分式的化简求值及运算(一)
第八讲 分式运算及化简求值
第八讲 分式运算及化简求值模块一：分式乘除分式的乘法：乘法法测：·=. 分式的除法：除法法则：÷=·= 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()n =(n 为正整数)例题：计算：（1）746239251526yx x x -∙ （2）13410431005612516a x a y x ÷ （3）a a a 1∙÷计算：（4）24222a ab a b a ab a b a --∙+- （5）4255222--∙+-x x x x （6）2144122++÷++-a a a a a计算：（7）322346yx y x -∙ （8）a b ab 2362÷- （9）()2xy xy x x y -⋅-计算：（10） 22221106532xyx y y x ÷⋅ （11） 22213(1)69x x x x x x x -+÷-∙+++（12） ()22121441a a a a a a -+÷+⋅++-b a dc bd ac b a d c b a c d bcad ba b a n nba计算：（13）1112421222-÷+--∙+-a a a a a a （14）()633446222-+-÷--÷+--a a a a a a a求值题：（1）已知：43=y x ，求xyx y xy y xy x y x -+÷+--2222222的值。
（2）已知：x y y x 39-=+，求2222yx y x +-的值。
（3）已知：311=-y x ，求yxy x y xy x ---+2232的值。
例题：计算：（1）232()3y x = （2）52⎪⎭⎫⎝⎛-b a = （3）32323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x y = 计算：（4）3222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b =（5）()4322ab a b b a -÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛- （6）22221111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a求值题：（1）已知：432z y x == 求222z y x xzyz xy ++++的值。
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
分式的化简与求值
分式的化简与求值一、分式的概念及性质若用A 、B 表示两个整式，则BA 就叫做分式，其中：B 中含有字母且B ≠0。
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：MB M A B A ⨯⨯=，MB M A BA ÷÷=（M 是不为零的整式）。
（1） 分式中分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。
即：BA BA =--，BA BA BA -=-=-。
（2） 在分式运算中，可以把一个分式的分子、分母的公因式约去，我们称这一过程叫分式的约分。
（3） 在分式运算中，可以把n 个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，我们称这一过程叫分式的通分。
二、例题与练习：（一）巩固概念例1 当x 取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422+-+x x x ，（2）1222-++x x例2 当x 取何值时，分式212---x x x 的值为零？例3 将分式3243-++x x x 分解成部分分式。
例4 当x 取何整数时，下列各式中的y 值也是整数？（1）16-=x y ； （2）31+-=x x y ； （3）131++=x x y ；（5）222-+-=x x x y （6）13122-+-=x x x y（二）化简与求值 例5 化简下列分式： （1）1132--++x xx x （2）⎪⎭⎫⎝⎛-++÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-b a bb a b b a b a ba b a（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222)(11)2(11)1(11n x x x （4）168421161814121111aa aaaa--++++++++-（5）1271651231222++++++++x x x x x x（6）4192372252132+++++-++-++x x x x x x x x（7）abbc ac c b a c acbc ab b a c b bcac ab a c b a +----++----++----222222 （a 、b 、c 两两不相等）（8）()()()()()()199919972532312+++++++++x x x x x x（9）()()()()()d c b a c b a dc b a b a cb a a b +++++++++++（10）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a c a c b c b a b a c a c b c b a 111111111111222例6 若abc ＝1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值。
新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。
专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳
专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳► 类型一 代入求值型一、直接代入型1．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －1＋11－a ·1a，其中a ＝－12. 二、选择代入型2．先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．3．若a 满足－3≤a≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a 2－1a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 的值是一个奇数．三、整体代入型4．已知x ，y 满足x ＝5y ，求分式x 2－2xy ＋3y 24x 2＋5xy －6y 2的值． 5．已知a ＋b b ＝52，求a －b b的值． 6．若1a －1b ＝12，求a －b ab －ab a －b的值． 7．已知1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y的值． 8．已知a 满足a 2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1的值． 9．已知t ＋1t ＝3，求t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2的值． 10．已知x ＋1x ＝4，求x 2x 4＋x 2＋1的值． ► 类型二 设比例系数或用消元法求值11．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，则a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝________． 12．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．► 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值13．已知x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，求32x ＋1－23y －1的值． ► 类型四 值恒不变形15．已知y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x－x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变． 详解详析1．解：原式＝⎝⎛⎭⎫a 2a －1－1a －1·1a ＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1·1a ＝a ＋1a . 当a ＝－12时，a ＋1a ＝－12＋1－12＝－1. 2．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1. 由题意，可取x ＝2代入上式，得x 2x －1＝222－1＝4.(注意：x 不能为0和±1) 3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2.4．解：由已知可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y 2，得原式＝⎝⎛⎭⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y－6. 又已知x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得⎝⎛⎭⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y －6＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b－2，再将已知条件代入该式即可求解． 解：a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，又知a ＋b b ＝52，将其代入上式，得 a －b b ＝52－2＝12. 6．解：由1a －1b ＝12， 得b －a ab ＝12， 所以a －b ab ＝－12，ab a －b＝－2， 所以a －b ab －ab a －b＝－12＋2＝32. 7．[解析] 由条件1x ＋1y ＝5，通分化简，得x ＋y ＝5xy ，代数式可化为2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y，从而整体代入求值．解：∵1x ＋1y ＝x ＋y xy＝5， ∴x ＋y ＝5xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y ＝10xy －3xy 5xy ＋2xy＝1. 8．[解析] 对要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2＋2a －15＝0进行配方，得到a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案．解：1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1＝1a ＋1－a ＋2（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋2）＝1a ＋1－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2. ∵a 2＋2a －15＝0，∴(a ＋1)2＝16，∴原式＝216＝18.9．[解析] 利用t 2＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2的形式，将已知条件整体代入求解． 解：因为t 2＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2， 又t ＋1t＝3，将其代入上式，得原式＝32－2＝7. 10．解：因为x ＋1x＝4，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝42， 即x 2＋2＋1x 2＝16，所以x 2＋1x 2＝14. 因为x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝14＋1＝15， 所以x 2x 4＋x 2＋1＝115. 11.1142[解析] 由已知条件不能求出a ，b ，c 的具体值，但是我们可以把已知等式组成方程组，用其中一个字母(如c)来表示另两个字母，把分式转化为只含一个字母的分式，再约分．由已知，得⎩⎨⎧2a －3b ＝－c ，3a －2b ＝6c ， 解这个方程组得 ⎩⎨⎧a ＝4c ，b ＝3c ，代入原式，得a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝ （4c ）3－2·（3c ）3＋c 3（4c ）2·3c －2·（3c ）2c ＋3×4c·c 2＝11c 342c 3＝1142. 12．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629. 13.12[解析] 代数式x 2－4x ＋4＝(x －2)2.因为x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，所以由非负数的性质，得x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，所以⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷(x ＋y)＝⎝⎛⎭⎫21－12÷(2＋1)＝12.14．解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，得x －12x －3＝0，3y ＋1y ＋4＝0，所以x ＝1，y ＝－13， 所以原式＝32×1＋1－23×⎝⎛⎭⎫－13－1＝2. 15．[解析] 先化简分式，再通过分析化简结果得出结论．解：y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x－x ＋3 ＝（x ＋3）2（x ＋3）（x －3）·x （x －3）x ＋3－x ＋3 ＝x －x ＋3＝3.由化简结果，可知y 的值为常数3，与x 的取值无关，故不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变．。
专题 分式的化简与求值 课后练习一及详解
已知a,b,c为△ABC的三边，且分式 无意义，则△ABC为三角形.
题2
化简分式：
题3
已知 ， ， ，求代数式 的值．
题4
已知n＞1，M＝，N＝，P＝，则M、N、P的大小关系为（）
A.M＞N＞PB.M＞P＞NC.P＞M＞ND.P＞N＞M
题5
已知x2－5x－2009＝0，则代数式 的值为.
题6
不等于0的三个数a、b、c满足 ，求证a、b、c中至少有两个互为相反数．
题5
答案：－2.
详解：首先对 进行化简，然后根据化简结果采取适当的方法代入求值.===－2.
题6
答案：a、b、c中至少有两个互为相反数．
详解：对式子 进行整理得：(a+b)(b+c)(c+a)＝0，故a、b、c中至少有两个互为相反数
课后练习详解
题1
答案：等边
详解：因为分式无意义，所以分母为0，即 ，整理可得： ，所以a=b=c.故△ABC为等边三角形.
题2
答案详解：由 和 得， ，由x+y+z=2，得
z=2－x－y，x=2－y－z，y＝2－x－z，所以
原式= .
题4
答案：B
详解：首先比较M与P的大小。因为n－1 <n+1,所以M>P；其次比较M与N的大小.因为n>n－1,n－1<n，所以M>N；最后比较N与P的大小.采用做差法.N－P=－=－<0，所以P>N.所以B正确.
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。
比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。
可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。
练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。
2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。
3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。
二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。
比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。
可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。
练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。
5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。
三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。
比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。
分式化简求值55道练习题
分式化简求值55道练习题1.先化简，再求值：$\frac{12}{2x-1}-\frac{x-1}{x-1}$，其中$x=-2$。
2.先化简，再求值：$\frac{a^2-b^2}{a-b}$，其中$a=-1$。
3.先化简，再求值：$\frac{x^2-2x+1}{x^2+x-2}$，其中$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
4.先化简，再求值：$\frac{a-3b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}$，其中$a=1$。
5.先化简，再求值：$\frac{a-3b}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}$，其中$b=2$。
6.化简：$\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}$。
7.先化简，再求值：$\frac{a^2-1}{a^2+1}$，其中$a=\frac{1}{2}$。
8.先化简：$\frac{x^2-1}{2x-1}$，其中$a=2$，代入求值。
9.先化简，再求值：$\frac{(x+1)}{(x-2)^2}$，其中$x=2$。
10.先化简，再求值：$\frac{3x+1}{x+3}$，其中$x=-3$。
11.先化简下列式子：$\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x-1}$，再从2，-2，1，-1中选择一个合适的数进行计算。
12.先化简，再求值：$\frac{x}{x-1}$，其中$x=-2$。
13.先化简，再求值：$\begin{cases} -x-2\leq 3x \\ x\leq2x^2 \end{cases}$，其中$x=1$。
14.先化简，然后从不等式组$\begin{cases} x-5\leq -x \\x^2-2x-25\leq 2x+12 \end{cases}$的解集中，选取一个你认为符合题意的$x$的值代入求值。
15.先化简，再求值：$\frac{a^2-4a-2}{2a^2+6a+9}$，其中$a=-5$。
16.先化简，再求值：$\frac{3x-x^2}{x^2-2}$，其中$x=\frac{3}{\sqrt{2}}$。
分式化简求值
1. 先化简，再求值：221443(1)21x x x x x x x -+-÷+-+--，其中x 满足2240x x +-=. 2. 先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷-1121122x x x x x ，其中072=+x x x 满足． 3. 先化简，再求值：24)2122(+-÷+--x x x x ，其中x 满足方程123x x =+． 4．先化简，再求值：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中a 满足220a a --=. 5. 先化简，再求值：222144112x x x x x x x x +-++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中x 为不等式组243(1)9x x x ⎧⎨+≤+⎩的整数解。
6. 先化简，再求值:11454)1221(22----÷----+x x x x x x x x ,其中x 满足07222=--x x . 7. 先化简，再求值：221242()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足方程121=--x x x 8. 先化简，再求值：xx x x x x 41)111(22+÷-+++，其中x 满足方程0122=--x x ． 9. 先化简，再求值：aa a a a a 4)4822(222-÷-+-+，其中a 满足方程0142=++a a ． 10. 先化简代数式再求值：121132+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ，其中x 满足方程x x －1 ＋ 1 x ＝1． 11. 已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式：⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值． 12. 先化简，再求值：224431(1)12x x x x x x x -+÷-+++++，其中x 为方程2+210x x -=的解.13. 先化简，再求值：3325222x x x x x ++⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，其中o o 45tan 45cos -=x . 14. 先化简，再求值：3434421222--÷-+--+x x xx x x x ，其中x 满足x 2＋2x-3=0．15. 先化简，再求值：1)1212(2-÷+--+a a a a a ，其中a 是方程121=--x x x 的解. 16. 先化简，再求值：2222(2),442x x x x x x x -÷---+- 其中x 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--x x x x 22154)2(3的整数解.17. 先化简，再求值：2121441(2)11x x x x x x --+--÷++，其中x 是方程210x x --=的根. 18. 先化简，再求值：22212()1x x x x x x x x----÷++，其中x 是方程2231x x +=-的根． 19. 化简求值：235(2)362m m m m m -÷+---，其中m 是方程2310x x +-=的解． 20. 先化简，再求值．，其中a 2﹣2a ﹣1=0． 21. 先化简，再求值：222221(),11a a a a a a a -+-÷-+- 其中a 是方程09222=--x x 的解. 22. 先化简，再求值：22212()211a a a a a a a a ---÷++-+ 其中13a a += 23. 先化简，再求值：2211211x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中x 满足方程220x x --=。
初中数学 人教版八年级上册分式的化简 求值 与证明讲义
分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。
第三章分式的化简求值问题
第三章：分式一、中考要求：1 •经历用字母表示现实情境中数量关系（分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感.2•经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力.3•熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.5 •通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值.二、中考卷研究（一）中考对知识点的考查：本章多考查分式的意义、性质，运算也是中考热点之一，另外分式方程及其应用也是热点考题.本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力.三、中考命题趋势及复习对策本章内容是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题，占4〜12分，主要考查学生对概念的理解和运用基础知识、计算、分析判断的能力.针对中考命题趋势，在复习时应夯实基础知识，锻炼计算能力，还应在方程的应用上多下功夫、加大力度，多观察日常生活中的实际问题.★★★ （I ）考点突破★★★考点1：分式的运算、考点讲解：A1.分式：整式A除以整式B，可以表示成g的形式，如果除式B中含有字母，那么称令错误!为分式. 注：（1 ）若B z 0，则错误！有意义；（2）若B=0，则错误！无意义；（2）若A=0且B z0,则错误!=02 .分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3 .约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分.4 .通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.5 •分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.6 •分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.7 .通分注意事项：（1 ）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.8 .分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.9 .对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.二、经典考题剖析：【考题1 - 1】（2004、南宁，2分）当x 时，分式错误！有意义.解：z 1点拨：考查分式有意义的条件 1 - x z 0,即X z 1.解：一1【考题1 —2】（2004、青岛）化简: a 2.a24a 4(a 2)【考题1 - 3】（2004、贵阳，8分）先化简，再求 2值：（3x x x 1，其中 x 2 2。
初中数学专题： 分式的运算及化简求值
7．(黔南中考)先化简再求值：(x－1 y－x＋1 y)÷x2－yy，其中 x，y 满足 |x－1|＋(y＋2)2＝0.
解：∵x，y 满足|x－1|＋(y＋2)2＝0， ∴x－1＝0，y＋2＝0.∴x＝1，y＝－2. 原式＝（xx－＋yy）－（x＋ x＋yy）·x－ 2yy＝x＋1 y. 当 x＝1，y＝－2 时，原式＝1－1 2＝－1.
8．(毕节中考)先化简，再求值：(x2－x2－2x＋ x 1＋xx22＋－24x)÷1x，且 x 为满 足－3＜x＜2 的整数．
解：原式＝[x（（xx－－11））2＋（x＋x（2）x＋（2x）－2）]·x＝(x－x 1＋ x－x 2)·x＝2x－3.
∵x 为满足－3＜x＜2 的整数， ∴x＝－2，－1，0，1. ∵x 要使原分式有意义， ∴x≠－2，0，1. ∴x＝－1. 当 x＝－1 时，原式＝2×(－1)－3＝－5.
3．计算： (1)(x＋1 1＋x－1 1)·(x2－1)； 解：原式＝（xx＋－11）＋（x＋ x－11）·(x＋1)(x－1) ＝2x.
(2)(x＋3 1－1x)÷x22＋x22－x＋x 1； 解：原式＝[x（x3＋x 1）－x（xx＋＋11）]·x22＋x22－x＋x 1 ＝x3（x－x＋x－1）1 ·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x（2xx－＋11）·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x＋x2 1.
(3)m2＋m2m2 ＋1÷(1－m＋1 1)； 解：原式＝（mm＋21）2÷mm＋＋1－1 1 ＝（mm＋21）2·mm＋1 ＝mm＋1.
(4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋4xx＋4. 解：原式＝32－－xx·（x＋2）x－（3x－2）·（x＋x 2）2 ＝x＋x 2.
4．(遵义中考)先化简，再求值：x－x y÷(x－2xyx－y2)，其中 x＝2，y ＝－1.
中考复习 分式整式化简求值 初三
一.教学目标：1、分式的化简求值，理解分式的化简步骤，以及在化简过程中的注意事项2、整式的化简求值，了解整式化简的步骤，以及在化过程中的注意事项1.教学重难点：（1）分式的约分和通分化简以及化简过程中的方法技巧（2）整式幂的运算，合并同类项以及化简过程中的方法技巧分式的化简求值一、分式的概念一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫作分式．分式会AB中A叫作分子，B叫作分母．注意：(1)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母．(2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如12，2x是整式，而2x是分式．(3)分式有无意义的条件：①若0B≠，则分式AB有意义；②若0B=，则分式AB无意义．(4)分式的值为零的条件：若{00A B=≠，则分式A B的值为零，反之也成立．二、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：A A MB B M⋅=⋅，()0A A MMB B M÷=≠÷，其中A，B，M是整式．课题分式整式的化简求值学生姓名年级初三日期注意：(1)分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形．(2)当分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上．再将分子与分母同乘(或除以)相同的整式．三、约分、最简分式及通分的概念1．约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：(1)当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幂，它们的乘积就是分子与分母的公因式．(2)当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式．约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项．例如2233a x ab x b+=+是错误的．2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式(1除外)．分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式．注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似．(2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线．形如322x y++，233ax y++的分式都不是最简分式．3.通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．(4)最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母． 注意：确定最简公分母的一般方法：(1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母．学#科网(2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求．方法技巧归纳方法技巧 (一)应用分式概念解题的规律1．分式的判别方法 根据定义判定式子A B 是否为分式要注意两点：一是A ，B 都是整式，二是B 中含字母且0B ≠．判断一个代数式是否为分式，还应注意不能把原式变形(如约分等)，而只能根据它的最初形式进行判断．如根据()()()()22222a b a b a b a b a b a b +---==++，判定()222a b a b -+不是分式，这是错误的． 2．对分式有无意义或值为0的条件判断(二)分式基本性质的应用分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．利用分式的基本性质可将分式恒等变形，化简分式，简化计算等．1．约分（参考三（1））2．通分（参考三（3））(三)分式值的特殊情况(拓展)1．分式的值为1或1-的讨论 若分成()10A B B =≠，则A B =，反之也成立；若分式()10A B B=-≠，则A 与B 互为相反数，反之也成立．2．分式的值为正数的讨论分式的值为正数时，分式的分子与分母同号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围．3．分式的值为负数的讨论分式的值为负数时，分式的分子与分母异号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围．4．分式的值为整数的讨论若分式的值为整数，则分母必为分子的约数，利用这一关系可对分母进行讨论．四、分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下：(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是：a c a c b d b d⋅⋅=⋅． (2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． (3)分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(n 是正整数)． 注意：(1)法则中的字母a ，b ，c ，d 所代表的可以是单项式，也可以是多项式．(2)运算的结果必须是最简分式或整式．五、分式的加减法1．同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示是：a b a b c c c ±±=． 注意：(1)“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略，(2)运算结果必须化为最简分式或整式．2．异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示是：ac ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=． 六、分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行．注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度．(2)结果必须化为最简分式或整式．(3)分子或分母的系数是负数时，要把“－”提到分数线的前边．(4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘．方法技巧归纳方法技巧 (一)分式的乘除法及乘方运算的解题技巧1．分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算，分式的乘法一般情况下是先约分再相乘，这样做省时简单易行，又不易出错；当除式(或被除式)是整式时，可以看作分母是1的式子，然后再按分式的乘除法则计算．2．分式的乘方做分式乘方时，一是注意养成先确定结果的符号，再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减．(二)分式加减运算的解题技巧 分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的，分为同分母加减法和异分母加减法，所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多，它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．分式加减运算需要运用较多的基础知识，运算步骤增多，符号变换复杂，解题方法灵活多样．(三)分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题，一是化简要求值的分式，只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件，化到最简后，再考虑代入求值．(四)分式混合运算的解题技巧分式的混合运算，除了掌握运算顺序外，在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化，值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式．(五)分式通分的解题技巧分式的加减运算，分同分母分式相加减和异分母分式相加减，对于异分母分式的加减法，有时直接通分会很繁琐，我们可以根据式子的特点，灵活的采用不同的方法通分，从而起到事半功倍的效果．1．分组通分2．逐项通分3．公式()11111n n n n =-++的运用 核心考点 分式的化简求值分式化简求值是中考的热点，常以解答题的题型进行考查，主要考查分式的运算能力．在考查时经常运用分式的基本性质进行运算，解题时要充分运用分式运算法则进行求解．【经典示例】化简分式：（2223442x x x x x ---+-）÷234x x --，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．答题模板第一步，化简：化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变．第二步，运算：由已知条件，根据分式的基本性质，适当把分式进行变形，使变形后的分式出现已知条件的形式，然后把已知条件代入变形后的分式，来求分式的值．第三步，求解：分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．四步，反思：查看关键点、易错点，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．． 模拟训练先化简，再求值：22214()244a a a a a a a a +--+÷--+，其中011(3)()2a -=π-+. 1．（2017·湖南常德）先化简，再求值：（243133x x x x -+---）（22212322x x x x x -+--+-），其中x =4．2．(2017·湖北襄阳)先化简，再求值：2111()x y x y xy y +÷+-+，其中x 5＋2，y 5－2.3．(2017·吉林)某学生化简分式21211x x ++-出现了错误，解答过程如下： 原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+-（第一步） =12(1)(1)x x ++-（第二步）=231x -．（第三步） （1）该学生解答过程是从 步开始出错的，其错误原因是 ；（2）请写出此题正确的解答过程．4．先化简，再求值：22124)(1)442a a a a a a a -+-÷--+-，其中a 满足不等式组7223a a ->⎧⎨>⎩的整数解.5．先化简，再求值：(221a a +－2142a a +)÷(1－2414a a +)，其中a 是不等式x －413x -＞1的最大整数解．6．已知1A x +－3B x -＝5(1)(3)x x x ++- (其中A ，B 为常数)，求A 2 018B 的值． 整式的化简求值一、整式的概念1．单项式和多项式（1）单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也叫做单项式，如0，?1，a …（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；【注】①单个字母的系数是1，如a 的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或?1，如?ab 的系数是?1，a 3b 的系数是1．（4）多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；（5）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；（6）多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；学*科网（7）常数项：代数式中不含字母的项叫做常数项，如6x2?2x?7中的常数项是?7．2.同类项多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项所有常数项也看做同类项．3．合并同类项（1）定义：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．（2）理论依据：逆用乘法分配律．（3）法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．【注】①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式．（4）合并同类项的步骤：第一步：观察多项式中各项，准确找出同类项，项数比较多时，不同的同类项可以给出不同的标记；第二步：利用乘法的分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果．4．去括号法则去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑，做到要变都变；要不变，则谁也不变；法则顺口溜：去括号，看符号，是“+”号，不变号；是“-”号，全变号．另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．【注】 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．二、整式的计算1．整式的加减法整式的加减实质上就是合并同类项，若有括号，要先用“去括号法则”去掉括号，然后合并同类项．【注】（1）两个整式相减时，减数一定要先用括号括起来；（2）整式加减的最后结果中：✍不能含有同类项；✍一般按照某一字母的降幂或升幂排列；✍不能出现带分数，带分数要化成假分数．2．幂的运算（1）同底数幂的乘法同底数幂运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即()m n m n a a a m n +⋅=、为正整数（m 、n 均为正整数）．学@科网推导公式：同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 ()m n p m n p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数．底数互换关系 22()()n n a b b a -=- ，2121()()n n b a a b ++-=--【注】同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数．在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算．（2）幂的乘方的运算性质运算性质： 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()m n mn a a =（m 、n 均为正整数）．【注】幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开．（3）积的乘方的运算性质运算性质：积的乘方，把积中各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：=（n为正整数）．ab a b()n n n补充：()pm n mp npa b a b=(m、n、p是正整数)．【注】运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果．运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式．3．整式的乘除（1）单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注】计算时要运用乘法交换律，乘法结合律（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，因单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加【注】运用乘法分配律转化成单项式乘单项式（3）多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘里一个多项式的每一项，再把所得的积相加．4．乘法公式（1）完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2， (a ?b )2=a 2?2ab +b 2解读：()2222+=+⨯⨯+首尾首首尾尾，公式中的a 、b 可以是单独的数字,字母，单项式或多项式（2）平方差公式：(a +b )(a ?b )=a 2?b 2核心考点 整式的化简求值1．整式化简求值在广东省中考中，在解答题部分，大多以先化简再求值的题型出现，要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a 、b ，准确进行计算；2．要准确认识平方差和完全平方公式，可以结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3．在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号；当字母是分数时，遇到乘方也要加括号．【经典示例】先化简，再求值：2()()2a b a b a +-+，其中1a =，2b =．答题模板第一步，计算：利用整式乘法和除法法则或乘法公式进行展开．第二步，化简：利用整式的加减法法则合并同类项化简．第三步，求值：把字母的值代入化简结果计算．第四步，反思：反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性． 模拟训练1.计算：(3)(1)(2)a a a a +-+-．2. 先化简，再求值．()()223234(1)(2)x x x x x +---+-，其中3x =-．1．（2017·浙江宁波）先化简，再求值：()()()()2215x x x x +-+-+，其中32x =.2．（2017·湖南怀化）先化简，再求值：()()()()2212112a a a a a --+---，其中21a =+.3．（2017·江苏无锡）计算：（a +b ）（a ﹣b ）﹣a （a ﹣b ）4．（2017·浙江嘉兴）化简：(2)(2)33m m m m +--⨯．5．(2017·河南)先化简，再求值： 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--，其中1x =，1y =．。
专题04分式的运算与化简求值篇(原卷版+解析)
专题04 分式的运算与化简求值1.因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++；②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22；完全平方公式：()2222bababa±=+±。
③十字相乘法：在cbxx++2中，若()均为整数，且nmbnmmnc=+=，则：()()nxmxcbxx++=++2。
2.分式的性质：分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。
()0≠÷÷==CCBCABCACBA3.约分与通分：①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。
公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。
②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。
公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。
4.分式的乘除运算：①乘法运算步骤：I：对分子分母因式分解；II：约掉公因式；III：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。
②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。
5.分式的加减运算：具体步骤：I：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；II：将分式通分成同分母；III：分母不变，分子相加减。
6.分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。
1．（2022•西藏）计算：224222---⋅+a a a a a a ．2．（2022•兰州）计算：()x x x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+211．3．（2022•大连）计算：x x x x x x x 1422444222--+÷+--．4．（2022•十堰）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-a ab b a a b a 2222．5．（2022•常德）化简：212312+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-a a a a a ．6．（2022•内蒙古）先化简，再求值：1441132-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，其中x ＝3．7．（2022•阜新）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-+-21129622a a a a a ，其中a ＝4．8．（2022•资阳）先化简，再求值．111122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a ，其中a ＝﹣3．9．（2022•黄石）先化简，再求值：1961212+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．10．（2022•朝阳）先化简，再求值：323444222++-+÷+--x x x x x x x x ，其中x ＝（21）﹣2．11．（2022•锦州）先化简，再求值：212112--÷⎪⎭⎫⎝⎛-++x x x x ，其中13-=x ．12．（2022•盘锦）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-÷--1111231322x x x x x x ，其中12+-=x ．13．（2022•郴州）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++÷-2221b a b b a b a ab ，其中a ＝5+1，b ＝5﹣1．14．（2022•营口）先化简，再求值：14412512+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a a a ，其中a ＝9+|﹣2|﹣（21）﹣1．15．（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|3﹣2|+（20221）﹣1﹣212；（2）先化简，再求值：y x y x y x y x x y x -+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3，其中x ＝1，y ＝100．专题04 分式的运算与化简求值7. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
《分式的化简求值》强化训练题(一)40题含答案1
《分式的化简求值》强化训练题（一） 组卷人：班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________1．计算：21()(1)x x x x++÷．2．计算：222242a a a a a a +⋅−−−．3．计算：2224214424x x x x x x x−+÷−−+−．4．化简：231(1)22a a a a a +−−+÷++．5．化简：212(1)11a a a a ++÷−−．6．先化简，再求值：()a b a b ab b a +÷−，其中3a =，2b =．7．先化简，再求值：2344(1)11x x x x x −+−−÷−−，其中3x =．8．先化简，再求值：22691(1)22a a a a a −+÷−−−，其中4a =．9．先化简，再求值．221(1)11a a a −÷+−，其中3a =−．10．先化简，再求值：2269(1)11a a a a +++÷++，从3−，1−，2中选择合适的a 的值 代入求值．11．先化简，再求值：2292(1)693m m m m −÷−−+−，其中2m =．12．先化简，再求值：211()122x x x x −+÷+−−，其中1x =−．13．先化简，再求值：224(1)244x x x x x −−÷−−+，其中4x =−．14．先化简，再求值：21(21)11a a a a a +÷−−−−，其中3a =．15．先化简，再求值：2212()ab b a b a b a b ÷+−+−，其中1a =，1b =−．16．先化简2121(1)1221a a a a a −−−÷+−−+，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．17．化简求值：222244(1)x x x x x x −−+−÷−，其中4x =．18．先化简：2242(2)244x x x x x x −++÷−−+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．19．先化简，再求值：22221124()11x x x x x x x−+−−÷−++，其中6x =．20．先化简，再求值：22111x x x x−−÷−，其中x =21．先化简，再求值：211a a a −+−，其中5a =．22．先化简，再求值：211(1)a a a−+÷，其中1a =．23．先化简，再求值：2121()x x x x x−+÷−其中1x =．24．先化简222244()4424x x x x x x x −−−÷−+−−，再从1−、2、4中选一个你喜欢的数作为x 的值 代入求值．25．先化简：2212(1)244a a a a a a +−−÷−−+，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．26．求代数式222232x y x x y y x++−−的值，其中2x y =+．27．先化简，再求值：22211391x x x x x x x +÷−⋅−−+，其中2x =．28．先化简，再从1−，0，1x 值代入求值．211()111x x x x +÷+−−．29．先化简，再求值：229311()21112a a a a a a a −−÷−⋅−+−−+，其中2a =．30．先化简，再求值：35(2)242a a a a −÷+−−−，其中32a =−．31．先化简，再求值：2269(1)11a a a a −+−÷−−，从3−，1−，1，3中选择一个合适的a 的 值代入求值．32．先化简，再求值：324(2)244x x x x x ++÷−−+，其中x 是满足条件2x 的合适的 非负整数．33．先化简，再求值：2296()693x x x x x x −÷+−+−，其中x =34．先化简，再求值：22211()2111x x x x x x −+÷−+−−，其中x 是满足条件11x −的整数．35．先化简，再求值22344(1)1a a a a a a −++−÷−−，其中113a =−．36．先化简，再求值：2228224442a a a a a a a −÷−++−+，其中1a =．37．先化简，再求值：22424412x x x x x x x −+÷−−++−，其中2x =．38．先化简，再求值：21(1)11x x x ÷−−+，其中1x =．39．先化简，再求值：2121(1)m m m m −+−÷，其中1m =+．40．已知：22x M +=，42x N x =+． （1）当0x >时，判断M N −与0的关系，并说明理由；（2）设2216x y N M=+时，若x 是正整数，求y 的正整数值．《分式的化简求值》练习题（一）参考答案1．解：原式21x x x x x +=⨯+1(1)x x x x x +=⨯+1x =．2．解：原式(2)2(2)(2)2a a a a a a a +=⋅−+−−222a a a =−−−1=．3. 解：2224214424x x x x x x x −+÷−−+−2(2)(2)2(2)1(2)(2)x x x x x x x +−−=⋅−−+21x x =−1x =．4. 解：231(1)22a a a a a +−−+÷++(1)(2)32[]22(1)(1)a a a a a a a a −+++=+⋅+++− 22122(1)(1)a a a a a a +++=⋅++−11a a +=−．5. 解：212(1)11a a a a ++÷−−211112a a a a a ++−−=⋅−2(1)(1)12a a a a a +−=⋅−1a =+．6. 解：()a b a b ab b a+÷−22a b a b ab ab +−=÷()()a b ab ab a b a b +=⋅+−1a b =−，当3a =，2b =时，原式1132==−． 7. 解：原式223(1)11(2)x x x x −−−=⋅−−2(2)(2)11(2)x x x x x +−−=−⋅−−22x x +=−−， 当3x =时，原式3232+=−−5=−．8. 解：原式2(3)21()(2)22a a a a a a −−=÷−−−−2(3)3(2)2a a a a a −−=÷−−2(3)2(2)3a a a a a −−=⋅−−3a a −=， 当4a =时，原式43144−==． 9. 解：原式2111(1)(1)a a a a a +−=÷++−2(1)(1)1a a a a a +−=⨯+1a a−=， 当3a =−时，原式31433−−==−．10. 解：原式23(3)11a a a a ++=÷++2311(3)a a a a ++=⋅++13a =+， 由分式有意义的条件可知：a 不能取1−，3−，故2a =，原式123=+15=． 11. 解：2292(1)693m m m m −÷−−+−2(3)(3)32(3)3m m m m m +−−−=÷−−3335m m m m +−=⋅−−35m m +=−， 当2m =时，原式235253+==−−．12. 解：原式2411[](1)(2)(1)(2)2x x x x x x x x −+−=+÷+−+−− 331(1)(2)2x x x x x −−=÷+−−3(1)2(1)(2)1x x x x x −−=⨯+−−31x =+，当1x =时，原式==．13. 解：原式2(2)(2)2(2)(2)x x x x x x −−−=⋅−+−2222x x x −=⋅−+22x =+， 当4x =−时，原式242=−+1=−．14. 解：原式(1)(1)(21)11a a a a a a +−=⨯−−−+21a a =−+1a =−+， 当3a =时，原式312=−+=−．15. 解：2212()ab b a b a b a b ÷+−+−2()()ab a b b a b a b a b −+=÷−+−()()ab a b a b a b a b+−=⋅−+ab =，当1a =，1b =−时，原式1)=51=−4=．16. 解：原式222112(1)a a a a a −−=⋅+−−−221121a a a a −=⨯+−−−2111a a =+−−31a =−； 因为1a =，2时分式无意义，所以3a =， 当3a =时，原式32=．17. 解：222244(1)x x x x x x −−+−÷−222(2)(1)x x x x x x −−−=÷−22(1)(2)x x x x x −−=⋅−12x x −=−， 当4x =时，原式4142−=−32=．18. 解：原式2244(2)()22(2)x x x x x x −−=+⋅−−−222x x x x−=⋅−x =， (2)0x x −≠，0x ∴≠，2x ≠，当1x =时，原式1=，当3x =时，原式3=．19. 解：22221124()11x x x x x x x−+−−÷−++112(2)()11(1)x x x x x x −−=−÷+++2(1)12(2)x x x x x −+=⋅+−2x =， 当6x =时，原式62=3=．20. 解：22111x x x x −−÷−2(1)(1)11x x x x x +−=⋅−−11x x +=−1x x x +−=1x =，当x ===． 21. 解：原式2(1)11a a a a −+−=−2211a a a a −+−=−2211a a a −−=−(21)(1)1a a a +−=−21a =+， 当5a =时，原式10111=+=．22. 解：原式1(1)(1)a a a a a++−=÷1(1)(1)a a a a a +=⋅+−11a =−，当1a =时，原式2==．23. 解：原式2121x x x x −+−=÷(1)(1)1x x x x x +−=⋅+1x =−，当1x =时，原式11=+−=24. 解：222244()4424x x x x x x x −−−÷−+−−2(2)4(2)(2)[](2)24x x x x x x x −+−=−⋅−−− 4(2)(2)()224x x x x x x +−=−⋅−−−4(2)(2)24x x x x x −+−=⋅−−2x =+， 2x =−，2或4时，原分式无意义，1x ∴=−，当1x =−时，原式121=−+=．25. 解：2212(1)244a a a a a a +−−÷−−+212(2)()22(2)a a a a a a a +−−=−÷−−−21(2)(2)2(2)a a a a a a +−−−=⨯−−212(2)2(2)a a a a a a +−+−=⨯−−23(2)2(2)a a a a −=⨯−−3a =， 当0a =，2a =时，原式没有意义，∴当2023a =时，332023a =．26. 解：原式32()()()()x y x x y x y x y x y +=−+−+−2()()()x y x y x y +=+−2x y =−， 当2x y =+时，原式212y y ==+−．27. 解：原式21(1)(3)(3)31x x x x x x x x +=⋅+−−⋅−+31x =+−2x =+， 当2x =时，原式224=+=．28. 解：原式111(1)(1)x x x x x −+−=⋅+−11x =+， 又1x ≠−，0，1，x ∴可以取==29. 解：原式2(3)(3)111[](1)312a a a a a a a −+−=⋅−⋅−−−+311()112a a a a +=−⋅−−+ 2112a a a +=⋅−+11a =−， 当2a =时，原式1121==−．30. 解：35(2)242a a a a −÷+−−−3(2)(2)52(2)2a a a a a −+−−=÷−− 2392(2)2a a a a −−=÷−−322(2)(3)(3)a a a a a −−=⋅−+−12(3)a =+126a =+， 当32a =−时，原式11332()62==⨯−+．31. 解：原式23(3)11a a a a −−=÷−−2311(3)a a a a −−=⋅−−13a =−， 由分式有意义的条件可知：a 不能取1，3，故1a =−，原式11134==−−−．32. 解：原式23244()22(2)x x x x x −=+÷−−−223(2)2x x x x −=⋅−2x x−=， 0x ≠且20x −≠，0x ∴≠且2x ≠，1x ∴=，则原式1211−==−．33. 解：原式22(3)(3)36(3)3x x x x x x x −+−+=÷−−333(3)x x x x x +−=⋅−+1x=，当x ==． 34. 解：22211()2111x x x x x x −+÷−+−−22(1)(1)11[](1)1x x x x x x +−−=−⨯−− 2111()11x x x x x+−=−⨯−−211x x x x −=⨯−1x =； x 是满足条件11x −的整数，且0x ≠且1x ≠，1x ∴=−，∴原式1=−．35. 解：22344(1)1a a a a a a−++−÷−−2213(2)()11(1)a a a a a a −−=−÷−−− 2(2)(2)(1)1(2)a a a a a a +−−=⨯−−(2)2a a a +=−222a a a +=−， 当113a =−时，原式得2221144(1)2(1)()2()2433331421512233a a a −+⨯−−+⨯−+====−−−−−．36. 解：原式28(2)2(2)(2)(2)2a a a a a a a −=÷−++−+28(2)(2)2(2)(2)2a a a a a a a +−=⋅−+−+ 8222a a =−++62a =+．当1a =，原式6====．37. 解：22424412x x x x x x x −+÷−−++−2(2)(2)1(2)22x x x x x x x +−+=⨯−−+− 122x x x x +=−−−12x =−，当2x =+==38. 解：21(1)11x x x ÷−−+21111x x =÷−+1(1)(1)(1)x x x =⨯++−11x =−；当1x =时，原式==39. 解：原式21(1)m m m m −−=÷21(1)m m m m −=⋅−11m =−，1m时，原式3===．40. 解：（1）0M N −，理由如下：22x M +=，42x N x =+， M N ∴−2422x x x +=−+24482(2)x x x x ++−=+2(2)2(2)x x −=+， 0x >，20x ∴+>，2(2)0x −， ∴2(2)02(2)x x −+， 即0M N −；（2）2216x y N M =+ 22164()22()2x x x x =+++ 2226416(2)(2)x x x x =+++ 2216(4)(2)x x x +=+ 2216(2)64(2)x x +−=+ 26416(2)x =−+， x 是正整数，y ∴的正整数值为：当2x =时，12y =，当6x =时，15y =．综上所述，y 的正整数值为12或15．。
第4讲 分式的化简求值(教师版)
巩固1
已知
，则
．
答案
解析 由
可得
，
∴原式
．
故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值
巩固2
若
，则
的值为
．
答案
解析 由题得 ∴ ∴ 又∵ ∴原式 ． 故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式通分
巩固3
若
，则
的值是
．
答案 备选答案1 : 备选答案2 :
分析：由题知，条件的基本形式是分子、分母分别为两项之积与两项之和，满足
可进行裂项拆分；
解：由题知
，
，
，即
拆 分则 法
∴三式相加得
又∵ ∴ 【拓展】
为何正整数时，下列分式为整数．
① ；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
．
分析：分离常数法其核心是化简分子，在分子里面构造与分母相同的项，其本质是整数解问题；
解：①
2 已知
，则代数式
答案
解析 ∵ ∴ ∴
， ，
，
把 代入原式
的值为
．
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
3 已知
，
，则
．
答案 解析 原式
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
例题3 1若
，则
的值是
．
答案
解析 ∵
；∴
即
∴
．
标注 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：利用完全平方公式计算
中考分式化简求值问题含答案
中考中的分式的化简求值1.先化简：23x 4x 4x 1x 1x 1-+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x 的值代入求值．【答案】解：原式=()()()()222x 2x 23x 1x 1x 1x 2x 1x 1x 2x 2x 2+--++++⋅=-⋅=-++---。
取x=0，原式=02102+-=-。
【考点】开放型，分式的化简求值。
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x 的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可（答案不唯一）。
2.按要求化简：22a 3a 11a ++--．要求：见答题卡．=2a2a 3(a 1)(a 1)+--+-去括号 = ▲ ① =a 1(a 1)(a 1)-+-合并同类项 此处不填 = ▲ ②= ▲ ③= ▲ ④3.从三个代数式：2222a 2ab b 3a 3b a b -+--，，①②③中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a=6，b=3时该分式的值。
【答案】解：选②与③构造出分式：223a 3ba b--， 4.阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式422x x 3x 1--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为2x 1-+，可设()()4222x x 3x 1x a b --+=-+++则()()()()422242242x x 3x 1x a b x ax x a b x a 1x a b --+=-+++=--+++=---++ ∵对应任意x ，上述等式均成立，∴a 11a b 3-=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1。
∴()()()()222242222222x 1x 21x 1x 2x x 311x 2x 1x 1x 1x 1x 1-+++-++--+==+=++-+-+-+-+-+。
这样，分式422x x 3x 1--+-+被拆分成了一个整式2x 2+与一个分式21x 1-+的和． 解答：（1）将分式422x 6x 8x 1--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）试说明422x 6x 8x 1--+-+的最小值为8．[来^&%源:中教网@~]【答案】解：（1）由分母为2x 1-+，可设()()4222x 6x 8x 1x a b --+=-+++，则()()()()422242242x 6x 8x 1x a b x ax x a b x a 1x a b --+=-+++=--+++=---++。
小专题1 分式的运算及化简求值
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7．（2019·遵义）化简式子（a2a－2－4a2＋a 4＋1）÷aa22－ ＋1a，并在－2，－1， 0，1，2 中选取一个合适的数作为 a 的值代入求值．
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解：原式＝[a（（aa－－22））2＋1]·（a＋a（1）a＋（1a）－1） ＝（a－a 2＋1）·a－a 1 ＝2（aa－－21）·a－a 1 ＝a2－a2. 当 a＝－2 时，原式＝2×－（2－ －22）＝1.
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数学 第16章 分式
小专题1 分式的运算及化简求值
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类型 1 分式的运算 1．计算： （1）xyx＋y·x2x＋2yx； 解：原式＝y（x＋x 1）·x（xx＋2y 1） ＝y12.
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8．（2019·洛阳一模）先化简，再求值：x2－x－4x1＋4÷（x＋1－x－3 1），
其中 x 的值是不等式组－2xx＋＜13≤，5的一个整数解． 解：原式＝（xx－－21）2÷（xx2－－11－x－3 1） ＝（xx－－21）2·（x＋2x）－（1x－2） ＝xx－ ＋22.
MING XIAO KE TANG
（8）1＋x2－x＋2 x2÷（x－13＋xx）. 解：原式＝（xx＋－12）2÷（xx2＋＋1x－x＋3x1） ＝（xx＋－12）2·x（xx＋－12） ＝x（x＋1 1） ＝x2＋1 x.
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2．（1）化简：1－1 x＋1＋1 x； （2）通过以上计算请你用一种比较简便的方法化简 M. M＝1－1 x＋1＋1 x＋1＋2 x2＋1＋4 x4. 解：（1）原式＝1＋1x－＋x12－x＝1－2 x2.