13.1 静电场的保守性
静电场的保守性和环路定理
q i U ( p ) E d l i i p 4 r 0 ip q U(p) i 0r i 4 i
q1
q2
r1 r2
p
q3
ri
r3
qi
当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元 组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电 势的叠加就是总的电势。可写为：
集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。
q
q
2 电势梯度 电势分别为 U和U 的邻近等势面，其电力线 U 与二等势面分别相交于P、Q，两点间的垂直距离 为 PQ n ，又等势面法向指向电势升高的方向。
U U d l P Q E
Q P
E
U
E n E n U n
l 方向，在两个
考 方虑 向任 一
l
P
n
Q
n
n l cos U U n 于是可求出电势在 l 方向的变化率：
U U cos E cos E l n
n l
l
n l
结论：
U沿 n 方向的微商最大。
P
电势差与电势的零点选 取无关。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中， 电势的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称 为伏特（Volt,V），即1V＝1J/C
因此，当已知电势分布时，可用电势差求出 点电荷在电场中移动时电场力所做的功：
二、举例： 例一、点电荷产生的电场中的电势分布 用场强分布和电势的定义直接积分。
电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。
等势面的性质： 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， d l 电场力做功为零，而路径不为零 dl0 E
静电场环路定理
视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r
L
s
V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r
dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr
1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP
u1
u2
q
4 0r1
q
4 0r2
q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos
28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32
qxdx
Edx
xp
大学物理习题参考解答上静电场环路定理_电势能_电势和电势差
02. 如图所示， CDEF 是一矩形，边长分别为 l 和 2l 。在 DC 延长线上 CA l 处的 A 点有点电荷 q ，在 CF 的中点 B 点有点电荷 q ，若使单位正电荷从 C 点沿 CDEF 路径运动到 F 点，则电场
力所作的功等于：
【D】
(A)
q 4ol
5 1； 5l
(B)
q 4ol
三 判断题
09. 静电场中某点电势值的正负取决于电势零点的选取。
【对】
10. 在已知静电场分布的条件下，任意两点 P1 和 P2 之间的电势差决定于 P1 和 P2 两点的位置。【 对 】
11. 正电荷在电势高的地方，电势能也一定高。 12. 电场强度的方向总是指向电势降落最快的方向。
【对】 【对】
1 4 0
4 r12 r1
1 4 0
4 r22 r2
0
——
r1 ' r2 0
XCH
第3页
20XX-3-24
大学物理教程_上_习题集参考解答
r1 r2
—— 外球面带负电
外球面应放掉电荷： Q Q Q Q 4 r22 4 r22
Q
(1
r1 r2
)
4
r22
将 r1 10 cm and r2 20 cm ， 8.85 109C / m2 代入上式得到：
13. 静电场的保守性体现在电场强度的环流等于零。
【对】
四 计算题
14. 如图所示， AB 2L ， OCD 是以 B 为中心 L 为半径的半圆， A 和 B 两处分别有正负电荷 q 和 q ，试问：
1) 把单位正电荷从 O 沿 OCD 移动到 D ，电场力对它作了多少功？
XCH
静电场的保守性(精)
三 静电屏敝
1.外屏敝： 空腔导体屏敝外电场 2.内屏敝： 接地的空腔导体，屏敝内电场 应用：屏敝线
复习： 9-1 预习： 9-2,3,4 作业： 练习二十五
上次课的主要内容 静电感应现象 E表面 表面 E 0 内 导体的静电平衡条件
或： 导体为等势体，导体表面为等势面 电荷分布在表面，内部无净电荷存在
例1.两块无限大的导体平板A、B，面积为 S，间距为d，平行放置，A板带有电量Q， B板不带电，求静电平衡时两板各个表面 上的电荷面密度以及两板间的电势差；
静电平衡：
Q 1 2 S 3 4 0
1 2 3 4 0 2 3 0 高斯定理
电容器 电容
q
q q C U
2.电容的计算
பைடு நூலகம்q
q E C
电容器的电容
1)平行板电容器 2)圆柱形电容器 3)球形电容器
C平
C柱
S
d
2 l R2 ln R1
4 RA RB C球 RB RA
孤立导体：
C孤 4 R
9-4
一.电容器的能量
例2.一半径为 R1的导体小球，带电量为 q , 放在内外半径分别为 R2和 R3的同心导体球 壳内，导体球壳带电量为Ｑ。求： 小球与球壳的电势及电势差
另： 1)若壳接地，则电荷分布？电势、电势差？
2)若已知的不是带电量，而是两球的电势， 结果如何？ 3)若接地后，拆除地线，再将内球接地，则 结果如何？
复习1： 9-2，3，4 复习2： 电学部分 作业： 练习二十六
三 静电屏敝
1.外屏敝： 空腔导体屏敝外电场 2.内屏敝： 接地的空腔导体，屏敝内电场 应用：屏敝线
《大学物理AI》作业 No.07 电势(参考解答)
3.带电量 Q 相同，半径 R 相同的均匀带电球面和非均匀带电球面。其球心处的电势是否相等（以无穷 远为电势零点）？二者球内空间的 E、U 分布是否相同？ 答：均匀带电球面，球心处的电势 U 0
Q 4 0 R
，球内空间 E 处处为零，球内空间电势等于
3
U0
Q 4 0 R
。
非均匀带电球面，球心处的电势： U 0
零电势点
答：（1）不正确。根据电势定义 U P 定，而不是仅由该点的场强决定。
E dr 可知，电势是由场点位置到零电势点间的场强决
P
（2）不正确。由场强与电势的关系 E U 可知，某点的 E 应由该点附近电势分布求得。仅 仅知道某一点的 U 是无法求出 E 的，必须知道 U 的分布才行。 （3）不正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，电场强度处处相等，但是距带电平面垂直距 离不同的地方电势不等。 （4）正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，任取一平面，在该面上 E 值相等，但 U 显然不 一定相等。而在电荷均匀分布的球面的电场中，在与它同心的球面上 E 值相等，且 U 值也相等。因此 E 值相等的曲面上，U 值不一定相等。 （５）正确。U 值相等的曲面是等势面，在等势面上的场强不一定是相等的。这要看某点附近的 电势分布。比如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是一等势面，但是中垂面上各点场强不 相等；但在电荷均匀分布的球面的电场中，等势面上各点的场强大小相等。因此 U 值相等的曲面上， E 值不一定相等。
电场力将+q0 从内球面移到外球面做功 A q0 (U内 U 外 )
1
6.如图所示，电量为 q 的试验电荷，在电量为+Q 的点电荷产生的电场中，沿半径 为 R 的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点，电场力做功为（0），再从 d 点移到无穷远
二、静电场的保守性——环路定理
电势的求解有两种方法：
1.由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
零点
p
E dl 计算P点电势。
2.根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
（1）点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时 的电场的电势，再求代数和得到电势。 公式：U
U 4 r
i i
qi
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
例、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产 生的电场中的电势分布。
q
4 0 r
2
ˆ r
q
r
p E
U p U p U
p
E dl p
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 rp
正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
20
U dU P2 U dn
ˆ n
dl
P3
2
P1 E
1
U dU 定义电势梯度矢量： ˆ n P2 dU 大小： U dn P3 dn 方向： 沿着等势面的正法线方向 dl 2
P1 dU ˆ U 写成矢量式：gradU n E dn i j k 算符 grad x y z
a
E pa q0
势能零点
a
E dl
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该 点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功。
5
对有限带电体，通常规定无穷远 E q pa 0 处为电势能零点。 即： E p 0,
静电场的环路定理 电场的电势(势函数)：静电场的保守性意味着,对静电场来说,存在着一个由电场中各点位
9-6 电势
物理学教程 （第二版）
三 电势的叠加原理
点电荷系 E Ei
i
VA E dl Ei dl
A
iA
q1
q2 q3
r1 r2 r3
E3
E2
A
E1
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
dqqdrqP
dV
dE
第九章 静电场
9-6 电势
第九章 静电场
9-6 电势
物理学教程 （第二版）
此标量函数（电势）在 A、B 两点的数值之差等 于从A到B移动单位正电荷时静电场力所做的功.
E dl
( EpB
EpA )
AB
q0 q0
q0
E dl AB
(VB
VA )
A
B E
B 点电势
VB
EpB
q0
A 点电势
VA
EpA q0
VA AB E dl VB （ VB为参考电势，值任选）
由
V外 (r)
Q
4π 0r
可得
V (R)
Q
4π 0R
V内
或
V内(r)
R r
E1
dr
R
E2
dr
Q
4π 0R
Q
V外 (r) 4π 0r
Q
V内(r) 4π 0R
V
Q
4 π 0R
oR
Q
4π 0r物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
第九章 静电场
9-6 电势
物理学教程 （第二版）
二 点电荷的电势
31静电场的保守性和环路定理
+q
−q
13
2 电势梯度 的邻近等势面， 电势分别为 U 和 U + ∆U的邻近等势面，其电力线 与二等势面分别相交于P 与二等势面分别相交于 、Q，两点间的垂直距离 ， 又等势面法向指向电势升高的方向。 为 P Q = ∆n ，又等势面法向指向电势升高的方向。
9
U (r ) = ∫∫∫
V
dq 4πε 0 r
JD_1ZZB
电荷体密度为ρ e 的带电体产生的电势
U (r ) =
∫∫∫
V
电荷面密度为 σ e 的带电体产生的电势
U (r ) =
ρ e dV 4 πε 0 r σ e dS 4 πε 0 r
∫∫
S
电荷线密度为 ηe 的带电体产生的电势 U (r ) =
提纲 §3 静电场的环路定理和电势 静电场的环路定理和电势 3.1静电场的保守性和环路定理 静电场的保守性和环路定理 3.2 电势差和电势 等势面、电势梯度 等势面、 例一 点电荷产生的电场中的电势分布 用场强分布和电势的定义直接积分 例二 求均匀带电球面的电场中的电势分布 例三 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布 例四 计算电偶极子场中任一点P的电势 计算电偶极子场中任一点 的电势 试计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势 例五 试计算均匀带电圆环轴线上任一点 的电势 由电偶极子的电势公式， 例六 由电偶极子的电势公式，求其电场的分布 作业： 作业： 1-13 , 1-15, 1-17
ro
p po
'
8
三、电势的叠加原理 由场强叠加原理和电势的定义， 由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理 一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 一个电荷系的电场中 任一点的电势等于每一个 表述： 表述： 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 表达式： 表达式：U ( p ) = ∫p
静电场的环路定理(北邮)
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
高中物理《静电场》知识点归纳归纳归纳总结(超详细)
一、静电场的基本概念1. 静电场是由静止电荷产生的场，它是描述电荷之间相互作用的一种物理量。
2. 静电场的性质：静电场是保守场，即电荷在静电场中移动时，其电势能的变化量与路径无关，只与初末位置有关。
3. 静电场的强度：静电场的强度表示电荷在静电场中所受力的强度，用符号E表示，单位是牛顿/库仑(N/C)。
二、电场强度与电势1. 电场强度E是描述静电场力的大小和方向的物理量，它的方向是正电荷在静电场中所受力的方向。
2. 电势V是描述静电场力做功能力的物理量，它的单位是伏特(V)。
3. 电场强度与电势的关系：电场强度E等于电势V在空间中的梯度，即E=dV/dr。
三、高斯定律1. 高斯定律是描述静电场与电荷分布之间关系的物理定律，它指出通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内部电荷量的代数和除以真空中的电常数ε0。
2. 高斯定律的数学表达式：∮E·dA=Q/ε0，其中∮表示对闭合曲面进行积分，E是电场强度，dA是闭合曲面上的微小面积元，Q是闭合曲面内部的总电荷量，ε0是真空中的电常数。
四、电容与电容器1. 电容C是描述电容器储存电荷能力的物理量，它的单位是法拉(F)。
2. 电容器的储能公式：W=1/2CV^2，其中W是电容器储存的能量，C是电容，V是电容器两端的电压。
3. 电容器的串联和并联：电容器的串联和并联可以改变电容器的总电容，串联时总电容减小，并联时总电容增大。
五、电场线与电势线1. 电场线：电场线是用来形象地表示电场强度和方向的曲线，它的切线方向即为电场强度的方向。
2. 电势线：电势线是用来形象地表示电势分布的曲线，它的切线方向即为电势梯度的方向。
3. 电场线与电势线的关系：电场线总是从正电荷出发，指向负电荷，而电势线则从高电势区域指向低电势区域。
六、导体与绝缘体1. 导体：导体是电荷容易通过的物质，如金属、石墨等。
2. 绝缘体：绝缘体是电荷不容易通过的物质，如橡胶、玻璃等。
3. 静电平衡：当导体处于静电平衡状态时，导体内部的电场强度为零，导体表面上的电荷分布均匀。
华南师范大学电磁学第一章 静电学的基本规律(电势与静电能)
因为各 E i q 0 dr 与路径无关，所以A与路径无关.
b a
a
a
a
结论：静电场力(库 仑力)是保守力！
2
2.静电场的环路定理
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒 等于零.
E dr 0
L
证明: 将一点电荷q在静电场中沿任意闭合路径走一圈 静电场力是保守力
f dr qE dr 0
dq 4 0 r
d
Q
Q
dφ •P r
2）叠加 式中的 i 和d的物 理意义是 什么？
9
点电荷系的场
连续带电体的场
4. 电势的计算
（1）点电荷场电势公式
P E dr
P
Q
Q 4π 0 r
r
P dr E
dr
E dr
上式表明：当 p 与 E 方向相同时，电势能最小；当 p 与E 方向相反时，电势能最大.由于系统势能最小时的平衡 是稳定平衡，而势能最大时的平衡是不稳定平衡 ,所以 在外电场中，电偶极子总力求转到 p 与 E 方向相同30 .
W pE
五、电荷系的静电能 状态a时的静电能是什么？ 定义1：把系统从状态 a 无限 分散到彼此相距无限远的状态 中静电场力作的功 叫作系统 在状态a时的静电势能简称静 电能.也称为相互作用能(互能). 或:把这些带电体从无限远离 的状态聚合到状态a的过程中 外力克服静电力作的功
点电荷的电场线与等势面
+
19
电偶极子的电场线与等势面
+
20
平行板电容器的电场线与等势面
静电场(电场与物质作用)
感谢观看
THANKS
导体表面电荷分布
导体表面电荷分布不均匀， 电荷密度与导体表面的曲 率有关，曲率越大的地方 电荷密度越大。
导体尖端放电
在强电场作用下，导体尖 端部分电荷密度极大，使 得空气被击穿，发生尖端 放电现象。
绝缘体在静电场中行为
电荷无法自由移动
01
绝缘体内部几乎没有自由电子，因此电荷无法在绝缘体内部自
由移动。
偶极子产生
极化现象会导致物质内部出现偶极子 ，即一对正负电荷。偶极子的方向与 静电场方向一致，其大小与静电场的 强度成正比。
介电常数及其影响因素
介电常数定义
介电常数是描述物质在静电场作用下 极化程度的物理量，反映了物质对静 电场的响应能力。
影响因素
介电常数受物质的成分、结构、温度 等因素的影响。一般来说，极性物质 的介电常数较大，而非极性物质的介 电常数较小。
压电效应和热电效应
压电效应
某些晶体在受到外力作用时会产生电荷分离，从而形成电压 ，这种现象称为压电效应。压电效应具有将机械能转换为电 能的能力。
热电效应
在温度梯度的存在下，物质内部会产生电荷分离，从而形成 电压，这种现象称为热电效应。热电效应具有将热能转换为 电能的能力。
04
静电场在技术应用领域
静电吸附
人体在静电场中会吸附空 气中的尘埃、细菌等微粒， 对皮肤和呼吸系统造成危 害。
环境中静电危害及防护措施
火灾和爆炸
静电放电可能引发易燃易爆物质的火灾和爆炸，需采取防静电措 施，如使用防静电材料、接地等。
电子设备损坏
静电放电会对电子设备造成损坏，需采取防静电措施，如穿戴防 静电服装、使用防静电包装等。
静电场具有保守性，即电场力做功与路径无关， 只与初末位置有关。
第六章补充练习题
第六章 静电场判断题：1. 库仑定律反映的是静止带电体之间的相互作用力。
2. 若将放在电场中某点的试探电荷q 改为q -，则该点的电场强度大小不变，方向与原来相反。
3. 在点电荷1q 激发的电场中有一试探电荷0q ，受力为1F 。
当另一点电荷2q 移入该区域后，0q 与1q 之间的作用力不变，仍为1F 。
4. 有两个带电量不相等的点电荷，它们相互作用时，电量大的电荷受力大，电量小的电荷受力小。
5. 有两个点电荷，带电量分别是1q 和2q ，两者之间的相互作用力的大小是122014q q F r πε=。
当两者无限靠近时（即0r →），F →∞，这是库仑定律的结论。
6. 均匀带电圆环，由于电荷对称分布，其轴线上任意一点的电场强度为零。
7. 静电场中的电场线不会相交，不会形成闭合线。
8. 一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近，此高斯面上任意点的电场强度是发生变化，但通过此高斯面的电通量不变化。
9. 通过闭合曲面的电通量仅由面内的电荷决定。
10. 点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，若以该立方体作为高斯面，可以求出该立方体表面上任一点的电场强度。
11. 应用高斯定理求得的场强仅仅是由高斯面内的电荷激发的。
12. 若某一闭合曲面内的电荷的代数和为零，则此闭合曲面上任一点的场强一定为零。
13. 在已知静电场分布的条件下，任意两点1P 和2P 之间的电势差决定于1P 和2P 两点的位置。
14. 已知在地球表面以上电场强度的方向指向地面，由此可判断在地表面以上电势随高度增加而减少。
15. 电场强度的方向总是指向电势降落的方向。
16. 电偶极子中垂面上各点的电势为零。
17. 电荷在电势高的地方静电势能一定大。
18. 正电荷在电势高的地方，电势能也一定大。
19. 静电场的保守性体现在电场强度的环流等于零。
20. 静电场中，若在电场区域内电场线是平行的，则该区域内电场强度和电势都相等。
静电场的保守性和环路定理
QU P −UQ =
v v = E ⋅ ∆n = En∆n = −∆U
∆U ∂U ∴ E n = − lim | |= − ∆n → 0 ∆ n ∂n
U + ∆U
∫
Q
P
v v Edl
v E
P
U
v ∆n
Q
v n
电场强度沿等势面法线方向做负功。 电场强度沿等势面法线方向做负功。
∆U ∂U ∴ E n = − lim | |= − ∆n → 0 ∆ n ∂n
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
电力线的方向指向电势降落的方向。 电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，
规定两个相邻等势面的电势差相等， 规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密 两个相邻等势面的电势差相等
等势面的性质： 等势面的性质： 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N v 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到 点移到N点 证明：因为将单位正电荷从等势面上 点移到 点， dl v 电场力做功为零， 电场力做功为零，而路径不为零 dl ≠ 0 E
例三、 例三、求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布
λ E 已知场强为： 方向垂直于带电直线。 已知场强为： = 方向垂直于带电直线。 2πε 0 r 电荷线密度
若仍然选取无穷远为电势零点， 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时， 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线 点为电势零点， 点的电势： 为 r0的 p0 点为电势零点，则距带电直线为 r 的 点的电势：
静电场的性质有源无旋
R 0
x
p
x
q U (x ) 2 21 4 0 (x R )/2
标量积分的方便！
例:计算电偶极子场中任一点P 的电势. 解:
q q U U ( p ) p i 4 r r i 0 4 0
P
当 r 可做如下近似 ： l l l r r r cos r cos 2 2
解: E o r 2 4 0r q
p
U p U p U
p
E dl
r
q
Up q
E
q d r 2 4 r p4 r 0 p 0
q
4 0rp
孤立正点电荷周围的场电势为正；离电荷越远，电 势越低. 孤立负点电荷周围的场电势为负；离电荷越远， 电势越高.
a
E d l
关于电势U的理解: (1)电势是从电场对在其中运动的电荷做功的 角度研究电场; (2)电势是电场中的点的标量函数. (3)电势的大小是相对的,电势差是绝对的。 静电场中某点的电势即是：静电场力将单位 电荷从这点移到无限远处（零势点）所做的 功. 特别注意！
例:点电荷产生的电场中的电势分布
(1)电场强度是从电场对电荷有作用力的角度研究电 场; (2)电场强度是电场中的点的矢量函数. 下面从电场对移动电荷作功的角度研究电场。
一、静电场的环路定理
静电场力的功 电势能
1.静电场力是保守力
与引力类比， 都是平方反比力。 因此可断定是保守力！
2.静电场力作功等于相应电势能的减少
A ab
P '
Q 4 0R
第13章静电场电势 清华大学版大学物理
功能问题是物理学的各个研究领域的 重要关注点， 重要关注点， 本章将讨论电场力做功的 性质，给出静电场的环路定理， 性质，给出静电场的环路定理，揭示静电 场有势性，并进一步讨论静电场的能量。 场有势性，并进一步讨论静电场的能量。
第13章 电势 章
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 静电场的保守性 电势差和电势 电势叠加原理 电势梯度 电荷在外电场中的静电势能 电荷系的静电能 静电场的能量
二、 静电场环路定理
L1 P2 L2
A = ∫ Fdr = ∫ q Edr 12
0
P1
=∫
p2 p1 ( L ) 1
p2 p1 ( L ) 1
v r p1 q0 E ⋅ dr + ∫
p2 ( L2 )
v r q0 E ⋅ dr
=∫
v r p2 q0 E ⋅ dr − ∫
p2 ( L2 )
v r q0 E ⋅ dr = 0
O
q
当静电场是由点电荷产生的 当静电场是由点电荷产生的
A12 = ∫
( p2 ) ( p1 )
r 1
v r
P1
v dr
q0 L dr
θ
v E
q0 E ds cosθ =
∫
r2 r1
q0qd r 4πε 0 r 2
cosθds = dr
q0 q 1 1 ( − ) = 4πε 0 r1 r2
只与P 位置有关， 只与 1、P2位置有关， 而与路径L无关 而与路径 无关
在点电荷系q 产生的电场中， 在点电荷系 1、q2、… 、qn产生的电场中， 移动q 移动 0，电场力做功 v r p2 v r p2 A12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ q0 E ⋅ dr
如何证明静电场力是保守力
如何证明静电场力是保守力静电场力是一种保守力，这意味着无论沿着任何闭合路径进行线积分，其结果都会等于零。
这个性质可以用来解释静电场中的一些重要现象。
我们需要了解什么是保守力。
在物理学中，保守力是指该力所做的功只取决于起点和终点，而与路径无关。
换句话说，如果我们在同一起点和终点之间沿不同路径移动，所做的功是一样的。
这与非保守力不同，非保守力的功与路径有关。
对于静电场力来说，它是由电荷之间的相互作用引起的。
根据库伦定律，两个电荷之间的静电力与它们之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。
这意味着当我们沿着一条闭合路径进行线积分时，静电场力的大小和方向会随着路径的变化而变化。
由于静电场力是保守力，线积分的结果总是等于零。
这是因为静电场力是由一个势能函数所导出的。
在静电场中，我们可以定义一个电势能函数，它表示单位正电荷在静电场中的势能。
根据这个定义，沿着任何闭合路径进行的线积分就等于起点和终点之间电势能的差值。
无论我们选择哪条路径，只要起点和终点相同，线积分的结果都会是相同的。
这意味着静电场力不会产生任何环路的功，也就是说，它不会在回路上做功。
因此，静电场力对环路的总功为零。
这个性质在电场中有很多实际应用。
例如，在电容器中，我们可以利用静电场力来存储电荷。
电容器由两个带电板之间的介质组成，当我们在电容器上施加电压时，电荷会在两个板之间移动，但总功为零。
这意味着我们可以以零的能量损失来存储电荷。
静电场力是一种保守力，它沿着任何闭合路径的线积分等于零。
这个性质使得静电场力在电学中有很多重要应用，如电容器的工作原理。
这也说明了静电场力与路径无关，只与起点和终点有关。
我们可以通过以下步骤来证明这一点：1.定义静电场力：在电场中，一个带电粒子受到的力可以表示为F = qE，其中q是粒子的电荷量，E是粒子所在位置的电场强度。
2.计算线积分：对于任意一条闭合路径C，我们可以计算静电场力沿着这条路径的线积分。
线积分的定义是∫L F·dl，其中L是路径的长度，F·dl是力向量和路径上一小段向量的点积。
高二物理竞赛课件静电场的保守性电势
实验结论总结
金属丝杨氏模量的测 量值及其误差范围。
分析实验误差对测量 结果的影响，提出改 进实验的建议和措施 。
验证金属丝在静电场 中的形变具有保守性 ，符合理论预期。
06
知识拓展：其他类型保守系统简介重力场Biblioteka 守性特点重力做功与路径无关
在重力场中，物体从一点移动到另一点时，重力做功只与初末位 置的高度差有关，而与具体的移动路径无关。
高二物理竞赛课件静电场 的保守性电势
汇报人：XX 20XX-01-18
目录
• 静电场基本概念与性质 • 保守性与非保守性系统概述 • 电势概念引入与计算方法 • 静电场中能量转化与守恒定律 • 实验：测量金属丝杨氏模量并验证其保守性 • 知识拓展：其他类型保守系统简介
01
静电场基本概念与性质
静电场定义及特点
重力势能的存在
由于重力场是保守场，因此可以定义重力势能。重力势能的大小与 物体所处的位置有关，具有相对性。
重力势能与动能的转化
在重力场中，物体运动时重力势能与动能之间可以相互转化，但机 械能总量保持不变。
弹性碰撞中动能守恒现象
弹性碰撞定义
碰撞过程中，如果系统内物体间 相互作用力为保守力，且碰撞过 程中无机械能损失，则称为弹性
碰撞。
动能守恒
在弹性碰撞中，由于碰撞力为保守 力，系统动能守恒。即碰撞前后系 统内各物体的动能之和保持不变。
动量守恒
弹性碰撞中，除了动能守恒外，动 量也守恒。即碰撞前后系统内各物 体动量的矢量和保持不变。
化学反应中能量转化规律
化学反应中的能量变化
化学反应通常伴随着能量的吸收或释放。这种能量变化表 现为反应物和生成物之间内能（热能）的差异。
例圆柱形电容器上由半径为的长直圆柱导体和与它同(最全)word资料
习题课例3：圆柱形电容器上由半径为R 1的长直圆柱导体和与它同轴的薄导体圆筒组成，圆筒的半径为R 2。
若直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为εr 的电介质。
设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+λ和-λ。
求（1）电介质中的场强、电位移和极化强度； （2）电介质内、外表面的极化电荷面密度； （3）此圆柱形电容器的电容。
解：（1）由对称性分析，电场为柱对称分布，根据介质中的高斯定理，有lrl D S d D S λπ==⋅⎰2可得：r D πλ2=。
由E E D r εεε==0得电介质中场强为： ()2102R r R r E r 〈〈=επελ电介质中极化强度为：()()λπεεεεrE P r r r 2110-=-=（2）由()2102R r R rE r 〈〈=επελ得知电介质两表面处的场强分别为：()11012R r R E r ==επελ和()22022R r R E r ==επελ由E P e 0εχ=和P ='σ得电介质两表面极化电荷面密度的值分别为：()()()()22021101211211R E R E r r r r r r πελεεεσπελεεεσ-=-='-=-='（3）圆柱形电容器两极板间的电势差为1200ln 2221R Rr dr l d E U r R R r επελεπελ==⋅=⎰⎰得电容120120ln 2ln 2R R l R Rl UQ C r r επεεπελλ===，0C C r ε=单位长度电容为：120ln 2R R C rl επε=。
第五节 静电场的能量 能量密度一、电容器的电能如图所示，平行板电容器正处于充电过程中，设在某时刻两极板之间的电势差为U ，此时若继续把+d q 电荷从带负电的极板移到带正电的极板时，外力因克服静电力而需作的功为：qdq C Udq dW 1==直至电容器两极板分别带有±Q 的电荷时，外力所作的总功为：C Q qdq C W Q 2120==⎰该功使电容器的能量增加，即电容器贮存的电能为：电容器的带电过程中，外力静电能转换为电容器的电能了。
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结论
静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静 电力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
b
Aab
q0 由 a 点经 L1 到 达 b 点所做的功
q E dl
0
b a ( L1 )
b
L1
a
q0 E dl
b ( L2 )
b c d a E dl E dl E dl E dl E dl
a b c d
E1dl E2dl
a c
b
d
a
E1 ab E2 cd
b
0
不是静电场
d
c
E
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。
rb
ra
1 dr 2 r
a
L
qq0 1 1 ( ) 4π 0 ra rb
r dl r cos dl r dr
点电荷对q0 做功与路径无关
2. 任意带电体系产生的电场 在电荷系q1、q2、…产生的电场中，移动 q0
q0
L
b
Aab
b
a( L)
q0 E dl
a
b
q1 qi
a( L)
q0 (E1 E2 En ) dl
b a( L)
q2 qn
b
a( L)
q0 E1 dl
q0 E2 dl
b
a( L)
q0 En dl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
带电体对q0 做功与路径无关
3. 静止的连续带电体 可将其看成无数电荷元的集合，因此它的电场场强 的线积分同样具有这样的特点
13.1 静电场的保守性
一、静电力做功的特点
1. 单个点电荷产生的电场
b
rb
Aab
b
a( L)
q0 E dl
q
ra
r dr
rb
ra
qq0 r dl 3 4π 0 r
r
dl
E q0 dr | r dr | | r |
qq0 4π 0
"0" a
q0 在电场中某点 a 的电势能： Wa Aa"0"
q0 E dl
说明
(1) 选势能零点习惯和原则：
• 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选在无穷远处。
• 无限长带电直线，无限带电大板，选有限远处为势能 零点。
(2) 电荷在某点的电势能与零点有关，而两点的差值与零 点无关。 (3) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。
c
• 选 c 点为电势能零点
qQ 1 1 qQ 1 1 Wa qE dl ( ) Wb ( ) a 4π 0 ra rc 4π 0 rb rc qQ 1 1 b 两点间势能差 Wa Wb qE dl ( ) a 4π 0 ra rb
b
q0 E dl
q0 E dl
a
L2
a ( L1 )
q0 E dl
a ( L2 )
0 因此 E dl 0
L
q0 由 a 点经 L2 到 达 b 点所做的功
静电场的环路定理
静电场是无旋场
讨论
(1) 环路定理是静电场的一个重要定理，可用环路定理检 验一个电场是不是静电场。
三、电势能
1. 电势能的差
静电力 保守力 引入静电势能
b
q0
E
定义：q0 在a、b 两点电势能之差等于把 q0
自 a 点移至 b 点电场力所做的功
a
Aab q0 E dl Wa Wb
a
b
Wa Wb ?
2. 电势能
取b点为势能零点
Wb = W“0” = 0
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中， 有一带电量为 q 的点电荷 a 求 q 在 a 点和 b 点的电势能 Q c 解 • 选无穷远为电势能零点 q qQ 1 qQ Wa qE dl dr 2 b a r 4π 0 a r 4 π 0 ra qQ Wb qE dl b 4π 0 rb