反证法专题训练题

反证法专题训练题

新课标基础训练（每小题5分，共20分）

1．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是________．2．下列命题中，假命题是（）

A．平行四边形的对角线互相平分; B．矩形的对角线相等

C．等腰梯形的对角线相等; D．菱形的对角线相等且互相平分

3．•命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_______，这个命题是________命题．（填“真”或“假”）

4．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．

新课标水平训练（满分32分）

5．（学科内综合）（6分）如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB

（2）如果点M在AB边上移动（点M与A、B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N（如图②），设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（•写x的取值范围时，不写推理过程）

6．（学科间综合）（10分）如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，∠A=60°，质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发

沿线路DC-CB-BA作匀速运动．

（1）求BD的长；

（2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s．经过12s后，P、Q分别到达M、•N两点，若按角的大小实行分类，请你确定△AMN是哪

一类三角形，并说明理由．

（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为acm/s．经过3s后，P、Q分别到

达E、F两点，若△BEF与题（2）中的△AMN•相似，试求a的值．

7．（应用题）（6分）如图所示是一种

“羊头”形图案，其作法是：从正

方形①开始，以它的一边为斜边，

向外作等腰直角三角形，然后再以

其直角边为边，分别向外作正方形

②和②′，…，依此类推，若正方

形①的边长为64cm，则正方形⑦的

边长为_______cm．

8．（创新情景题）（10分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，•启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB=a，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．

c

D'

B'

B

A

b

a

C'

D C

新课标拓展训练（满分32分）

9．（创新实践题）（10分）如图所示，B、C、E三点在一条直线上，△ABC•和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB．

（1）求证：AE=DB；

（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？

10．（自主探究题）（12分）已知：如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=BC，BE⊥CD于E，交AC于点F，请再添加一个条件，使四边形DMCF是菱形，•并加以证明．

11．（开放题）（10分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

（1）求证：DE=DF；

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）

B

A

F

E

D C

新课标理念中考题（满分16分）

12．（16分）如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，F、H分别是AB、CD的中点，•FH分别交BD、AC于G、M，BD=6，ED=2，BC=10．

（1）求GM的长；（2）若梯形ABCD是等腰梯形，求证：△BFG≌△CHM．

B

A

H

G M

F

E

D

C

答案：

1．假设三角形的三个外角中，有两个锐角．

2．D

3．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真．

4．证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，•所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．

5．解：（1）在等腰梯形ABCD中，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠B．

又∵∠A=∠DMC，∠1+∠A+∠2=∠2+∠DMC+∠3=180°，∴∠1=∠3．

∴△ADM≌△BMC．

设AM=x，则

3 310

x

x =

-

，

∴x2-10x+9=0，

∴x=1或x=9，经检验都是原分式方程的根．∴AM长为1或9．

（2）同理可证△ADM∽△BMN，可得

3 310

x

y x

=

+-

，

∴y=-1

3

x2+

10

3

x-3（1

6．（1）菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．

∴BD=24cm．

（2）△AMN是直角三角形，确定理由如下： 12s后，点P走过的路程为4×12=48（cm），∵AB+BD=48（cm），

∴点M与点D重合．

点Q走过的路程为5×12=60（cm）．

∵DC+CB+1

2

AB=60（cm），

∴点N是AB的中点．

连结MN，∵AM=MB，AN=BN，

∴MN⊥AB．

∴△AMN是直角三角形．

（3）点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12（cm）．

∵1

2

BD=12cm，∴点E是BD的中点．

点Q从N点返回3s走过的路程为3acm．

∵△BEF与题（2）中的Rt△AMN相似，又∵∠EBF=∠A=60°，

①若∠BFE=∠ANM=60°．

a：当点F在BN上时，BF=BN-FN=12-3a．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，