点的存在性问题
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线中的存在性问题（顶点的存在性问题）抛物线是数学中常见的曲线之一，其方程一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
在抛物线的研究中，存在一个重要的问题，即顶点的存在性问题。
问题描述顶点是抛物线中最高或最低的点，也是曲线的转折点。
通过确定顶点的位置，我们可以得到关于抛物线的许多重要性质和参数。
然而，并不是所有的抛物线都具有顶点，因此存在着顶点的存在性问题。
抛物线方程的参数对顶点的影响在讨论顶点的存在性之前，我们首先需要了解抛物线方程中的参数对顶点的影响。
1. 参数 a：决定了抛物线的开口方向。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 参数 b：决定了抛物线在 x 轴上的位置。
当 b > 0 时，抛物线向左平移；当 b < 0 时，抛物线向右平移。
3. 参数 c：决定了抛物线在 y 轴上的位置。
抛物线与 y 轴相交的点就是 c。
顶点的存在性问题对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，顶点的存在性由参数 a 的正负决定。
- 当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点最低点存在。
- 当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点最高点存在。
- 当 a = 0 时，抛物线退化为直线，没有顶点。
因此，只有当 a 不等于零时，抛物线才会有顶点存在。
实例分析考虑以下两个抛物线方程：1. 抛物线方程 y = 2x^2 + 3x + 12. 抛物线方程 y = -x^2 + 4x - 2对于第一个方程，参数 a = 2，开口向上，因此存在一个最低点作为顶点。
而对于第二个方程，参数 a = -1，开口向下，因此存在一个最高点作为顶点。
结论顶点的存在性问题是在研究抛物线时需要考虑的一个重要因素。
通过分析抛物线方程中参数 a 的正负，我们可以确定抛物线是否具有顶点。
只有当参数 a 不等于零时，抛物线才会有顶点的存在。
立体几何中的点的存在性问题
用向量法（坐标法）解决点的存在性问题点的存在问题（即探索性问题）是历年高考的热点，立体几何中，探索满足某个条件的点是否存问题，能很好的考查学生的逻辑推理能力和空间想象能能力，休现了的新课标的要求，故倍受命题人青睐。
下面结合具体例题讲解此类问题的大致类型及解题策略。
例1：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，（1）在棱B 1C 1是否存一点G ，使得AG ⊥平面1A BE ;（2）在线段BE 上是否存一点M ，使得M-CD-A 的平面角的余弦值为25. （3）在正方形ABCD 内（含边界线段）否存一点N ，使得C 1N ⊥1A BE点评：立何几何中的点的存在问题通常使用坐标法来进得解答，此方法不需要进行复杂的作图、推理及论证，只需要通过坐标运算进行判断。
解题策略：先假设满足条件的点存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或解方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否在规定范围内有解问题。
命题类型：（1）在与坐标轴平行的线段上寻求一点满点某个条件，此种类型较易，直接设出该点坐标（横、纵，竖三个坐标中，己知两个），据条件得方程即可求解；（2）在与坐标轴不平行的线段上寻求一点满点某个条件，此种类型，此点的横、纵，竖三个坐标，可能己知一个，或者都不清楚，解题时需要根据三点共线进行坐标代换。
比如：在线段AB(AB 与坐标轴不平行）上寻找一点M 满足条件f 。
具体做法：设M （x,y,z)与AM=λAB （01λ≤≤），由坐标相等概念则可将M 点的坐标全部用λ表示M （f(λ),g(λ),φ(λ)),然后根据假设的结论列方程即求得λ。
（3）在某个面上寻求一点满点某个条件，直接列方程组解决。
命题规律：所探求的点一般是线段的中点或三等分点，故此种也可先估计此点的位置，然后进行证明。
专项训练1.（2010马鞍山模拟）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.（Ⅰ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（Ⅱ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.2,（2010绍兴模拟）如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=2SB=2SC，O为BC的中点，（1）求证：SO ABC平面；（2）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；（3）在线段AB上是否存在一点E，使得二面角B-SC-E的平面角的余弦值为15;5若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由。
函数图象中点的存在性问题
函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OHA (-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A(-，可得a =．图2所以抛物线的表达式为2(2)333y x x x x =-=-．（2）由221)y x x x ==-，得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A(-、B (2,0)、M (1,，得tan 3ABO ∠=，AB =3OM =． 所以∠ABO ＝30°，OA OM=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当3BA OA BC OM ==时，23233BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当3BC OA BA OM==时，33236BC BA ==⨯=．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5例2 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
《关于零点和中值点存在性问题》
关于零点和中值点存在性问题引言在学习统计学的过程中，我们经常会遇到关于零点和中值点的概念。
在实际应用中，会有人对于这两个概念的存在性产生疑虑。
在本文中，我们将探讨这两个概念的存在性问题。
零点的存在性问题零点是指一组数据中某个变量值为0的点。
在实际应用中，有些情况下并不存在零点。
实际上，在生活当中，存在着一些数据集合，它们并不具有零点的存在性。
比如说，我们可以考虑一下人的年龄这个变量。
人的年龄可以取到0岁以下，但是很难想象有一个人的年龄是0岁。
因此，人的年龄这个变量就不存在零点。
另一个例子是温度变量。
温度可以取负值，但是不存在绝对的零点，因此温度变量也不存在零点。
事实上，我们常用的摄氏度刻度和华氏度刻度都不存在绝对零点，因此它们的零点不是绝对的。
以上两个例子提示我们一个道理：某个变量是否存在零点，与这个变量本身所代表的意义密切相关。
只有当这个变量的数值意义是绝对的，才存在绝对的零点。
中值点的存在性问题中值点是指一组数据中中间位置的点。
在实际应用中，有些情况下并不存在中值点。
比如说，我们可以考虑一下下列序列：{-1,1,-2,2,-3,3}。
这个序列中间位置为3，但是如果我们把它改一下顺序变成：{-1,-2,1,-3,2,3}，那么中间位置就变成了2。
因此，这个序列的中值点并不唯一。
中值点存在性问题的根源在于数据的离散程度。
对于连续型变量，由于数据是连续分布的，因此存在唯一的中位数。
但是对于离散型变量，如果存在多个数值相同的数据，中位数就不是唯一的。
从上述讨论中得到的是：零点和中值点的存在性问题，与变量的数值意义和数据的离散程度相关。
只有当变量的数值有绝对意义时，零点才存在；只有在连续型的数据中，中值才有唯一性。
在实际应用中，我们应该明确这些概念的具体含义和存在条件，以避免在统计学中的误用和误解。
参考文献无。
二次函数中点的存在性问题
二次函数中的存在性问题1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，2．与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在3．一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D4．的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：对于抛物线y=﹣x2+x﹣3，令y=0，得到﹣x2+x﹣3=0，解得：x=1或x=4，∴B（1，0），A（4，0），令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：k=，b=﹣3，∴直线AC解析式为y=x﹣3，设平行于直线AC，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=x+m，此时直线与抛物线交于点D，使得△ACD的面积最大，与二次函数解析式联立消去y得：﹣x2+x﹣3=x+m，整理得：3x2﹣12x+4m+12=0，∴△=144﹣12（4m+12）=0，解得：m=0，∴此时直线方程为y=x，点D坐标为（2，）．2．（2008•宁波校级自主招生）已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．解答：解：（1）∵直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，∴，解得，∴y=x+4，把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，，∴y=﹣x2+6x；∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12，解得h=4，由﹣x2+6x=4，得x=3±，∴D（3+，4）或（3﹣，4）．3．（2014春•昌平区期末）已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．解答：解：（1）把x=0代入y=x﹣3得y=﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0，解得x=4，则A点坐标为（4，0），把A（4，0），C（0，﹣3）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x﹣3；（2）存在．过D点作直线AC的平行线y=kx+b，当直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，∵直线AC的解析式为y=x﹣3，∴k=，即y=x+b，由直线y=x+b和抛物线y=﹣x2+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x2﹣12x+4b+12=0，∴△=122﹣4×3×（4b+12）=0，解得b=0，∴3x2﹣12x+12=0，解得x1=x2=2，把x=2，b=0代入y=x+b得y=，∴D点坐标为（2，）．4．（2010•孝感模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1上，∴2k+1=3．解得k=1．∴直线AC的解析式为y=x+1．∵点A在x轴上，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C，∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）．∴E（1，2）．根据题意，知点A旋转到点B处，直线l过点B、E．设直线l的解析式为y=mx+n．将B、E的坐标代入y=mx+n中，联立可得m=﹣1，n=3．∴直线l的解析式为y=﹣x+3．∴P（0，3）．过点E作ED⊥x轴于点D．∴S△PAE=S△PAB﹣S△EAB=AB•PO﹣AB•ED=×4×（3﹣2）=2．（3）存在，点F的坐标分别为（3﹣，0），（3+，0），（﹣1﹣，0）（﹣1+，0）．5．（2013秋•红安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，令x=0求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点Q，然后利用直线解析式求解即可；（4）过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，根据抛物线解析式与直线BC的解析式表示出PD，再根据S△PBC=S△PCD+S△PBD列式整理，然后利用二次函数最值问题解答．解答：解：（1）令y=0，则﹣x2+x+2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以，点B的坐标为（3，0），令x=0，则y=2，所以，点C的坐标为（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BC的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x2﹣2x+1）+2+，=﹣（x﹣1）2+，∴顶点坐标为（1，），（3）由轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点，x=1时，y=﹣×1+2=，所以，存在Q（1，），使线段AQ+CQ最小；（4）如图，过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，则PD=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以，S△PBC=S△PCD+S△PBD，=×（﹣x2+2x）×3，=﹣x2+3x，=﹣（x﹣）2+，所以，当x=时，△PBC的面积最大为，此时，y=﹣×（）2+×+2=，所以，存在P（，），使S△PBC最大=．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，轴对称确定最短路线问题，二次函数的最值问题．。
函数图像中点的存在性问题
专题：函数图像中点的存在性问题一、因动点产生的等腰三角形例1、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．练习已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线54y=作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点3(1,)4F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.二、因动点产生的相似三角形问题例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长；（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ．①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标； ②若⊙M 的半径为，求点M 的坐标．练习如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）三、因动点产生的直角三角形例3、如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．练习如图，二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴交于1(,0)2A -,(2,0)B 两点，且与y 轴交于点C .（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ,且以A C D B 、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ,使得以A C B P 、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.四、因动点产生平行四边形例4、如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．图① A B C D P Q 图② AB CD P Q练习、如图1，抛物线b ax ax y +-=221经过点A （－1，0），C （0，23）两点，且与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线的顶点为点M ，点P 为线段AB 上一动点（不与B 重合），Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x ，MQ=222y ，求2y 于x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于E 、G 两点，与（2）中的函数图像交于F 、H 两点，问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求出m 、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．图 1 图 2。
压轴题学习讲义—点的存在性问题
压轴题学习讲义—点的存在性问题1.（江津市）26.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝ ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+， ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2)ABC（3）答：存在。
理由如下： 设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<， ∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝ 11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，)2. （宁德市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）解：（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5）∵点B （1，0）在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a 解得，a ＝59（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3 ∴顶点M 的坐标为（4，5）抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5） 作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴EF ＝AB ＝2BH ＝6∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0） H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5）， 根据勾股定理得 PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104 PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32＝34①当∠PNF ＝90º时，PN 2+ NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+ NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0）③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º 综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．3. （莆田市）25．（14分）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥； （3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1） 解:方法一，如图1，当1x =-时,14y =； 当4x =时,4y =∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4 ()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为314y x =+当0x =时,1y = ()01F ∴，方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =（图1）备用图（第25题图）（图1）（图2）BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=- 解得1x =()0F ∴，1(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴=在Rt DEF △中，42DE EF ==， 222224220DF DE EF ∴=+=+=DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，， 5CD ∴= 22525CD ∴== 222CF DF CD ∴+= 90CFD ∴∠=° ∴C F D F⊥ 方法二：由 （1）知5544AF AC ===，AF AC ∴= 同理：BF BD = A C F A F C ∴∠=∠ AC EF ∥ A C F C F O∴∠=∠ AFC CFO ∴∠=∠ 同理：BFD OFD ∠=∠ 90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=°即CF DF ⊥（3）存在.解：如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M 又PQ OP ⊥ R t R t O P M O∴△∽△PM OM PQ OP ∴=PQ PMOP OM ∴=设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==， ①当Rt Rt QPO CFD △∽△时，12PQ CF OP DF === 21142x PM OM x ∴== 解得2x = ()121P ∴，图3②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2PQ DF OP CF === 2142x PM OM x ∴== 解得8x = ()2816P ∴，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似. 4. 如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） ····································································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度．（2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，10AB =过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ．∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=． ∴所求C 点的坐标为（14，12）．（2） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t A M M P∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当47471062()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． 此时P 的坐标为（9415，5310） ． （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等．5. （广州市）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
平面直角坐标系内点的存在性问题
平面直角坐标系内点的存在性问题教学目标：1．能根据特殊四边形的定义，对特殊四边形准确分类并进行讨论．2．通过分类和图形的直观性，运用特殊四边形的性质解决有关问题．3．掌握解决特殊四边形分类讨论的一般方法.4．经历特殊四边形的分类讨论的过程，体会数形结合、方程思想、函数思想、化归思想在解决问题中的运用，提高观察、分析、归纳的能力．教学重点：运用特殊四边形的定义对特殊四边形进行合理分类.教学难点：根据题意准确画出图形并解决有关问题.教学过程：以AB 、AC 为邻边时，点D 3的坐标是（2，-4）； ∴点D 的坐标是（4，2）或（-4，2）或（2，-4）．【适时小结】方法步骤：（1）确定分类标准； （2）由定义画出示意图； （3）根据性质解决问题．问题2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，2）、（-1，-1）、（3，-1），是否存在点D ，使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是特殊的平行四边形。
若存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
问题3：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，2）、（-1，-1）、（3，-1），平面内是否存在点D ，使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形？问题4：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，2）、（-1，-1）、（3，-1），坐标轴上是否存在点D ，使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形？例2．如图，一次函数b x y +=33的图像与x 轴相交于点A （35，0）、与y 轴相交于点B ，点C 在y 轴的正半轴上，BC =12．请探究，平面内，是否存在点D ，使得四边形 ABCD 是特殊的四边形.由学生自主完成．【适时小结】方法步骤：（1）确定分类标准； （2）由定义画出示意图；（3）由特殊四边形的性质解决问题，应注意对最中分类讨论问题的一般方法，掌握解题步骤．适时进行检验，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，提高思维 的严密性．。
点的存在性
点的存在性题型特点存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等．点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等．解题思路解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则．难点拆解点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有：①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表达线段长．②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，结合关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式．③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形中，再借助线段间关系建等式．1.（2009湖北武汉）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P 的坐标．2.（2012江苏南通改编）如图，经过点A(0，﹣4)的抛物线与x轴交于点B(﹣2，0)和点C，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式．（2）将抛物线先向上平移个单位长度、再向左平移m（m>0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．（3）若点M在y轴上，且∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．3.（2011广东深圳）如图1，抛物线（a≠0）的顶点为C(1，4)，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标为(3，0)．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使以D，G，F，H四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G，H两点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．图1图3图24.（2012浙江温州）如图，过原点的抛物线（m>0）与x轴的另一个交点为A．过点P(1，m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B，C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长．（2）当m>1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并求出相对应的点E的坐标；若不存在，请说明理由．5.（2012辽宁沈阳）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B重合）．以E 为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC AB，抛物线的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式．（2）求证：∠BEF=∠AOE．（3）当△EOF为等腰三角形时，求点E的坐标．（4）在（3）的条件下，设直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．点的存在性1. （1）抛物线的解析式为．（2）点关于直线对称的点的坐标为(0，1)．（3）点的坐标为．2. （1）抛物线的解析式为y =12x 2-x -4．（2）符合条件的m 的取值范围为0＜m ＜52．（3）M (0，6)或M (0，-6)．3. （1）抛物线的解析式为y ＝-(x -1)2+4．（2）存在，四边形DFHG的周长最小为2+，点G 坐标为(1，1)，点H 坐标为(12，0)．（3）存在，点T 的坐标为(32，154)．4. （1）A (6，0)，BC =4．（2）m =32．（3）当m ＞1时，当点E 在x 轴上，m =2，点E 的坐标是(2，0)； 当点E 在y 轴上，m =2，点E 的坐标是(0，4)． 当0＜m ＜1时，当m =23时，点E 的坐标是(43，0)．5. （1）抛物线的表达式为y =-x 2-x +2．（2）证明略．（3）E (-1，1)或E (-，2-)． （4）存在，P (0，2)或P (-1，2)．234y x x =-++D BC P 266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，2222222。
第1讲点的存在性问题技巧全攻略讲义
第1讲点的存在性问题技巧全攻略讲义存在性问题是逻辑学和哲学中一个重要的问题，涉及到我们如何确定一些事物或概念是否真实存在。
存在性问题在不同领域都有应用，包括数学、科学、宗教等。
在这篇全攻略讲义中，我将为你介绍一些解决存在性问题的技巧和方法。
1.可观察性原则：根据这个原则，我们认为一个事物存在的充分条件是我们能够观察到它，或者通过其中一种方式获取到它的证据。
例如，在科学研究中，我们只能通过实验和观察来证明一个假设的存在与否。
3.推理和逻辑：逻辑推理是一个常用的解决存在性问题的方法。
通过分析一个问题的前提和假设，我们可以推导出一个结论。
例如，根据一些定理的前提和逻辑推理，我们可以得出结论该定理的存在与否。
4.反证法：反证法是一种常用的逻辑推理方法，用于证明一些命题的存在。
通过假设该命题不存在，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明该命题的存在。
5.比较法：当我们无法直接观察到一个事物的存在时，我们可以通过比较不同假设的优劣来推断一些事物的存在。
例如，在科学研究中，我们可以比较不同理论的预测结果，从而推断哪个理论更有可能存在。
6.综合方法：综合方法是一种将多种证据和推理方法综合考虑的解决存在性问题的方法。
通过结合前面介绍的各种技巧和方法，我们可以更全面地分析和判断一个事物的存在与否。
7.在有限信息下的概率推理：在一些情况下，我们可能无法确定一个事物准确的存在与否，但我们可以通过概率推理来估计其存在的可能性。
通过基于已有的证据和统计数据进行计算，我们可以得到一个事物存在的概率。
以上是解决存在性问题的一些常用技巧和方法，它们在不同的情况下都有不同的适用性。
在具体问题中，我们需要根据具体情况灵活运用这些方法。
通过合理的推理和分析，我们可以更准确地判断一个事物的存在与否，从而获得更准确的结论。
探解以二次函数为载体的点的存在性问题
探解以二次函数为载体的点的存在性问题作者：孟庆涛来源：《数理化学习·初中版》2013年第04期近年来各地试卷频频出现以二次函数为载体的点的存在性问题，是考察学生分析问题和解决问题能力的探究性题型.解决这类问题时往往要借助数学的分类思想，通过周密的思考和有条理的安排来逐一的解决问题.本文就这类问题进行归类探究，供大家参考.一、等腰三角形中点的存在性问题例1如图1，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）.（1）求抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.解析：等腰三角形中何边为腰未确定时，可分下面三种情况.由题意易知抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.设Q点坐标为（1，m），则AQ=4+m2，BQ=1+（3-m）2，又AB=10.①当AB=AQ时，4+m2=10，解得：m=±6，所以Q点坐标为（1，6）或（1，-6）.②当AB=BQ时，10=1+（3-m）2，解得：m1=0，m2=6.所以Q点坐标为（1，0）或（1，6）.③当AQ=BQ时，4+m2=1+（3-m）2，解得：m=1，所以Q点坐标为（1，1）.所以抛物线的对称轴上存在着点Q（1，6）、（1，-6）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形.二、直角三角形中点的存在性问题例2在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图2所示；抛物线y=ax2-ax-2经过点B.（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.解析：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，可知△BDC≌△CAO=90°，所以点B的坐标为（3，1），可得抛物线的解析式为y=12x2-12x-2.假设存在点P，使得△ACP是直角三角形，可分三种情况：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图3.可证△MCP1≌△BCD，于是CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线y=12x2-12x-2上.②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图4.同理可得△AP2N≌△CAO，于是NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），经检验点P2（-2，1）也在抛物线y=12x2-12x-2上.[TP.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图4图5[TS）]③若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图5同理可得△AP3H≌△CAO；所以HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），经检验点P3（2，3）不在抛物线y=12x2-12x-2上.故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个.三、相似三角形中点的存在性问题例3如图6，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，52）.（1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.解析：（1）由题意知抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，52），可得抛物线的解析式为y=12x2-4x+6.（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.由抛物线的解析式y=12x2-4x+6可知抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，-2）.则AN=4.又知直线AC过A（0，6），C（7，52）.所以直线AC的解析式为y=-12x+6.可得点E的坐标为（4，4），F的坐标为（4，-8）.于是可证△ANF≌△MNF，得∠CFE=∠AFE.（3）假设△AFP与△FDC相似可分两种情况.由C的坐标为（7，52），F坐标为（4，-8），A的坐标为（0，6）.所以CF=（52+8）2+（7-4）2=3532，FA=（6+8）2+42=253.又DF=6，由题意易知∠PAF=∠DFC，①若△AFP1∽△FCD，则P1ADF=AFCF，即P1A6=2533532，解得P1A=8，求得0 P1=8-6=2，所以P1的坐标为（0，-2）.②若△AFP2∽△FDC.则P2ACF=AFDF，即P2A3532=2536，解得P2A=532，求得0 P2=532-6=412.所以P2的坐标为（0，-412）.所以符合条件的点P的坐标是两个，分别是P1（0，-2），P2（0，-412）.四、特殊四边形中点的存在性问题例4如图7，抛物线y=13x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1.（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标.[TP.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图7图8[TS）]解析：（1）由对称轴x=1可知--m2×13=1得m=23，又n=-1，所以抛物线的解析式为y=13x2-23x-1，由13x2-23x-1=0得x=-1或x=3，所以A（-1，0），B（3，0）.（2）假设四边形QPAB是平行四边形，则PQ与AB存在两种位置关系平行或平分，故可分两种情况讨论：①当PQ平行等于AB时，PQ=4，当P在y轴右侧时，P的横坐标为4，当P在y轴左侧时，P的横坐标为-4，所以P1（4，53），P2（-4，7）.②当PQ与AB互相平分时，PQ过AB的中点（1，0），可得P的横坐标为2，所以P3（2，-1）.综上所述P的坐标为（4，53）或（-4，7）或（2，-1）.数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.在运用分类思想解决点的存在性问题时，其关键是抓住图形的特征，进行系统的分类，既不重复、也不遗漏. 另外在解决此问题时往往先假设问题的存在，再通过对图形的特性的分类得出相应线段的等量关系，并转化为方程来解决问题.。
函数图象上点的存在性问题中的全等相似与角度
函数图象上点的存在性问题中的全等相似与角度在函数图象上，存在性问题是指在特定的函数图象上是否存在满足特定条件的点或曲线。
全等相似是指，在两个函数图象之间是否存在一个相似的关系，即两个图象的形状和大小完全相同。
角度是函数图象中的重要概念，它是指两条曲线或直线之间的夹角大小。
对于存在性问题而言，我们可以根据函数的性质和图象的特点来判断是否存在满足一些条件的点或曲线。
首先，对于连续函数而言，由于连续函数的性质，可以通过利用函数的连续性来判断是否存在满足特定条件的点。
例如，在一个连续函数的图象上，如果可以找到满足f(a)<c<f(b)或f(a)>c>f(b)条件的两个点a和b，根据连续函数的介值定理，可以确定在这两个点之间一定存在一个点x，使得f(x)=c。
其次，对于极值点的存在性问题，我们可以通过导数的性质来判断。
如果一个函数在其中一点处的导数为零，那么该点可能是一个极值点。
当函数的导数在一些区间内既为正数又为负数时，这意味着在该区间中必然存在一个极大值点和一个极小值点。
对于全等相似问题，我们需要考虑两个函数图象的形状和大小是否相同。
如果两个函数图象的函数表达式相同，并且其图象上的点完全对应，那么这两个图象就是全等相似的。
例如，比较两个线性函数 y = kx，其中k1 ≠ k2 ，很明显它们并不是全等相似的，因为这两个函数之间不存在等比例关系。
在角度的问题中，我们需要考虑两个曲线或直线之间的夹角大小。
在函数图象中，我们可以通过求导数的方式找到两个曲线在其中一点处的切线斜率，然后计算两个切线之间的夹角。
另外，我们还可以使用两条直线的斜率来计算其夹角大小。
在直角坐标系中，两条曲线或直线之间的夹角可以通过向量的内积公式来计算。
总的来说，在函数图象上的存在性问题中，我们可以利用函数的连续性和导数的性质来判断点或曲线的存在性。
在全等相似问题中，我们需要比较两个函数图象的形状和大小。
而在角度的问题中，我们可以通过求导数或使用向量的内积公式来计算两个曲线或直线之间的夹角大小。
函数图象中点的存在性问题
第一部分函数图象中点的存在性问题这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式,然后在函数的图象上探求符合几何条件的点.简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式.复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,进而用待定系数法求函数的解析式.还有一种常见题型,解析式中有待定字母,这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解,或者根据题意列出方程组求解.§1.1因动点产生的相似三角形问题相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步: 寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分=和=两种情况列方程.应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.如图,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减.如图1所示,已知二次函数y=-x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过A(3, 1)、C(0, 4)两点,顶点为M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2) 若将该二次函数的图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;(3) 点P是直线AC上的动点,若点P、C、M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).图1 备用图如图1,已知抛物线y=ax2-x+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1, 0),顶点为B.点C(5, m)在抛物线上,直线BC交x轴于点E.(1) 求抛物线的表达式及点E的坐标;(2) 连结AB,求∠B的正切值;(3) 点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M(位于点E右侧),当△CGM 与△ABE相似时,求点M的坐标.图1如图1,△ABC的边AB是☉O的直径,点C在☉O上,已知AC=6cm, BC=8cm,点P、Q分别在边AB、BC上,且点P不与A、B重合,BQ=kAP(k>0),连结PC、PQ.(1) 求☉O的半径长;(2) 当k=2时,设AP=x, △CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3) 如果△CPQ与△ABC相似,且∠ACB=∠CPQ,求k的值.图1 备用图如图1所示,直线y=-x+c与x轴交于点A(3, 0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B.(1) 求点B的坐标和抛物线的解析式;(2) M(m, 0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N.①点M在线段OA上运动,若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;②点M在x轴上自由运动,若三个点M、P、N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M、P、N三点为“共谐点”.请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值.图1备用图§1.2因动点产生的等腰三角形问题我们先回顾两个画图问题:1.已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2.已知线段AB=6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?已知腰长画等腰三角形,用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C.已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外.在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类.如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题既好又快.几何法一般分三步: 分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法.①如图1,如果AB=AC,直接列方程;②如图2,如果BA=BC,那么AC=AB cos∠A;③如图3,如果CA=CB,那么AB=AC cos∠A.代数法一般也分三步: 罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来.图1图2图3如图1所示,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0, 4),抛物线y=x2+bx+c经过点A交y轴于点B(0, -2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD ⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;(3) 如图2所示,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.图1图2备用图如图1所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A、B两点,与y 轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连结CE,已知点A、D的坐标分别为(-2, 0)、 (6, -8).(1) 求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;(2) 试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0, m),直线PB与直线l交于点Q.试探究: 当m为何值时,△POQ是等腰三角形.图1如图1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3, 1),点B的坐标为(6, 5),点C的坐标为(0, 5),某二次函数的图象经过A、B、C三点.(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 假如点Q在该二次函数图象的对称轴上,且△ACQ是等腰三角形,请直接写出点Q的坐标;(3) 如果点P在(1)中求出的二次函数的图象上,且tan∠PCA=,求∠PCB的正弦值.图1如图1,矩形ABCD中,AB=6, BC=8, P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD是矩形,连结CF.(1) 若△PCD为等腰三角形,求AP的长;(2) 若AP=,求CF的长.图1如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(-3, 0),点B的坐标为(4, 0),连结AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时动点Q从点O出发,在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒,连结PQ.(1) 填空: b= , c= ;(2) 在点P、Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;(3) 在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;(4) 如图2,点N的坐标为-,线段PQ的中点为H,连结NH,当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q'的坐标.图1 图2备用图如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-x-与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4, n)在抛物线上.(1) 求直线AE的解析式;(2) 如图2,点P是直线CE下方抛物线上的一点,连结PC、PE.当△PCE的面积最大时,连结CD、CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK 的最小值;(3) 点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2-x-沿x轴正方向平移得到新抛物线y', y'经过点D, y'的顶点为F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图1 图2。
二次函数图象上点的存在性问题
联合函数y＝x2 可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P（3，9）
M
练习：(2009—2010 昌平二模)如图，抛物线y=ax2+bx-4a经 过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关 于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点， 且∠DBP=45°，求点P的坐标．
例1已知抛物线 y＝x2－2x－3 的的顶点为 D，点 P、 Q 是抛 物线上的动点，若△DPQ 是等边三角形，求△DPQ的面积。
解：根据 y＝x2－2x－3可得D（1，-4），因为△QPD是等边三
角形，所以直线DQ的斜率为 ，因为D（1，-4），
所以l DQ: y＝ x-4-
,与二次函数y＝x2－2x－3联立起来解方 程，可得xQ=1+
∵P点在抛物线上，
∴P (
)
全等、相似与角度
板块二：二次函数与多个角
技巧和方法： 在抛物线上找点，满足两角和(差)关系。
例1二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于 C 点，在二次函数的图 象上是否存在点 P，使锐角∠PCO＞∠ACO？若存在，请你 求出 P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。
例3 (2010 苏州)如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B。 已知 A、 B 两点的坐标分别为(3， 0)、 (0， 4)。 ⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P， PA2＋PB2＋PM2＞28 是否总成立？ 请说明理由
解：(1) （1）设y=a(x-3)2，把B（0，4）代入，得a= （2）∵m，n为正整数∴ (m-3)2 应该是9的整数，∴m是3的倍数， 又∵m>3，∴m=6，9，12...， 当m=6时，n=4，此时MA=5，MB=6， ∴四边形OAMB的四边长为3，4，5，6， 当m≥9时，MB>6，∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的 正整数，∴点M坐标只有一种可能（6，4）； （3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
存在的问题总结和改进方法
存在的问题总结和改进方法一、问题总结在我们的工作和生活中，存在着许多问题，这些问题涉及到各个方面，有的是由于工作流程不合理产生的，有的是由于个人行为不规范造成的。
下面将就一些常见的问题进行总结，以便我们能够更好地改进和提高。
1. 沟通不畅在工作和生活中，由于沟通不畅造成的问题屡见不鲜。
协作团队中，可能因为信息传递不及时，导致工作出现误差；在家庭中，家庭成员之间的沟通不畅可能导致争执和不愉快。
这些问题对于工作效率和人际关系的发展都是不利的。
2. 欠缺创新在现代社会，创新已成为推动社会进步的重要力量。
然而，许多人在工作中缺乏创新意识，只是按部就班地完成任务，缺乏对问题的重新思考和解决方案的尝试。
这样的情况下，很难有新的突破和进步。
3. 缺乏团队合作精神在一个团队中，如果每个成员只顾自己的利益而不考虑整体利益，团队的工作效能将会大大降低。
缺乏团队合作精神会导致工作分工不明确，任务难以完成，团队内部的冲突也会频繁发生。
4. 管理不善在工作中，管理问题也是一个常见的困扰。
领导者可能没有明确的工作目标和计划，缺乏目标导向的管理。
他们可能缺乏与员工有效地沟通和协作，导致团队效益低下。
二、改进方法面对上述问题，我们需要采取一些措施来解决和改进。
1. 加强沟通沟通的重要性不言而喻。
我们应该努力改善沟通渠道，确保信息的准确传递。
可以利用现代科技手段，如电子邮件、即时通讯工具等，加强团队内部的沟通。
此外，组织培训课程，帮助员工提高沟通技巧和意识。
2. 鼓励创新我们应该鼓励员工提出新的创意和解决方案。
可以建立一个创新团队或者开设创新活动，提供一些奖励机制来激励员工参与创新。
此外，管理者也应给予员工更多的自由度和支持，让他们有机会去思考问题、尝试新的方法。
3. 培养团队合作精神为了培养团队合作精神，我们可以推行合作项目，让员工在项目中学会与他人合作。
此外，组织一些团建活动，增进团队成员之间的了解和信任，为团队合作奠定基础。
点的存在性问题
2007年中考压轴题汇编（一）点的存在性问题：1、（福建龙岩）如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-=………2分（2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，…………5分 把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-……6分215466y x x ∴=-++…………………………………7分（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ············································································ 8分在1Rt ANP △中，1PN ====152P ⎛∴- ⎝⎭， ·········································································································· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △中，22MP ==== ···· 10分252P ⎛∴ ⎝⎭···································································································· 11分 ③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK =···································································· 13分3(2.51)P ∴-， ················································································································ 14分 注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 2、（河南）如图，对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）①当四边形OEAF 的面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3、（山东临沂）如图①，已知抛物线的顶点为A (2，1)为B 。
函数图像中点的存在性问题
专题：函数图像中点的存在性问题一、因动点产生的等腰三角形例1、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．练习已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线54y=作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点3(1,)4F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.二、因动点产生的相似三角形问题例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长；（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ．①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标；②若⊙M 的半径为，求点M 的坐标．练习如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）三、因动点产生的直角三角形例3、如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．练习如图，二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴交于1(,0)2A -,(2,0)B 两点，且与y 轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A C D B、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A C B P、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.四、因动点产生平行四边形例4、如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．图①BCDPQ图②BCDPQ练习、如图1，抛物线b ax ax y +-=221经过点A （－1，0），C （0，23）两点，且与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线的顶点为点M ，点P 为线段AB 上一动点（不与B 重合），Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x ，MQ=222y ，求2y 于x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于E 、G 两点，与（2）中的函数图像交于F 、H 两点，问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求出m 、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．图 1图 2。
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（m>0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点 P 在△ABC
内，求 m 的取值范围．
（3）若点 M 在 y 轴上，且∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求点 M 的坐标．
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3. 如图 1，抛物线 yax2bxc（a≠0）的顶点为 C(1，4)，与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 D，其中点 B 的坐标为(3，0)． （1）求抛物线的解析式． （2）如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，与 y 轴交于点 F，其 中点 E 的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为直线 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使以 D，G，F，H 四点为 顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及 G，H 两点的坐 标；若不存在，请说明理由． （3）如图 3，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 轴的垂线，垂足 为 M，过点 M 作直线 MN∥BD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，使△ DNM∽△BMD？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由．
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4. 如图，过原点的抛物线 y x2 +2mx（m>0）与 x 轴的另一个交点为 A．过 点 P(1，m)作直线 PM x 轴于点 M，交抛物线于点 B．记点 B 关于抛 物线对称轴的对称点为 C（B，C 不重合）．连接 CB，CP． （1）当 m3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长． （2）当 m>1 时，连接 CA，问 m 为何值时 CA⊥CP？ （3）过点 P 作 PE PC 且 PEPC，问是否存在 m，使得点 E 落在坐 标轴上？若存在，求出所有满足要求的 m 的值，并求出相对应的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
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5. 如图，已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 的坐标 为(0，2)，点 E 为线段 AB 上的一动点（点 E 不与点 A，B 重合）．以 E 为顶点作∠OET45°，射线 ET 交线段 OB 于点 F，C 为 y 轴正半轴 上一点，且 OCAB，抛物线 y 2 x2+mx+n 的图象经过 A，C 两点． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）求证：∠BEF∠AOE． （3）当△EOF 为等腰三角形时，求点 E 的坐标．
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（4）在（3）的条件下，设直线 EF 交 x 轴于点 D，P 为（1）中抛物线上 一动点，直线 PE 交 x 轴于点 G，在直线 EF 上方的抛物线上是否存在一
点 P，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（ 2 2 1 ）倍？若存在，请直．
接．写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2. 如图，经过点 A(0，-4)的抛物线
y 1 x2 + bx+c 与 x 轴交于点 B(-2，0)和点 C，O 为坐标原点． 2
（1）求抛物线的解析式．
（2）将抛物线 y 1 x2+bx+c 先向上平移 7 个单位长度、再向左平移 m
1. 如图，抛物线 y ax2 bx 4a 经过 A(1，0)，C(0，4)两点，与 x 轴交于另一点 B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 BD，点 P 为抛物线上一点，且 DBP 45 ， 求点 P 的坐标．