西南交大高等数学II期中试卷

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2020-2021西安交通大学第二附属中学南校区高中必修二数学下期中试卷(含答案)

2020-2021西安交通大学第二附属中学南校区高中必修二数学下期中试卷(含答案)一、选择题1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=2．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（）A ．32-B ．4C ．6D ．32+3．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1C ．2D ．45．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或17．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A．1763B．1603C．1283D．328．在梯形ABCD中，90ABC∠=︒，//ADBC，222BC AD AB===.将梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．23πB．43πC．53πD．2π9．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为()A．72πB．56πC．14πD．64π10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．3B1033C．23D83312．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABCV是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v，则点A 的横坐标为________．14．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________． 15．已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________. 16．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.17．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 18．若直线l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.19．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是． 20．在正方体1111ABCD A B C D -中，①BD P 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒ ③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD 请把所有正确命题的序号填在横线上________．三、解答题21．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC=，BC AC ⊥，3cos SCB ∠=-，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．23．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．24．已知圆22:2410C x y x y ++-+=，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过点P 作圆C 的切线，设切点为M .（1）若点P 运动到()13，处，求此时切线l 的方程；（2）求满足PM PO =的点P 的轨迹方程.25．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AACC ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ; （2）若四棱锥B ACMN -的体积为32，求1A AC ∠的正弦值. 26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．D解析：D 【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为12+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2）， ∴直线AB 的方程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是11||1)22AB =⨯= 故选D ．【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.3．B解析：B 【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．4．C解析：C 【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．C解析：C 【解析】【分析】【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误；若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误. 故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.6．D解析：D 【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．C解析：C 【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.9．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π．本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．D解析：D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.11．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.12．B解析：B 【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，，设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦，即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AF FA =，故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，由0AB CD ⋅=u u u v u u u v 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 14．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，Q 圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=Q ，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．15．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦;故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.16．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ＝2，由此能求出该球的表面积．【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ，△PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝2， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π．故答案为：7π．【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．17．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α 解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率()03330k --==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 19．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法20．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；解析：①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④.【详解】对于①，如下图所示，由于1111,DD BB DD BB =P ，则四边形11DD B B 为平行四边形，则11D B BD P11D B ⊂面11D B C ，BD ⊄面11D B C ，所以BD P 平面11CB D ，故①正确；对于②，由于AD BC ∥，则直线AD 与1CB 所成角为145B CB ∠=︒，故②错误；对于③，1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，则1AA BD ⊥，故③正确；对于④，在正方体中，1111,AA CC AA CC =P ，则四边形11AAC C 为平行四边形所以1111,AC AC AC ⊄P 平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11AC ∥平面1ACD 同理1A B P 平面1ACD ，1111111,,AC A B A AC A B ⋂=⊂平面11A BC所以平面11A BC ∥平面1ACD ，故④正确；故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.三、解答题21．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，2525k -≤≤或34k =±．【解析】【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴11⋅=-C M AB k k 即13y y x x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,3F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L 相切时，由223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±，又20235554DE DF k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,,4477k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程22．（1）证明见解析；（2）6π. 【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，证明出OS AC ⊥，OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面SOD ，即可证明出AC SD ⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，说明直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，求出OSD ∆三边边长，利用余弦定理求出OSD ∠，即可求出直线SD 与平面SAC 所成角的大小．【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ， SAC ∆Q 为等边三角形，O 为AC 的中点，SO AC ∴⊥，D Q 、O 分别为AB 、AC 的中点，//OD BC ∴，BC AC ⊥Q ，OD AC ∴⊥， SO OD O =Q I ，AC ∴⊥平面SOD ，SD ⊂Q 平面SOD ，AC SD ∴⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，AC ⊥Q 平面SOD ，DH ⊂平面SOD ，DH AC ∴⊥，DH SO ⊥Q ，SO AC O =I ，DH ∴⊥平面SAC ，所以，直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，由（2）知，1232OD BC ==AC BC ⊥Q ，228AB AC BC ∴+=. SAC ∆Q 是边长为4的等边三角形，4sin233SO π∴== 在SBC ∆中，4SC =，43BC =由余弦定理得2222cos 88SB SC BC SC BC SCB =+-⋅⋅∠=，SB ∴= 由余弦定理得2221cos 28SA AB SB SAB SA AB +-∠==-⋅， 2222cos 36SD SA AD SA AD SAD ∴=+-⋅⋅∠=，6SD ∴=.在SOD ∆中，由余弦定理得222cos 2SO SD OD OSD SO SD +-∠==⋅. 0OSD π<∠<Q ，6OSD π∴∠=，因此，直线SD 与平面SAC 所成角的大小为6π. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的计算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】【分析】（Ⅰ）连接PF ，由题意可得//PE AF ，由面面垂直的性质和等腰三角形的性质可得DC ⊥平面ABC ，AF BC ⊥，进而可得AF ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BCD ，由面面垂直的判定即可得证；（Ⅱ）由（1）知PE ⊥平面BDF ，计算出PE BF ==BDF S =V 三棱锥体积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）证明：连接PF ，Q F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，∴//PF CD 且12PF CD =，Q //AE CD 且2DC AE =，∴//PF AE 且PF AE =，∴四边形AEPF 为平行四边形，∴//PE AF ，Q 平面AEDC ⊥平面ABC ，平面AEDC I 平面ABC AC =，90ACD ∠=︒， ∴DC ⊥平面ABC ，∴DC AF ⊥，又AC AB =，∴AF BC ⊥，Q BC DC C =I ，∴AF ⊥平面BCD ，∴PE ⊥平面BCD ，又PE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得PE ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BDF ，Q 22DC AC AB AE ====，90ACD BAC ∠=∠=︒ ∴221122222PE AF BF BC ====+=， ∴122BDF S BF DC =⋅=V ， ∴11332223BDF E BDF S PE V -⋅⨯⨯===V . 【点睛】本题考查了面面垂直的判定和三棱锥体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.24．（1）1x =或34150x y +-=；（2）2410x y -+=.【解析】【分析】【详解】解: 把圆C 的方程化为标准方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝4，∴圆心为C （－1,2），半径r ＝2.（1）当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k （x －1），即kx －y ＋3－k ＝0， 21k +2，解得k ＝34-.∴l 的方程为y －3＝34-（x －1），即3x ＋4y －15＝0. 综上，满足条件的切线l 的方程为1x =或34150x y +-=.（2）设P （x ，y ），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x ＋1）2＋（y －2）2－4， |PO|2＝x 2＋y 2，∵|PM|＝|PO|.∴（x ＋1）2＋（y －2）2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2410x y -+=.考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程.25．（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）在平面ABC 中，过点B 作棱AC 的垂线，垂足为D ，Q 平面11AAC C ⊥平面ABC ，∴ BD ⊥平面11AAC C .在平面11AA B B 中，过点B 作棱1AA 的垂线，垂足为E ，Q 平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，∴BE ⊥平面11AAC C .Q 过点B 与平面11AAC C 垂直的直线有且只有一条，∴BE 与BD 重合，又∵平面ABC I 平面11AA B B AB =,∴BE 与BD 重合于AB ，所以AB ⊥平面11AAC C .（2）设BM 的中点为Q ，连接PQ ，NQ ，Q 点P 为棱BC 的中点，∴PQ ∥CM 且PQ =12CM ， Q 1AA ∥1CC ，∴PQ ∥AN ，∴P 、Q 、N 、A 四点共面， ∵AP ∥平面BMN ，∴AP ∥NQ ，∴四边形PQNA 是平行四边形，∴PQ =AN ，∵M 为1CC 的中点且12AB AC AA ===，∴1CM =，∴PQ =AN =12，设梯形ACMN 的高为h ，Q 2AB =，∴11113 2×2322B ACMNhV h-⎛⎫+⎪⎝⎭=⨯==，∴3h=，∴13sin2hA ACAC∠==,∴1A AC∠的正弦值为32.26．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AB的中点P，连接1,PM PB，通过中位线定理求证四边形1PMNB是平行四边形，进而求证；（2）连接1AB，，设法证明11A B AB⊥，111A B B C⊥，进而证明1A B⊥平面1AB N，求得1A B AN⊥.【详解】解：（1）如图，取AB的中点P，连接1,PM PB，,M PQ分别是,AC AB的中点，//PM BC∴，且12PM BC=，在直三棱柱11tABC A B C-中，11//BC B C，11BC B C=，NQ是11B C的中点，∴1PM B N=，且1//PM B N，∴四边形1PMNB是平行四边形，1//MN PB∴，而MN⊄平面11ABB A，1PB⊂平面11ABB A，//MN∴平面11ABB A.（2）如图，连接1AB，由111ABC A B C-是直三棱柱，90ABC︒∠=，1AB AA=可知，111B C BB⊥，1111B C A B⊥，1111BB B A B=I，∴11B C⊥平面11A B BA，111B C A B∴⊥，又Q侧面11A B BA为正方形，11A B AB∴⊥，1111AB B C B⋂=，1A B∴⊥平面11AB C，又AN⊂平面11AB C，1A B AN∴⊥【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.。

【20套试卷合集】西南交通大学附属中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

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西安交通大学第二附属中学南校区数学高二下期中经典测试题

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．2B C D 2．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角3．(0分)[ID ：13581]若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（）A ．∅B ．{}1-C ．{}1,0-D ．⎪⎪⎩⎭4．(0分)[ID ：13557]已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（） A ．1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-5．(0分)[ID ：13556]已知2sin()4πα+=sin 2α=（）A ．12B ．2C ．12-D ． 6．(0分)[ID ：13551]下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（） A ．7(,0)24πB ．(,0)3πC ．1(,)34π- D ．(,0)12π7．(0分)[ID ：13625]若cos(π4−α)=35，则sin2α=（） A ．725B ．15C ．−15D ．−7258．(0分)[ID ：13612]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：13597]已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．011．(0分)[ID ：13588]在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形12．(0分)[ID ：13568]函数()()f x Asin ωx φ=+（其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象如图所示，为了得到()πg x sin ωx 6⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点( )A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度 13．(0分)[ID ：13565]已知函数()()sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A 2B ．2-C ．-2D ．214．(0分)[ID ：13537]已知()3,4a =，()2,1b =-且()()a xb a b +⊥-，则x 等于（） A ．23B ．232C ．233D ．23415．(0分)[ID ：13531]ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =A ．1233a b +B ．2133a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题16．(0分)[ID ：13711]命题“若sin 0sin sin αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=”，则cos()αβ-=______________．17．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω＝________.18．(0分)[ID ：13696]已知点12(1,1),(7,4)P P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是______________19．(0分)[ID ：13694]已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.20．(0分)[ID ：13687]已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角大小为_________21．(0分)[ID ：13686]已知(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B ，若3OA OB AB λμ+=，则λμ+=_______.22．(0分)[ID ：13670]已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在的平面内有两点P ,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.23．(0分)[ID ：13655]在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→⋅的取值范围为__________.24．(0分)[ID ：13653]已知cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________ .25．(0分)[ID ：13641]若向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：13817]如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ．（1）若3AC AB ⋅=，求cos AOC ∠的值；（2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长．27．(0分)[ID ：13763]已知4,8a b ==，a 与b 的夹角是120︒ （1）计算,42a b a b +-；（2）当2a b +与ka b -的夹角为钝角时，求k 的取值范围.28．(0分)[ID ：13826]已知(1,3),(3,),(1,),//AB BC m CD n AD BC =-==．（1）求实数n 的值；（2）若AC BD ⊥，求实数m 的值．29．(0分)[ID ：13803]已知点()0,2A ，()4,6B ，12OM t OA t AB =+，其中1t ，2t 为实数：（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；（2）求证：当11t =时，不论2t 为何值，A ，B ，M 三点共线；（3）若21t a =，OM AB ⊥，且三角形ABM 的面积为12，求a 和2t 的值.30．(0分)[ID ：13781]已知函数2()2sin cos 3(2cos 1)f x x x x =+-．（1）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b ，c ，锐角A 满足()326A f π-=A 的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．B4．A5．A6．A7．D8．C9．B10．B11．A12．A13．A14．C15．B二、填空题16．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论17．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公19．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量20．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四21．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力22．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以23．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取24．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试1．D 解析：D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．A解析：A 【解析】【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．B解析：B 【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=，因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意，所以1x =-，即解集为{}1-，故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.4．A解析：A 【解析】试题分析：设，则，因()//a b b +，所以，，只有A 满足考点：向量共线的条件5．A解析：A 【解析】【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为3sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.6．A解析：A 【解析】函数()1cos 2264f x x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1122224x sin x sin x ⎤=+-⎥⎣⎦2112cos 22224sin x x sin x =+-11cos 41144422426x x sin x π-⎛⎫=+⋅-=- ⎪⎝⎭，令46x k ππ-=，求得424k x ππ=+，可得函数的对称轴中心为,0,424k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，当1k =时，函数的对称中心为7,024π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 7．D解析：D 【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D. 【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．8．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．9．B解析：B 【解析】【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.10．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅11．A解析：A【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.12．A解析：A 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得()f x 得解析式，再利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数()()f x Asin ωx φ=+ （其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象，可得A 1=，12π7ππ4ω123⋅=-，ω2∴=．再利用五点法作图可得π2φπ3⋅+=，求得πφ3=，()πf x sin 2x .3⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭为了得到()ππg x sin ωx sin 2x 66⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点向右平移π12个单位长度，即可，故选A ．【点睛】本题主要考查由函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题．13．A解析：A 【解析】根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3,8x π=代入到()f x 即可．【详解】由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T ππω== 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得sin 2,44g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得A=2,则()2sin 2.f x x =所以332sin 2.84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．14．C解析：C 【解析】()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=，又()()()(),0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=，即322050x x ++-=，解得233x =，故选C.15．B解析：B 【解析】【分析】【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BD DA＝CB CA＝12， ∴BD ＝13BA＝13(CA －CB )＝13b －13a ， ∴CD ＝CB ＋BD ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .16．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论解析：12-【解析】条件变为sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式平方相加可推得结论1cos()=2αβ--． 17．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】【分析】【详解】函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公解析：2-【解析】【分析】根据定比分点公式求出点P 的坐标，利用投影公式求出投影即可.由题：点P 分向量12PP 的比是12，即1212PP PP =，设()1212,,PP P y P P x =，即()()11,17,42x y x y --=--，即7122122x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：32x y ==⎧⎨⎩，所以()()13,2,2,1P P P =，向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是112PP a a⋅-==.故答案为：2- 【点睛】此题考查求定比分点坐标，求向量投影，熟练掌握公式对解题有事半功倍的作用.19．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量解析：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】可求出()12a b λλλ+=++，，根据a 与a b λ+的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可．【详解】：()12a b λλλ+=++，； ∵a 与a b λ+的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行；∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．20．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四解析：6π【解析】【分析】根据向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，判断出,a b 的位置关系，由此求得a 与a b +的夹角大小.【详解】由于||||||a b a b ==-，根据向量模和减法的几何意义可知，以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，如图所示，且ABC ∆为等边三角形，故π3ABC ∠=，根据a b +加法的平行四边形法则可知a 与a b +的夹角大小为π6.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，属于基础题.21．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力解析：0【解析】【分析】根据3OA OB AB λμ+=得到12424λμ+=-；576λμ+=，计算得到答案. 【详解】(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B 则3OA OB AB λμ+=即()()()12,54,738,2λμ+=-即12424λμ+=-；576λμ+=解得3,3λμ=-=故0λμ+= 故答案为：0 【点睛】本题考查了向量的坐标表示，意在考查学生的计算能力.22．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ 的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以解析：23【解析】【分析】根据0,PA PC QA QB QC BC +=++=可判断出,P Q 的位置并作出图形，然后根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =可求解出APQS ，即可求解出四边形BCPQ 的面积.【详解】因为0PA PC +=，所以P 是线段AC 的中点，又因为QA QB QCBC ++=，所以QA QB QC BQ QC ++=+，所以2QA BQ =，所以Q 是AB 上靠近B 的一个三等分点，作出图示如下图：因为121111sin sin 232323APQSAB AC A AB AC A ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12133BCPQ S =-=四边形. 故答案为：23. 【点睛】本题考查根据向量的线性运算求图形面积，难度一般.对于线段AB ，若存在点P 满足：()*AP PB N λλ=∈，则P 是AB 的一个()1λ+等分点.23．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取解析：[]4,4-【解析】【分析】先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解. 【详解】解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ，设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→=⋅+=，由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-，过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=，即a OM --→⋅的取值范围为[]4,4-，故答案为：[]4,4-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.24．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题 23+ 【解析】分析：由同角三角函数关系得222sin 11666cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，诱导公式得5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，进而得解. 详解：由3cos 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，得22212sin 11166633cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题解析：0或-3 【解析】【分析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案．【详解】由题意，向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-．故答案为0或3-．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）3cos ,4θ=（2）AC =【解析】试题分析: (1)以O 为原点, OA 为x 轴建立平面直角坐标系,设AOC θ∠=,分别求出各点的坐标，由3AC AB ⋅= 求出cos AOC ∠的值；(2)由A,B,C 三点共线,得出3cos 4θ= ,再利用余弦定理求出AC .试题解析:（1）以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，()2,0A ,()cos ,sin C θθ，()cos2,sin2B θθ， ()cos 2,sin AC θθ=-， ()cos22,sin2AB θθ=-()()cos 2cos22sin sin2AC AB θθθθ⋅=--+cos cos22cos22cos sin sin24θθθθθθ=--++22cos2cos 44cos cos 6θθθθ=--+=--+ 24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去）（2）,,A B C 三点共线，所以cos22sin2cos 2sin θθθθ-=-3cos 4θ∴=214212cos 2AC θ∴=+-⨯⨯⨯= AC ∴=（1）方法二、设AOC θ∠=，AC AO OC =+，AB AO OB =+()()2AC AB AO OC AO OB AO AO OB OC AO OC OB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅()()412212422cos cos cos cos cos πθπθθθθ=+⨯⨯-+⨯⨯-+=--24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去）27．（1）2）7k >-且12k ≠- 【解析】【分析】（1）把模转化为向量的平方；（2）两向量的数量积为负，但要去除两向量反向的情形。

西南交大高等数学第学期期中考试试卷高等数学II解答

0
0
0
0
y 1 x
由
x y
r r
cos sin
知
y
1
x
的极坐标方程为 r
1 cos sin
故
D
:
0
0
r
2
cos
1 sin
，从而
1
f (x, y)d 2 d cossin f (r cos, r sin )rdr
0
0
D
二、填空题（每小题 4 分，共计 24 分）
y
1、设 z (xy) x ，则 dz
过切点的法向量为：
n
(4x0, 6 y0, 2z0 ) //(2, 3, 2)
4x0 2
6 y0 3
2z0 2
t
，
得
x0
1 t, 2
y0
1 t, 2
z0
t
，代入
2 x0 2
3y02
z02
9 ，得 t
2 ，
切点为 (1, 1, 2) 或 (1,1, 2) ， n (2, 3, 2) ，
故切平面方程为：
高等数学（下）期中考试试题
教学班号
学号
姓名
成绩：
一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分）
xy
1、函数
f
x,
y
x2
y2
0
x2 y2 0 在 0,0 点 B
x2 y2 0
( A )．连续，偏导数都存在；
( B )．不连续，偏导数都存在；
( C )．不连续，偏导数都不存在；
( D )．连续，偏导数都不存在。
最小值。
在区域上无不可导点，有驻点

2020-2021西安交通大学附属中学分校高中必修二数学下期中试题(含答案)

2020-2021西安交通大学附属中学分校高中必修二数学下期中试题(含答案)一、选择题1．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+2．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（）A ．32-B ．4C ．6D ．32+3．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A ．1763B ．1603C ．1283D ．328．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭9．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（） A．5B ．10C ．25D ．21010．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（） A ．3B ．22C ．23D ．2511．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（）A ．13B ．12C ．16D ．112．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________14．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.15．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条. 16．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为、．17．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.18．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

2020-2021学年陕西省西安市交大二附中高二数学理测试题含解析

2020-2021学年陕西省西安市交大二附中高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. 4 C. D.参考答案：D【分析】由三视图还原几何体可知该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，由几何体的表面积公式计算即可得到答案．【详解】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故．故选：D．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查几何体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题. 2. 已知，则最小值是（）A．2 B． C．3D．4参考答案：D略3. 已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是，正确的个数是（）A．1 B．2 C. 3 D．4参考答案：B4. 变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）（13,5）；变量U与V相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2）（13,1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A. ＜＜0B. 0＜＜C. ＜0＜D. ＝参考答案：C5. 已知，则（）A．B．C．D．参考答案：C略6. 若集合，，则（）A. B. C. D.参考答案：C7. 下列命题不正确的是（）A. 由样本数据得到的回归方程必过样本点中心B. 相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好C. 归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论D. 演绎推理是由一般到特殊的推理参考答案：C【分析】根据涉及的知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结果．【详解】对于A，由线性回归分析可得回归直线一定经过样本中心，所以A正确．对于B，当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以B正确．对于C，合情推理的结论是不可靠的，需要进行证明后才能判断是否正确，所以C不正确．对于D，由演绎推理的定义可得结论正确．故选C．8. 当时，下面的程序段执行后所得的结果是 ( )A． B． C．D．参考答案：C9. 设命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：?n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．10. 对于，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程是（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用秦九韶算法求多项式f(x)=9x6+12x5+7x4+54x3+34x2+9x+1的值时，需要的乘法运算次数是次，加法运算次数是次。

08-09(2)高等数学II解答(A卷)

题目一二三四五总分91011121314151617得分西南交通大学2008－2009学年第(2)学期考试试卷班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线课程代码 6011320 课程名称高等数学II （A卷）考试时间 120分钟阅卷教师签字：1、单项选择题（每小题4分，共16分）．1．对于微分方程，其特解设法正确的是（ B ）．（A）；（B）；（C）；（D）2．设空间区域，，则 ( c ) ．（A）；（B）；（C）；（D）3．设，且收敛，，则级数（ B ）．（A）条件收敛；（B）绝对收敛；（C）发散；（D）收敛性与有关。

4．设二元函数满足，则（ D ）．（A）在点连续；（B）；（C），其中为的方向余弦；（D）在点沿x轴负方向的方向导数为．2、填空题（每小题4分，共16分）．5. 设函数，则= 1 ．6. 曲面被柱面所割下部分的面积为．7. 设，而，其中则， 0 ．8. 幂级数的收敛域为 [1，3] ．3、解答下列各题（每小题7分，共28分）．9. 设是由方程确定的隐函数，可微,计算．解：，10. 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．解：令，则在点的法向量为，平面的法向量为。

，得，又得，故满足题意的点为（-3，-1，3）11. 将函数展开为的幂级数．解：12. 计算，是由曲面及所围成的闭区域．解：=4、解答下列各题（每小题10分，共30分）13. （10分）设具有二阶连续导数，，曲线积分与路径无关．求．解：，的通解为设特解，代入得的通解为。

由，得。

14. （10分）计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）．解（1）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件。

（2）故当时，构造曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即。

则曲线围成复连通区域且为的正向边界。

故在复连通区域满足格林公式条件，故即15. （10分）计算，其中为锥面被所截部分的外侧．解5、综合题（每小题5分，共10分）16. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值．解：问题变为求在下的最大值点。

(整理版)交通大学附属第二学期高二数学期中

交通大学附属- 度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有22道试题，总分值100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题纸上一、填空题〔本大题总分值36分〕本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分。

1．两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，那么直线AB 的方程是__________.2．圆心在x 轴上，半径为5，以A 〔2，-3〕为中点的弦长是27的圆的方程为。

3．在直角坐标系xOy 中,有一定点A 〔2，1〕。

假设线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，那么该抛物线的准线方程是。

4．双曲线22145x y -=，那么以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。

5．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x 〔θ为参数〕化为普通方程，所得方程是_________ 。

6．假设,a b ①10a a+≠； ②()2222a b a ab b +=++； ③假设a b =，那么a b =±； ④假设2a ab =，那么a b =。

那么对于任意非零复数,a b ，。

7． R m ∈，复数i m m m m m z )32(1)2(2-++-+=，假设i z 421+=，那么=m 。

8．5 4log 21≥+i x ，那么实数x 的取值范围是_______。

9．2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，那么p q +的值为。

10．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有。

Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种11．把1＋〔1＋x 〕＋(1＋x)2＋…＋〔1＋x 〕n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，那么112lim --∞→nn n a a 等于。

西南交通大学2018-2019学年第2学期《高等数学(下)》期中考试试卷(A卷)及标准答案

西南交通大学2018-2019学年第2学期《高等数学（下）》期中考试试卷（A卷）及标准答案一、选择题（共30题，每题4分，共120分）1.在极坐标系中，曲线 $r=2\\cos \\theta$ 的极坐标方程为（）A.$r = 2\\sin \\theta$B.$r = 2\\cos^2 \\theta$C.$r = 2\\cos \\theta$D.$r = 2\\sin^2 \\theta$ 答案：C2.由函数 $f(x) = \\frac{2x+3}{x-1}$ 在点x=1处的极限存在，则 $\\lim_{x \\to 1} f(x)$ 的值为（）A.5B.1C.2D. 3 答案：B（省略选项及答案）二、填空题（共10题，每题6分，共60分）1.设第x项为x x=3+(−1)x的等差数列的前x项和为x x，则x x= ___ 。

答案：$S_n = \\begin{cases} 2n+1, & n \\text{为奇数} \\\\ 2n+3, & n \\text{为偶数}\\end{cases}$2.设向量 $\\vec{a} = 2\\vec{i} - \\vec{j} + 3\\vec{k}$，$\\vec{b} = \\vec{i} + 2\\vec{j} - 2\\vec{k}$，则 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} =$ ___ 。

答案：$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-2) = -5$（省略答案）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求下列不定积分：$\\int \\frac{\\sin^3x}{\\cos^2x} \\, dx$。

解：首先，利用恒等式 $\\sin^2x + \\cos^2x =1$，将被积函数中的 $\\sin^3x$ 变形为 $\\sin^2x \\cdot \\sin x = (1-\\cos^2x)\\sin x$。

西南交通大学期末真题及答案19-20高等数学II半期考试试卷参考解答

西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。

要求独立完成，诚信参考！考试诚信承诺书。

我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。

如果在考试过程中违反相关规定，我愿意接受《西南交通大学本科生考试违规处理办法》的规定处理。

您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。

一（10分）、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。

解法一化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一）故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。

二（10分）、设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。

2021 2021 学年2学期高等数学A(下)期中试卷答案

武汉理工大学考试试卷A 参考答案2014 ~2015 学年 2 学期高等数学A （下）课程一、选择题：D B B B A二、填空题:1.()21y x e y -=+. 2.2450x y z +--=. 3.1233dx dy --. 4.34a π. 5. 8. 三、1.解：设过直线L 的平面束方程为()()23255430x y z x y z λ+-+++-+=即()()()25534230x y z λλλλ+++-+++=……2分平面1π：()()()111125534230x y z λλλλ+++-+++=，过点()4,3,1-，11λ∴=-，从而平面1π的方程为：3410x y z +-+=……4分平面2π：()()()222225534230x y z λλλλ+++-+++=，12ππ⊥，12n n ∴⊥120n n =，23λ∴=-，从而平面2π的方程为：2530x y z --+=……8分2.解：12cos 2zy xy f xf x∂''=⋅+∂……4分()()()2111122122cos sin cos cos 22cos 2zxy xy xy f y xy f x xy yf x f x xy yf x y∂'''''''''=-+-+-∂∂()()2221111222cos sin cos 2cos 4xy xy xy f xy xyf x y xyf xyf '''''''=-++--……8分3.解：由于积分区域关于x 对称，故()22ln 1DI x y dxdy=++⎰⎰……2分()12202ln 1d d ππθρρρ-=+⎰⎰……4分()()1220ln 112d πρρ=++⎰……6分()2ln 212π=-……8分4.解：由于223x Q Pye xy x y∂∂=-=∂∂，所以曲线积分与路径无关……2分 ()()2322232233121222xx x x AOOB I y exy dx ye x y dy y e xy dx ye x y dy⎫⎫⎛⎛=--+-+--+- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎰⎰()03212dx ydy =-+⎰⎰……6分11=……8分5.解：曲面∑:222z x y =--的上侧，补充平面1∑：()2202z x y =+≤下侧，由高斯公式()()()12223331xyz dydz y xz dzdx z dxdy ∑+∑-+-+-⎰⎰()666x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰…4分6zdxdydz Ω=⎰⎰⎰206zD dz zdxdy =⎰⎰⎰()2062z z dz π=-⎰8π=……6分()()()()122213331012xyD I x yz dydz y xz dzdx z dxdy dxdy π∑=-+-+-=--=⎰⎰⎰⎰186I I ππ∴=-=……8分6.解：()()11121lim lim 222n n n n n nn a a n ++→∞→∞+==+,∴收敛半径2R =当2x =-时，级数()11nn n ∞=-+∑收敛，当2x =时，级数11n n ∞=+∑发散，收敛区间[)2,2-..2分设()()012n n n x S x n ∞==+∑()22x -≤<，()()112n n n x xS x n +∞==+∑()22x -≤<()()0122212nnn x xS x x x ∞='===--∑……5分，()022xxS x dx x =-⎰()02ln 2x x =--()2ln 2ln 22ln 12x x ⎫⎛=---=--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()22x -≤<……7分当0x ≠时，()2ln 12x S x x⎫⎛=--⎪⎝⎭，22x -≤<，当0x =时，()01S =……8分四、1.解：点(),,x y z到平面的距离6d x y z =+--，设()()()2222,,,2621L x y z x y z x y z λλ=+--+++-……2分()()()22242640226202620210Lx y z x x L x y z y yL x y z z z L x y z λλλλ∂⎧=+--+=⎪∂⎪∂⎪=+--+=⎪∂⎨∂⎪=-+--+=⎪∂⎪∂⎪=++-=∂⎩，解得x y z ==-，11,22x y z ∴==±=……6分最远点111,,222⎫⎛-- ⎪⎝⎭，最远距离max d =，最近点111,,222⎫⎛- ⎪⎝⎭，最近距离min d =…….8分 2.解:设质心坐标为(),,x y z ，由对称性可知0x y ==……2分113zD dz zdxdyz dxdydzz dxdydzμμπΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰……6分133143z dz ππ==⎰……8分五、证明：由拉格朗日中值定理可知，()()112ln ln n n n n a a f a f a ----=-()()()12n n f a a f ξξ--'=-，ξ介于1n a -与2n a -之间……2分1n n a a -∴-=()()()12n n f a a f ξξ--'-12n n m a a --<-110n m a a -<<-……4分又01m <<，∴级数11n n m∞-=∑收敛，由比较审敛法可知，级数11n n n a a ∞-=-∑收敛，……从而级数()11nn n aa ∞-=-∑绝对收敛……6分。

西南交通大学2010级本科生工科数学分析期中考试试题及详解

2010－2011学年第(1)学期“工科数学分析”期中考试试题一、计算下列各题（每小题9分，共计63分）1．limn2<≤=（夹逼原理）或1<≤因为lim 1n =，lim 1n =由夹逼原理得：lim 1n =2．1lim(cos )x x x→∞解：1ln cos 1lim(cos )lim x xxx x e x→∞→∞= （函数变形）01ln cos lim ln coslim x t t x x t →∞→=（变量代换1x =t） 2000ln(1cos 1)cos 12lim lim lim 0t t t t t t t t t→→→−+−−====（等价替换）所以 1ln cos 1lim(cos lim 1x xxx x e x→∞→∞==3．31lim [ln(1)ln(1x x x x→∞+−+解： 00ln(13)ln(1)2limlim 2t t t t ttt →→+−+===（Taylor 公式、等价替换）4．211lim(1ln x x x x→−− 解： 2210ln 1(1)ln(1)lim lim(1)ln ln(1)x t x x x t t t x x t t →→−+++−==−+（变量代换1x =t） 220(1)ln(1)lim t t t tt →++−=（等价替换） 002(1)ln(1)2ln(1)33limlim 222t t t t t t t →→+++++===（罗比塔法则）5．2240cos limx x x e x −→−解：2424544011()[1()]22422!4lim x x x x x o x o x x →−++−−++=（Taylor 公式）112=−6．证明：当0x >时，1arctan 2x x π+>。

解： 1()arctan f x x x=+在(0,)+∞连续可微，2211()01f x x x ′=−<+，所以()f x ↓。

2020-2021成都西南交通大学附属中学高中必修二数学下期中一模试卷附答案

2020-2021成都西南交通大学附属中学高中必修二数学下期中一模试卷附答案一、选择题1．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（）A ．3B ．212C ．22D ．23．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③4．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离 6．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C 26D ．427．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=I ，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．9．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．6D ．10 10．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 11．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________14．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.15．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．16．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.17．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．18．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.19．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^；④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点.（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积.22．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥；（2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.24．若圆M 的方程为22(2)(5)10x y -+-=，△ABC 中，已知(1,1)A ，(4,2)B ，点C 为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程；（2）求△ABC 面积的最小值．25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.26．求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=，=R =，因此，此球的体积为3432π⎛⨯= ⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min PC =，2222+1⎛⎫∴=，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 3．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．4．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ，所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 5．B解析：B【解析】化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B 6．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 7．B解析：B【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确；对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.8．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.9．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 2522θ+-==⨯⨯，即异面直线AM 与1BC 10，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，⊥成立，故A错误；在A中，不存在点G，使PG EF⊥成立，故B错误；在B中，不存在点G，使FG EP在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．11．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=，球O 的表面积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D. 二、填空题13．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④【解析】【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确；对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错；对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错；对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．14．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ＝2，由此能求出该球的表面积．【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ，△PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB ＝2，∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝2， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π．故答案为：7π．【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．15．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ，则直线l 的方程为：3212y x -=-+（），化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．16．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π 【解析】【分析】如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==⨯⨯=，解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心，所以123CO =，所以22223133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60o ，得到母线长为2k 3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60o ，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803，所以()46332k k k +=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.故答案为：360π【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.18．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为解析：262【解析】【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=，同理2PC =PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而2626OC OE EC +''=+== 亦即CE OE +的最小值为：262，故答案为262. 【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析：217【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方可得CD 的长．【详解】Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=， CD ∴的长||68217CD ==u u u r ．故答案为：17【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）证明见解析；（23 【解析】【分析】（1）通过面面垂直推证出OM ⊥平面BCD ，再由AB ⊥平面BCD ，即可得OM //AB ，由线线平行，即可推证线面平行；（2）根据（1）中所求，结合M ABD O ABD A OBD V V V ---==，即可求解三棱锥A OBD -的体积即为所求.【详解】（1）∵CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，点O 为CD 的中点，∴OM CD ⊥．∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD I 平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ，∴OM ⊥平面BCD ．∵AB ⊥平面BCD ，∴OM //AB ．∵AB Ì平面ABD ，OM ⊄平面ABD ，∴OM //平面ABD ．（2）由（１）知OM //平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离．∵2AB BC ==，BCD V 是等边三角形，点O 为CD 的中点∴1122BOD BCD S S ∆∆== 24BC == ∴M ABD O ABD A OBD V V V ---==11233BOD S AB ∆=⋅==【点睛】本题考查的是空间的直线与平面平行判定定理的运用及点到面的距离的计算问题．第一问的解答时，务必要依据线面平行的判定定理中的条件要求，找出面内的线，面外的线，线线平行等三个缺一不可的条件；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题进行转化，再运用三棱锥的体积公式进行计算．22．（1）证明见解析（2）6-【解析】【分析】（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE ∥BC ，故而DE ⊥平面ACD ，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACD ，∵DC ∥EB ，DC ＝EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE.（2）当C 点为半圆的中点时，AC ＝BC ＝22，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D （0，0，1），E （0，22，1），A （22，0，0），B （0，22，0）， ∴AB =uu u r （﹣22，22，0），BE =u u u r （0，0，1），DE =uuu r （0，22，0），DA =u u u r （22，0，﹣1），设平面DAE 的法向量为m =r （x 1，y 1，z 1），平面ABE 的法向量为n =r（x 2，y 2，z 2），则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，00n AB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即111220220x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，222222200x y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令x 1＝1得m =r （1，0，22），令x 2＝1得n =r （1，1，0）.∴cos 2632m n m n m n ⋅===⨯r r r r r r <，>. ∵二面角D ﹣AE ﹣B 是钝二面角，∴二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值为26-.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.23．（1）证明见详解（2）存在，95PM =【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理可证AD PH ⊥，再由BD PH ⊥即可求证；（2）要证HM ⊥平面PAD ，即证MH PD ⊥，可作HM PD ⊥，连接AM ，经几何关系验证，恰好满足直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525，求得95PM =；【详解】（1）AD ⊥平面PBD ，PH 在平面PBD 上，所以，AD PH ⊥，又BD PH ⊥，AD 交BD 于D ，所以，PH ⊥平面ABCD ，所以，PH CD ⊥（2）由题可知，6BD =，又13BH BD =，所以4HD =，132PH BD ==，5PD =，要证HM ⊥平面PAD ，由题设可知AD ⊥平面PBD ，则AD HM ⊥，即证HM PD ⊥，作HM PD ⊥，在PHD ∆中，由等面积法可知125PH HD HM PD ⋅==， 2245HA HD AD =+=,直线HA 与平面PAD 所成角正弦值即为12355sin 45HAM ∠==，此时3393555PH PM ==⨯= 【点睛】本题考查线面垂直的证明，由线面垂直和线面角反求满足条件的点具体位置，逻辑推理与数学计算能力，属于中档题24．（1）2235()(3)22x y -+-=（2）12【解析】【分析】（1）利用相关点法求出点D 的轨迹方程；（2）首先求出直线AB 的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出ABC ∆面积的最小值。

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高等数学II 期中试卷一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点。

(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。

2、二重积分⎰⎰Dxydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为。

(A )．61； (B )．121； (C )．21； (D )．41。

3、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂yzb x z a 。

(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。

4、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则⎰⎰Dd xy σ= 。

(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。

5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为。

(A)．12 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(B )．cos sin 20 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰；(C)．1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。

二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设xy xy z )(=，则=z d ，在点)2,1( P 处的梯度=P z grad 。

2、设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则=')1,(x f x 。

3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则()Dx y dxdy +=⎰⎰ 。

4、函数xyz u =在点)2,1,5( 处沿从点)2,1,5( 到点),,9( 14 4 所确定方向的方向导数是。

5、曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2252121x z x y 在点)2,1,1(--处的切线方程为，法平面方程为。

6、改变积分次序1 arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x ππ---+=⎰⎰⎰⎰。

三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求⎰⎰110sin xdy y xy dx 。

2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。

3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换⎩⎨⎧+=+=byx ayx ηξ变换方程0322222=∂∂+∂∂∂+∂∂y z y x z xz 。

问：当b a ,取何值时，方程化为02=∂∂∂ηξz 。

4、f x y xf z y x ,)(222=++可微，求x z∂∂。

5、在经过点)31,1,2(P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。

6、求二元函数9422++=y x z 在区域422≤+y x 的最大值、最小值。

7、设区域121:≤+≤y x D ，证明：0)ln(22<+⎰⎰Dy x y x d d 。

四、每小题6分，共计12分1、设2222, 0(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=⎩，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在原点),(0 0沿任意方向的方向导数都存在。

2、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠≥≥++-=⎰⎰≤+000,0,0])(1[)(2222222t t y x y x y x y x f x t f t y x ,d d ，若)(t f 是连续可微的函数，求)(t f 。

高等数学II 期中考试解答一、选择题（每小题3分，共计 15 分）5、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 B 。

(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。

6、二重积分⎰⎰Dxydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 B 。

(A )．61； (B )．121； (C )．21； (D )．417、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂y z b xz aA 。

(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。

8、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则d Dxy σ=⎰⎰C。

(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。

5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 D 。

(A )．12 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰； (B )．cos sin 2d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰；(C )．1cos 20d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 00d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。

二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设xyxy z )(=，则=z d dy x xy xy dx x xy y xy xyxy )ln(1)())ln(1()(2++-，在点),(2 1P 处的梯度=P z grad ) ln2)4(1 , )2ln 1(8 (+-。

2、设yx y x y x f arcsin )1(),(-+=，则=')1,(x f x 1 。

3、D 由曲线22(1)(1)1x y -+-=所围成的闭区域，则()Dx y dxdy+⎰⎰=π2。

4、函数xyz u =在点),,( 2 1 5 处从点),,( 2 1 5 到点),,( 14 4 9 的方向导数是1398。

) 21 , 3 , 4 (=l ρ，) 21 , 3 , 4 (1310=l ρ，)5 , 10 , 2( grad )2,1,5(=u ， 1398grad )2,1,5(0=•=∂∂u l lu ρ5、曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2252121x z x y 在点),,(211--处的切线方程为522111-+=-+=-z y x ，法平面方程为25130x y z ---=。

注意：{}5,2,1--=s ϖ，点),,(211--；法平面方矢{}5,2,1--==s n ϖρ。

6、改变积分次序1arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x ππ---+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-πsin 2sin),(xxdyy x f dx 。

三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求⎰⎰110sin xdy y xy dx 。

解：先交换积分次序)1cos 1(31sin sin 010110-==⎰⎰⎰⎰yx dx y x y dy dy y x y dx 2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。

解：设切点为000(,,)x y z ，则222000239x y z ++=，过切点的法向量为：000000462(4,6,2)//(2,3,2)232x y z n x y z t=-⇒===-r，得00011,,22x t y t z t ==-=，代入222000239x y z ++=，得2t =±，切点为(1,1,2)-或(1,1,2)-，(2,3,2)n =-r，故切平面方程为：23290x y z -+-=或09232=++-z y x 。

3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换⎩⎨⎧+=+=by x ayx ηξ变换方程0322222=∂∂+∂∂∂+∂∂y z y x z x z 。

问：当b a ,取何值时，方程化为02=∂∂∂ηξz 。

解： ηξ∂∂+∂∂=∂∂z z x z ， ηξ∂∂+∂∂=∂∂zbz a yz 。

22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂z z z x z ， 2222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂z bz ab z a y z ，222222)(ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=∂∂∂z b z b a z a y x z所以222223y z y x z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂ 0)31()2332()31(2222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=ηηξξz b b z ab b a z a a2=∂∂∂ηξz时，b a ,应满足一元二次方程0312=++r r 且02332≠+++ab b a 。

解得2532,1±-=r ，b a ,取其任一值，且a ≠b 时，方程化为02=∂∂∂ηξz 。

4、f x y xf z y x ,)(222=++可微，求x z∂∂解：设)(222xy xf z y x F -++=，由公式zx yx y f x x y f x F F x z z x 2)()(22⋅'+--=-=∂∂5、在经过点),,( 311 2 P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。

解：设过点),,( 31 1 2 P 的平面截距式方程为1=++c zb y a x ，点P 满足方程即13112=++c b a平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为c b a V ⋅⋅⋅=61由拉格朗日乘数法，设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=13112c b a abc F λ 由0=∂∂a F ，0=∂∂b F ，0=∂∂c F 及13112=++c b a 得最值点的坐标1,3,6===c b a 所求平面为1136=++zy x 即662=++z y x 。