Minitab两因素方差分析续
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判断为正确。
•存在各范围间的重叠区间
•各点呈现直线状态时，百度文库味着正态性
One Way ANOVA(Unstacked))
➢当数据按水准类别指定在 Col 时使用(Unstack 形态) ➢剩余事项与 Stack 情况相同
Minitab
•Responses:指定按各水准别 有反应值的Col
Two-way ANOVA（两因素方差分析）
Minitab
➢用 Graph 来显示因子的平均值，检讨因子的哪个水准有影响
<方差分析与平均分析的差别> ->方差分析是对水平间有无差别的分析 ->平均分析是对全体平均与各水平平均间有无差
别的分析
EXH_AOV.MTW
▪Response:反应(结果)值 ▪Distribution of Data:资料的分布形态 -Normal:正态分布, Factor 1:因子水准 Col
注解4：minitab方差齐性检验
• Minitab 显示了用于判断方差是否相等的两种检验 的结果：Bartlett 检验和 Levene 检验。在两种检 验中，原假设 (Ho) 是考虑的总体方差（或等效的 总体标准差）相等，备择假设 (H1) 指并非所有的 方差都相等。
• 检验的选项取决于分布属性：
EXH_AOV.MTW
Minitab
▪Responses:指定反应值 ▪Factors:指定因子 ▪Base plots on:指定plot基准
▪Supplement 在2水平时值特大。 ▪Lake在各水准间无太大的变动。
Interactions Plot（交互效应图）
➢交互作用的水平间差异比较
ALFALFA.MTW
(级区间有变动)
-> 上面的 p值大于 0.05，故没有影响。
One Way ANOVA(单因素方差分析)
Graphs...
Minitab
•Dotplots / Boxplots 图象输出 option •Residual Plots:对残差提供多样的 plot -> 残差只有随正态性时，它的结果值才能
• Minitab 通过绘制每个因子水平的平均响应值创建 主效应图。以线连接每个因子水平的各个点。
• Minitab 还在总体平均值处绘制了一条参考线。查 看此线可以确定对某个因子是否存在主效应。
• 当线为水平时（与 x 轴平行），则不存在 主效应。因子的每个水平以相同的方式影 响响应，响应平均值在所有因子水平中相 同。
均值分析图示例
效应
2
0
-2 Strength 1 Minutes 10
Density 的双因子正态平均值分析
Alpha = 0.05
交互效应
2
3
1
2
3
1
2
15
18
1.578 0 -1.578 3
7
6
5 10
Minutes 的主效应
7.145
6.222
15 Minutes
5.300 18
平均值
Strength 的主效应
• 当数据来自正态分布时使用 Bartlett 检验。对于 偏离正态性的情况，Bartlett 检验的功能并不强大。
• 当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。
注解5：主效应图
• 将主效应图与方差分析一起关联使用。当 平均响应值跨因子水平而更改时，主效应 随即出现。使用此图
Minitab
➢ 因子为 2个，把因子各水准的组合全部Radom实施的实验。 ➢ 数据应为 Stack 形态。
EXH_AOV.MTW
▪Response:实验结果数据 ▪Row factor:B因子 ▪Column factor:A因子 ▪Store residuals:保存残差 ▪Fit additive model:选择交互作用的有无
•Lake与 Interaction 的 p值 大于 0.05，故不会 引起效果。
•Suppleme的 p值 小于 0.05，故 Suppleme 的 水准间有差。
•看左图可知道 Suppleme 的平均间有差。
•看左图可知道 Lake 的平均间没有差。
Analysis of Means（均数分析）
▪Probtype, Calculat, Probtype*Calculat 等比留意水准(0.05) 小，故判断为 各因子的水准间存在散布的差。
Engineer 为变量因子故无统计意义。
Test for Equal Variances（等方差检验）
➢ 检定2总体以上的方差是否一致 - 原假设 : 所有水平的方差一致 - 对立假设 : 至少一个以上的方差不一样
EXH_AOV.MTW
▪Response:指定反应变量 ▪Factor:指定说明变量(要因) ▪Comparisons:检定多重比较 ▪Store residuals:保存残差 ▪Store fits:保存水准平均值
▪DF:自由图(Degree of Freedom) ▪SS:乘方的和(Sum of Square) ▪MS:不偏分散(Mean of Square) ▪F:F-概率值 ▪P:P-value(留意概率) ▪留意水准比 p-value 大则有影响。 即水准间有差。
• 检查每个因子的水平平均值
• 比较多个因子的水平平均值
• 具有多个因子时，主效应图将是最佳选择。可以 将水平平均值中的更改进行比较，以查看哪些因 子对响应（反应变量）的效应最大。某一因子的 不同水平对响应具有不同效应时，便会出现主效 应。对于有两个水平的因子，可能会发现一个水 平会提高平均值，而另一个水平则不然。这种差 异就是主效应。
• 中心线（绿色）－ 总体平均值。 • 决策的上限和下限（红色）－ 用来检验此假设。
Minitab 查找位于决策限之外的样本平均值，并用 红色符号对其进行标记。
• 如果样本平均值超出决策限，那么可以否 定“平均值等于总体平均值”这一假设。
• 如果样本平均值未超出决策限，那么不能 否定“平均值等于总体平均值”这一假设。
• 与单元（配对因素）对应的总体标准差的 点估计值是指该单元中观测值的样本标准 差。一个单元至少要有两个观测值来计算 样本标准差。如果没有，那么该单元的点 估计值在输出中为空白。
• 标准差的置信区间以卡方分布为基础。此 分布为非对称，因此，置信区间也是非对 称的。
示例
• 95% 标准差 Bonferroni 置信区间 • 方法 • 类型 经验 N 下限 标准差 上限 • 1 0 4 2.80384 5.88784 40.4990 • 1 1 4 1.84435 3.87298 26.6400 • 2 0 4 2.26721 4.76095 32.7478 • 2 1 4 1.98261 4.16333 28.6371 • 3 0 4 2.88359 6.05530 41.6509 • 3 1 4 2.42820 5.09902 35.0732
• 当线不水平时（与 x 轴不平行），则存在 主效应。不同因子水平对响应的影响不同。 标绘点之间垂直位置的差异越大（线与 X 轴不平行的程度越大），主效应的量值就 越大。
方差分析基础
➢寻找因素与反应变量关系式的方法论
Minitab
•一元配置分散分析(DATA形态为 Stack 的时候) •一元配置分散分析(DATA形态为 Unstack 的时候) •二元配置分散分析 •平均分析 •平衡方差分析(在各水准反复相同的时候) •一般线型模型 •支份分散分析
•检定方差的同一性 •区间 Plot •主效果 Plot •交互效果 Plot
One Way ANOVA(单因素方差分析)
➢因子为一个, 反复数为对所有水准不相同也可, Radom实验。 ➢在数据为一个 Col中以 Stack 形态保存时使用。
Minitab
(先需要检定 RESPONSE值的 正态性)
双因子方差分析过程不支持多重比较。
注：如果数据平衡，且您需要检查涉及随机因子 的交互作用，那么可以使用统计 > 方差分析 > 平 衡方差分析。如果需要使用多重比较对平均值进 行比较，或者如果数据不平衡，那么可以使用统 计 > 方差分析 > 一般线性模型。
注解2：关于平均值分析
• 平均值分析的英文缩写 ANOM 是看上去像方差分 析的英文缩写 ANOVA，平均值分析可检验总体平 均值的相等性。
• Minitab 显示的图形类似于控制图，该图显示因子 的每个水平的平均值如何与总体平均值（也称为 总均值）进行比较。Minitab 对与总体平均值显著 不同的平均值进行标记。因此，平均值分析可以 说明水平平均值何时不同以及差异是什么。
• 通过方差分析，如果可以假定响应大致按正态分 布，那么可以使用平均值分析。另外，当响应由 比率（二项数据）和计数（Poisson 数据）组成 时，可以使用特殊的平均值分析版本。使用二项 数据时，样本数量 (n) 必须为常数。
注解1：关于平衡两因素和平衡设计方差分析的区别
使用双因子方差分析 (ANOVA) 过程可在存在两 个固定因子时检验总体平均值的相等性。此过程 要求因子水平每一组合的观测值数必须相同（平 衡）。
仅当需要拟合可加性模型（Fit additive model） （无交互作用项的模型）时，其中一个或这两个 因子才可以为随机值。
(单因素) Factor 2:因子水准第二 Col
(两因素) -Binomial:二项分布 -Poisson:Poisson分布 ▪Alpha level:留意水准
▪脱离管理线则有影响 ▪用两个因子的交互作用效果 ▪Main Effect:主要因 ▪Minutes 的 3水平(值=18)时有影响 ▪Strength 的 3水平(值=3)时有影响
Minitab
EXH_AOV.MTW
•正态分布数据时:Bartlett’s Test •包括正态分布的连续性数据时:Levene’s Test •因 p-value 比留意水准(0.05)大，故选择归属假设，即所有水平的方差一致。
Main Effects Plot（主效应图）
➢对主效应的水平间差异比较
Balanced ANOVA（平衡设计方差分析）
Minitab
➢ 所有单元的观察个数相同时使用
EXH_AOV.MTW
▪Response:反应变量数据 ▪Model:指定需分析的因子 ▪Random factors:指定变量因子 ▪Probtype|Calculat的标记为考虑交互作用
效果的计算实施.
Minitab
▪Display full interaction plot matrix: 作成为 matrix
▪可知道按 Field 水准变更的 Variety 各水准的 变动及平均值。
-平均是 Variety 4,6水准比别的水准小。 -变动是 Variety 2 水准比别的水准大。 -水准间 Cross 角度越大，交互作用效果就
注解3：等方差检验
• Bonferroni 置信区间
• Bonferroni 置信区间使用全族误差率。假设 该过程的全族置信水平为 95%。全族误差 率等于 1 - 置信水平 = 1 - 0.95 = 0.05。
• Bonferroni 法通过将全族误差率分割在各个 区间之中。假设有六个区间。将每个区间 的单个误差给定为 0.05 / 6 = 0.00833，计 算单个置信水平 1 - 0.0083 = 0.9917。由 于置信水平较大 (0.9917)，因此单个区间 通常相当宽。这种方法使得一个或多个置 信区间不能覆盖其相关总体标准差的概率 最多为 0.05。
8
6 4
2 1
2 Strength
7.145 6.222 5.300
3
平均值
• 图例分析
• 使用平均值分析的主效应图可检验“每个因子的 水平平均值等于指定 a 水平时的总体平均值”这 一假设。Minitab 为双因子设计中的每个因子显示 一个主效应图。主效应图显示：
• 标绘点 － 每个因子水平中的样本平均值。
示例注解：
• 标准差的 Bonferroni 置信区间显示以下内容：
• 公路类型：第一个因子。
• 经验：第二个因子。
• N：单元中的观测值数。例如，在六个因子水平 组合的每一单元中有四个观测值。
• 下限和上限：为每个 sigma给定的 95.0% 置信区 间时的下端点值和上端点值。每个区间提供对应 单元的总体标准差的一个估计值。例如，区间 (2.80384, 40.4990) 为公路类型 = 1 和经验 = 0 估计总体标准差。根据此区间， sigma介于 2.80384 与 40.4990 之间。
•存在各范围间的重叠区间
•各点呈现直线状态时，百度文库味着正态性
One Way ANOVA(Unstacked))
➢当数据按水准类别指定在 Col 时使用(Unstack 形态) ➢剩余事项与 Stack 情况相同
Minitab
•Responses:指定按各水准别 有反应值的Col
Two-way ANOVA（两因素方差分析）
Minitab
➢用 Graph 来显示因子的平均值，检讨因子的哪个水准有影响
<方差分析与平均分析的差别> ->方差分析是对水平间有无差别的分析 ->平均分析是对全体平均与各水平平均间有无差
别的分析
EXH_AOV.MTW
▪Response:反应(结果)值 ▪Distribution of Data:资料的分布形态 -Normal:正态分布, Factor 1:因子水准 Col
注解4：minitab方差齐性检验
• Minitab 显示了用于判断方差是否相等的两种检验 的结果：Bartlett 检验和 Levene 检验。在两种检 验中，原假设 (Ho) 是考虑的总体方差（或等效的 总体标准差）相等，备择假设 (H1) 指并非所有的 方差都相等。
• 检验的选项取决于分布属性：
EXH_AOV.MTW
Minitab
▪Responses:指定反应值 ▪Factors:指定因子 ▪Base plots on:指定plot基准
▪Supplement 在2水平时值特大。 ▪Lake在各水准间无太大的变动。
Interactions Plot（交互效应图）
➢交互作用的水平间差异比较
ALFALFA.MTW
(级区间有变动)
-> 上面的 p值大于 0.05，故没有影响。
One Way ANOVA(单因素方差分析)
Graphs...
Minitab
•Dotplots / Boxplots 图象输出 option •Residual Plots:对残差提供多样的 plot -> 残差只有随正态性时，它的结果值才能
• Minitab 通过绘制每个因子水平的平均响应值创建 主效应图。以线连接每个因子水平的各个点。
• Minitab 还在总体平均值处绘制了一条参考线。查 看此线可以确定对某个因子是否存在主效应。
• 当线为水平时（与 x 轴平行），则不存在 主效应。因子的每个水平以相同的方式影 响响应，响应平均值在所有因子水平中相 同。
均值分析图示例
效应
2
0
-2 Strength 1 Minutes 10
Density 的双因子正态平均值分析
Alpha = 0.05
交互效应
2
3
1
2
3
1
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1.578 0 -1.578 3
7
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5 10
Minutes 的主效应
7.145
6.222
15 Minutes
5.300 18
平均值
Strength 的主效应
• 当数据来自正态分布时使用 Bartlett 检验。对于 偏离正态性的情况，Bartlett 检验的功能并不强大。
• 当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。
注解5：主效应图
• 将主效应图与方差分析一起关联使用。当 平均响应值跨因子水平而更改时，主效应 随即出现。使用此图
Minitab
➢ 因子为 2个，把因子各水准的组合全部Radom实施的实验。 ➢ 数据应为 Stack 形态。
EXH_AOV.MTW
▪Response:实验结果数据 ▪Row factor:B因子 ▪Column factor:A因子 ▪Store residuals:保存残差 ▪Fit additive model:选择交互作用的有无
•Lake与 Interaction 的 p值 大于 0.05，故不会 引起效果。
•Suppleme的 p值 小于 0.05，故 Suppleme 的 水准间有差。
•看左图可知道 Suppleme 的平均间有差。
•看左图可知道 Lake 的平均间没有差。
Analysis of Means（均数分析）
▪Probtype, Calculat, Probtype*Calculat 等比留意水准(0.05) 小，故判断为 各因子的水准间存在散布的差。
Engineer 为变量因子故无统计意义。
Test for Equal Variances（等方差检验）
➢ 检定2总体以上的方差是否一致 - 原假设 : 所有水平的方差一致 - 对立假设 : 至少一个以上的方差不一样
EXH_AOV.MTW
▪Response:指定反应变量 ▪Factor:指定说明变量(要因) ▪Comparisons:检定多重比较 ▪Store residuals:保存残差 ▪Store fits:保存水准平均值
▪DF:自由图(Degree of Freedom) ▪SS:乘方的和(Sum of Square) ▪MS:不偏分散(Mean of Square) ▪F:F-概率值 ▪P:P-value(留意概率) ▪留意水准比 p-value 大则有影响。 即水准间有差。
• 检查每个因子的水平平均值
• 比较多个因子的水平平均值
• 具有多个因子时，主效应图将是最佳选择。可以 将水平平均值中的更改进行比较，以查看哪些因 子对响应（反应变量）的效应最大。某一因子的 不同水平对响应具有不同效应时，便会出现主效 应。对于有两个水平的因子，可能会发现一个水 平会提高平均值，而另一个水平则不然。这种差 异就是主效应。
• 中心线（绿色）－ 总体平均值。 • 决策的上限和下限（红色）－ 用来检验此假设。
Minitab 查找位于决策限之外的样本平均值，并用 红色符号对其进行标记。
• 如果样本平均值超出决策限，那么可以否 定“平均值等于总体平均值”这一假设。
• 如果样本平均值未超出决策限，那么不能 否定“平均值等于总体平均值”这一假设。
• 与单元（配对因素）对应的总体标准差的 点估计值是指该单元中观测值的样本标准 差。一个单元至少要有两个观测值来计算 样本标准差。如果没有，那么该单元的点 估计值在输出中为空白。
• 标准差的置信区间以卡方分布为基础。此 分布为非对称，因此，置信区间也是非对 称的。
示例
• 95% 标准差 Bonferroni 置信区间 • 方法 • 类型 经验 N 下限 标准差 上限 • 1 0 4 2.80384 5.88784 40.4990 • 1 1 4 1.84435 3.87298 26.6400 • 2 0 4 2.26721 4.76095 32.7478 • 2 1 4 1.98261 4.16333 28.6371 • 3 0 4 2.88359 6.05530 41.6509 • 3 1 4 2.42820 5.09902 35.0732
• 当线不水平时（与 x 轴不平行），则存在 主效应。不同因子水平对响应的影响不同。 标绘点之间垂直位置的差异越大（线与 X 轴不平行的程度越大），主效应的量值就 越大。
方差分析基础
➢寻找因素与反应变量关系式的方法论
Minitab
•一元配置分散分析(DATA形态为 Stack 的时候) •一元配置分散分析(DATA形态为 Unstack 的时候) •二元配置分散分析 •平均分析 •平衡方差分析(在各水准反复相同的时候) •一般线型模型 •支份分散分析
•检定方差的同一性 •区间 Plot •主效果 Plot •交互效果 Plot
One Way ANOVA(单因素方差分析)
➢因子为一个, 反复数为对所有水准不相同也可, Radom实验。 ➢在数据为一个 Col中以 Stack 形态保存时使用。
Minitab
(先需要检定 RESPONSE值的 正态性)
双因子方差分析过程不支持多重比较。
注：如果数据平衡，且您需要检查涉及随机因子 的交互作用，那么可以使用统计 > 方差分析 > 平 衡方差分析。如果需要使用多重比较对平均值进 行比较，或者如果数据不平衡，那么可以使用统 计 > 方差分析 > 一般线性模型。
注解2：关于平均值分析
• 平均值分析的英文缩写 ANOM 是看上去像方差分 析的英文缩写 ANOVA，平均值分析可检验总体平 均值的相等性。
• Minitab 显示的图形类似于控制图，该图显示因子 的每个水平的平均值如何与总体平均值（也称为 总均值）进行比较。Minitab 对与总体平均值显著 不同的平均值进行标记。因此，平均值分析可以 说明水平平均值何时不同以及差异是什么。
• 通过方差分析，如果可以假定响应大致按正态分 布，那么可以使用平均值分析。另外，当响应由 比率（二项数据）和计数（Poisson 数据）组成 时，可以使用特殊的平均值分析版本。使用二项 数据时，样本数量 (n) 必须为常数。
注解1：关于平衡两因素和平衡设计方差分析的区别
使用双因子方差分析 (ANOVA) 过程可在存在两 个固定因子时检验总体平均值的相等性。此过程 要求因子水平每一组合的观测值数必须相同（平 衡）。
仅当需要拟合可加性模型（Fit additive model） （无交互作用项的模型）时，其中一个或这两个 因子才可以为随机值。
(单因素) Factor 2:因子水准第二 Col
(两因素) -Binomial:二项分布 -Poisson:Poisson分布 ▪Alpha level:留意水准
▪脱离管理线则有影响 ▪用两个因子的交互作用效果 ▪Main Effect:主要因 ▪Minutes 的 3水平(值=18)时有影响 ▪Strength 的 3水平(值=3)时有影响
Minitab
EXH_AOV.MTW
•正态分布数据时:Bartlett’s Test •包括正态分布的连续性数据时:Levene’s Test •因 p-value 比留意水准(0.05)大，故选择归属假设，即所有水平的方差一致。
Main Effects Plot（主效应图）
➢对主效应的水平间差异比较
Balanced ANOVA（平衡设计方差分析）
Minitab
➢ 所有单元的观察个数相同时使用
EXH_AOV.MTW
▪Response:反应变量数据 ▪Model:指定需分析的因子 ▪Random factors:指定变量因子 ▪Probtype|Calculat的标记为考虑交互作用
效果的计算实施.
Minitab
▪Display full interaction plot matrix: 作成为 matrix
▪可知道按 Field 水准变更的 Variety 各水准的 变动及平均值。
-平均是 Variety 4,6水准比别的水准小。 -变动是 Variety 2 水准比别的水准大。 -水准间 Cross 角度越大，交互作用效果就
注解3：等方差检验
• Bonferroni 置信区间
• Bonferroni 置信区间使用全族误差率。假设 该过程的全族置信水平为 95%。全族误差 率等于 1 - 置信水平 = 1 - 0.95 = 0.05。
• Bonferroni 法通过将全族误差率分割在各个 区间之中。假设有六个区间。将每个区间 的单个误差给定为 0.05 / 6 = 0.00833，计 算单个置信水平 1 - 0.0083 = 0.9917。由 于置信水平较大 (0.9917)，因此单个区间 通常相当宽。这种方法使得一个或多个置 信区间不能覆盖其相关总体标准差的概率 最多为 0.05。
8
6 4
2 1
2 Strength
7.145 6.222 5.300
3
平均值
• 图例分析
• 使用平均值分析的主效应图可检验“每个因子的 水平平均值等于指定 a 水平时的总体平均值”这 一假设。Minitab 为双因子设计中的每个因子显示 一个主效应图。主效应图显示：
• 标绘点 － 每个因子水平中的样本平均值。
示例注解：
• 标准差的 Bonferroni 置信区间显示以下内容：
• 公路类型：第一个因子。
• 经验：第二个因子。
• N：单元中的观测值数。例如，在六个因子水平 组合的每一单元中有四个观测值。
• 下限和上限：为每个 sigma给定的 95.0% 置信区 间时的下端点值和上端点值。每个区间提供对应 单元的总体标准差的一个估计值。例如，区间 (2.80384, 40.4990) 为公路类型 = 1 和经验 = 0 估计总体标准差。根据此区间， sigma介于 2.80384 与 40.4990 之间。