江苏省仪征市第三中学苏科版九年级数学下册课件：64探索三角形相似的条件(5)(共15张PPT)

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2019年秋苏科初中数学九年级下册《6.4 探索三角形相似的条件》PPT课件 (4)(精品).ppt

B、△ABC中，
AB＝18， BC＝20， CA＝35，
△A′B′C′中，A′B′＝36，B′C′＝40，C′A′＝70
C、△ABC和△A′B′C′中，有 AB BC ∠C＝∠C′ AB BC
D、△ABC中，∠A＝42 o，∠B＝118 o， △A′B′C′中，∠A′＝118 °，∠B′＝15°
A、B、C在单位正方形的顶点上，
请在图中画一个△A1B1C1 使
△ A1B1C1 ∽△ABC （相似比不为1），
C
且点都在单位正方形 A B
的顶点上 .
12
例4
要做两个形状完全相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别为3、4、5，另一个框架的一边长为6，怎样选料可以使两个三角形相似？
13
变式一
要做两个形状完全相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别为 3、4、5，另一个框架的两边长为6、 8,怎样选料可以使两个三角形相似？
14
变式二
一个三角形钢架的三边长分别为20 cm、50 cm和60 cm．现在要做一个与其相似的三角形钢架，而只有长为30 cm和 50 cm的两根钢管，要求以其中一根钢管为一边，将另一根钢管截成两段作为另两边组成三角形(可剩余)．你认为有几种不同的截法？
DE EF FD
解：假设AB＞DE，在AB上截取AM＝DE，过点M
作MN∥BC，交AC于点N，在△ABC和△AMN，
M B
A
N CE
∵MN∥BC
D ∴△ABC∽△AMN，
∴ AB BC AC
AM MN AN
F
又∵
AB DE

BC EF

CA FD
AM＝DE，

初中数学九年级下册苏科版6.4探索三角形相似的条件教学设计

8.拓展延伸，培养兴趣
引导学生探索相似三角形在其他领域的应用，如摄影、艺术、建筑等。通过拓展延伸，培养学生的数学兴趣和创新能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，教师首先向学生展示一组生活中的相似图形，如同一张照片放大前后的对比、建筑图纸的缩放等。通过这些实例，引导学生观察并思考相似图形在实际生活中的应用。接着，教师提出问题：“同学们，你们知道这些图形之间有什么共同特征吗？它们之间存在着怎样的关系？”激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的判定条件（AA、SAS、SSS），能够准确判断两个三角形是否相似。
2.学会运用相似三角形的性质进行几何证明，解决实际问题。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高解题技巧。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过展示生活中常见的相似图形，如照片放大缩小、建筑设计等，让学生感受相似三角形的应用价值，激发学生学习兴趣。
3.小组合作，探讨相似三角形在其他领域的应用，例如艺术、摄影、建筑等。每组完成一份报告，内容包括相似三角形的应用场景、判定条件、性质及解题方法等。报告要求图文并茂，条理清晰。
4.根据课堂学习，结合自己的学习体会，撰写一篇关于相似三角形判定和性质的学习心得，字数不限。要求学生从自己的角度出发，阐述对相似三角形的认识，以及在解题过程中的困惑和收获。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，教师首先引导学生回顾本节课所学的内容，包括相似三角形的判定条件、性质以及应用。通过提问、讨论等形式，让学生自主总结相似三角形的判定方法和解题技巧。
接着，教师对学生的总结进行补充和概括，强调相似三角形在实际生活中的应用价值，以及它在几何证明中的重要作用。最后，教师布置课后作业，要求学生在课后进一步巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。

2020年苏科版九年级数学下册6.4：探索三角形相似的条件第一课时课件

C
l3
F
ab
A
D l1
B
E l2
C
F l3
度量AB、BC、DE、EF的长度，发现 AB DE BC = EF
二、操作与思考：书P53
按下面右图画法，上面结论还成立吗？
ab AD
一般到特殊
a
l1
A
B
E l2
B
b D l1
E
l2
C
F l3
FC
l3
注意:平行线分线段成比例得到的比例式中,
四条线段与两直线的交点位置无关!
OA OC
A
C
OF OE ， OC OB
OD OE . OA OB
例题 2
2、（1）在ΔABC中，DE // BC，AD= 6， AB= 9 ， DE= 4，则BC的长是___6____
（2）若DE : BC = 2 : 5，则 AD : DB =____2_:__3_ （3）若BC= 7，DE=4，AE= 8，
B
C
填空
CE BE
A D
B
E
C
BC
AD
CE
AC
AE DF EB FC
A
D
G
F
E
B
C
(3) 如图：DE∥BC、 DE∥FG∥BC、 AC∥BD
64 9
EC=( 6 )
12
15
10
9
AE=( 8 ) GC=( 6 )
63 4
AD=( 14 )
六、例题
例3 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， EC=1,BC=8.求DE.
B
E l2
你能用文

苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》说课稿

苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》这一节主要让学生理解并掌握三角形相似的判定方法。

在学习了相似图形的性质和判定方法之后，学生能够通过观察、操作、推理等过程，探索并证明两个三角形相似的条件。

教材通过丰富的素材，引导学生积极参与，培养学生的几何思维能力和推理能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似图形的概念，对图形的相似性有一定的认识。

但是，对于三角形相似的判定方法，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，通过引导他们观察、操作、推理，帮助他们理解和掌握三角形相似的条件。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解三角形相似的概念，掌握三角形相似的判定方法。

2.过程与方法目标：培养学生观察、操作、推理的能力，提高他们的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极参与、合作交流的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：三角形相似的概念，三角形相似的判定方法。

2.教学难点：三角形相似的判定方法的灵活运用，能够通过观察、操作、推理等过程，探索并证明两个三角形相似的条件。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作交流法等，引导学生积极参与，培养他们的几何思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，直观展示三角形相似的判定过程，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习相似图形的性质，引导学生自然过渡到三角形相似的概念。

2.新课讲解：讲解三角形相似的概念，引导学生通过观察、操作、推理，探索并证明三角形相似的条件。

3.案例分析：分析一些具体的例子，让学生运用三角形相似的判定方法，巩固所学知识。

4.练习与拓展：布置一些练习题，让学生独立完成，检测他们对三角形相似的判定方法的掌握程度。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调三角形相似的判定方法的重要性和应用。

苏科版九年级数学下册_6.4探索三角形相似的条件

相似，否则BCD 的边长为4a，
知3－讲
则AD=CD=BC=4a.
∵ Q 是CD 的中点，BP=3PC， DQ AD
∴ DQ=CQ=2a，PC=a. ∴ CP=QC =2
在△ADQ和△QCP中， DCQP=AQDC ，∠D= ∠C=90°， ∴△ADQ∽△QCP.(两边成比例且夹角相等的两个三
再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时,应注意挖
掘公共角、对顶角、同角(等角)的余角( 补角) 等隐
含条件.
感悟新知
证明：∵ EF ⊥ EC，∴∠ FEC ＝ 90°．
知2－讲
∴∠ AEF+ ∠ DEC ＝ 180°－90°＝ 90°．
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ A ＝∠ D ＝ 90°．
∴∠ AFE+ ∠ AEF ＝ 90°．∴∠ DEC ＝∠ AFE．
感悟新知
知识点 5 利用三边关系判定两个三角形相似知5－讲
1. 定义三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心； 2. 符号语言如图6.4-12，在△ ABC 中，AD、BE、CF 分别是
△ ABC 的三条中线，且它们相交于点G，则点G 是△ ABC 的重心．反之，也成立．
感悟新知
3. 特别解读
∴MBDN=CCMD =MBDN，即M9N=23.
解得MN ＝ 6．
感悟新知
知5－讲
特别提醒：三角形重心的性质与“由平行，得相似”的结论在
填空、选择题中可以直接应用，而在证明题中不能直接应用，需要增加适当的说理．
课堂小结
相似三角形的判定
探索三角形相似的条件
平行线截对应
平行线的性质
线段成比例
知5－讲
AB ＝ 18，MN ∥ AB，则MN ＝______6_____．

(苏科版)九年级下册：6.4《探索三角形相似的条件》ppt课件

6.4 探索三角形相似的条件（4）
新知还有没有其他办法判断两个三角形相似?
三组对应
A
边的比相等
A'
B
C B'
C'
AB BC AC
＝＝
A'B' B'C' A'C'
是否有△ABC ∽△ A'B'C'?
6.4 探索三角形相似的条件（4）
结论 A A'
＝＝
B
AB BC AC A'B' B'C' A'C'
6.4 探索三角形相似的条件（2）
议一议：
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD是△ABC的高．找出图中所有的相似三角形．
6.4 探索三角形相似的条件（2）
练一练：
1.判断下列说法是否正确？并说明理由．
（1）所有的等腰三角形都相似． ( ) （2）所有的等腰直角三角形都相似．( ) （3）所有的等边三角形都相似． ( ) （4）所有的直角三角形都相似． ( ) （5）有一个角是100°的两个等腰三角形都相似．( ) （6）有一个角是70°的两个等腰三角形都相似．( )
6.4 探索三角形相似的条件（4）
6.4 探索三角形相似的条件（4）
回顾如何判断两三角形是否相似?
定义：两三角形对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似．
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．
两角分别相等的两个三角形相似．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
所截得的三角形与原三角形相似.
A 符号语言：
在△ABC中，如DE∥BC，

苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》说课稿5)

苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》说课稿5）一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》是本节课的主要内容。

在这一节中，学生将学习到三角形相似的定义、性质和判定方法。

教材通过丰富的实例和图形，引导学生探索和发现三角形相似的条件，培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。

本节课的内容是学生进一步学习几何知识的基础，对于学生形成系统的几何概念和思维具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和观察能力有一定的基础。

但是，对于三角形相似的概念和判定方法，学生可能初次接触，需要通过实例和图形来理解和掌握。

此外，学生可能对于抽象的几何概念和定理的学习有一定的困难，需要教师的引导和启发。

三. 说教学目标本节课的教学目标有三：1.知识与技能目标：学生能够理解三角形相似的定义，掌握三角形相似的性质和判定方法。

2.过程与方法目标：学生通过观察实例和图形，培养观察能力、思考能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习困难，增强对数学学习的信心和兴趣。

四. 说教学重难点本节课的重难点是三角形相似的性质和判定方法的理解和应用。

学生需要通过观察实例和图形，发现和总结三角形相似的性质和判定方法，并能够运用到具体的题目中。

五. 说教学方法与手段本节课采用启发式教学法、案例教学法和小组合作学习法。

教师通过提问、引导和启发，引导学生主动思考和探索。

通过丰富的实例和图形，让学生直观地理解和掌握三角形相似的概念和性质。

同时，采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作能力和沟通能力。

六. 说教学过程1.导入：教师通过提问，引导学生回顾平面几何的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.探究：教师展示丰富的实例和图形，引导学生观察和思考，发现三角形相似的条件。

学生通过小组合作学习，共同探讨和总结三角形相似的性质和判定方法。

9年级数学苏科版下册课件第6单元《探索三角形相似的条件》课件

A′ ∴△ABC∽△AB″C″，
∴ AB AC AB AC
B
C B′
C′又∵ AB AC
A' B' A'C'
AB″＝A′B′，∴AC″＝A′C′，
∵∠A＝∠A′，
∴△AB″C″≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′
归纳总结判定两个三角形类似的方法：
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形类似。
A
D
（1）在AB上取一点D，当
C
AD=_____cm时，
B
△ACD∽△ABC；
（2）在AC的延长线上取一点
E，当CE=____cm时，
△AEB∽△ABC；
此时，BE与DC有怎样的位置关
E
系？为什么？
随堂练习
1、如图,在△ABC中,D在AB上,
要说明△ACD∽△ABC类似,
已经具备了条件
,
还需添加的条件是
合作探究
1、如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∠A＝∠A′， AB AC 2 ,
AB AC
比较∠B和∠B′的大小.由此，你能判断 △ABC和△A′B′C′类似吗？为什么？
A A′
B
C B′
C′
2、在上题的条件下，设 AB AC K
AB AC
改变k的值的大小，（ ∠A＝∠A′不变）再试一试，你能判断△ABC与△A′B′C′ 类似吗？
探索三角形类似的条件
复习回顾
1.什么叫类似三角形？ 2. 类似三角形有哪些特征？
D A
B
CE
F
3. 如何判断两个三角形类似？
(1)平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形类似。

(苏科版)九年级下册：6.4《探索三角形相似的条件(5)》ppt课件

6.4 探索三角形相似的条件（5）
小结
通过这节课的学习，你学习到什么新
知识？获得了什么经验？还有什么疑问？
初中数学
九年级(下册)
6.4
探索三角形相似的条件（5）
6.4 探索三角形相似的条件（5）
回顾 1．如何识别两三角形是否相似? 2．什么叫黄金分割点?
定义：两三角形对应角相等，对应边的
比相等的两个三角形相似．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．两角分别相等的两个三角形相似．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．三边成比例的两个三角形相似．
6.4 探索三角形相似的条件（5）
新知
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
BD是△ABC的角平分线．（1）△ABC 与△BDC 相似吗？为什么？
（2）判断点D是否是AC的黄金分割点， A 并说明理由．
☆顶角为36º的等腰三角形是黄金三角形； D

☆点D是线段AC的黄金分割点．
☆再作∠C的平分线，交BD于E，△CDE 也是黄金三角形． C
E
B
6.4 探索三角形相似的条件（5）
尝试如图,正五边形ABCDE的5条边相等，5 个内角也相等．（1）找找看，图中是否有黄金三角形？（2）点F分别是哪些线段的黄金分割点？ A B
M N
F C
H G D
E
6.4 探索三角形相似的条件（5）
思考如何证明三角形的三条中线相交于一点？
A
还有其他方法吗？
A
F
G
E
F
G
E
B
C B
D
C
6.4 探索三角形相似的条件（5）
新知三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．

苏科版九年级下6.4探索三角形相似的条件专题练习含答案

第六章《图形的相似》（探索三角形相似的条件）一．选择题1．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或二．填空题（共6小题）7．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB 上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP ∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有对．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=时，△OMN与△BCO相似．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时，△AED与△ABC相似．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．三．解答题（共16小题）13．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C 匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？26．如图，巳知AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？28．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．（1）如图②，当β=°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形，（不含全等三角形），并选一对证明．参考答案与解析一．选择题1．（2016•河北）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2．（2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选D．【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形．6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．二．填空题7．（2016•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB ∥DE．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB 上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（0，），（2，0），（，0）．【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP ∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到=，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABC，∴=，∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB==5，∵点C是AB的中点，∴AC=，∴=，∴AP=，∴OP=OA﹣AP=4﹣=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．故答案为（0，），（2，0），（，0）．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP ∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有16对．【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．【解答】解：∵AD∥BF，∴△BFE∽△ADE，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠CBE，∵DE∥BP，∴∠E=∠PBA，∴△BFE∽△APB，∵AE∥DC，∴△BFE∽△CFD，∴△ADE∽△APB，∴△ADE∽△CFD，∴△APB∽△CFD，故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．故答案为16．【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN 时，由△OMN∽△BCO，得出==，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD===3，CE==，∵△OMN∽△BOC，∴==，即，∴OM=MN=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴===，即，解得：OM=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当不唯一，如∠ADE=∠C时，△AED与△ABC相似．【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ACB．【点评】熟练掌握相似三角形的判定方法．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为2或4秒．【分析】分两种情况：①E点在DC上；②E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．【解答】解：分两种情况：①如图1，E点在DC上，AE==，DP=，AP==，∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∴=，即=，解得t=2；△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．三．解答题13．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出==，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案．【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠GAF=45°，再加上公共角，于是可判断△EAD∽△EBA．【解答】解：有相似三角形，它们为△EAD∽△EBA．理由如下：∵△ABC和△AFG为等腰直角三角形，∴∠B=∠GAF=45°，而∠AED=∠BEA，∴△EAD∽△EBA．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．解决的关键是灵活运用相似三角形的判断．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE﹣AD即可得解．（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．【分析】首先由在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得△CDE∽△CAB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论．【解答】证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C是公共角，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CE=CA：CB，∴CD：CA=CE：CB，∴△DCE∽△ACB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△CDE∽△CAB是关键．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？【分析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：=时，△BPQ∽△BAC，即=；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，然后方程解方程即可．【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，∵∠PBQ=∠ABC，∴当=时，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有3对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对．故答案是：4．（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR，=，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．===，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，由角的互余关系得出∠BAE=∠CEF，即可证出△ABE∽△ECF；（2）由（1）的结论和已知条件得出BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，得出，证出△AEF∽△ABE，即可得出结论．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）△ABE∽△ECF∽△AEF，理由如下：∵E为BC的中点，∴BE=CE=BC=AB，由（1）得：∴△ABE∽△ECF，∴=2，∴BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，∴DF=3a，∴AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∵=2，∴，又∵∠AEF=∠B=90°，∴△AEF∽△ABE，∴△ABE∽△ECF∽△AEF．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定理进行计算是解决（2）的关键．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C 匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？【分析】设x秒后△PCQ与△ACB相似；则CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．当，或时，△PCQ与△ACB相似，解方程即可．【解答】解：设x秒后△PCQ与△ACB相似．由题知，CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．∵∠C=∠C，当，或，△PCQ与△ACB相似．∴，或，解得：x=，或x=；∴秒或秒后△PCQ与△ACB相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两边成比例得出方程是解决问题的关键．26．如图，巳知AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．【分析】（1）设BP=x，则PD=10﹣x，由于∠B=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当=时，△ABP∽△PDC，即=，当=时，△ABP∽△CDP，即=，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长；（2）设BP=x，则PD=12﹣x，与（1）解答一样，易得=或=，然后分别解方程求出x 的值即可得到BP的长．【解答】解：（1）存在．设BP=x，则PD=10﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣10x+36=0，此方程没有实数解；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为；（2）存在2个P点．设BP=x，则PD=12﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣12x+36=0，解得x1=x2=6；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为6或．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的运用．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（2）过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO=6，BO=8，∴AB===10，。

初中数学九年级下册苏科版6.4探索三角形相似的条件优秀教学案例

3.采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组报告、作业批改等，确保评价的客观性和公正性。
4.根据评价结果，教师及时调整教学策略，以满足学生的个性化需求，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生的已有知识，通过以下步骤激发他们对相似三角形的学习兴趣：
1.复习旧知：简要回顾上一节课所学的三角形知识，如三角形的分类、性质等，为新课的学习做好铺垫。
1.定义讲解：明确相似三角形的定义，即对应角相等、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。
2.判定条件：详细讲解相似三角形的判定条件，包括对应角相等、对应边成比例和AAA相似定理。
3.实例演示：通过具体实例，演示如何运用相似三角形的判定条件解决实际问题，如求线段长度、证明线段平行等。
4.互动提问：在讲解过程中，适时向学生提问，了解他们对相似三角形判定条件的理解和掌握情况。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握相似三角形的定义及判定条件，包括对应角相等、对应边成比例和AAA相似定理。
2.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、证明线段平行等。
3.培养学生运用几何画板、尺规作图等工具绘制相似三角形的能力，提高他们的动手操作能力。
4.提高学生分析问题、解决问题的能力，使他们能够将相似三角形的性质运用到其他数学领域，如平面几何、立体几何等。
此外，利用多媒体教学手段，如几何画板、PPT等，展示丰富的图片和动画，让学生在视觉上感受相似三角形的魅力。情景创设旨在让学生在实践中学习，提高他们对数学知识的认同感和应用意识。
（二）问题导向
以问题为导向的教学方法，有助于激发学生的求知欲和思考能力。在本章节的教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，引导学生自主探究相似三角形的性质。

苏教版九年级数学下册《相似三角形》教学课件

如图：四边形ABCD中∠A=∠BCD=90°，过C作对角线BD的垂线交BD、 AD于点 E、F，
求证：
；
变式：如图：若过BD上任一点E作BD的垂线交 AD、CD于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗 ?
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线 AC⊥BD,垂足为E,AD=BD,过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明 (1)AF=BE （2） AF2=AE·EC
时，填空 AD·AB = AC2
请证明你的结论
变题1，若△ABC中，AC2=AD·AB，你能说明 ∠1与∠B相等吗？
解：∠1= ∠B 因为AC2=AD·AB
又因为∠A= ∠A 所以△ABC ∽ △CBD 所以∠1= ∠B
变题2，将8题中∠ACB变化为90°，CD⊥AB，你能得出AC2=AD·AB吗？你还能得出类似的结论吗？
理由：相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比。
5. 如图，△ABC ∽ △DEF，且BC：EF=1：2， △ABC
的周长为6cm，则△DEF的周长为_1_2___cm。若 △DEF面积为12cm2，则△ABC的面积为__3____cm2.
4题图
理由：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
理由：两边成比例，且夹角相等的
两个三角形相似。
（2）若∠B=50°，则∠1=_____5_0_°_时，△ABC
理由：两角分别相等的两个三角形相似。
（3）若△ABC ∽ △AED，可得
AB AE
AC
AD
，
则AD·AB=__A_E_·_A_C___
理由：三角形相似的对应边成比例。
6题图
∽△AED

江苏省仪征市第三中学数学九年级下册第六章探索三角形相似的条件应用课件(共14张PPT)

10.4 探索三角形相似的条件应用
复习旧知
已知：如图，△ABC中，点D在AB上要使△ADC 与△ACB相似，可以添加一个什么条件？
C
A
B
D
复习旧知
你已经学过哪些说明三角形相似的方法？
①两角对应相等； ②两边对应成比例及夹角相等 ③三组边对应成比例
定义见平行，想相似
复习旧知
1、根据下列条件，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。（1）∠A=70°，∠C=65°，
A
E F
H
B
C
复习旧知
（2）如图，若连接EF，AB·AE=AC·AF成立吗？
（3）EF AF 成立吗？
BC AB
A
E F
H
B
C
应用举例
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的高。（1）图中有哪几对相似三角形？请用符号把它们表示出来，并说明理由；（2）AC是哪两条线段的比例中项？为什么？
∠D=70°，∠E=45°；
（2）∠B=55°，AB=6cm，BC=7cm， ∠E=55°，DE=18cm，EF=21cm；
（3）AB=5cm，BC=8cm， AC=4cm DE=15cm，EF=24cm； DF=12cm
复习旧知
2、（1）如图，在△ABC中，高BF、CE相交于点H，则图中哪些三角形相似？
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
相似三角形的判断方法
及时总结：
1.两角对应相等，两个三角形相似
2.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似
3.三边对应成比例，两个三角形相似 4.见平行,想相似 5.定义
A
Eபைடு நூலகம்

探索三角形相似的条件 PPT课件 5 苏科版

•
74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
•
75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。
•
76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
•
77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
•
78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
•
79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。
河宽的办法.他在自己的岸边选点A、B、 A D,使得AB⊥AO,DB⊥AB,然后确定DO
和AB的交点C.然后测得AC=120
米,CB=60米,BD=250米,你能帮助他算
出莱茵河的宽度吗？
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C B D
小结:
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判定方法1: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
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10.4 探索三角形相似的条件(一)
南京市五十中郭华敏
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1.相似三角形
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形.
2.全等三角形
三角对应相等、三边对应相等的两个三角形.
想一想
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三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似.
问题：
1.两个等边三角形是否相似？ 2.两个黄金三角形是否相似？ 3.有两角对应相等的三角形是否相似？
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
•
63、彩虹风雨后，成功细节中。

苏科版九年级下册数学教学课件第6章图形的相似第5课时三角形相似的判定及三角形的重心

AD=6，GE=3，则AG= 4 ，BE= 9 .
【解析】如图，连接DE，由G为重心，可知
DE为中位线，则DE ∥AB，且 DE 1 AB ，
2
易得△DEG∽△ABG，
可得EG 1 BG, DG 1 AG ，
则
AG
2
2 AD
4
2
，BE=3GE=9.
3
B
A
E G
D
C
CONTENTS4Biblioteka 三角形相似的判定及三角形的重心
的外接圆于点E.△ABE与△CDE相似吗?为什么?
解：△ABE和△CDE相似.
A
∵AB=AC， ∴AB = AC， ∴∠AEB=∠AEC. 在△ABE和△CDE中，
O
B
D
C
E
∵∠AEB=∠DEC，∠BAE=∠DCE，
∴△ABE∽△CDE (两角分别相等的两个三角形相似) .
三角形相似的判定
判定两个三角形相似基本思路：（1）若已知一对等角，则可找另一对等角，或说明夹已知等角的两边成比例. （2）若已知两边成比例，则可说明其夹角相等，或说明第三边也成比例. （3）若出现平行线，则利用“平行于三角形一边的直线与其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”来判定.
三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．
同样可得△G'DE∞△G'AB，
G'E' 1 G'B'. 2
于是，点G'与点G重合，
三角形的三条中线相交于一点.
B
F
E
G'
D
C
三角形的重心
定义：