2.6 静电场边值问题 唯一性定理

V/m
CQU
2.6.3 唯一性定理
1、唯一性定理 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程 满足给定边界条件的电位微分方程（ 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的， 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定 理。 2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 解的正确性： • 可判断静电场问题的解的正确性： 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。 解析解等）提供了思路及理论根据。
S
第三类 边界条件
(ϕ + β ∂ϕ ) = f3 ( s) ∂n S
第四类 边界条件
ϕ S = f1 ( s)
求解边值问题注意事项： 求解边值问题注意事项：
CQU
点电荷的场
1．根据求解场域内是否有 ρ 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 ．根据求解场域 求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 泊松方程还是 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求 若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域， 分区求 场域内有两个 不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 分界面上的衔接条件来确定积分常数 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有 对于开域问题 限分布时，应有： 限分布时，应有：
d1 d2 x O ε1 ε2
U0
场域空间有两种不同介质 要分成两个区城来研究。 两种不同介质， 解： 场域空间有两种不同介质，要分成两个区城来研究。 的区城中的电位为φ 令介电常数为ε1的区城中的电位为 1，介电常数为ε2的区域 中的电位为φ 它们分别满足拉普拉斯方程。 中的电位为 2 ，它们分别满足拉普拉斯方程。由于极板的尺 寸远大于d 则电位仅为横坐标坐标的函数， 横坐标坐标的函数 寸远大于 1、d2 ，则电位仅为横坐标坐标的函数，建立直角 坐标系
r r D =εE
ε = 常数
ρ ∇ ϕ =− ε
2
泊松方程
CQU
当ρ = 0 时
∇ 2ϕ = 0
∇ 2 ——拉普拉斯算子
2
拉普拉斯方程
∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
注意： 注意： 各向同性、 （1）泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。 ）泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性 线性的均匀媒质。 （2）不含介质分界面。 ）不含介质分界面。 （3）ρ是自由电荷体密度。自由面电荷将在边界条件中予以体现。 ） 是自由电荷体密度。自由面电荷将在边界条件中予以体现。
唯一性定理
2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程
推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程： 推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程： 基本出发点是静电场的基本方程 r r E = −∇ ϕ ∇× E = 0 r r r r ∇⋅ D = ρ ∇ ⋅ ε E = ε∇ ⋅ E + E ⋅∇ε = − ε ∇ ⋅ ∇ ϕ = ρ
d1
d2
U0
x = d1
CQU
对拉普拉斯方程积分两次， 对拉普拉斯方程积分两次，得
ϕ1 = C1 x + C2
0 ≤ x ≤ d1
ϕ2 = C3 x + C4
d1 ≤ x ≤ d
本题给定的边界条件为
ϕ1 x =0 = 0 ⇒ C2 =0 ⇒ C3 ×10−2 + C4 = 110 ϕ2 x = d = U 0 ϕ1 (d1 ) = ϕ2 (d1 ) ⇒ C1 × 0.2 ×10−2 + C2 = C3 × 0.2 ×10−2 + C4 dϕ ε C ε dϕ1 = ε2 2 ⇒ C3 = 1 C1 = 1 1 dx dx x = d1 2 ε2 x = d1
lim rϕ = 有限值 r →∞
ϕ r →∞ = 0
自然边界条件
至少按一次方反比变化， 即：ϕ 至少按一次方反比变化，通常可简单取
CQU
例2.6.1 列出求解区域的微分方程
∇ 2ϕ 1Biblioteka = 0∇ 2ϕ 2 = 0
ρ3 ∇ ϕ3 = − ε3
2
图2.6.1 三个不同媒质区域的静电场
CQU
平板电容器的极板间有两层介质， 例 2.5.2.平板电容器的极板间有两层介质， 平板电容器的极板间有两层介质 第一层介质厚度d 第一层介质厚度 1=0.2cm，介电常数 1= ，介电常数ε ε0，第二层介质的厚度 2=0.8cm，介电常 第二层介质的厚度d ， 极板的尺寸远大于d 数ε2= 2ε0，极板的尺寸远大于 1、d2，如 图所示。设两极板间的电压为 图所示。设两极板间的电压为U0=110V， ， 求两极板间电位及电场强度的分布。 求两极板间电位及电场强度的分布。
C1 = 18330，C2 = 0，C3 = 9166，C4 = 18.33
CQU
因此
ϕ 1 ( x ) = 18330 x
V
ϕ 2 ( x ) = (9166 x + 18.33)
V
根据
r dϕ r E = −∇ϕ = − ex dx
得
V/m
r r E1 = −18330ex
r r E 2 = − 9166 e x
2.6 静电场边值问题 唯一性定理
CQU
静电场的基本计算问题分类： 静电场的基本计算问题分类： 分类
第一类是已知电荷分布， 第一类是已知电荷分布，求电场强度 E 或电位ϕ ；
应用场---源关系式或高斯定理计算 应用场---源关系式或高斯定理计算 源关系式
r
第二类是相反的问题，在已知电场强度 E 或电位ϕ的情 第二类是相反的问题， 况下，求电荷分布。 况下，求电荷分布。
CQU
作业： 作业：2.12（边值问题求解选做） （边值问题求解选做） 2.16、2.17 、
2.6.2 静电场的边值问题
CQU
边值问题 微分方程
边界条件 场域 边界条件 分界面 衔接条件
ϕ1 = ϕ 2 ∂ϕ ∂ϕ ε1 1 − ε 2 2 = σ
∂n ∂n
ρ ∇ϕ=− ε ∇ 2ϕ = 0
2
自然 边界条件
lim rϕ = 有限值
r →∞
第一类 边界条件
第二类 边界条件
∂ϕ ∂n = f2 (S )
CQU
边值方程
d 2ϕ1 =0 dx 2
0 ≤ x ≤ d1
ε1
ε2
d 2ϕ 2 =0 2 dx
d 2 ≤ x ≤ d1 + d 2 = d
O
x
相应的定解条件
ϕ1 x =0 = 0 ϕ2 x =d = U 0 ϕ1 (d1 ) = ϕ2 (d1 ) dϕ2 ε dϕ1 = ε2 1 dx x = d dx 1
r ρ = ∇ ⋅ε E
r
体电荷 介质分界面上的自由 自由电荷 介质分界面上的自由电荷 σ 导体表面的自由电荷 导体表面的自由电荷 自由
r
r r r = en ⋅ D2 − D1
r
(
)
σ = D2 ⋅ en
CQU
复杂工程问题，有限区域内电荷分布情况（不规则分布） 复杂工程问题，有限区域内电荷分布情况（不规则分布） 工程问题 赫姆赫兹定理