
等差数列的定义及通项 公式
复习：
1、等差数列的概念：
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 2、等差数列的定义式： d=an-an-1 3、等差数列的通项公式。
等差数列与等差数列的求和与通项公式
等差数列与等差数列的求和与通项公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都是相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数列类型，具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及如何求和与求通项公式。
一、等差数列的定义与性质等差数列的定义：对于数列a₁，a₂，a₃，…，aₙ，如果存在一个常数d，使得对于任意的整数n≥2，有aₙ - aₙ₋₁ = d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的性质：1. 公差：等差数列中任意两项之间的差值称为公差，通常用字母d 表示。
2. 通项公式：等差数列中第n项的表达式称为通项公式，通常用字母aₙ表示。
3. 求和公式：等差数列的前n项和的表达式称为求和公式，通常用字母Sₙ表示。
二、等差数列的通项公式为了求等差数列的第n项，我们需要知道首项和公差。
首项a₁可以通过给定的数列第一项得到，公差d可以通过数列中任意两项之间的差值得到。
等差数列的通项公式可以通过以下公式得到：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，a₁表示首项，n表示项数，d表示公差。
三、等差数列的求和公式当我们想求等差数列的前n项和时，可以使用求和公式。
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的和，而不需要逐一相加。
等差数列的求和公式可以通过以下公式得到：Sₙ = (n / 2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n项。
四、例题与应用例题1：已知等差数列的首项为3，公差为2，求该等差数列的第10项和前10项和。
解：根据等差数列的通项公式，可以得到第10项：a₁₀ = 3 + (10 - 1) * 2 = 21根据等差数列的求和公式，可以得到前10项和：S₁₀ = (10 / 2) * (3 + 21) = 120例题2：一个等差数列的首项为5，公差为3，已知前n项和为85，求n的值。
解：根据等差数列的通项公式和求和公式，可以得到以下方程：(n / 2) * (5 + aₙ) = 85(n / 2) * (5 + (5 + (n - 1) * 3)) = 85通过解方程，可以得到n的值为7。
等差数列的定义和通项公式
等差数列的定义和通项公式一、等差数列的定义和通项公式1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母$d$表示。
2、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。
注：已知等差数列$\{a_n\}$中的任意两项$a_n$，$a_m(n,m∈\mathbf{N}^*,m≠n)$，则$\begin{cases}a_n=a_1+(n-1)d,\\a_m=a_1+(m-1)d\end{cases}\Rightarrow$$a_n-a_m=$$(n-m)d\Rightarrow$$\begin{cases}d=\frac{a_n-a_m}{n-m},\\a_n=a_m+(n-m)d。
\end{cases}$即已知等差数列中的任意两项，可求得其公差，进而求得其通项公式。
3、等差中项由三个数$a$，$A$，$b$组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。
这时，$A$叫做$a$与$b$的等差中项。
此时，$2A=a+b$，$A=\frac{a+b}{2}$。
若数列中相邻三项之间存在如下关系：$2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}(n\geqslant2)$，则该数列是等差数列。
4、等差数列与函数的关系将等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$变形，整理得$a_n=nd+(a_1-d)$。
则从函数的角度来看$a_n=a_1+(n-1)d$是关于$n$的一次函数（$d≠0$时）或常函数（$d=0$时）。
它的图象是一条射线上的一系列横坐标为正整数的孤立的点，公差$d$是该射线所在直线的斜率。
（1）当$d>0$时，数列$\{a_n\}$是递增数列；（2）当$d=0$时，数列$\{a_n\}$是常数列；（3）当$d<0$时，数列$\{a_n\}$是递减数列；5、等差数列的性质若数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，则它具有以下性质（1）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是数学中的一个基本概念，指的是数列中的每个数与其前一个数之差都相等。
在数学中，我们经常需要求解等差数列的通项公式，即能够表示数列任意一项的公式。
接下来，我们将介绍等差数列的定义、性质以及推导出的通项公式。
1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数与其前一个数之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a_1，公差为d，则数列的通项公式可表示为：a_n = a_1 + (n-1)d其中，a_n表示数列的第n项。
2. 等差数列的性质等差数列具有以下几个重要的性质：- 公差d确定了数列的增长规律，当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减。
当d=0时，数列为常数数列。
- 数列的项数n与首项a_1、公差d之间存在如下关系：a_n = a_1 + (n-1)da_1 = a_n - (n-1)dd = (a_n - a_1) / (n-1)另外，等差数列的和有一个重要的性质，称为等差数列的求和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)其中，S_n表示等差数列的前n项和。
3. 推导等差数列的通项公式要推导等差数列的通项公式，我们需要利用等差数列的性质以及数学归纳法。
下面是推导的步骤：步骤一：设等差数列的首项为a_1，公差为d。
步骤二：根据等差数列的性质，可以得到第n项与第n-1项之间的关系为：a_n = a_{n-1} + d。
步骤三：利用数学归纳法，假设a_n = a_1 + (n-1)d对于任意正整数n成立。
步骤四：考虑n+1时，有a_{n+1} = a_n + d。
代入步骤三的假设，可以得到：a_{n+1} = a_1 + (n-1)d + d= a_1 + nd步骤五：通过数学归纳法，我们可以证明等差数列的通项公式成立。
因此，等差数列的通项公式为：a_n = a_1 + (n-1)d4. 应用举例利用等差数列的通项公式，我们可以快速求解等差数列的任意一项。
等差数列定义及通项公式(精)
3、在等差数列{an}中，已知a4=10,a7=19求
首项a1与公差d。
4、在等差数列{an}中，已知a3=9,a9=3求首
项a1与公差d。
断等差数列的依据。
三、等差数列的通项公式：
1、公式推导：
归纳法：
∵{an}是等差数列，则有
a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d ……
an=an-1+d=a1+(n – 1)d ∴an=a1+(n – 1)d
二等差数列的定义一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数这个数列就叫做等差数列
等差数列定义及通 项公式
基础教育系
一、举例
• 4，5，6，7，8，9，10； ⑴
• 3，0，-3，-6，…；
⑵
• 1/10，2/10，3/10，4/10，…；⑶
特点：
• 从第2项起，每一项与前一项的差都等于 同一常数。
②已知等差数列的任意两项，可以确定数 列的任意一项。
四、例题评讲：
例1、判断下列数列是否为等差数列。 ⑴ 1，2，4，6，8； ⑵ 2，4，6，8，10； ⑶ 0，0，0，0，0； ⑷ 1，2，4，7，11；
例2、 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项。
⑵－401是不是等差数列– 5， – 9， – 13，…的
又，当n=1时,等式成立
∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
等差数列的概念及其通项公式
实际应用：等差数列在实际生活中也有很 多应用，如等差数列求和在实际计算中的 应用，等差数列在统计学中的应用等。
在物理中的应用
弹簧振子的周期公式：等差数列通项公式在弹簧振子的周期计算中的应用。 放射性元素的衰变：等差数列通项公式在放射性元素的衰变计算中的应用。 音阶和乐谱：等差数列通项公式在音阶和乐谱计算中的应用。 光的干涉和衍射：等差数列通项公式在光的干涉和衍射计算中的应用。
an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式
为an=a1*q^(n1)，其中q表示公
比。
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性质不同：等差数 列具有对称性，即 从第一项开始每隔 两项取一项，数列 中剩下的项仍然是 一个等差数列；而 等比数列具有周期 性，即从第一项开 始每隔若干项取一 项，数列中剩下的 项仍然是一个等比
数列。
添加标题
通项公式不同：等 差数列的通项公式 为an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式 为an=a1*Hale Waihona Puke ^(n1)，其中q表示公比。
添加标题
应用上的联系
等差数列与等比数列在金融领域的应用 等差数列与等比数列在计算机科学中的应用 等差数列与等比数列在物理学中的应用 等差数列与等比数列在数学教育中的应用
06
等差数列与等比数 列的区别与联系
定义上的区别
等差数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数
等比数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数
性质上的区别
定义不同：等差数 列是指相邻两项的 差相等的数列，而 等比数列是指相邻 两项的比值相等的
数列。
添加标题
符号不同：等差数 列的通项公式为
4.2.1.1等差数列得的概念和通项公式(知识梳理+变式+例题))
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。
等差数列的求和与通项
等差数列的求和与通项等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
在数学中，求等差数列的求和与通项是非常常见的问题。
本文将从等差数列的定义开始介绍，然后逐步推导出求和公式以及通项公式，并给出具体的计算例子。
1. 等差数列的定义等差数列可以表示为：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...，a + (n-1)d，其中，a是首项，d是公差，n是项数。
首项a表示数列中的第一个数，公差d表示相邻两个数之间的差值，项数n表示数列中的总项数。
2. 求和公式的推导我们可以通过计算等差数列的前n项和来求得求和公式。
设等差数列的首项为a，末项为a + (n-1)d，和为S。
将等差数列的每一项分别与首项a相加，我们可以得到：S = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]将等差数列按照正序和逆序相加，我们得到：2S = [a + (a + (n-1)d)] + [(a + d) + (a + (n-2)d)] + ... + [(a + (n-1)d) + a] 2S = (a + (a + (n-1)d)) + (a + (a + (n-1)d)) + ... + (a + (a + (n-1)d))2S = n(a + (a + (n-1)d))化简得到：2S = n[(a + a) + ((n-1)d)]2S = n[2a + (n-1)d]S = n[2a + (n-1)d] / 2S = (n/2)[2a + (n-1)d]因此，等差数列的前n项和S可以通过公式S = (n/2)[2a + (n-1)d]来计算。
3. 通项公式的推导我们可以通过计算等差数列中的任意一项来求得通项公式。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
等差数列中第n项与首项的差值为(n-1)d，所以可以得到通项公式：an = a + (n-1)d因此，等差数列的通项an可以通过公式an = a + (n-1)d来计算。
等差数列概念及通项公式PPT课件
首项为a1 ,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:
an = a1 + (n－1)d.
证:因为｛an｝为等差数列, 所以当n≥2时,有
3.在等差数列｛an｝中,a10= 100,
a19=10,
a1+an=0 , 求n的值.
课堂小结
1. 等差数列的概念及通项公式.
(1)数列｛an｝为等差数列 : an－ an-1 = d (n≥2) 或 an+1－ an = d
(2)通项公式an = a1 + (n－1)d. an = am + (n－m)d.
n值为( )
A.667 B.668 C.669 D.670
观察上面的数列有什么共同的特点?
一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项减去它 的前一项所得的差都等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用d表示.
数学表达式: an－ an-1 = d (n≥2) an+1－ an = d
练习: 判断下列数列是否为等差数列.若是,指出首项和公差.
a2－a1=d,
a3－a2=d,
……
叠加法
an－an-1=d,
将上面n-1个等式的两边分别相加,
得an－a1= (n-1)d,
所以, an= a1+(n-1)d, 当n=1时,上面的等式显然成立.
例1.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,求a12 .
等差数列的通项公式一般形式: an = am + (n－m)d.
等差数列的定义与通项公式(张好科)
（七）板书设计
等差数列
1、定义
an+1-an=d (d是常数，n∈N+)
2、通项公式
an=a1+(n-1)d
例 1 、2、3
题组练习1、2、3、4
域领用应
设计意图：展现过程，突出重点。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
本节课抓住等差数列与实际问题的相关联系,把上课 的着眼点放在如何引导学生探究知识，获得知识上，以 学生的自主探索，合作交流为主线，让学生经历数学知 识的形成、应用过程，加深对所学知识的理解，让“抬 头教学”落到了实处。本节课是一个用眼观察，动脑思 考，寻找规律，动手推导，公式应用，共同提高的动态 生成过程。教师是知识学习的策划者，组织者，学生是 学习的主人，由于学生的层次不一，老师要全程关注学 生的学习动态，进行分层施教，教师在观察学生自主探 究、合作交流中的表现时，给予指导，肯定和鼓励，通 过课堂设问和练习及时反馈学生学习情况，及时进行补 偿性教学。学生在小组活动中实现自我评价和他人评价。 对于生成过程中可能出现的突发事件，做到因势利导， 随机应变，适时调节教学环节，激活课堂气氛，提高课 堂效益，让课堂教学达到最佳状态。
三种方法：迭加法 迭代法 不完全归纳法
设计意图：小结在教师的引导下由学生完成，教师鼓励学 生积极回答,以此培养学生的口头表达能力和归纳概括能力。 从知识，思想，方法层面进行小结。让学生在明确本节课 重难点的同时，强化本节课所学内容。
课后作业：（1）课本练习题A组第1、2题
（2）选做题B组3、4
（3）寻找生活中等差数列的实例 .
公差 d=0
设计意图：
主要是让学生通过例子直观感受等差数列的定义，检测 学生对等差数列概念的理解
等差数列的通项公式与求和公式
等差数列的通项公式与求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
它在数学和实际问题中具有重要的应用。
本文将详细介绍等差数列的通项公式与求和公式，帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指可以通过已知的数列项数、首项和公差，来确定数列中任意一项的公式。
通项公式对于解决等差数列相关问题非常有用。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示第n项的值，a₁表示首项的值，d表示公差。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列中的任意一项的值，而无需逐项计算。
举例来说，假设等差数列的首项为3，公差为4，我们要求该数列的第10项的值。
根据通项公式，我们有：a₁ = 3d = 4n = 10代入通项公式得到：a₁₀ = 3 + (10-1)×4 = 3 + 9×4 = 3 + 36 = 39因此，该数列的第10项的值为39。
二、等差数列的求和公式除了求解等差数列中任意一项的值外，我们还常常需要计算等差数列前n项的和。
这时候就需要用到等差数列的求和公式。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项的和为Sₙ。
求和公式可以表示为：Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n 项。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列前n项的和，并且无需逐项相加。
举例来说，假设等差数列的首项为2，公差为3，我们要求该数列的前6项的和。
根据求和公式，我们有：a₁ = 2d = 3n = 6代入求和公式得到：S₆ = 6/2 × (2 + a₆)根据通项公式，a₆ = 2 + (6-1)×3 = 2 + 5×3 = 2 + 15 = 17代入求和公式得到：S₆ = 6/2 × (2 + 17) = 3 × 19 = 57因此，该数列的前6项的和为57。
等差数列的通项公式推导
等差数列的通项公式推导等差数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项之差都保持不变。
在等差数列中，我们可以通过通项公式来求解任意一项的值。
本文将推导等差数列的通项公式，并解释其原理和应用。
1. 等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之差相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，数列的通项记为an。
则等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d其中，n表示数列的任意一项的位置。
2. 等差数列通项公式的推导为了推导等差数列的通项公式，我们可以从数学归纳法的角度来进行证明。
首先，我们可以假设通项公式对于某个特定的整数k成立，即：ak = a + (k-1)d接下来，我们需要证明当k+1时，通项公式也成立。
即证明：ak+1 = a + (k+1-1)d由等差数列的定义可知，ak+1与ak之间的差值为d，根据假设的通项公式，我们可以将ak+1表示为：ak+1 = ak + d将之前的推导结果代入上式，得到：a + (k-1)d + d = a + kd经过简化，可得：ak+1 = a + kd由此可见，当k+1时，通项公式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出等差数列通项公式的正确性。
3. 等差数列通项公式的应用等差数列的通项公式在解决各种实际问题时具有广泛的应用。
例如，在日常生活中，我们经常遇到需要求解某个位置上的数值的情况。
通过等差数列的通项公式，我们可以快速准确地计算出相应位置上的数值。
另外，等差数列的通项公式还可以应用于数学中一些重要的概念和定理的推导中。
例如，利用等差数列的通项公式，我们可以推导出等差数列的前n项和公式，即等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
4. 总结本文通过数学归纳法的推导，证明了等差数列的通项公式的正确性，并介绍了通项公式的应用。
等差数列的通项公式是解决各种实际问题的重要工具，也是数学推导的基础。
等差数列的定义及通项公式
a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，
即 31＝10＋7d，∴d＝3.
∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5.
∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
求等差数列的通项公式①确定首项a1 和 公差d，需建立两个关于a1 和d 的方程，通过解含a1 与d 的方 程求得a1 与d 的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d 求解．
C．2n－1
D．2n＋1
解析：由已知2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，整理得a＝0，
∴a1＝－1，a2＝1，d＝a2－a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－3.
重点 等差数列的单调性及通项公式
(1)由等差数列的定义知 an＋1－an＝d， 当 d＞0 时， an＋1＞an 即{an}为递增数列； 当 d＝0 时，an＋1＝an 即{an}为常数列； 当 d＜0 时，an＋1＜an 即{an}为递减数列． (2)等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，等差数列任意的 两项间有 an＝ak＋(n－k)d，即 d＝ ann－－kak.
巩固练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ )
A. 1
B. -1
C.- 1
5
D.
3
11
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
提示： d=an+1- an=-4
难点 等差数列常见的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)； (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数 a、b、c 成等差 数列，一般利用等差中项证明 b＝a＋2 c； (3)通项公式为 n 的一次函数：an＝kn＋b(k、b 为常数)．
等差数列的概念及通项公式
等差数列的概念及通项公式在咱们的数学世界里，等差数列可是个相当重要的角色。
还记得我上高中那会，有一次数学考试，其中一道大题就是关于等差数列的。
当时我看着那道题，心里就像揣了只小兔子，砰砰直跳。
题目是这样的：已知一个等差数列的前三项分别是 3，7，11，求它的通项公式。
我一开始有点懵，脑子像被浆糊糊住了一样。
但我深吸一口气，告诉自己别慌，然后开始回忆老师讲的知识点。
咱们先来说说啥是等差数列。
简单来说，就是一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数就叫公差。
比如说 1，3，5，7，9 这个数列，每一项跟前一项的差都是 2，那 2 就是这个等差数列的公差。
那等差数列的通项公式是啥呢？它是 aₙ = a₁ + (n - 1)d 。
这里的aₙ 表示第 n 项的值，a₁是首项，n 是项数，d 就是公差。
咱们再回到我考试的那道题。
已知前三项是 3，7，11，那公差 d 就是 7 - 3 = 4 。
首项 a₁是 3 。
所以通项公式就是 aₙ = 3 + (n - 1)×4 ，化简一下就是 aₙ = 4n - 1 。
再比如说，有一个等差数列，首项是 5，公差是 3。
那它的第二项就是 5 + 3 = 8 ，第三项就是 5 + 2×3 = 11 ，第四项就是 5 + 3×3 = 14 ，依此类推。
按照通项公式，第 n 项就是 5 + (n - 1)×3 ，整理一下就是3n + 2 。
在实际生活中，等差数列也有不少用处呢。
比如说，你去爬楼梯，每层楼的台阶数都一样，这就是个等差数列。
或者存钱，每个月固定存一笔钱，存的钱数也能构成一个等差数列。
总之，等差数列虽然听起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的概念和通项公式，多做几道题练练手，就能把它拿下！就像我那次考试，虽然一开始有点紧张，但最后还是顺利做出来啦。
所以同学们，别害怕等差数列，跟它好好“打交道”，相信你们一定能行！。
等差数列的通项与求和公式
等差数列的通项与求和公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项之差相等。
求解等差数列的通项和求和公式是数学中重要的知识点，它们能够帮助我们快速计算等差数列的各项数值。
本文将详细介绍等差数列的通项和求和公式，以及它们的应用。
一、等差数列的定义及基本概念等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
数列中的每一项称为该数列的项，首项表示数列中的第一项，而公差表示数列中每一项与前一项之差的固定值。
以数列{a₁, a₂, a₃, ...}为例，若相邻两项之差是一个常数d，即有a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = d，则该数列为等差数列。
其中，a₁表示首项，a₂表示第二项，d表示公差。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式用来表示等差数列中任意一项的数值。
假设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，通项公式可表示为：aₙ = a₁ + (n - 1) * d在通项公式中，首项a₁是等差数列的第一项，公差d是数列中每一项与前一项之差，n表示数列中的第n项。
通过使用通项公式，我们可以根据已知的首项、公差和项数，快速计算等差数列中任意一项的数值，从而加快解题速度。
三、等差数列的求和公式等差数列的求和公式用于计算等差数列的前n项和。
对于等差数列{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}，求和公式可表示为：Sn = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
在求和公式中，n表示数列的项数，a₁表示首项，aₙ表示数列的第n项。
四、等差数列的应用等差数列的通项公式和求和公式在实际问题中有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景：1. 薪资增长：某公司新员工的月薪为5000元，每年递增500元。
求第10年的月薪。
根据等差数列的通项公式，可得第10年的月薪为5000 + (10 - 1) * 500 = 9500元。
2. 高空坠物：假设某物体从高空坠落，每秒钟下落的距离为10米。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项之间的差值都相等。
在数学中，我们常常需要求解等差数列的任意项，这就需要用到等差数列的通项公式。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则它的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ代表等差数列的第n项，n代表项数，d代表公差。
二、等差数列的推导为了更好地理解等差数列的通项公式，我们可以通过推导来证明它的有效性。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d。
根据等差数列的定义，我们可以得到：a₂ = a₁ + da₃ = a₂ + d = a₁ + 2da₄ = a₃ + d = a₁ + 3d...aₙ = a₁ + (n-1)d由此可见，等差数列的第n项可以通过首项a₁加上公差d乘以项数n减1来得到。
因此，等差数列的通项公式成立。
三、等差数列的例题例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项的值。
解析：根据通项公式aₙ = a₁ + (n-1)d，代入a₁=3，d=4，n=10，即可求解出第10项的值。
a₁₀ = 3 + (10-1)×4= 3 + 9×4= 3 + 36= 39因此，等差数列的第10项的值为39。
例题2：已知等差数列的首项为2，公差为-3，求前15项的和。
解析：由于题目要求求前15项的和，我们可以利用等差数列求和公式来计算。
等差数列求和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2代入题目所给的数据：a₁=2，d=-3，n=15，即可求解出前15项的和。
S₁₅ = (2 + (2 + (15-1)×(-3))) × 15 ÷ 2= (2 + (-40)) × 15 ÷ 2= (-38) × 15 ÷ 2= -570 ÷ 2= -285因此，等差数列前15项的和为-285。
等差数列的概念及通项公式课件
2n－12.
【名师点评】 根据等差数列的通项公式an＝ a1＋(n－1)d，由已知等差数列的任意两项，就 可以求出首项和公差，从而写出数列的通项公
式．
等差中项 若 a、A、b 成等差数列，即 A＝a＋2 b，则 A 就是 a 与 b 的等差中项，若 A＝12(a＋b)时，则 a、A、b 成等差数列，这是判定三个数成等差数列的条件．
等差数列的判定与证明
根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差 数列，要看任意相邻两项的差是否为同一常数， 要判断一个数列为等差数列，需证明an＋1－an＝ d(d为常数)对n∈N*恒成立，若要判断一个数列不 是等差数列，只需举出一个反例即可．
例3 已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2. (1)数列{a1n}是否为等差数列？说明理由；(2)求 an.
例1 已知{an}是等差数列，根据下列条件求它的 通项公式：a5＝－2，a9＝6. 【思路点拨】 由条件列方程求得其首项与公差，
即可由公 aa59＝ ＝－6，2， 则
aa11＋ ＋48dd＝ ＝－6，2， 解方程得ad1＝＝2－. 10，
所以数列{an}的通项公式为 an＝－10＋2(n－1)＝
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 方法有以下几种： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an} 为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数 列．
(3)通项法：an＝kn＋b(k、b为常数)⇔{an}是等差 数列．
警示：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)对任意n∈N ＋都要恒成立，不能几项成立便说{an}为等差数 列．
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这 五个数成等差数列，求此数列．
等差数列的概念及通项公式
等差数列的概念及通项公式等差数列是数学中非常重要的一种数列，它是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
这个差值称为等差数列的公差，用d来表示。
等差数列可以用一般形式的公式表示为：an=a1+(n-1)d，其中an表示等差数列中的第n项，a1表示等差数列的首项，n表示等差数列的项数。
由等差数列的定义可知，等差数列的相邻两项之间的差值是固定不变的。
这个差值可以是正数、零或者负数。
如果差值为正数，那么数列逐渐增大；如果差值为零，那么数列各项都相等；如果差值为负数，那么数列逐渐减小。
不管差值的正负与大小如何，等差数列都具有相同的通项公式。
等差数列的通项公式是指通过已知条件求解等差数列中任意一项的公式。
等差数列的通项公式有很多不同的形式，最常用的是：an=a1+(n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
通过这个通项公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。
例如，如果我们知道一个等差数列的首项是3，公差是2，我们想要知道它的第10项的值，那么我们只需要将a1=3，d=2，n=10代入通项公式中，即可得到a10=3+(10-1)×2=3+18=21、因此，这个等差数列的第10项的值是21另外，由等差数列的通项公式还可以得到等差数列的公式和等差数列的前n项和的公式。
等差数列的公式是指将等差数列中的每一项按照一定的规律列出来。
例如，对于一个等差数列的首项是2，公差是3，如果我们想知道它的前5项的值，那么我们可以用通项公式计算得到a1=2，a2=2+3×1=5，a3=2+3×2=8，a4=2+3×3=11，a5=2+3×4=14、因此，这个等差数列的前5项的值是2，5，8，11，14而等差数列的前n项和的公式是指等差数列前n项的总和。
可以通过通项公式将等差数列的前n项求和转化为求一等差数列的前n项和的问题。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的概念，它在数学、物理、经济学等领域都有广泛应用。
了解等差数列的性质和运算规律对于理解数学问题和解题非常有帮助。
本文将对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及常见问题进行总结。
一、等差数列的定义等差数列由一系列有规律的数构成，这些数之间的差值保持不变。
等差数列的全体数可以用以下表示形式来描述：an = a1 + (n - 1)d其中an表示等差数列的第n个数，a1表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
二、等差数列的性质1. 公差等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正、零或负。
当公差为正时，数列递增；当公差为负时，数列递减。
2. 通项公式等差数列的通项公式用来表示数列中任意一项与首项之间的关系。
通项公式可表示为：an = a1 + (n - 1)d3. 前n项和等差数列前n项和表示数列的前n项之和，通常用Sn表示。
前n 项和公式可表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
三、等差数列的运算规律1. 求任意项的值根据通项公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。
已知首项a1、公差d和项数n，可以使用以下公式求得第n项的值：an = a1 + (n - 1)d2. 求前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
具体计算步骤如下：（1）求得第n项an的值；（2）代入前n项和公式，得到Sn的值。
3. 求公差如果已知等差数列的两个相邻项或任意两项的值，可以通过求差的方式计算出公差。
公式如下：d = an - an-1四、等差数列的常见问题1. 求等差数列的第n项的值已知首项a1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算等差数列的第n项的值。
具体计算步骤如下：an = a1 + (n - 1)d2. 求等差数列的前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
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教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（2）学情分析
由于在上一节课，学生对数列的知识有了初步的接 触和认识，具有了一定的理性分析能力和概括能力， 逐步熟悉由观察到抽象再到具体的数学活动过程,有了 一定的知识储备和能力储备。作为高二的学生，他们 具有一定抽象思维能力和演绎推理能力，所以在教学 过程中要注意引导和探启以符合这类学生心理发展的 特点，从而促进学生思维发展水平的进一步提高。
（五.）达标检测——效果反馈
（1）求等差数列1，4，7，10，…的第10项。
（2）在等差数列{an}中，已知a1=1，a20=－37，
求公差 d。 （3）在等差数列{an}中，已知a1=1 ，公差 d= －2 ,
则－397是该数列的第几项？ （4）在等差数列{an}中，已知d=－2 ，a12=－21，求a1。
6，10，14，18，…
小组合作，动手操作 思考，讨论，回答
设计意图
通过活动引出两个具体的等差数列，初步认 识等差数列的特征，为正确理解概念奠定基 础；学生观察两个数列特点，归纳出等差数 列的特征，通过对问题的总结，培养学生由 具体到抽象、由特殊到一般的认知能力；使 学生在参与活动中，提高学习兴趣。
设计意图：由于高中学生活泼好动、争强好胜,开展小组竞 答，激励评价,不仅达到检测目的.更使课堂气氛进一步活跃, 让学生在全员参与中不断提高自我的参与意识、集体意识 和竞争意识。也通过本题的设置进行课堂教学的反馈，内 化知识。
六.探究等差数列的图象
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（3）教学目标与重难点 知识与技能：
正确理解等差数列的概念；初步掌握等差数列的通项公式，并会简单应用。
过程与方法：
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推 理等发现规律的一般方法，通过阶梯性练习，提高学生的分析问题和解决问题的
能力。
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的通项公式为：
an d n (a1 d ) 即 an pn q
an是关于n的一次函数。
而直线的一般形式： y kx b
等差数列的图象为相应直线上的点。
(六)知识小结——布置作业
一个定义： an+1-an=d （d是常数，n∈N+） 一个公式：an=a1+(n-1)d 三种思想：方程思想 函数思想 数形结合思想
（七）板书设计
等差数列
1、定义
an+1-an=d (d是常数，n∈N+)
2、通项公式
an=a1+(n-1)d
例 1 、2、3
题组练习1、2、3、4
域 领用应
设计意图：展现过程，突出重点。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
本节课抓住等差数列与实际问题的相关联系,把上课 的着眼点放在如何引导学生探究知识，获得知识上，以 学生的自主探索，合作交流为主线，让学生经历数学知 识的形成、应用过程，加深对所学知识的理解，让“抬 头教学”落到了实处。本节课是一个用眼观察，动脑思 考，寻找规律，动手推导，公式应用，共同提高的动态 生成过程。教师是知识学习的策划者，组织者，学生是 学习的主人，由于学生的层次不一，老师要全程关注学 生的学习动态，进行分层施教，教师在观察学生自主探 究、合作交流中的表现时，给予指导，肯定和鼓励，通 过课堂设问和练习及时反馈学生学习情况，及时进行补 偿性教学。学生在小组活动中实现自我评价和他人评价。 对于生成过程中可能出现的突发事件，做到因势利导， 随机应变，适时调节教学环节，激活课堂气氛，提高课 堂效益，让课堂教学达到最佳状态。
等差数列的定义与通项公式
灵宝实验高级中学 张好科
说课流程：教教 材法 来自学 析法教教 学学 过反 程思
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
（1）教材的地位与作用
《数列》是高中数学的重要内容，并且在实际生活中 有着广泛的应用，诸如银行利率、企业股金、产品利润、 人口增长、工作效率、浓度等问题常常通过数列知识加以 解决。《等差数列》是高中数学人教版必修5第2章第二节 的内容。一方面等差数列作为特殊的函数与一次函数密不 可分，另一方面它既延续了数列的相关知识，又为进一步 学好等比数列作铺垫，因此，本节课具有承前启后的作用， 是本章的重点内容之一 。
（一.）创设情境——引入概念
活动（1）：
请你将课前准备好的火柴摆成如图所示的正方形，并将所用火柴 的数目写成数列，并观察所得数列有何规律？
①
②
③
n
4，7，10，13，16，……
活动（2）：
请你将课前准备好的棋子摆“上”字，并将所用棋子的数目写成数 列，并观察所得数列有何规律？并说出得出的两个数列有什么共同 点？
公差 d=0
设计意图：
主要是让学生通过例子直观感受等差数列的定义，检测 学生对等差数列概念的理解
(三.)探究规律——推导公式
不完全
设台阶第一级高度为a1，归纳法
每一级的高度为d， 找出第n级an与n，a1，d 之间的关系？
a2 a1 d a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d 归纳得：an a1 (n 1)d
启发式引导 反馈式评价
学习方法： 自主探究 合作交流
观察发现 归纳总结
教学手段： 结合多媒体网络教学环境， 构建学生自主探究的教学平台。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
以具体实例为载体 以学生活动为主线
创设情境——引入概念 观察归纳——形成概念 探究规律——推导公式 例题互析——应用公式
达标检测——效果反馈 知识小结——布置作业
情感、态度与价值观 ：
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生严谨求实的学习作风和锲而 不舍的学习精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。
重点：等差数列的定义、通项公式的探究
难点：通项公式的推导、理解和灵活应用
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
教学方法： 开放式探究 互动式讨论
(二.)观察归纳——形成概念
小组讨论 归纳概括
等差数列的概念:
如果一个数列,从第二项开始每一项与它前 一项的差都等于 同一个常数，这个数列就叫等 差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母d来表示。
等差数列数学表达式 an+1--an=d
请同学们判断下列数列是不是等差数列，若是请求出公差
8
●
7 6
●
an f (n)
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
●
10 （2）数列：7，4，1，-2，…
9
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 9
8
7 6
5
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例2: 等差数列－5，－9，－13，…第几项是－401？
例3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构 成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄 比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.
设计意图：精选3个体现本节课知识和能力的例题,通过师 生互析方式,共同完成3道例题，初步应用等差数列的通项 公式，教师再进一步总结“知三求一”的解题思想。突破 本节课的教学难点。这样，学生不仅在轻松、融洽的教学 环境中，将所学的知识与现实生活相联系，用数学知识去 解决问题，而且深入到数学知识的本质中去，从而提高解 决问题的能力。
请大家多提宝贵意见！
谢谢！
设计意图：利用台阶问题，巧妙地突破了等差数列通项公 式的推导这一难点，让学生在带有生活气息问题的探究过 程中收获成功的经历。不仅有助于他们对公式的深刻理解 和掌握，更进一步增强他们学习数学的兴趣和信心。
等差数列的通项公式
迭加法：
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
迭代法
an an1 d
an2 d d an2 2d
an3 3d
… …
an an1 d
将上边n个式子相加得
an a1 (n 1)d
即 an a1 (n 1)d
a1 (n 1)d
(四)例题互析——应用公式
例1:求等差数列8，5，2，…的通项公式与第20项。
( 1) 4，5，6，7，8，10，11. 不是等差数列
(2) 1，4，7，10，13，16，… 公差 d=3
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0
(6) 0，0，0，0，0，…
三种方法：迭加法 迭代法 不完全归纳法
设计意图：小结在教师的引导下由学生完成，教师鼓励学 生积极回答,以此培养学生的口头表达能力和归纳概括能力。 从知识，思想，方法层面进行小结。让学生在明确本节课 重难点的同时，强化本节课所学内容。
课后作业：（1）课本练习题A组第1、2题
（2）选做题B组3、4
（3）寻找生活中等差数列的实例 .