一元二次方程 (思维导图+资料)

1、 会用配方法解二次项系数为１的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成()0()2≥=+n n m x 形式的过程,进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。

重点:使学生掌握配方法,解一元二次方程难点:把一元二次方程转化为的（ｘ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。

（a +b ）２ = （a -b )2=2、 用直接开平方法解下例方程:（1） （2)134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （２）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题２、能否将方程0462=++x x 转化为(n m x =+2)的形式呢?由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）２= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0,再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

(1)2x －4x+3=0. (２）x 2+3x-1 ＝ 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空:（1)x 2+６x ＋ ＝(x+ ）2；(2)ｘ2-２x ＋ =(ｘ－ ）２；(3)x 2-５x+ =(x- )2；(4)ｘ２+x+ =(x+ )２; (５)ｘ2+p ｘ+ =(ｘ+ ）2;２、将方程x 2+２x-3=0化为（ｘ+m)２=n 的形式为 ；3、用配方法解方程ｘ２+4ｘ-2＝0时，第一步是 ,第二步是 ,第三步是 ,解是 。

１、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=０，则方程可变形为( ) A.(x-４)2＝9 B.（x+4)2=9 C.（x －8)2=１６ D.(x ＋８)2=５72、、已知方程ｘ２－５x+q=０可以配方成（ｘ-25 )２=46的形式,则q 的值为( ） A.46B.425 Ｃ. 419 Ｄ. -419 3、、已知方程x ２－6ｘ+q=0可以配方成(x-ｐ ）2=7的形式，那么ｑ的值是（ ）Ａ.9 B.7 C.２ D.-２ 4、、用配方法解下列方程:(1)x 2-4ｘ=５； (2)x 2－100x-1０１=０； (3)ｘ2+8x+9=0; （4)y 2＋22y-4=0;5、试用配方法证明：代数式ｘ2+3x-23的值不小于－415。

1、用配方法解下列方程:(１)ｘ2-6x-16=0； (２）x ２＋3x －2=0； 2、请你思考方程x 2-25ｘ+１=0与方程2x 2-５x+2=0有什么关系？三、学习内容 问题1、如何解方程２ｘ2-5ｘ+2=0?01832=++x x-01432=++x x四、知识梳理问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程,用配方法求解时要注意什么？ 问题2、:用配方法解一元二次方程的步骤是什么? 系数化一，移项,配方,开方,解一元二次方程 1、填空：(１)x ２-31x ＋ ＝(x- )2, （2)2x 2－3x+ =2(x- )２. 2、用配方法解一元二次方程２ｘ2－5x －8＝0的步骤中第一步是 。

3、方程2(x ＋4)２-10=０的根是 . 4、用配方法解方程2x 2－4ｘ+３＝０,配方正确的是( )A ．2x 2-4x ＋４=3+4 B. 2x 2－4x+４=-3+4C.ｘ2－2x ＋１＝23+1 D. ｘ2-2ｘ+1=-23+1 ５、用配方法解下列方程：(１）04722=--t t ; （2)x x 6132=-1、用配方法解下列方程,配方错误的是( ）A ．ｘ2+２x-９9=0化为(x ＋1)2=100B ．t 2-7t －4=0化为（t-27）２=465 C.x 2+8x ＋9=0化为（x+4)2=2５ Ｄ.3ｘ２－４x －2=0化为(x-32)2＝9102、a ２＋b 2+2ａ-4b+5=(a+ )2+(b － )2２、用配方法解下列方程：(1)2x ２+1＝3x; (２)３y ２-y-2=０； ３、试用配方法证明：２ｘ２-x+３的值不小于823． 4、已知(a ＋b)2=1７,ab=３.求(ａ－b)2的值． 一、知识目标1、 会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b ２－4ac ≥0３、在公式的推导过程中培养学生的符号感重点：掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误二、知识准备1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么?2、 用配方法解下例方程(1）02722=--x x （2）05422=+-x x三、学习内容问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0（a ≠0)?回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流，达成共识：因为0a ≠，方程两边都除以a ,得 20b cx x a a ++= 移项，得 2b c x x a a +=-配方,得 222)2()2(22ab ac a b x a b x +-=+••+ 即 2224()24b b acx a a -+=问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b 2-４ac ≥0？当240b ac -≥,且0a ≠时,2244b aca -大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见,得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >,从而22404b aca-≥ 到此,你能得出什么结论?让学生讨论、交流，从中得出结论，当240b ac -≥时,一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为22b x a a +=±，即2b x a-±=。

由以上研究的结果,得到了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式:2b x a-±= （240b ac -≥)这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。

例 6 解下列方程:⑴ x ２＋3x+２ ＝ 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4四、知识梳理 引导学生总结:1、用公式法解一元二次方程时要注意什么?２、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗?举例说明。

３、若解一个一元二次方程时，ｂ２－4ａc ＜０，请说明这个方程解的情况。

五、达标检测达标检测一1、把方程4－ｘ2=３x 化为ax 2+bx+c=0(a≠0）形式为 ，b 2-4ac= .2、方程x 2＋ｘ－１=0的根是 。

3、用公式法解方程2ｘ２＋４3x=２2，其中求的b 2-4ａc 的值是( ）Ａ.16 B. ±４ C ． 32 Ｄ．644、用公式法解方程x ２=-8x-１５，其中b 2－４ac= ,方程的根是 .。

5、用公式法解方程3x ２+4=12x ，下列代入公式正确的是( ） Ａ.x 1.2=21214412-± B ． x 1.２=21214412-±-C. x 1.2=21214412+± Ｄ. x 1．２=64814412-±达标检测二1、把方程(2ｘ-1）(x+3)=x 2＋１化为ax 2 + b ｘ + c ＝ 0的形式,ｂ２-4ac ＝ ，方程的根是 .２、方程042=-x x 的解为 ．3、方程(x-1)(x-3)=2的根是( ) A ． ｘ1=１,x 2=3Ｂ.x=2±23 C.x ＝2±3 D.x ＝-2±２3４、已知y=ｘ２-２ｘ-3,当x= 时，y 的值是-３ ５、用公式法解下列方程：(1)x ２-2x-8=０； (2）ｘ2＋２x －4=0;(3)2x 2-3ｘ－2＝0; (4)3ｘ(3x-2）＋1=0．4、 已知等腰三角形的底边长为9,腰是方程210240x x -+=的一个根,求这个三角形的周长。

一、学习目标１、用公式法解一元二次方程的过程中,进一步理解代数式b 2－4a ｃ对根的情况的判断作用2、能用b ２－４ac 的值判别一元二次方程根的情况 3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 重点:一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值一、知识准备1、 一元二次方程ａｘ2＋bx ＋c = 0（a ≠0)当240b ac -≥时，Ｘ1,2 =2、 解下例方程:（1)ｘ2 -4ｘ+4=０ （2)2ｘ2 -３x -4＝0 (3) x 2＋3ｘ＋5=0三、学习内容 １、情境创设1、引导学生思考:不解方程,你能判断下列方程根的情况吗?⑴ x 2+２ｘ－８ = ０ ⑵ x 2 = 4x-4 ⑶ x 2-3x = -3 2、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗?能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢?例 解下列方程:⑴ ｘ2＋x －1 = 0 ⑵ x ２－23x+3 = 0 ⑶ 2x 2－2ｘ＋1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出ｂ2-４ac 的值可以发现它的符号决定着方程的解。

3、 你能得出什么结论?由此可以发现一元二次方程ａｘ2+ｂx +c = 0(a ≠０)的根的情况可由b 2－4ac 来判定:当b 2-4ac ＞０时,方程有当ｂ2-4ａｃ = 0时,方程有当b 2－4ac < ０时，方程我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋ｂｘ+c = 0(ａ≠0)的根的判别式。

４、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢?当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b 2-4a ｃ当一元二次方程有两个相等的实数根时, ｂ2－4ac当一元二次方程没有实数根时，b 2－4ａｃ例题教学不解方程,判断下列方程根的情况:1、2260x x +-=; 2、242x x +=; 3、x x 3142-=+四、知识梳理请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系五、达标检测达标检测一１、方程3x ２+２=４x 的判别式ｂ２-4ac= ，所以方程的根的情况是 .２、一元二次方程ｘ2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定 3下列方程中，没有实数根的方程式( ）A ．ｘ2＝9 B.4x ２=３(４ｘ-1)C.x(x+１）=1D.2y ２+６y+７=0 4、方程ax 2+b ｘ＋c ＝0(a≠0)有实数根,那么总成立的式子是（ ）A ．ｂ2－4ac ＞0 B. ｂ2-４ac<０C ． ｂ２－４a ｃ≤0 D ． b 2－4ａｃ≥０5、如果方程9ｘ2-(k+６)x+ｋ+１=0有两个相等的实数根，那么k= .达标检测二1、方程(2x ＋1)(9x+8)＝1的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 Ｃ.无实数根 D.不能确定 2、关于x 的一元二次方程 的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．无法确定３、关于ｘ的方程x ２+２k ｘ+1＝0有两个不相等的实数根，则ｋ( )A.k ＞-１ Ｂ.k≥-1 Ｃ．ｋ>１ D ．k≥０４、已知方程x ２-mx ＋n=０有两个相等的实数根,那么符合条件的一组m ，ｎ的值可以是m= ，ｎ= .5、若方程2610kx x -+=有实数根，则k 的范围是__＿＿_＿______＿____＿___。