高二数学选修4-4直角坐标系_ppt
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高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
极坐标方程与直角坐标的方程的互化PPT课件(9张) 人教A版 高中数学 选修4-4
解：
2
标系中画出点 A、 B，易得 AOB 150 ，
2 2
AOB中，由余弦定理，得： AB OA OB 2 OA OB cos AOB AB 32 32 2 3 3 cos150 3 18 9 3 3 2 3 6 2 2 1 1 9 S OAB OA OB sin AOB 3 3 sin 150 2 2 4
复习：直角坐标与极坐标的互化 直角坐标化为极坐标的公式： y 2 2 2 x y ; tan x 极坐标化为直角坐标的公式 ：
x cos ; y sin .
11 ( 4, ), ( 2, ) ( 6 , 2 ) （0，-15） 6
1、极坐标方程的定义：
（ 1 ）极坐标方程 ＝ 1表示
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
(2)极坐标方程 sin cos表示
例4、确定极坐标方程 4 sin(
3 3 cos sin 8 0所表示的曲线
)与
及位置关系。
练习：极坐标方程分别 是
cos与 sin的两个圆
的圆心距是多少 ?
例5.在极坐标系中，已知两 点A(3, ), B(3, ) 3 6 求 | AB | 的长，AOB的面积?
(3)极坐标方程 ＝cos( )表示 4
3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
例3、在极坐标系中，求 （ 1 ）圆心在极点，半径为 2的圆的极坐标 方程 （2）圆心为(2, ),半径为2的圆的极坐标方程。
2
标系中画出点 A、 B，易得 AOB 150 ，
2 2
AOB中，由余弦定理，得： AB OA OB 2 OA OB cos AOB AB 32 32 2 3 3 cos150 3 18 9 3 3 2 3 6 2 2 1 1 9 S OAB OA OB sin AOB 3 3 sin 150 2 2 4
复习：直角坐标与极坐标的互化 直角坐标化为极坐标的公式： y 2 2 2 x y ; tan x 极坐标化为直角坐标的公式 ：
x cos ; y sin .
11 ( 4, ), ( 2, ) ( 6 , 2 ) （0，-15） 6
1、极坐标方程的定义：
（ 1 ）极坐标方程 ＝ 1表示
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特级教师 王新敞
wxckt@
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(2)极坐标方程 sin cos表示
例4、确定极坐标方程 4 sin(
3 3 cos sin 8 0所表示的曲线
)与
及位置关系。
练习：极坐标方程分别 是
cos与 sin的两个圆
的圆心距是多少 ?
例5.在极坐标系中，已知两 点A(3, ), B(3, ) 3 6 求 | AB | 的长，AOB的面积?
(3)极坐标方程 ＝cos( )表示 4
3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
例3、在极坐标系中，求 （ 1 ）圆心在极点，半径为 2的圆的极坐标 方程 （2）圆心为(2, ),半径为2的圆的极坐标方程。
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
φ称为高低角.
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
___ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ____．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
x2＋y2－2x＝0，亦即(x－1)2＋y2＝1. 将 ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0 化为 x－2y＋7＝0， |1＋7| 8 5 故圆心到直线的距离 d＝ 2 ＝ . 5 1 ＋－22
返回
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
返回
考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本 讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化 等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为 主．
返回
真题体验 1．(2012· 安徽高考)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直 π 线 θ＝ (ρ∈R)的距离是________． 6 解析：将 ρ＝4sin θ 化成直角坐标方程为 x2＋y2＝4y，即 x2
返回
3．(2011· 江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案：x2＋y2－4x－2y＝0.
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
人教B版高二数学选修4-4_4.(2)极坐标与直角坐标互化课件
y
cos sin
2、 ( , ) (x,y)2tanx2xyy2
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
课外作业
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
练一练
某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路.但在A 村北偏西300方向距A村500米处，发现一古代文物遗址W， 经过初步勘测，文物管理部门将遗址W周围200米划为禁区。 已知B地位于A村的正西方向1千米处，试问：修建高速公路 的计划需要改变吗？如图示：
C
W
B
A
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
练一练
练习:已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A (3, 3) C (5,0) E (3,3)
B (1, 3) D (0,2)
F (3, 0)
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
化成直角坐标.
解:由5， 2
则有 x5co2s35 y5sin2 5 3
32
32
所以, 点M的直角坐标为（ 5 , 5 3 ）
22
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
特此声明
由于一个点达 可式 有， 多 对 0种 时于 表 ，上
公式仍适用！
例如：上述点也的可极写坐 -成 5， 标 5（ ）
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
返回
因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
返回
求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
返回
(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
返回
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
返回
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
返回
(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
返回
建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一 些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点， ②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使 图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
返回
3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
返回
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1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标和直角坐标的互化课件
第一讲坐标系 二极坐标系
2.极坐标和直角 坐标的互化
人民教育出版社 高中 |选修4-4
基础知识：
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思考：
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老师点拨：
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老师点拨：
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
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学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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2.极坐标和直角 坐标的互化
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
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典型例题2 ：
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分析：
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人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件 公开课一等奖课件PPT
选修4-4 坐标系与参数方程
2．(2013·陕
西
高考
)圆
锥曲线
x＝t2， y＝2t
(t 为参数)的焦点坐标是
________．
解析 代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，
则焦点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
选修4-4 坐标系与参数方程
3．(2012·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴
选修4-4 坐标系与参数方程
直线的参数方程 [典题导入]
(2014·东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 xOy 中，已
知点 P(0， 3)，曲线 C 的参数方程为xy＝ ＝
5cos φ， 15sin φ
(φ 为参数)．以
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标
方程为 ρ＝2cosθ3－π6.
解析 直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2 ＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为
12＋|2|－12＝ 2. 答案 2
选修4-4 坐标系与参数方程
5．(2013·广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点
为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
参数分别为 t1，t2.线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0. 注意以下几个常用的结论：
(1)t0＝t1＋2 t2；(2)|PM|＝|t0|＝|t1＋2 t2|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|
＝|t1t2|.
选修4-4 坐标系与参数方程
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程． 返回
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法， 在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ρ、 θ 的关系． [例 3] 1 △ABC 底边 BC＝10， ∠A＝ ∠B， B 为极点， 以 2
BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程．
返回
3．(2011· 江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案：x2＋y2－4x－2y＝0.
返回
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
返回
[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
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建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
练一练
某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路.但在A 村北偏西300方向距A村500米处，发现一古代文物遗址W， 经过初步勘测，文物管理部门将遗址W周围200米划为禁区。 已知B地位于A村的正西方向1千米处，试问：修建高速公路 的计划需要改变吗？如图示：
学习要点： （1）坐标系是实现几何图形与代数形式互化的基础。建系应 根据图形的不同特点选择适当的建系方法； （2）求点P关于某点M对称点Q的坐标时，利用点M为PQ的中 点即可； （3）求点P关于某条直线L的对称点Q的坐标；利用直线L与 PQ垂直且直线L过PQ的中点可列出方程组解出点Q的坐标；
一．平面直角坐标系的建立
引例思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观 测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到 一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他 两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离 都是1020m，试确定该巨响的位置（假定当时 声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一 平面上）.
P C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
引例分析
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线 x 2 a2
y2 b2
1上，
y C
P
B o Ax
a 680 ,c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 y2 1 (x 0) 6802 5 3402
C
W
B
A
课堂小结
B
接报中心
A
R
L
引例分析
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴,建立直 角 坐标系.设A、B、C分别是东、西、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P（x , y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨 响声,得|PC|=|PB|,故P在BC的垂直平分线PO上,PO 的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，
例题分析
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上
的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
C
A)
F
Bx
例题分析
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别 为边AC,AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对 （x , y , z）的集合建立一一对应；
总结归纳
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
2
2
2
因此，BE⊥CF
课后思考：
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题 吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的 过程，建立直角坐标系应注意什么问题？
总结归纳
y
● P(x,y)
z
● P(x,y,z)
●
●
oP
o
xo
y
x
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；
（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对 （x , y）的集合建立一一对应；
解:以△ABC的顶点Ａ为原点O，y
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
C
坐标分别为：
c
E
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
O (A)
F
Bx
例题分析
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（x2
，y）. 2
由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为
uuuv BE
(
x
c,
y ),
uuuv CF
(c
x, y),
22
2
所以
uuuv uuuv x
c
y2
BE●gCF ( c)( x) 0.
引例分析
用y =－x代入上式，得 x 680 5 ，
∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5,
即P(680 5,680 5),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西北450
距中心 680 10m 处.
方法总结
解决此类应用题的关键：坐 标 法 1、建立平面直角坐标系; 2、设点（点与坐标的对应）; 3、列式（方程与坐标的对应）; 4、化简; 5、证明;
练一练
某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路.但在A 村北偏西300方向距A村500米处，发现一古代文物遗址W， 经过初步勘测，文物管理部门将遗址W周围200米划为禁区。 已知B地位于A村的正西方向1千米处，试问：修建高速公路 的计划需要改变吗？如图示：
学习要点： （1）坐标系是实现几何图形与代数形式互化的基础。建系应 根据图形的不同特点选择适当的建系方法； （2）求点P关于某点M对称点Q的坐标时，利用点M为PQ的中 点即可； （3）求点P关于某条直线L的对称点Q的坐标；利用直线L与 PQ垂直且直线L过PQ的中点可列出方程组解出点Q的坐标；
一．平面直角坐标系的建立
引例思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观 测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到 一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他 两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离 都是1020m，试确定该巨响的位置（假定当时 声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一 平面上）.
P C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
引例分析
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线 x 2 a2
y2 b2
1上，
y C
P
B o Ax
a 680 ,c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 y2 1 (x 0) 6802 5 3402
C
W
B
A
课堂小结
B
接报中心
A
R
L
引例分析
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴,建立直 角 坐标系.设A、B、C分别是东、西、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P（x , y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨 响声,得|PC|=|PB|,故P在BC的垂直平分线PO上,PO 的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，
例题分析
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上
的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
C
A)
F
Bx
例题分析
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别 为边AC,AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对 （x , y , z）的集合建立一一对应；
总结归纳
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
2
2
2
因此，BE⊥CF
课后思考：
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题 吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的 过程，建立直角坐标系应注意什么问题？
总结归纳
y
● P(x,y)
z
● P(x,y,z)
●
●
oP
o
xo
y
x
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；
（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对 （x , y）的集合建立一一对应；
解:以△ABC的顶点Ａ为原点O，y
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
C
坐标分别为：
c
E
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
O (A)
F
Bx
例题分析
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（x2
，y）. 2
由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为
uuuv BE
(
x
c,
y ),
uuuv CF
(c
x, y),
22
2
所以
uuuv uuuv x
c
y2
BE●gCF ( c)( x) 0.
引例分析
用y =－x代入上式，得 x 680 5 ，
∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5,
即P(680 5,680 5),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西北450
距中心 680 10m 处.
方法总结
解决此类应用题的关键：坐 标 法 1、建立平面直角坐标系; 2、设点（点与坐标的对应）; 3、列式（方程与坐标的对应）; 4、化简; 5、证明;