反证法专题训练题
反证法练习题
1、用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是A.将结论与条件同时否定,推出矛盾 B.肯定条件,否定结论,推出矛盾 C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用 D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件2、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反正假设为A .a 、b 、c 都是奇数B .a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C .a 、b 、c 都是偶数D .a 、b 、c 中至少有两个偶数3、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反证假设正确的是 A .假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60°C .假设三内角至多有一个大于60°D .假设三内角至多有两个大于60°4、设a ,b ,c ∈(-∞,0),则三数a +1b ,c +1a ,b +1c中 A .都不大于-2 B .都不小于-2C .至少有一个不大于-2D .至少有一个不小于-25、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点,则A .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面6、已知x 1>0,x 1≠1且x n +1=x n (x 2n +3)3x 2n +1(n =1,2…),试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n +1,或者对任意正整数n 都满足x n >x n +1”,当此题用反证法否定结论时,应为A .对任意的正整数n ,都有x n =x n +1B .存在正整数n ,使x n =x n +1C .存在正整数n ,使x n ≥x n +1且x n ≤x n -1D .存在正整数n ,使(x n -x n -1)(x n -x n +1)≥07、设a ,b ,c ,d 均为正数,求证:下列三个不等式①a +b <c +d ,②()()a b c da b c d ++<+,③()()a b c d a b c d +<+中至少有一个不正确8、已知a b c a b b c c a a b c ++>++>>000,,,求证:a b c >>>000,,9、设a ,b ,c 均为小于1的正数,求证:()()11--a b b c ,,()1-ca 不能同时大于14。
反证法解答题专项练习30题(有答案)ok
反证法解答题专项练习30题(有答案)ok反证法解答题专项练习30题(有答案)1.求证:在△ABC中至多有两个角大于或等于60°.2.设a、b、c都是实数,考虑如下3个命题:①若a2+ab+c>0,且c>1,则0<b<2;②若c>1且0<b<2,则a2+ab+c>0;③若0<b<2,且a2+ab+c>0,则c>1.试判断哪些命题是正确的,哪些是不正确的,对你认为正确的命题给出证明;你认为不正确的命题,用反例予以否定.3.用反证法证明“三角形的三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”证明:假设所求证的结论不成立,即∠A _________ 60°,∠B _________ 60°,∠C _________ 60°,则∠A+∠B+∠C>_________ .这与_________ 相矛盾.∴_________ 不成立.∴_________ .4.用反证法证明(填空):两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°.求证:l1_________ l2证明:假设l1_________ l2,即l1与l2交与相交于一点P.则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________所以∠1+∠2 _________ 180°,这与_________ 矛盾,故_________ 不成立.所以_________ .5.完形填空:已知:如图,直线a、b被c所截;∠1、∠2是同位角,且∠1≠∠2,求证:a不平行b.证明:假设_________ ,则_________ ,(两直线平行,同位角相等)这与_________ 相矛盾,所以_________ 不成立,故a不平行b.6.求证:在△ABC中,∠B≠∠C,则AB≠AC(提示:反证法)7.用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角.8.反证法证明:如果实数a、b满足a2+b2=0,那么a=0且b=0.9.如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内的一点,且∠APB>∠APC,求证:PB<PC(反证法)10.证明已知△ABC中不能有两个钝角.11.举反例说明下列命题是假命题.(1)一个角的补角大于这个角;(2)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c.12.证明题:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC.13.用反例证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题.14.用反证法证明:在同一平面内,a,b,c互不重合,若a∥b,b∥c,则a∥c.15.已知直线a,b,c,且a∥b,c与a相交,求证:c与b也相交.16.用反证法证明:(1)已知:a<|a|,求证:a必为负数.(2)求证:形如4n+3的整数k(n为整数)不能化为两个整数的平方和.17.用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.18.求证:两个三角形有两条边对应相等,如果所夹的角不相等,那么夹角所对的边也不相等.19.用反证法证明下列问题:如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O.求证:BD和CE不可能互相平分.20.在线段AB上依次取C、D、E三点,将AB分为四段,试说明至少有一段不小于AB,同时,至少有一段不大于AB.21.如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上.22.已知a,b,c,d四个数满足a+b=1,c+d=1,ac+bd>1.求证:这四个数中至少有一个是负数.23.设a,b,c是不全相等的任意整数,若x=a2﹣bc,y=b2﹣ac,z=c2﹣ab.求证:x,y,z中至少有一个大于零.24.用反证法证明:一条线段只有一个中点.25.如图,在△ABC中,D、E两点分别在AB和AC上,求证:CD、BE不可能互相平分.26.能否找到7个整数,使得这7个整数沿圆周排成一圈后,任3个相邻数的和都等于29?如果能,请举一例.如果不能,请简述理由.27.将自然数1,2,3,…,21这21个数,任意地放在一个圆周上,证明:一定有相邻的三个数,它们的和不小于33.28.已知a,b是整数,a2+b2能被3整除,求证:a和b都能被3整除.29.已知:△ABC的三个外角为∠1,∠2,∠3.求证:∠1,∠2,∠3中至多有一个锐角.30.已知一平面内的任意四点,其中任何三点都不在一条直线上,试问:是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一内角不大于45°?请证明你的结论.参考答案:1.证明:假设一个三角形中有3个内角大于60°,则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°;∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°相矛盾,故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°2.解:令b=4,c=5可以证明命题①不正确.若b=1,c=,可以证明命题③不正确.命题②正确,证明如下由c>1,且0<b<2,得0<<1<c.则c >>,c >>0故a2+ab+c=+(c ﹣)>03.解:证明:假设所求证的结论不成立,即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,则∠A+∠B+∠C>180°.这与内角和为180°相矛盾.则假设不成立.则求证的命题正确.故答案为:>,>,>,180°,内角和180°,假设,求证的命题正确4.证明:假设l1不平行l2,即l1与l2交与相交于一点P.则∠1+∠2+∠P=180°(三角形内角和定理),所以∠1+∠2<180°,这与∠1+∠2=180°矛盾,故假设不成立.所以结论成立,l1∥l25.证明:假设a∥b,∴∠1=∠2,(两直线平行,同位角相等.),与已知∠1≠∠2相矛盾,∴假设不成立,∴a不平行b6.证明:假设AB=AC,则,∠B=∠C,与已知矛盾,所以AB≠AC 假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°,则A+B+C=90°+90°+C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,∴∠A=∠B=90°不成立;所以一个三角形中不能有两个直角8.证明:假设如果实数a、b满足a2+b2=0,那么a≠0且b≠0,∵a≠0,b≠0,∴a2>0,b2>0,∴a2+b2>0,∴与a2+b2=0出现矛盾,故假设不成立,原命题正确9.证明:①假设PB=PC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB,∴∠ABP=∠ACP,在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP,∴∠APB=∠APC.这与题目中给定的∠APB>∠APC矛盾,∴PB=PC是不可能的.②假设PB>PC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵PB>PC,∴∠PCB>∠PBC.∴∠ABC﹣∠PBC>∠ACB﹣∠PCB,∴∠ABP>∠ACP,又∠APB>∠APC,∴∠ABP+∠APB>∠ACP+∠APC,∴180°﹣∠ABP﹣∠APB<180°﹣∠ACP﹣∠APC,∴∠BAP<∠CAP,结合AB=AC、AP=AP,得:PB<PC.这与假设的PB>PC矛盾,∴PB>PC是不可能的.综上所述,得:PB<PC10.证明:假设△ABC中能有两个钝角,即∠A<90°,∠B>90°,∠C>90°;所以∠A+∠B+∠C>180°,与三角形的内角和为180°矛盾;所以假设不成立,因此原命题正确,即△ABC中不能有两个钝角11.解:(1)如果设∠A=100°,那么∠A的补角=80°<100°,所以命题:“一个角的补角大于这个角”是假∵a⊥b,∴∠1=90°,∵b⊥c,∴∠2=90°,∴∠1=∠2,∴a∥c.故命题:“已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c”是假命题12.证明:假设PB≠PC不成立,则PB=PC,∠PBC=∠PCB;又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB;∴∠ABP=∠ACP;∴△ABP≌△ACP,∴∠APB=∠APC;与∠APB≠∠APC相矛盾.因而PB=PC不成立,则PB≠PC13.解:设一个锐角为30°,一个钝角为200°;则它们的度数和为230°≠180°,因此不是平角;故原命题是假命题14.解:假设a∥c不成立,则a,c一定相交,假设交点是P;则过点P,与已知直线b平行的直线有两条:a、c;与经过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾;因而假设错误.故a∥c15.证明:假设c∥b;∵a∥b,∴c∥a,这与c和a相交相矛盾,假设不成立;所以c与b也相交16.证明:(1)假设a≥0,则|a|=a,这与已知|a|>a 相矛盾,因此假设不成立,所以a必为负数;(2)假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和,不妨设这两个整数为α,β,则4n+3=α2+β2,因为(n+2)2+(﹣n2﹣1)≠α2+β2,所以假设不成立,故4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和17.证明:①设等腰三角形底角∠B,∠C都是直角,则∠B+∠C=180°,而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.而∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.综上所述,假设①,②错误,所以∠B,∠C只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角18.已知:AB=A′B′,BC=B′C′,∠B≠∠B′,求证:AC≠A′C′.证明:假设AC=A′C′,在△ABC和△A′B′C′中,∴△ABC≌△A′B′C′(SSS),∴∠B=∠B′,∴与已知,∠B≠∠B′矛盾,则假设不成立,∴AC≠A′C′.19.证明:连接DE,假设BD和CE互相平分,∴四边形EBCD是平行四边形,∴BE∥CD,∵在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,∴AC不可能平行于AC,与已知出现矛盾,故假设不成立原命题正确,即BD和CE不可能互相平分20.解:假设每一段都小于AB,则四段之和小于AB,这与已知四段之和等于AB相矛盾,假设错误,所以至少有一段不小于AB ,同时,至少有一段不大于AB21.解:假设点M不在线段CD上不成立,则点M在线段CD上.延长AM到N,使AM=MN,连接BN;在△AMC和△NMB中,BM=CM,∠AMC=∠BMN,AM=MN,∴△AMC≌△NMB(SAS);∴∠MAC=∠MNB,BN=AC;∴BN>AB,即AC>AB;与AB>AC相矛盾.因而M在线段CD上是错误的.所以点M不在线段CD上22.证明:假设a、b、c、d都是非负数,∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.这与ac+bd>1矛盾.所以假设不成立,即a、b、c、d中至少有一个负数23.证明:假设x,y,z都小于0,∵x=a2﹣bc,y=b2﹣ca,z=c2﹣ab,∴2(x+y+z)=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=(a2﹣2ab+b2)+(b2﹣2bc+c2)+(a2﹣2ca+c2)=(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2<0,∴这与(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2≥0矛盾,故假设不成立,∴x,y,z中至少有一个大于零24.已知:一条线段AB,M为AB的中点.求证:线段AB只有一个中点M.证明:假设线段AB有两个中点M、N,不妨设M在N的左边,则AM<AN,又因为AM=AB=AN=AB,这与AM<AN矛盾,所以线段AB只有一个中点M25.证明:假设CD、BE可以互相平分.则连接DE.则四边形BCED是平行四边形.∴BD∥CE与△ABC相矛盾所以:CD、BE不可能互相平分26.解:不能.理由:假设存在7个整数a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7排则a1+a2+a3=29,a2+a3+a4=29,a3+a4+a5=29,a4+a5+a6=29,a5+a6+a7=29,a6+a7+a1=29,a7+a1+a2=29.将上述7式相加,得3×(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)=29×7.所以,与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数27.解:假设所有相邻的三个数,它们的和都小于33,则它们的和小于等于32.∴这21个数的和的最大值小于等于:32×21÷3=224,但是实际上,1+2+3+…+21=(1+21)×21÷2=231>224,所以假设不成立,则命题得证,∴将自然数1,2,3…21这21个数,任意地放在一个圆周上,其中一定有相邻的三个数,它们的和大于等于3328.证明:用反证法.如果a,b不都能被3整除,那么有如下两种情况:(1)a,b两数中恰有一个能被3整除,不妨设3|a,3不整除b.令a=3m,b=3n±1(m,n都是整数),于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2+3n2±2n)+1,不是3的倍数,矛盾;(2)a,b两数都不能被3整除.令a=3m±1,b=3n±1,则a2+b2=(3m±1)2+(3n±1)2,=9m2±6m+1+9n2±6n+1=3(3m2+3n2±2m±2n)+2,不能被3整除,矛盾;同理分别设a=3m±2,b=3n±1或a=3m,b=3n±2,或a=3m±2,b=3n±2,代入a2+b2会得到相同的结论.由此可知,a,b都是3的倍数29.证明:因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补,因为当相邻的内角是钝角时,这个外角才是锐角,又因为三角形中最多只有一个内角是钝角,所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角30.证明:能.(1)如图a,若四点A,B,C,D构成凸四边形.则必有一个内角≤90°.不妨设为∠A.这是因为,假设四个内角都大于90°,则360°=∠A+∠B+∠C+∠D>4×90°=360°.矛盾.则∠BAC+∠CAD≤90°.则∠BAC与∠CAD 中必有一个≤×90°=45°.故结论成立.(2)如图b.若四点A,B,C,D构成四边形.则△ABC 中必有一个内角≤×180°=60°.不防设∠A≤60°.又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°.则∠BAD与∠CAD值中必有一个≤×60°<45°.故结论成立。
数学反证法经典例题
数学反证法经典例题一、题目:假设“所有整数都是偶数”成立,则下列结论正确的是?A. 1是奇数B. 2是奇数C. 3是偶数D. 存在奇数(答案)C(注:在假设下,所有整数包括奇数也应被视为偶数,但此假设本身是错误的,此题考察反证法思维)二、题目:若声称“所有质数都是大于2的偶数”,则根据这一错误假设,下列哪个数不应被视为质数?A. 2B. 3C. 5D. 7(答案)B(注:在假设下,只有大于2的偶数被视为质数,但实际上3是质数且为奇数,此题同样考察反证法及质数定义)三、题目:假设“所有三角形的内角和不等于180度”,则以下哪个三角形的内角和在此假设下不可能成立?A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形(答案)D(注:根据几何学基本定理,任意三角形的内角和总是180度,此假设错误,用于考察反证法)四、题目:若有人认为“所有正整数的倒数都小于1”,则下列哪个数的倒数不符合这一错误假设?A. 1B. 2C. 3D. 4(答案)A(注:1的倒数是1,不小于1,此题考察反证法及对倒数概念的理解)五、题目:假设“所有平行线都会相交”,则根据这一错误假设,在平面几何中不可能存在的是?A. 两条平行线B. 两条相交线C. 一条直线和一个点D. 一个三角形(答案)A(注:平行线定义为不相交的直线,此假设与平行线定义相悖,考察反证法及平行线概念)六、题目:若声称“所有实数的平方都是正数”,则下列哪个数的平方不符合这一错误假设?A. 1B. -1C. 0.5D. -0.5(答案)B和D(注:负数和0的平方不是正数,但此题为单选题形式,更严谨的答案是指出存在多个不符合,若必须单选,可选B或D中的任意一个作为代表,此题考察反证法及实数平方性质)七、题目:假设“所有自然数的因数都只有1和它本身”,则根据这一错误假设,下列哪个数不符合这一条件?A. 1B. 2C. 3D. 4(答案)D(注:4除了1和4本身外,还有2作为因数,此假设实际上描述了质数的性质,但4不是质数,考察反证法及质数定义)八、题目:若有人认为“所有圆的周长与其直径的比值都不等于π”,则以下哪个圆的性质在此假设下不成立?A. 圆是闭合曲线B. 圆的对称性C. 圆的面积公式D. 圆的周长与直径之比是常数(答案)D(注:根据圆的定义,其周长与直径之比是π,此假设错误,考察反证法及对圆的基本性质的理解)。
高中反证法练习题及讲解
高中反证法练习题及讲解### 高中数学反证法练习题及讲解#### 练习题一:不等式的证明题目:证明对于任意正整数 \( n \),有 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \geq n^2 \)。
解答:假设存在某个正整数 \( n \),使得 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 < n^2 \)。
考虑 \( n \) 的最小值,即 \( n = 1 \),显然 \( 1^2 = 1 \),不等式成立。
现在考虑 \( n > 1 \) 的情况,我们有:\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 + n^2 < n^2 \]将 \( n^2 \) 移项,得到:\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 < 0 \]但是,由于每一项都是非负的,它们的和不可能小于零。
这与我们的假设矛盾,因此原命题成立。
#### 练习题二:几何命题的证明题目:证明在直角三角形中,斜边的中点到三个顶点的距离相等。
解答:假设在直角三角形 \( ABC \) 中,斜边 \( AC \) 的中点为 \( M \),且 \( M \) 到顶点 \( A \)、\( B \) 和 \( C \) 的距离不相等。
不失一般性,设 \( MA < MB \)。
由于 \( M \) 是斜边的中点,我们有 \( MC = MA \)。
考虑直角三角形 \( ABM \),由于 \( MA < MB \),根据勾股定理,我们有 \( AM^2 + BM^2 = AB^2 \),这与 \( MA < MB \) 矛盾。
因此,我们的假设不成立,原命题成立。
#### 练习题三:数列的性质题目:证明对于任意实数 \( a \) 和 \( b \),如果 \( a < b \),则 \( a^2 < b^2 \)。
《反证法》练习题
A 9.用反证法证明:“一个三角形中至多有一个钝角”时,应假设( ) A.一个三角形中至少有两个钝角 B.一个三角形中至多有两个钝角 C.一个三角形中至少有一个钝角 D.一个三角形中没有钝角
10.试证明命题“两直线相交有且只有一个交点”.并将下列过程补充完 整:
已知直线a,b,求证:直线a,b相交时只有一个交点P. 证明:假设a,b相交时___不__止__一__个__交__点__P___, 不妨设其他交点中有一个为P′,则点P和点P′既在直线a上又在直线b上,那 么经过P和P′的直线__________,这与___________________相矛盾,因此假 设不成立,所以两条直线相就交有只两有条一个交点.两点确定一条直线
7.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那 么这两条直线平行.
已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°.
求证:假设l1__不__平__行___l2,即l1与l2相交于一点P,
则∠1+∠2+∠P=____,所以∠1+∠2____180°, 这与______________1_8_0_°____矛盾,故假设<不成立,所以____.
11.试用举反例的方法说明下列命题是假命题. 举例:如果ab<0,那么a+b<0. 反例:设a=4,b=-3,ab=4×(-3)=-12<0,而a+b=4+(-3)=1>0. 所以,这个命题是假命题. (1)如果a+b>0,那么ab>0; (2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数; (3)两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等,则这两个三角形全等.
第四章 平行四边形
4.6 反证法希伯索斯 发现了无理数 2,导致了第一次数学危机, 2是无理数的证明如下:
假设 2是有理数,那么它可以表示成qp(p 与 q 是互质的两个正整数).
反证法训练题
反证法训练题1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( ) A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( ) A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c都是偶数D.a、b、c中至少有两个偶数3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是( ) A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60° C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60°4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a、b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数5.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是( )A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.12.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是________________.1、“a<b”的反面应是() A.a≠b B.a>b C.a=b D.a=b或a>b2、用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设()A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交3、用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等”时,应假设______ .4、用反证法证明“若│a│<2,则a2<4”时,应假设__________.5、请说出下列结论的反面: (1)d是正数; (2)a≥0; (3)a<5.6、如下左图,直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.证明:假设AB,CD 相交于两个交点O与O′,那么过O,O′两点就有_____条直线,这与“过两点_______”矛盾,所以假设不成立,则_____7、完成下列证明.如右图,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角.证明:假设结论不成立,则∠B是______或______.当∠B是____时,则_________,这与________矛盾;当∠B是____时,则_________,这与________矛盾.综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.8、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,•应先假设这个三角形中() A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60° C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°9、若用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应假设_______10、求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°第一步应假设________。
高二数学反证法试题
高二数学反证法试题1.用反证法证明:“若a,b两数之积为0,则a,b至少有一个为0”,应假设( )A.a,b没有一个为0B.a,b只有一个为0C.a,b至多有一个为0D.a,b两个都为0【答案】A【解析】解:因为用反证法证明就是对结论的否定,因此“若a,b两数之积为0,则a,b至少有一个为0”,应假设a,b没有一个为0,选A2.用反证法证明命题时,对结论:“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为()A.都是奇数B.都是偶数C.中至少有两个偶数D.中至少有两个偶数或都是奇数【答案】A【解析】解:因为用反证法证明命题时,对结论:“自然数a,b,c中至少有一个是偶数”正确的反设就是a,b,c都是奇数,选A3.用反证法证明:如果,那么.【答案】见解析。
【解析】本试题主要是考查了运用反证法思想解决正难则反的命题的云集用。
根据已知条件,如果,那么.,那么利用等价命题可知为假设,则,然后证明。
假设,则.容易看出,下面证明:要证:,只需证:,只需证:上式显然成立,故有。
综上,。
而这与已知条件相矛盾,因此假设不成立,也即原命题成立。
4.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】解:因为用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,假设就是对结论否定,因此为三个内角都大于60°,选B5.设实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于________.【解析】解:因为实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于,假设都小于,那么相加起来就小于1,与题意相互矛盾。
6.用反证法证明命题"如果a>b,那么a3>b3"时,下列假设正确的是A.B.C.D.【答案】B【解析】解:因为反证法证明命题时,就是对结论加以否定即可。
初二数学反证法例题
1.下列哪个命题适合用反证法证明?A.两直线平行,同位角相等。
B.若a=b,则a2=b2。
C.三角形中至少有一个角不大于60°。
(答案)D.全等三角形的对应边相等。
2.使用反证法证明“√2是无理数”时,应先假设什么?A.√2是有理数。
(答案)B.√2是无理数。
C.√2是整数。
D.√2不是整数。
3.下列哪个步骤不是反证法的一般步骤?A.假设命题的结论不成立。
B.从假设出发,经过推理得出矛盾。
C.肯定假设正确,从而肯定原命题成立。
(答案)D.得出原命题成立的结论。
4.用反证法证明“三角形的内角和为180°”时,应假设什么?A.三角形的内角和不为180°。
(答案)B.三角形的内角和为180°。
C.三角形的外角和为360°。
D.三角形的内角和大于180°。
5.下列哪个命题不能用反证法证明?A.相邻的两个角不互补。
B.至少有一个角大于或等于60°的三角形存在。
(答案)C.两个连续整数的乘积不是完全平方数。
D.在三角形中,至少有一个角不大于60°。
6.使用反证法证明命题时,如果推出了与哪个条件矛盾,则说明假设错误?A.已知条件B.命题的结论C.已知条件、定义、定理或公理等(答案)D.假设的条件7.下列哪个选项不是反证法中的“归谬”步骤?A.导出与假设相矛盾的结论。
B.导出与已知条件相矛盾的结论。
(答案)C.导出与定义、定理或公理等相矛盾的结论。
D.导出与临时假设相矛盾的结论。
8.用反证法证明“正方形的对角线不相等”是错误的命题时,应先假设什么?A.正方形的对角线相等。
(答案)B.正方形的对角线不相等。
C.正方形的四条边相等。
D.正方形的对角线互相垂直。
9.下列哪个命题适合用反证法证明其不存在性?A.存在一个三角形,其内角和为181°。
(答案)B.所有三角形的内角和都为180°。
C.三角形的外角和为360°。
高中数学反证法综合测试题(含答案)
高中数学反证法综合测试题(含答案) 选修2-2 2.2.2 反证法一、选择题1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是() A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解[答案] C[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C.a、b、c都是偶数D.a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a,b,c三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇数;②有两个奇数,一个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数页 1 第或至少有两个偶数”.故应选B.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,反设正确的是()A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于60[答案] B[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”.故应选B.4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c =0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a、b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为a,b,c都不是偶数.5.命题“△ABC中,若B,则ab”的结论的否定应该是() A.a页 2 第B.abC.a=bD.ab[答案] B[解析] “ab”的否定应为“a=b或ab”,即ab.故应选B. 6.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.7.设a,b,c(-,0),则三数a+1b,c+1a,b+1c中() A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2[答案] C[解析] a+1b+c+1a+b+1c页 3 第=a+1a+b+1b+c+1c∵a,b,c(-,0),a+1a=--a+-1a-2b+1b=--b+-1b-2c+1c=--c+-1c-2a+1b+c+1a+b+1c-6三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2,故应选C.8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则()A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析] 对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m则有l∥m,与l、m异面矛盾;对于C,过点P与l、m都相交的直线不一定存在,反例如图(l∥);对于D,过点P与l、m都异面的直线不唯一.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是页 4 第()A.甲B.乙C.丙D.丁[答案] C[解析] 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选C. 10.已知x10,x11且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…),试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1,或者对任意正整数n都满足xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为()A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1B.存在正整数n,使xn=xn+1C.存在正整数n,使xnxn+1且xnxn-1D.存在正整数n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)0[答案] D[解析] 命题的结论是“对任意正整数n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“存在正整数n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选D.页 5 第二、填空题11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”.12.用反证法证明命题“a,bN,ab可被5整除,那么a,b 中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是________________.[答案] a,b都不能被5整除[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”.13.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①A+B+C=90+90+180,这与三角形内角和为180相矛盾,则A=B=90不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设A,B,C中有两个角是直角,不妨设A=B=90.正确顺序的序号排列为____________.[答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②. 14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下:假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn,令p 页 6 第=p1p2…pn+1.显然,p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数,要么含有______________的质因数.这表明,除质数p1、p2、…、pn之外,还有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个.[答案] 质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外[解析] 由反证法的步骤可得.三、解答题15.已知:a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证:a0,b0,c0.[证明] 用反证法:假设a,b,c不都是正数,由abc0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,不妨设a0,b0,c0,则由a+b+c0,可得c-(a+b),又a+b0,c(a+b)-(a+b)(a+b)ab+c(a+b)-(a+b)(a+b)+ab即ab+bc+ca-a2-ab-b2∵a20,ab0,b20,-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)0,即ab +bc+ca0,这与已知ab+bc+ca0矛盾,所以假设不成立.因此a0,b0,c0成立.页 7 第16.已知a,b,c(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于14.[证明] 证法1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数,1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2(1-a)b>14=12,同理(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12.三式相加,得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32,即32>32,矛盾.所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.证法2:假设三个式子同时大于14,即(1-a)b14,(1-b)c14,(1-c)a14,三式相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a143①因为01,所以0a(1-a)1-a+a22=14.同理,0b(1-b)14,0c(1-c)14.所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c143.②因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.17.已知函数f(x)是(-,+)上的增函数,a,bR.(1)若a+b0,求证:f(a)+f(b)f(-a)+f(-b);(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.[解析] (1)证明:∵a+b0,a-b.由已知f(x)的单调性得f(a)f(-b).页 8 第又a+bb-af(b)f(-a).两式相加即得:f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)逆命题:f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)a+b0.下面用反证法证之.假设a+b0,那么:a+ba-bf(a)f(-b)a+bb-af(b)f(-a)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).这与已知矛盾,故只有a+b0.逆命题得证.18.(2019湖北理,20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn =1423n-1.求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rt)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为14,公比为23的等比数列,于是有btbr,则只可能有2bs=br+bt成立.21423s-1=1423r-1+1423t-1.两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=22s-r3t-s,由于rt,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.页 9 第。
反证法练习题
反证法练习题证明题1.求证:两组对边的和相等的四边形外切于一圆.2.已知△ABC与△A′BC有公共边BC,且A′B+A′C>AB+AC.求证点A′在△ABC 的外部.3.求证:相交两圆的两个交点不能同在连心线的同侧.4.用反证法证明:直角三角形斜边上的中点到三顶点的距离相等.5.已知△ABC中,AB>AC,∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点.求证:AO与BC不垂直.6.在同圆中,如果两条弦的弦心距不等,那么这两条弦也不等.7.求证:两条直线相交,只有一个交点.8.求证:一直线的垂线和非垂线一定相交.9.在四边形ABCD中,已知AB≠CD,求证AC,BD必不能互相平分.10.已知直线l1∥直线l2,直线m1∥直线 m2,且l1,m1相交于点P.求证l2与m2必相交.11.求证:若四边形的一组对边的中点连线等于另一组对边的和的一半,则另一组对边必互相平行.12.已知△ABC中,∠ACB=90°,以AB为直径作⊙O.求证C点必在⊙O上.13.已知△ABC与△A′BC有公共边BC,且∠BA′C<∠BAC.求证点A′在△ABC的外部.14.求证:梯形必不是中心对称图形.15.已知如图7-399,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部的一点,且∠APB≠∠APC.求证PB≠PC.练习题提示证明题1.提示:设四边形ABCD中AB+CD=BC+DA.假设它不外切于圆,可作⊙O与AB,BC,CD 相切,则⊙O必不与DA相切.作D′A与⊙O相切并与射线CD相交于D′,则AB+CD′=BC+D′A.与已知条件左右各相减,得DD′=|DA-D′A|,但在△ADD′中这不可能;所以四边形ABCD外切于圆.2.提示:假设A′在△ABC内部,由练习题(已知:P为△ABC内任意一点,连接PB,PC.求证:BC<PB+PC<AB+AC)可知A′B+A′C<AB+AC,这与已知矛盾;所以A′不在△ABC 内部.设A′在边AB或AC上,显然有A′B+A′C<AB+AC,这也与已知矛盾.所以点A′在△ABC的外部.3.提示:设⊙O与⊙O′相交于点A,B.假设A,B在连心线OO′同侧.由于∠OO′B=∠OO′A,∠O′OB=∠O′OA,显然B与A重合,即⊙O与⊙O′相交于一点,这与已知矛盾;所以A,B不能同在连心线的同侧.4.提示:设直角△ABC的斜边AB的中点为D.假设AD=BD<CD,设法证出∠C为锐角,这与已知矛盾.假设AD=BD>CD,设法证出∠C为钝角,这也与已知矛盾.所以只有AD=BD=CD.5.提示:假设AO⊥BC.由于O是∠B、∠C的平分线的交点,所以AO是∠A的平分线.这样就有AB=AC,这与已知矛盾;所以AO与BC不垂直.6.提示:设AB,CD是⊙O的两条弦,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,且OE≠OF.假设AB=CD,则OE=OF,这与已知OE≠OF矛盾.所以假设不成立.所以AB≠CD.7.提示:设直线AB,CD相交于M.假设直线AB,CD另有一个交点N,这说明经过M,N两点有两条直线AB和CD,这与公理经过两点有且只有一条直线矛盾.故假设不成立.所以AB,CD只有一个交点.8.提示:设直线a⊥直线l,直线b不垂直于l.假设a和b不相交,则a∥b,从而b⊥l,但这与已知矛盾;所以a和b相交.9.提示:假设AC和BD互相平分,则可推出AB=CD,但这与已知矛盾;所以AC和BD 不能互相平分.10.提示:假设l2与m2不相交,则l2∥m2.因为l1∥l2.所以l1∥m2.因为m1∥m2,所以l1∥m1.这与已知l1与m1相交于点P矛盾.所以假设不成立.所以l2与m2必相交.11.提示:设M和N分别是四边形ABCD的边AB和CD的中点,并而MP+PN=MN.但假定AD不平行于BC,P不会在MN上,所以上面这个等式不成立;从而AD∥BC.12.提示:假设点C不在⊙O的圆周上,则点C在⊙O的内部或外部.(1)若C在⊙O内部,延长AC交⊙O于D,连接BD,则∠D=90°.因为∠ACB是△CDB 的外角,所以∠ACB>∠D.所以∠ACB>90°.这与已知∠ACB=90°矛盾.(2)若C在⊙O外部,设AC交⊙O于E,连接BE,则∠AEB=90°.因为∠AEB是△CEB 的外角,所以∠AEB>∠ACB,就有∠ACB<90°.这与已知∠ACB=90°矛盾.综合(1),(2)可知假设不成立.所以C点必在⊙O上.13.提示:假设A′在△ABC内部,由几何一第三章§8第5题可知∠BA′C>∠BAC,这与已知矛盾;所以A′不在△ABC内部.设A′在边AB或AC上,显然有∠BA′C>∠BAC,这也与已知矛盾.所以点A′在△ABC的外部.14.提示:设在梯形ABCD中,AD∥BC,AB不平行于CD.假设它是中心对称图形,O为对称中心.作A和B关于O的对称点A′和B′.则线段A′B′是边AB的对称图形.A′B′或位于BC上,或CD上,或AD上.但A′B′平行于AB,所以或BC或CD或AD平行于AB,这与已知矛盾;所以梯形ABCD不是中心对称图形.15.提示:假设PB=PC,则∠PBC=∠PCB.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABP=∠ACP.因为AB=AC,PB=PC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP.所以∠APB=∠APC.这与已知∠APB≠APC矛盾.所以假设不成立,就有PB≠PC.。
反证法练习题
2.2.2反证法双基达标(限时20分钟)1.实数a,b,c不全为0等价于().A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0解析不全为0即至少有一个不为0,故选D.答案D(2.下列命题错误的是().A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间[a,b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D.设a、b∈Z,若a、b中至少有一个为奇数,则a+b是奇数解析a+b为奇数⇔a、b中有一个为奇数,另一个为偶数,故D错误.答案D3.设x,y,z都是正实数,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,则a,b,c三个数().,A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2解析若a,b,c都小于2,则a+b+c<6①,而a+b+c=x+1x+y+1y+z+1z≥6②,显然①,②矛盾,所以C正确.答案C4.命题“△ABC中,若A>B,则a>b”的结论的否定应该是________.答案a≤b5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________.答案至少有两个内角是直角》6.设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点,求证:AC 与平面SOB不垂直.证明假设AC⊥平面SOB,如图,∵直线SO在平面SOB内,∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾,所以假设不成立,即AC与平面SOB不垂直.综合提高限时25分钟7.已知α∩β=l,a⊂α,b⊂β,若a,b为异面直线,则~().A.a,b都与l相交B.a,b中至少有一条与l相交C.a,b中至多有一条与l相交D.a,b都不与l相交解析逐一从假设选项成立入手分析,易得B是正确选项,故选B.答案B8.以下各数不能构成等差数列的是().A.3,4,5 ,3,5)C.3,6,9 ,2,2解析假设2,3,5成等差数列,则23=2+5,即12=7+210,此等式不成立,故2,3,5不成等差数列.答案B9.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”.答案存在一个三角形,其外角最多有一个钝角10.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a、b为实数)”,其反设为________.解析“a,b全为0”即是“a=0且b=0”,因此它的反设为“a≠0或b≠0”.答案a,b不全为011.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.—证明设f(x)=0有一个整数根k,则ak2+bk=-c.①又∵f(0)=c,f(1)=a+b+c均为奇数,∴a+b为偶数,当k为偶数时,显然与①式矛盾;当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)为偶数,也与①式矛盾,故假设不成立,所以方程f(x)=0无整数根.12.(创新拓展)已知函数f(x)=x22x-2,如果数列{a n}满足a1=4,a n+1=f(a n),求证:当n≥2时,恒有a n<3成立.证明法一(直接证法)由a n+1=f(a n)得a n+1=a2n2a n-2,∴1a n+1=-2a2n+2a n=-2⎝⎛⎭⎪⎫1a n-122+12≤12,∴a n+1<0或a n+1≥2;`(1)若a n+1<0,则a n+1<0<3,∴结论“当n≥2时,恒有a n<3”成立;(2)若a n+1≥2,则当n≥2时,有a n+1-a n=a2n2a n-2-a n=-a2n+2a n2a n-1=-a n a n-22a n-1≤0,∴a n+1≤a n,即数列{a n}在n≥2时单调递减;由a2=a212a1-2=168-2=83<3,可知a n≤a2<3,在n≥2时成立.综上,由(1)、(2)知:当n≥2时,恒有a n<3成立.法二(用反证法)假设a n≥3(n≥2),则由已知得a n+1=f(a n)=a2n2a n-2,∴当n≥2时,a n+1a n=a n2a n-2=12·⎝⎛⎭⎪⎫1+1a n-1≤12⎝⎛⎭⎪⎫1+12=34<1,(∵a n-1≥3-1),又易证a n>0,∴当n≥2时,a n+1<a n,∴当n>2时,a n<a n-1<…<a2;而当n=2时,a2=a212a1-2=168-2=83<3,∴当n≥2时,a n<3;这与假设矛盾,故假设不成立,∴当n≥2时,恒有a n<3成立.。
新版-反证法-通关25题(含答案)
反证法通关25题(含答案)1. 在四边形的4个内角中,钝角的个数最多为( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60∘”先应假设这个三角形中( )A. 有一个内角小于60∘B. 每个内角都小于60∘C. 有一个内角大于60∘D. 每个内角都大于60∘3. 用反证法证明:"直角三角形的两个锐角互余"时,应先假设.4. 若a∥b,b∥c,证明a∥c.用反证法证明的第一步是.5. n(n≥3)边形的n个内角中,锐角的个数最多有个.6. 用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角.7. 已知:如图所示,直线l1,l2,l3在同一平面内,l1∥l2且l3与l1交于点P.求证:l3与l2相交.8. 任何三角形都有一个内切圆,任何四边形是否一定有一个内切圆?请举例说明.9. 举反例说明命题“面积相等的两个三角形周长也相等”是假命题.10. 举反例说明命题“对于所有的正整数n,代数式n2−3n+7的值是质数”是假命题.11. 当n=1,2,3,4,5时,代数式n2−n+11的值是质数吗?你能肯定对于所有的正整数n,代数式n2−n+11的值都是质数吗?再举些例子试试看.12. 阅读下列文字,回答问题.题目:在Rt△ABC中,∠C=90∘,若∠A≠45∘,则AC≠BC.证明:假设AC=BC,因为∠A≠45∘,∠C=90∘,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.13. 用反证法证明:一个三角形中不能有两个钝角.).14. 已知二次函数的图象的顶点是(−1,2),且过点(0,32(1)求二次函数的表达式,并在图中画出它的图象;(2)求证:对任意实数m,点M(m,−m2)都不在这个二次函数的图象上.15. 已知:在△ABC中,AB=AC,求证:∠B、∠C都是锐角.16. 是否存在正整数a,b,使得等式a3+(a+b)2+b=b3+a+2成立?如果存在,求出a,b的所有值;如果不存在,请说明理由.17. 如图甲所示,∠ABC=90∘,点B在直线l上,过A,C两点作直线l的垂线段,垂足分别为D,E,容易证得△ADB∽△BEC.此图形如横放的大写英文字母“K”,故常称为“K 形图”.又因为图中的三个直角顶点在同一直线上,又称为“一线三垂直”,是学习相似三角形的基本图形之一.请以“K 形图”为模型,解答下列问题:(1)将图甲中“∠ABC=∠ADB=∠BEC=90∘”改为图乙中的“∠ABC=∠ADB=∠BEC=α”,请问△ADB∽△BEC的结论还成立吗?若成立,请证明这个结沦;若不成立,请说明理由.(2)如图丙所示,在等边三角形ABC中,AB=6,将一直角三角板DEF的60∘角顶点E置于边BC上移动(不与点B,C重合),移动过程中,始终满足直角边DE经过点A,斜边EF交AC于点G.①求线段AG长度的最小值.②探究:在点E的移动过程中,两三角形重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出此时BE的长;若不能,请说明理由.18. 能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?如果能填,请填出一个例;如果不能填,请说明理由.19. 一次函数y=(k−2)x+k−3的图象能否不经过第三象限?为什么?20. 小林准备进行如下操作实验;把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗?请说明理由.21. 如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上.22. 已知A(1,0),B(0,−1),C(−1,2),D(2,−1),E(4,2)五个点,抛物线y=a(x−1)2+k(a>0)经过其中的三个点.(1)求证:C,E两点不可能同时在抛物线y=a(x−1)2+k(a>0)上;(2)点A在抛物线y=a(x−1)2+k(a>0)上吗?为什么?(3)求a和k的值.23. 若二次方程x2+2px+2q=0有实根,其中p,q为奇数,证明:此方程的两个根都是无理数.<b+ 24. 已知a>b>c,a+b+c=1,a2+b2+c2=3.求证:−23 c<1.225. k,a,b为正整数,k被a2,b2整除所得的商分别为m,m+116.(1)若a,b互质,证明a2−b2与a2,b2都互质;(2)当a,b互质时,求k的值;(3)若a,b的最大公约数为5,求k的值.答案1. C2. B3. 两个锐角之和不等于90∘4. 假设a与c不平行5. 36. 假设等腰三角形的底角不是锐角,则大于或等于90∘.根据等腰三角形的两个底角相等,则两个底角的和大于或等于180∘,则该三角形的三个内角的和一定大于180∘,这与三角形的内角和定理相矛盾,故假设不成立.所以等腰三角形的底角是锐角.7. 假设l3与l2不相交,那么l3∥l2.因为已知l1∥l2,l3与l1交于点P,这就是说过直线l2外一点P有两条直线都和l2平行,这与“经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾,这说明假设是不对的,故l3与l2相交.8. 四边形不一定有内切圆,如长为4,宽为2的矩形没有内切圆.9. 如图,BC=EF=2,AB=DG=1,△ABC与△DEF面积相等,但周长不相等.10. 当n=6时,n2−3n+7的值是25,不是质数.11. 当n=1,2,3,4,5时,n2−n+11的值分别是11,13,17,23,31,都是质数,而当n=11时,n2−n+11的值为121,不是质数.∴对于所有正整数n,代数式n2−n+11的值不都是质数.12. 有错误.改正:假设AC=BC,则∠A=∠B.又∠C=90∘,所以∠B=∠A=45∘,这与∠A≠45∘矛盾,所以AC=BC不成立,所以AC≠BC.13. 假设△ABC中有两个钝角.不妨设∠A>90∘,∠B>90∘,于是∠A+∠B>180∘,所以∠A+∠B+∠C>180∘.这与三角形内角和定理相矛盾.所以一个三角形中不能有两个钝角.14. (1)设此二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2.)在它的图象上,又点(0,32=a+2 .可得32,解得a=−12(x+1)2+2.∴y=−12(x+1)2+2的图象如图.抛物线y=−12(m+1)2+2.(2)若点M在此二次函数的图象上,则−m2=−12∴m2−2m+3=0.方程的判别式4−12=−8<0,该方程无解.所以原结论成立.15. 证明:假设∠B、∠C不都是锐角.∵AB=AC,∴∠B=∠C,则∠B、∠C为直角或钝角.∴∠B+∠C≥90∘+90∘=180∘.∴∠A+∠B+∠C>180∘.这与三角形内角和定理相矛盾,∴假设不成立.∴等腰三角形的底角都是锐角.16. 假设存在正整数a,b使得等式a3+(a+b)2+b=b3+a+2 ⋯⋯①成立,则有(a−b+1)(a2+ab+b2−1)=1−ab. ⋯⋯②当a,b同为1时,式②左边为2,右边为0,则式②不成立.当a,b不同为1时,式②右边为负数.而a2+ab+b2−1>0,若式②成立,首先应使a−b+1<0.此时式②左边的绝对值∣(a−b+1)(a2+ab+b2−1)∣=∣a−b+1∣⋅∣a2+ab+b2−1∣≥a2+ab+b2−1>ab−1=∣1−ab∣=右边.故式②也不成立.综上所述,不存在正整数a,b,使得式①成立.17. (1)结论仍成立.证明如下:根据三角形外角的性质,有∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠A+∠ADB.∵∠ABC=∠ADB=∠BEC=α,∴∠A=∠CBE.又∵∠ADB=∠BEC,∴△ADB∽△BEC.(2)①设BE=x,则CE=6−x.∵∠B=∠AEG=∠C=60∘,∴结合(1)可得△ABE∽△ECG.∴CG BE =CE AB , ∴ CG x =6−x x ,∴ CG =−16(x −3)2+32. ∴ 当 x =3 时,CG 最长为 32,AG 最短为 6−32=92. ②不能.理由如下:∵ ∠AEG =60∘,∴ 若重叠部分是等腰三角形,则也是等边三角形.∴ AE =EG .∴ △ABE ≌△ECG .∴ AB =EC .∴ 点 E 与点 B 重合,与题设矛盾.∴ 重叠部分不能为等腰三角形.18. 不能填.理由如下:设所填的互不相同的 4 个数为 a , b , c , d ;则有 {a 2+c 2=b 2+d 2⋯①a 2+d 2=b 2+c 2⋯②a 2+b 2=c 2+d 2⋯③,①−② 得 c 2−d 2=d 2−c 2,即 c 2=d 2.因为:c ≠d ,只能是 c =−d ④同理可得 c 2=b 2.因为 c ≠b ,只能 c =−b ⑤比较 ④,⑤ 得 b =d ,与已知 b ≠d 矛盾,所以题设要求的填数法不存在.19. 假设一次函数 y =(k −2)x +k −3 的图象不经过第三象限,则 {k −2<0,k −3≥0.而这个不等式组无解,所以假设不成立.即已知函数的图象经过第三象限.20. (1) 设其中一个正方形的边长为 x cm ,则另一个正方形的边长为 (10−x ) cm .由题意得 x 2+(10−x )2=58.解得 x 1=3,x 2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把绳子剪成 12 cm 和 28 cm 的两段.(2) 假设能围成.由(1)得 x 2+(10−x )2=48.化简得 x 2−10x +26=0.因为 b 2−4ac =(−10)2−4×1×26=−4<0,所以此方程没有实数根. 所以小峰的说法是对的.21. 假设点 M 在线段 CD 上,如图所示,延长 AM 到 N ,使 AM =MN ,连接 BN .在 △AMC 和 △NMB 中,{BM =CM,∠AMC =∠BMN,AM =MN,∴△AMC ≌△NMB (SAS ).∴ ∠MAC =∠MNB ,BN =AC .根据 M 在线段 CD 上,则 ∠BAM >∠MAC ,∴ ∠MNB <∠BAM .∴ AB <BN ,即 AB <AC ,与 AB >AC 相矛盾.因而 M 在线段 CD 上是不成立的,所以点 M 不在线段 CD 上.22. (1) ∵ 抛物线 y =a (x −1)2+k 的对称轴为 x =1,而 C (−1,2),E (4,2) 两点纵坐标相等,由抛物线的对称性可知,C ,E 关于直线 x =1 对称,又 ∵C (−1,2) 与对称轴相距 2,E (4,2) 与对称轴相距 3,∴C ,E 两点不可能同时在抛物线上.(2) 假设点 A (1,0) 在抛物线 y =a (x −1)2+k (a >0) 上,则 a (1−1)2+k =0,解得 k =0,∵ 抛物线经过 5 个点中的三个点,将 B (0,−1),C (−1,2),D (2,−1),E (4,2) 代入,得出 a 的值分别为 a =−1,a =12,a =−1,a =29, ∴ 抛物线经过的点是 B ,D ,又 ∵a >0,与 a =−1 矛盾,∴ 假设不成立.∴A 不在抛物线上.(3) 将 D (2,−1),C (−1,2) 两点坐标代入 y =a (x −1)2+k 中,得 {a +k =−1,4a +k =2,解得 {a =1,k =−2,或将 E ,D 两点坐标代入 y =a (x −1)2+k 中,得 {9a +k =2,a +k =−1,解得 {a =38,k =−118, 综上所述,{a =1,k =−2 或 {a =38,k =−118.23. 假设方程两实根 x 1,x 2 不全为无理数.由 x 1+x 2=−2p 知,它们都是有理数.而Δ=(2p )2−4(2q )=4(p 2−2q ).所以 p 2−2q 为完全平方数.设 p 2−2q =n 2,由 p ,q 都是奇数,则 n 是奇数.又 (p +n )(p −n )=2q ,且 p +n ,p −n 都是偶数,于是 (p +n )(p −n ) 能够被 4 整除.而 2q 不能被 4 整除,所以产生矛盾.所以此方程的两个根都是无理数.24. 由已知得 b +c =1−a ,(b +c )2−2bc =3−a 2,从而 bc =a 2−a −1. 因此,以 b ,c 为根的方程为x 2+(a −1)x +a 2−a −1=0.又 b >c ,则有Δ=(a −1)2−4(a 2−a −1)>0.3a 2−2a −5<0.解得 −1<a <53.故 b +c >−23. 同理,−1<b <53,−1<c <53.用反证法证明 a >12. 假设 a ≤12,由 a >b >c ,有 c <b <12. 所以 −1<b <12,−1<c <12.所以 a 2<1,b 2<1,c 2<1.因此 a 2+b 2+c 2<3,与 a 2+b 2+c 2=3 产生矛盾.所以 a ≤12 不成立,即 a >12. 故 b +c <12.综上所述,−23<b +c <12. 25. (1) 设 s 为 a 2−b 2 与 a 2 的最大公约数,则 a 2−b 2=su ,a 2=sv ,u ,v 是正整数,∴a2−(a2−b2)=b2=s(v−u),可见s是b2的约数,∵a,b互质,∴a2,b2互质,可见s=1.即a2−b2与a2互质,同理可证a2−b2与b2互质;(2)由题知:ma2=(m+116)b2,m(a2−b2)=116b2,∴(a2−b2)∣116b2,∵(a2−b2,b2)=(a2,b2)=1,∴(a2−b2)∣116,∴a2−b2是116的约数,116=2×2×29,∵a2−b2=(a−b)(a+b),而a−b和a+b同奇偶性,且a,b互质,∴a2−b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数,∴(a−b)(a+b)=29或(a−b)(a+b)=116,∴a−b=1,a+b=29或a−b=1,a+b=116或a−b=2,a+b= 58或a−b=4,a+b=29,解得只有一组解符合条件,a=15,b=14,∴m(152−142)=116×142,∴m=4×14×14=784,∴k=784×152=176400;(3)设a=5x,b=5y,即x,y的最大公约数为1,则m(a2−b2)=116b2,∴即m(25x2−25y2)=116(5y)2,∴m(x2−y2)=116(y)2,∵x,y互质,则有:m=24×72,∴x=15,y=14,a=75,b=70,m=784,k=784×752=4410000.。
初二数学反证法试题
初二数学反证法试题1.“a<b”的反面应是()A.a≠b B.a>b C.a=b D.a=b或a>b【答案】D【解析】根据反证法的步骤,直接得出即可.“a<b”的反面应是a=b或a>b,故选D.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设()A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于cC.a⊥b D.a与b相交【答案】D【解析】根据反证法的步骤,直接得出即可.∵用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,∴第一步应假设:若a⊥c,b⊥c,则a、b相交.故选D.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.3.用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等”时,应假设___________.【答案】两条边所对的角相等【解析】根据反证法的步骤,直接得出即可.用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等”时,应假设两条边所对的角相等.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.4.用反证法证明“若│a│<2,则a<4”时,应假设__________.【答案】a2≥4【解析】根据反证法的步骤,直接得出即可.用反证法证明“若│a│<2,则a<4”时,应假设a2≥4.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.5.请说出下列结论的反面:(1)d是正数;(2)a≥0;(3)a<5.【答案】(1)d是非正数;(2)a<0;(3)a≥5【解析】根据反证法的步骤,直接得出即可.(1)d是正数的反面是d是非正数;(2)a≥0的反面是a<0;(3)a<5的反面是a≥5.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.6.如图,直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.证明:假设AB,CD相交于两个交点O与O′,那么过O,O′两点就有_____条直线,这与“过两点______”矛盾,所以假设不成立,则________.【答案】两;有且只有一条直线;原命题成立【解析】根据反证法的步骤,即可得到结果.假设AB,CD相交于两个交点O与O′,那么过O,O′两点就有两条直线,这与“过两点有且只有一条直线”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.7.完成下列证明.如图,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角.证明:假设结论不成立,则∠B是______或______.当∠B是____时,则_________,这与________矛盾;当∠B是____时,则_________,这与________矛盾.综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.【答案】直角;钝角;直角;∠A+∠B+∠C>•180°;三角形的内角和等于180°;钝角;∠A+∠B+∠C>180°;•三角形的内角和等于180°【解析】根据反证法的步骤,即可得到结果.假设结论不成立,则∠B是直角或钝角.当∠B是直角时,则∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾;当∠B是钝角时,则∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾.综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.8.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,•应先假设这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°【答案】B【解析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立,据此可以得到答案.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,•应先假设这个三角形中每一个内角都小于60°,故选B.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.9.若用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45 °”时,应假设______________.【答案】每一个角都小于45°【解析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立,据此可以得到答案.若用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45 °”时,应假设每一个角都小于45°.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.10.用反证法证明:是一个无理数.(说明:任何一个有理数均可表示成的形式,且a,b互质)【答案】见解析【解析】根据反证法的步骤,即可得到结果.假设是一个有理数,则存在a,b使=(a,b互质),所以2=,所以b2=2a2.因为2a2为偶数,所以b2为偶数,所以b为偶数.设b=2k(k为整数),则b2=4k2,所以4k2=2a2,所以a2=2k2,所以a为偶数,这与a,b•互相矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【考点】此题主要考查了反证法点评:解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.。
反证法
反证法学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题1.用反证法证明命题“若a ,b∈N,ab 能被3整除,那么a ,b 中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A .a ,b 都能被3整除B .a ,b 都不能被3整除C .b 不能被3整除D .a 不能被3整除2.用反证法证明命题“若()220,a b a b +=∈R ,则a 、b 全为0”,其反设正确的是( )A .a 、b 至少有一个为0B .a 、b 至少有一个不为0C .a 、b 全不为0D .a 、b 中只有一个为03.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有偶数根,那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( )A .假设,,a b c 不都是偶数B .假设,,a b c 至多有两个是偶数C .假设,,a b c 至多有一个是偶数D .假设,,a b c 都不是偶数4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )A .假设至少有一个钝角B .假设至少有两个钝角C .假设没有一个钝角D .假设没有一个钝角或至少有两个钝角5.设a ,b ,c 大于0,a +b +c =3,则3个数:a +b 1,b +c 1,c +a1的值( ) A .都大于2 B .至少有一个不大于2C .都小于2D .至少有一个不小于26.下列命题不适合用反证法证明的是( )A .同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B .两个不相等的角不是对顶角C .平行四边形的对角线互相平分D .已知x ,y∈R,且x +y>2,求证:x ,y 中至少有一个大于17.设x ,y ,z>0,则三个数y x +y z,z x +z y ,x z +x y ( ) A .都大于2 B .至少有一个大于2C .至少有一个不小于2D .至少有一个不大于28.用反证法证明命题“若2sin cos 1sin 1θθ-=,则s i n 0c o s θθ≥≥且”时,下列假设的结论正确的是( )A .sin 0cos 0θθ≥≥或B .sin 0cos 0θθ<<且C .sin 0cos 0θθ<<或D .sin 0cos 0θθ>>且二、填空题9.△ABC 中,若AB =AC ,P 是△ABC 内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP,用反证法证明时的假设为________.10.和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________.11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是________.三、解答题12.用反证法证明7,5,3不可能成等差数列.13,,a b c 中 至少有一个不小于1.14.若函数f(x)在区间[a ,b]上的图象连续,f(a)<0,f(b)>0,且f(x)在[a ,b]上单调递增,求证:f(x)在(a ,b)内有且只有一个零点.参考答案1.B【解析】反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a ,b 中至少有一个能被3整除”的反面是:“a ,b 都不能被3整除”,故应假设a ,b 都不能被3整除.考点:反证法.2.B【解析】原命题的结论为:“a 、b 全为0”,反证法需假设结论的反面,其反面为“a 、b 至少有一个不为0”.考点:反证法的假设环节.3.D【解析】 “,,a b c 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况,其否定应为不存在偶数,即“假设,,a b c 都不是偶数”,故选D.考点:命题的否定.4.B【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”,故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角,故选B .考点:反证法.5.D 【解析】因为6121212111111=⨯+⨯+⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++cc b b a a c c b b a a a c c b b a ,等号成立的条件是1a b c ===,如果三个数都小于2,那么三个数相加不可能大于或等于6,所以至少有一个不小于2,故选D.考点:不等式.6.C【解析】A 中命题条件较少,不易正面证明;B 中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D 中命题是至少性命题,其结论包含两种情况,而反设只有一种情况,适合用反证法证明.考点:反证法证明命题.7.C【解析】假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又y x +y z +z x +z y +x z +x y =(y x +x y )+(y z +z y )+(z x +x z )≥2+2+2=6,当且仅当x =y =z 时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.故选C.考点:反证法证明命题.8.C【解析】若用反证法证明,只需要否定命题的结论,sin 0cos 0θθ≥≥且的否定为sin 0cos 0θθ<<或,故选C.考点:反证法.9.∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP【解析】反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP >∠CA P.考点:反证法的假设环节.10.异面【解析】假设AC 与BD 共面于平面 α,则A 、C 、B 、D 都在平面α内,∴AB ⊂α,CD ⊂α,这与AB 、CD 异面相矛盾,故AC 与BD 异面.考点:反证法证明直线位置关系.11.丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.12.详见解析【解析】证明:假设则=即10=10221≠.考点:反证法.13.详见解析【解析】证明:假设,,a b c 均小于1,即1,1,1a b c <<<,则有3a b c ++<,. 考点:反证法.14.见解析【解析】证明:由于f(x)在[a ,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,即f(a)·f(b)<0, 所以f(x)在(a ,b)内至少存在一个零点,设零点为m ,则f(m)=0,假设f(x)在(a ,b)内还存在另一个零点n ,即f(n)=0,则n≠m.若n>m ,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;若n<m ,则f(n)<f(m),即0<0,矛盾.因此假设不成立,即f(x)在(a ,b)内有且只有一个零点.考点:反证法.。
反证法练习题
反证法精选题26道一.选择题(共18小题)1.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”,应先假设()A.直角三角形的每个锐角都小于45°B.直角三角形有一个锐角大于45°C.直角三角形的每个锐角都大于45°D.直角三角形有一个锐角小于45°2.用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”时应假设()A.三角形中有一个内角小于或等于60°B.三角形中有两个内角小于或等于60°C.三角形中有三个内角小于或等于60°D.三角形中没有一个内角小于或等于60°3.选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°.”时,应先假设()A.∠A>45°,∠B>45°B.∠A≥45°,∠B≥45°C.∠A<45°,∠B<45°D.∠A≤45°,∠B≤45°4.已知:△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤:①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾.②因此假设不成立.∴∠B<90°.③假设在△ABC中,∠B≥90°.④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是()A.③④①②B.③④②①C.①②③④D.④③①②5.要证明命题“若a>b,则a2>b2”是假命题,下列a,b的值不能作为反例的是()A.a=1,b=﹣2B.a=0,b=﹣1C.a=﹣1,b=﹣2D.a=2,b=﹣1 6.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A.a=﹣2B.a=﹣1C.a=1D.a=27.反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.每个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每个内角都大于60°8.用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时,应先假设()A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°9.下列各数中,可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是()A.5B.2C.4D.810.用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”,应先假设这个三角形中()A.至少有两个角是直角B.没有直角C.至少有一个角是直角D.有一个角是钝角,一个角是直角11.用反证法证明,“在△ABC中,∠A、∠B对边是a、b,若∠A>∠B,则a>b.”第一步应假设()A.a<b B.a=b C.a≤b D.a≥b12.用反证法证明:“一个三角形中,至少有一个内角大于或等于60°”.应假设()A.一个三角形中没有一个角大于或等于60°B.一个三角形中至少有一个角小于60°C.一个三角形中三个角都大于等于60°D.一个三角形中有一个角大于等于60°13.用反证法证明:“一个三角形中至多有一个角不小于90°”时,应假设()A.一个三角形中至少有两个角不小于90°B.一个三角形中至多有一个角不小于90°C.一个三角形中至少有一个角不小于90°D.一个三角形中没有一个角不小于90°14.用反证法证明“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”,应先假设这个直角三角形中()A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°15.在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时,假设三角形的最大内角不小于60°不成立,则有三角形的最大内角( )A .小于60°B .等于60°C .大于60°D .大于或等于60°16.已知五个正数的和等于1,用反证法证明:这五个正数中至少有一个大于或等于15,先要假设这五个正数( )A .都大于15B .都小于15C .没有一个小于15D .没有一个大于1517.下列说法正确的个数( )①近似数32.6×102精确到十分位: ②在√2,−(−2)2,√83,﹣|−√2|中,最小的数是√83③如图所示,在数轴上点P 所表示的数为﹣1+√5④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时,首先应假设“这个三角形中有两个钝角”⑤如图②,在△ABC 内一点P 到这三条边的距离相等,则点P 是三个角平分线的交点A .1B .2C .3D .418.用反证法证明“a >0”时,应先假设结论的反面,下列假设正确的是( )A .a <0B .a =0C .a ≠0D .a ≤0二.填空题(共8小题)19.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°“,应假设 .20.用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是 .21.用反证法证明“如果|a |>a ,那么a <0.”是真命题时,第一步应先假设 .22.用反证法证明“在三角形中,至少有一个内角大于或等于60°”时,应先假设 .23.用反证方法证明“在△ABC 中,AB =AC ,则∠B 必为锐角”的第一步是假设 .24.用反证法证明“内错角相等,两直线平行”时,首先要假设 .25.如图,直线AB 、CD 被直线EF 所截,∠1、∠2是同位角,如果∠1≠∠2,那么AB 与CD不平行.用反证法证明这个命题时,应先假设:.26.数学课上,同学提出如下问题:老师说这个证明可以用反证法完成,思路及过程如下:小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.在某些情形下,反证法是很有效的证明方法.如图1,我们想要证明“如果直线AB,CD被直线所截EF,AB∥CD,那么∠EOB=∠EO'D.”如图2,假设∠EOB≠∠EO'D,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠EO'D,可得A'B'∥CD.这样过点O就有两条直线AB,A′B′都平行于直线CD,这与基本事实矛盾,说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的,于是有∠EOB=∠EO'D.请补充上述证明过程中的基本事实:.。
反证法经典专题(带解析)
反证法专题50道18.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程30至少有两个实根”时,要x ax b做的假设是()A.方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B.方程30C.方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D.方程30x ax ba b ,则,a b至少有一个小于0”时,假设应为()19.利用反证法证明“若0A.,a b都小于0B.,a b都不小于0C.,a b至少有一个不小于0D.,a b至多有一个小于020.用反证法证明命题时,对结论:“自然数a,b,c中至少有一个是奇数”正确的假设为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都是奇数C.a,b,c中至少有两个奇数D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数第1页,共17页参考答案:1.A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ,b 中至少有一个能被5整除的否定是a ,b 都不能被5整除,所以假设的内容应该是a ,b 都不能被5整除,故选:A 2.B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”,进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.“至少有一个”的否定是“一个也没有”,故命题“a ,b ∈N+,如果ab 可被5整除,那么a ,b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ,b 都不能被5整除”.故选:B .3.C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义,知在推导过程中,不能把原结论作为条件使用,其他都可以当作条件来使用,所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选:C.4.C【分析】根据反证法基本原理,对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为:,a b 至少有一个能被7整除.故选:C.5.D【分析】根据给定条件,利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”,“那么22a b ”的结论是22a b ,而反证法证明命题时,是假设结论不成立,即结论的反面成立,所以所求假设是22a b .故选:D 6.C答案第2页,共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题,应先假设它的反面成立,即1x 且1y ,故选:C .7.D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明,应先假设结论不成立,本题应假设0x 或0y 故选:D 8.C【分析】根据反证法证明命题的方法,应先假设命题的反面成立,故求出命题的反面即可.【详解】“x ,y 至多有一个大于0”包括“x ,y 都不大于0和有且仅有一个大于0”,故其对立面为“x ,y 都大于0”.故选:C.9.C【分析】反证法中“a ,b ,c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ,b ,c 都不是无理数”,对照选项即可得到答案.【详解】依题意,反证法中“a ,b ,c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ,b ,c 都不是无理数”,即“假设a ,b ,c 都是有理数”.故选:C.10.A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”,反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选:A.11.B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”,假设正确的是:假设,,a b c 都不是偶数.故选:B.12.B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为:若“6x y ,则3x 且4y ”成立.45.0x 且0y 【分析】根据反证法思想,写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想:否定原结论,推出矛盾,所以题设命题的证明,应假设0x 且0y .故答案为:0x 且0y 46.02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题:“已知a R ,若|1|1a ,则a<0或2a ”,用反证法证明时应假设:若02a .故答案为:02a .47.a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立,即可求解.【详解】解:假设结论的反面成立,即a b 且b c 成立.故答案为:a b 且b c 成立.48.在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为:在一个三角形中至少有两个内角是钝角49.1x 且1y 【分析】根据给定条件,写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ,则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”,其否定为“1x 且1y ”,所以假设的内容应该是:1x 且1y .故答案为:1x 且1y 50.1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知,求证1x 或1y 时,应首先假设1x 且1y .故答案为:1x 且1y 51.a ,b ,c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时,应先假设命题的否定成立,所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时,应先假设命题的否定成立.因为“自然数a,b,c中至多有一个偶数”的否定是:“a,b,c中至少有两个偶数”,所以用反证法证明“自然数a,b,c中至多有一个偶数”时,假设应为“a,b,c中至少有两个偶数”,故答案为:a,b,c中至少有两个偶数.。
反证法
反证法主备:王伟一、选择题1.应用反证法推出矛盾的推导过程中可作为条件使用的是( )①结论的否定,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论.A .①②B .①②④C .①②③D .②③2.如果两个数的和为正数,则这两个数( )A .一个是正数,一个是负数B .两个都是正数C .至少有一个是正数D .两个都是负数3.设x ,y ,z 都是正实数,a =x +1y ,b =y +1z ,c =z +1x,则a ,b ,c 三个数( ) A .至少有一个不大于2B .都小于2C .至少有一个不小于2D .都大于24.用反证法证明命题:“a 、b ∈N ,ab 可被5整除,那么a ,b 中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( )A .a ,b 都能被5整除B .a ,b 都不能被5整除C .a ,b 不都能被5整除D .a 不能被5整除5.否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )A .a 、b 、c 都是奇数B .a 、b 、c 都是偶数C .a 、b 、c 中至少有两个偶数D .a 、b 、c 中或都是奇数或至少有两个偶数6.有以下结论:①已知p 3+q 3=2,求证p +q ≤2,用反证法证明时,可假设p +q ≥2;②已知a 、b ∈R ,|a |+|b |<1,求证方程x 2+ax +b =0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1,即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A .①与②的假设都错误B .①与②的假设都正确C .①的假设正确;②的假设错误D .①的假设错误;②的假设正确二、填空题7.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.8.在△ABC 中,若AB =AC ,P 是△ABC 内一点,∠APB >∠APC ,求证:∠BAP <∠CAP ,用反证法证明时应分:假设________和________两类.9.设实数a 、b 、c 满足a +b +c =1,则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________.三、解答题10.已知三个正数a ,b ,c 成等比数列,但不成等差数列,求证:a ,b ,c 不成等差数列.11.用反证法证明:已知a 、b 均为有理数,且a 和b 都是无理数,求证:a +b 是无理数.12.已知a ,b ,c ∈(0,1),求证(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不可能都大于14.。
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反证法专题训练题
新课标基础训练(每小题5分,共20分)
1.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是________.2.下列命题中,假命题是()
A.平行四边形的对角线互相平分; B.矩形的对角线相等
C.等腰梯形的对角线相等; D.菱形的对角线相等且互相平分
3.•命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_______,这个命题是________命题.(填“真”或“假”)
4.求证:在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.
新课标水平训练(满分32分)
5.(学科内综合)(6分)如图,已知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD,AB=10,BC=3.(1)如果M为AB上一点(如图①,且满足∠DMC=∠A,求AM的长.
(2)如果点M在AB边上移动(点M与A、B不重合),且满足∠DMN=∠A,MN交BC延长线于N(如图②),设AM=x,CN=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.(•写x的取值范围时,不写推理过程)
6.(学科间综合)(10分)如图所示,菱形ABCD的边长为24cm,∠A=60°,质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动,质点Q从点D同时出发
沿线路DC-CB-BA作匀速运动.
(1)求BD的长;
(2)质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s.经过12s后,P、Q分别到达M、•N两点,若按角的大小实行分类,请你确定△AMN是哪
一类三角形,并说明理由.
(3)设题(2)中的质点P,Q分别从M,N同时沿原路返回,质点P的速度不变,质点Q的速度改变为acm/s.经过3s后,P、Q分别到
达E、F两点,若△BEF与题(2)中的△AMN•相似,试求a的值.
7.(应用题)(6分)如图所示是一种
“羊头”形图案,其作法是:从正
方形①开始,以它的一边为斜边,
向外作等腰直角三角形,然后再以
其直角边为边,分别向外作正方形
②和②′,…,依此类推,若正方
形①的边长为64cm,则正方形⑦的
边长为_______cm.
8.(创新情景题)(10分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,•启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图所示,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连结CC′,设AB=a,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.
c
D'
B'
B
A
b
a
C'
D C
新课标拓展训练(满分32分)
9.(创新实践题)(10分)如图所示,B、C、E三点在一条直线上,△ABC•和△DCE均为等边三角形,连结AE、DB.
(1)求证:AE=DB;
(2)如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度,(1)中的结论还成立吗?
10.(自主探究题)(12分)已知:如图所示,在△ABC中,D是AB边上的一点,且BD=BC,BE⊥CD于E,交AC于点F,请再添加一个条件,使四边形DMCF是菱形,•并加以证明.
11.(开放题)(10分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:DE=DF;
(2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.•请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)
B
A
F
E
D C
新课标理念中考题(满分16分)
12.(16分)如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,F、H分别是AB、CD的中点,•FH分别交BD、AC于G、M,BD=6,ED=2,BC=10.
(1)求GM的长;(2)若梯形ABCD是等腰梯形,求证:△BFG≌△CHM.
B
A
H
G M
F
E
D
C
答案:
1.假设三角形的三个外角中,有两个锐角.
2.D
3.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,真.
4.证明:假设在一个三角形中,这两个角所对的边相等,那么根据等边对等角,它们所对的两个角也相等,这与已知条件相矛盾,说明假设不成立,•所以在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.
5.解:(1)在等腰梯形ABCD中,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠B.
又∵∠A=∠DMC,∠1+∠A+∠2=∠2+∠DMC+∠3=180°,∴∠1=∠3.
∴△ADM≌△BMC.
设AM=x,则
3 310
x
x =
-
,
∴x2-10x+9=0,
∴x=1或x=9,经检验都是原分式方程的根.∴AM长为1或9.
(2)同理可证△ADM∽△BMN,可得
3 310
x
y x
=
+-
,
∴y=-1
3
x2+
10
3
x-3(1<x<9).
6.(1)菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°,∴△ABD是等边三角形.
∴BD=24cm.
(2)△AMN是直角三角形,确定理由如下: 12s后,点P走过的路程为4×12=48(cm),∵AB+BD=48(cm),
∴点M与点D重合.
点Q走过的路程为5×12=60(cm).
∵DC+CB+1
2
AB=60(cm),
∴点N是AB的中点.
连结MN,∵AM=MB,AN=BN,
∴MN⊥AB.
∴△AMN是直角三角形.
(3)点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12(cm).
∵1
2
BD=12cm,∴点E是BD的中点.
点Q从N点返回3s走过的路程为3acm.
∵△BEF与题(2)中的Rt△AMN相似,又∵∠EBF=∠A=60°,
①若∠BFE=∠ANM=60°.
a:当点F在BN上时,BF=BN-FN=12-3a.(证法1):∵△BEF∽△AMN,
∴BF BE AN AM
=.
∴12312 1224
a
-
=.
解得a=2.
(证法2):在Rt△BEF中,∠BEF=30°,
∴BF=1
2
BE.∴12-3a=
1
2
×12.
解得a=2.
b:当点F在BC上时,BF=3a-BN=3a-12.(证法1):∵△BEF∽△AMN,
∴BF BE AN AM
=.
∴31212 1224 a-
=.
解得a=6.
(证法2)在Rt△BEF中,∠BEF=30°,
∴BF=1
2
BE.∴3a-12=
1
2
×12.
解得a=6.
②若∠BEF=∠ANM=90°,即点F与点C重合,
此时3a=BN+BC=36.
∴a=12.
综上所述,a=2或6或12.
7.8
8.∵四边形BCC′D′为直角梯形,
∴S梯形BCC‘D’=1
2
(BC+C′D′)·BD′=
2
()
2
a b
+
.
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′,
∴∠BAC=∠B′AC′.
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形BCC‘D’=S△ABC+S△CAC‘+S△D’AC‘=1
2
ab+
1
2
c2+
1
2
ab=
22
2
c ab
+
.
∴
2
()
2
a b
+
=
22
2
c ab
+
.
∴a2+b2=c2.
9.(1)证△BCD≌△ACE即可;(2)如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度,(1)•中
的结论仍成立.
10.添加条件DM∥AC(或ME=EF,DM=DF,DM=CF等均可).
证明:如图所示,在△ABC中,BD=BC,BE⊥CD,则DE=CE.
∵DM∥AC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△DME≌△CFE,
∴DM=CF.
∴四边形DMCF是平行四边形.
又∵BF⊥CD,
∴DMCF是菱形.
11.(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵DB=DC,
∴△DEB≌△DFC.
∴DE=DF.
(2)∠A=90°,四边形AFDE是平行四边形等.(方法很多,如∠B=45°或BC=2AB•或DE⊥DF或F为F为AC中点或DF∥AB等).
12.解:(1)∵F、H为AB、CD的中点,
∴AD∥FH∥BC.
∴△AED∽△CEB.
∴AD ED
CB EB
=,∴
2
104
AD
=.
∴AD=5.
又∵△AED∽△MEC,∴ED AD EG MG
=.
∴25
1MG
=,∴MG=
5
2
(或2.5).
(2)∵等腰梯形ABCD中F、H分别是AB、CD的中点,∴BF=CH,∠BAD=∠CDA,FH∥AD.
∴∠BFG=∠CHM.
∴FG=HM=1
2 AD.
∴△BFG≌△CHM.。