电路方程的矩阵形式

第十五章电路方程的矩阵形式重点：1. 关联矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式；3. 状态方程。

难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。

§15.1 图的矩阵表示1．有向图的关联矩阵2．电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。

若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。

有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述3．关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。

4．回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。

5．割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。

6．本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。

7．一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。

支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。

设有向图的结点数为n ，支路数为b ，且所有结点与支路均加以编号。

于是，该有向图的关联矩阵为一个阶的矩阵，用表示。

它的每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素定义如下：8．，表示支路k 与结点j 关联并且它的方向背离结点;9．，表示支路k 与结点j 关联并且它指向结点；10．，表示支路k 与结点j 无关联。

对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是关联矩阵的特点：图 15.1① 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，的每一列元素之和为零。

② 矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出，即只有 n-1 行是独立的。

如果把的任一行划去，剩下的矩阵用表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵，所以往往略去“降阶”二字），被划去的行对应的结点可以当作参考结点。

例如，若以结点 4 为参考结点，把上式中的第 4 行划去，得若以结点 3 为参考结点，把上式中的第 3 行划去，得矩阵的某些列将只具有一个 +1 或一个－ 1 ，每一个这样的列必对应于与参考结点相关联的一条支路。

注意：给定可以确定，从而画出有向图。

2．用A表示矩阵形式的KCL电路中的 b 个支路电流可以用一个 b 阶列向量表示，即若用矩阵左乘电流列向量，则乘积是一个阶列向量，由矩阵相乘规则可知，它的每一元素即为关联到对应结点上各支路电流的代数和，即因此，有上式是用矩阵表示的KCL的矩阵形式。

例如对图15.1，以结点4 为参考结点，有：上式为n-1 个独立方程。

3．用A表示矩阵形式的KVL电路中 b 个支路电压可以用一个 b 阶列向量表示，即个结点电压可以用一个阶列向量表示，即由于矩阵的每一列，也就是矩阵的每一行，表示每一对应支路与结点的关联情况，所以有例如，对图15.1 有：可见上式表明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压（参考结点的结点电压为零）表示，这正是结点电压法的基本思想。

同时，可以认为该式是用矩阵表示的KVL 的矩阵形式。

小结：①矩阵表示有向图结点与支路的关联性质。

②用表示的KCL 的矩阵形式为③用表示的KVL 的矩阵形式为。

§15.2 支路电压电流的矩阵形式在列矩阵形式电路方程时，必须有一组支路约束方程。

因此需要规定一条支路的结构和内容。

可以采用所谓“复合支路”。

1．复合支路设复合支路如图15.2所示，其中下标k 表示第k 条支路，和分别表示独立电压源和独立电流源，（或）表示阻抗（或导纳），且规定它只可能是单一的电阻、电感或电容，而不能是它们的组合，即图 15.2注意：复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方式，但允许缺少某些元件。

另外，为了写出复合支路的支路方程，还应规定电压和电流的参考方向。

本章中采用的电压和电流的参考方向如图 15.2 所示。

2．用支路阻抗表示的支路方程的矩阵形式复合支路如图15.2 所示应用KCL 和KVL 可以写出用阻抗表示的k 支路电压、电流关系方程：若设：为支路电流列向量；为支路电压列向量；为支路电流源的电流列向量；为支路电压源的电压列向量。

对整个电路，支路方程为即式中Z 称为支路阻抗矩阵，它是一个的对角阵。

当电路中存在耦合电感时，支路阻抗矩阵Z 不再是对角阵，这里不再详述。

3．用支路导纳表示的支路方程的矩阵形式设复合支路如图 15.3 所示。

当电路中无受控电流源（即），电感间无耦合时，对于第k 条支路有对整个电路有式中Y 称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。

图 15.3 当电路中含有受控电流源，电感间无耦合时，设第k 支路中有受控电流源并受第j 支路中无源元件上的电压或电流控制，其中或。

此时，对第k 支路有在 VCCS 情况下，上式中的。

而在 CCCS 的情况下，。

于是有式中即可见此时支路方程在形式上仍与情况 1 时相同，只是矩阵Y 的内容不同而已。

注意此时Y 也不再是对角阵。

§15.3 结点电压电流的矩阵形式1．KCL、KVL 和支路方程的矩阵形式结点电压法以结点电压为电路的独立变量，并用KCL 列出足够的独立方程。

由于描述支路与结点关联性质的是矩阵 A ，因此宜用以 A 表示的KCL 和KVL 推导结点电压方程的矩阵形式。

设结点电压列向量为，KVL 方程为上述KVL 方程表示了与支路电压列向量的关系，它提供了选用作为独立电路变量的可能性。

用矩阵 A 表示的KCL 为（式中i 表示支路电流列向量）作为导出结点电压方程的依据。

对于结点电压方程，宜采用支路导纳表示的矩阵形式的支路方程.即。

2．结点电压方程的矩阵形式为了推导出结点电压方程的矩阵形式，将用 A 表示的KCL 和KVL 以及用支路导纳表示的支路方程重写如下：KCLKVL支路方程把支路方程代入KCL 可得：再把KVL 代入便得上式即结点电压方程的矩阵形式。

由于乘积AY 的行和列数分别为和 b ，乘积的行和列数都是，所以乘积是一个阶方阵。

同理，乘积和都是阶的列向量。

如设，，则式可写为称为结点导纳矩阵，它的元素相当于第三章中结点电压方程等号左边的系数；为由独立电源引起的注入结点的电流列向量，它的元素相当于第三章中结点电压方程等号右边的常数项。

3．结点电压法的一般步骤1）将电路图抽象为有向图；2）形成有向图的关联矩阵 A ；3）形成支路导纳矩阵Y ；4）形成电压源向量和电流源向量；5）用矩阵相乘形成结点电压方程，即§15.4 状态方程1. 网络的状态与状态变量1) 网络状态指能和激励一道唯一的确定网络现时和未来的行为的最少的一组信息量。

2) 状态变量在分析网络(或系统)时在网络内部选一组最少数量的特定变量X，X=[X1,X2……X n]T，只要知道这组量在某一时刻值X(t0), 再知道输入e(t) 就可以确定t0及t0以后任何时刻网络的性状(响应)，称这一组最少数目的特定变量为状态变量。

网络中各独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）在任意瞬间t0的值确定，就可完全确定t3t0以后的完全响应。

如一阶二阶电路，因此可以选择为状态变量。

注意：这里讲的为数最少的网络变量是互相独立的。

因此：1）当一个网络中存在纯电容回路，由KVL 可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。

2）网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压u c由u s决定。

3）当网络中存在纯电感割集，由KCL 可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流为非独立的。

4）网络中与独立电流源串联的电感元件，其i L由i s决定。

以上四种请况中非独立的u c和i L不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。

状态变量数等于C、L 元件总数。

含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网络中C、L 元件总数，下面着重讨论常态网络。

2．状态方程求解状态变量的方程称为状态方程。

每个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。

状态方程的特点：1) 联立的一阶微分方程组；2) 左端为状态变量的一阶导数；3) 右端含状态变量和输入量状态方程的标准形式如下：其中，x 称为状态向量，v 称为输入向量。

在一般情况下，设电路具有n 个状态变量，m 个独立源，上式中的和x 为n 阶向量，A 为方阵，B 为矩阵。

上式有时称为向量微分方程。

3．状态方程的列写（1）直观列写法适用于简单的电路。

要列出包含项的方程，必须对只接有一个电容的结点或割集写出KCL 。

要列出包含项的方程，必须对只包含一个电感的回路列写KVL 。

当列出全部这样的KCL 和KVL 方程后，通常可以整理成标准形式的状态方程。

注意：对于上述KCL 和KVL 方程中出现的非状态变量，只有将它们表示为状态变量后，才能得到状态方程的标准形式。

直观编写法的缺点：1）编写方程不系统，不利于计算机计算。

2）对复杂网络的非状态变量的消除很麻烦。

（2）系统列写法状态方程系统列写法的步骤：1) 每个元件为一支路，线性电路以i L,u c为状态变量。

2）选一棵特有树，它的树支包含了电路中所有电容支路、电压源支路。

而连支包含了电路中所有电流源支路和电感支路。

3）对单电容树支割集列写KCL 方程，对单电感连支回路列写KVL 方程。

然后消去非状态变量（如果有必要），最后整理并写成状态方程的标准形式。