合情推理与演绎推理习题附答案
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
合情推理演绎推理(带标准答案)
合情推理演绎推理（带答案）作者: 日期:1:与代数式有关的推理问题2a b a b a b ,例1、观察a 3b 3a b 2 a ab b 2进而猜想a n b n4a b 4 a b3a a 2b ab 2 b 3练习：观察下列等式：13 23 以 3 3 , 123 33 6, 13 2"33 43 10,…，根据上述规律，第五个等式为o解析：第i 个等式左边为 1 到i+1的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个等式为13空 33 43 5"21 o2:与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。
练习：观察下列等式:① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ；42② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ；③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1；④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ；108642⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ；可以推测，m — n+p= .答案：9623:与不等式有关的推理例1、观察下列式子：1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。
.1 1 1 2n 1答案：12232……(n 1)2n 1，练习、由35口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。
2 2 1 33 14 4 1合情推理sin 2 30 0 sin 2 60 0 • 2 Ar 0sin45sin 15• 2 “ 0sin90sin 2120 sin 2105 sin 275 0. 2 * LC 0sin 150sin 2180 sin 2165 2 X CL 0sin 1354:与数列有关的推理例1、已知数列｛a n ｝中，a i =1，当n >2时，a . 2am 1，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通 项表达式为：。
高三数学合情推理与演绎推理试题
高三数学合情推理与演绎推理试题1.（已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.【答案】【解析】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.【考点】推理与证明.2.观察分析下表中的数据：面数（）顶点数（)棱数（)5 6 9猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】①三棱锥：,得；②五棱锥：,得；③立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为【考点】归纳推理.3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出，“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”，类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比正确的为()A．①②B．①④C．①②③D．②③④【答案】A【解析】对于③，“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”是错误的，如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝1>0，但2＋i>1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”是错误的，如y＝＋i，|y|＝<1，但－1<＋i<1是不成立的．故选A.4. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .【答案】6174【解析】把5 298代入计算，用5 298的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9852．则9852-2589=7263，用7263的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7632．则7632-2367=5265，用5265的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6552．则6552-2556=3996，用3996的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9963．则9963-3699=6264，用6264的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6642．则6642-2466=4176，用4176的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174，用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．同样地，把4 852代入计算，可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．故答案为：7，6174【考点】合情推理.5.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为．【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比6.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比7.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是().A．26B．31C．32D．36【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B．8.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选B．9.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理10.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）【答案】【解析】等式规律为：项数为所以【考点】数列归纳11.将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【答案】二；【解析】由题意，不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第二张卡片上，因为，故只能写在第三张卡片上；不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上；不能写在第二张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第一张卡片上；剩余只能放到第二，三张卡片上，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上，剩余只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【考点】逻辑推理．12.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).【答案】(1)3,1,6(2)79【解析】(1)四边形DEFG可看作由3个边长为1的正方形构成,故S=3,内部有一个格点,N=1,边界上有6个格点,即L=6.(2)取题图中的三角形ABC,四边形DEFG,再取一个边长为2的格点正方形,可得解得当N=71,L=18时,S=71+×18-1=79.13.已知=2,=3,=4,…,若=7,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a、t的值,a+t=.【答案】55【解析】类比所给等式可知a=7,且7t+a=72·a,即7t+7=73,∴t=48.∴a+t=55.14.如图，三角形数阵满足：（1)第n行首尾两数均为n;（2）表中的递推关系类似杨辉三角4则第n行（n≥2)第2个数是＿＿＿＿．【答案】【解析】因为由三角形数阵知，第三行的第二个数可以表示为；第四行的第二个数可表示为；第五行的第二个数可表示为.….由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为.故填.【考点】1.合情推理的思想.2.关键是找到规律.15.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为()A．f(x)=B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=【答案】B【解析】∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.16.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是() A．①B．②C．③D．以上均错【答案】B【解析】①是大前提,③是结论,②是小前提.17.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)=.【答案】【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.18.已知P(x0,y)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.【答案】2x-y-=0【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.19.设等差数列{an }的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn }的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.【答案】【解析】根据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.20.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式________________________________________.【答案】【解析】．【考点】归纳推理．21.已知，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有．（填上所有错误步骤的序号）【答案】③【解析】，在不等式的两边同时乘以，不等号方向发生变化，即，则有.【考点】不等式的性质、演绎推理22.（文科）给出下列等式：，，，……请从中归纳出第个等式：．【答案】；【解析】根据，，，易得第个等式：【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：熟练运用归纳推理观察式子特点是解决此类问题的关键，属基础题23.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A(1,2,3)且法向量为＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示）【答案】x＋2y－z－2＝0【解析】根据法向量的定义，若为平面α的法向量，则⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥，∵=（1-x，2-y，3-z），=(-1，-2，1)，∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0，即x+2y-z-2=0，故答案为x+2y-z-2=0。
人教A版选修1-2《2.1合情推理与演绎证明(1)》同步练习及答案
合情推理与演绎推理测试题（选修1-2）试卷满分150，其中第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共100分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有1.n A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =2.下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x5.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6.函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A.18B.14C.12D. 17.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+∙+.其中不成立的有A.1个B.2个C.3个D.4个8.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 5 9.设 ()|1|||f x x x =--, 则1[()]2f f =A. 12-B. 0C.12D. 110.已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是A.{2,3}B. {-1, 6}C. {2}D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 12.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 13.证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.14.在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状.15.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.16.已知函数x x x f -+=)1ln()(，求)(x f 的最大值.17.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 090<.第Ⅱ卷（共50分）三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。
限时集训(三十八) 合情推理与演绎推理
限时集训(三十八) 合情推理与演绎推理(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝⎛⎭⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋pxn ≥n ＋1，取值p 等于( )A ．n nB ．n 2C ．nD ．n ＋13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．925．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S46．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈N*)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n.按此规律推断出S n与n的关系式为()A．S n＝2n B．S n＝4nC．S n＝2n D．S n＝4n－4二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·陕西高考)观察下列不等式1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为________．8．(2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第________项；(2)b2k－1＝________(用k表示)．9．(2013·包头模拟)如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D′夹在两条平行线l1、l2之间，且A′B′＝mAB，则容易得到矩形ABCD的面积S1与矩形A′B′C′D′的面积S2满足：S2＝mS1.由此类比，如图，夹在两条平行线l1、l2之间的两个平行封闭图形T1、T2，如果任意作一条与l1平行的直线l，l分别与两个图形T1、T2的边界交于M、N、M′、N′，且M′N′＝mMN，则T1、T2的面积S1、S2满足________．椭圆y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)与圆x2＋y2＝a2是夹在直线y ＝a 和y ＝－a 之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 …4 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．12．观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．限时集训(三十八) 合情推理与演绎推理答 案1．C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7．1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．(1)5 030；(2)5k (5k －1)29．S 2＝mS 1 πab 10．解：表4为1 3 5 7 4 8 1212 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．11．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上， 所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理：y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)． 12．解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋ sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin 2α＋32cos α－12sin α32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边． 所以，猜想是正确的．。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.从1＝12 2＋3＋4＝32 3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．【答案】【解析】第一个式子左边一个数，从1开始；第二个式子左边三个数，从2开始；第三个式子左边5个数，从3开始，第个式子左边有个数，从，右边为中间数的平方；因此一般规律为．【考点】归纳推理的应用．2.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误;（2）小前提错误;（3）推理形式正确;（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P，M是S，M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.3.在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．【答案】.【解析】在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：.【考点】类比推理.4.给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于= ．【答案】1-．【解析】由已知中的等式：；；，我们可以推断：对于=1-．【考点】归纳推理．5.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.【答案】A【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.【考点】推理证明6.观察各式：，则依次类推可得；【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.观察下列等式:,…,根据上述规律,第五个等式为______________．【答案】【解析】由规律得：第四个等式为；第五个等式为．【考点】归纳推理．9.如图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝________.【答案】【解析】过点p作直线平面PAC，平面PAC,;因为，所以由（1）类比得===【考点】类比法.10.下面使用的类比推理中恰当的是（）A．“若，则”类比得出“若，则”B．“”类比得出“”C．“”类比得出“”D．“”类比得出“”【答案】C【解析】A：等式的基本性质要求同时除以的是不为0的数或式，∴A错误；B：，由乘法分配律不能类比到乘法结合律，∴B错误；C：这是等式的基本性质的类比，∴C正确；D：不能由幂的乘方类比到和的乘方也有类似性质，∴D错误.【考点】类比推理.11.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____，=___________．【答案】37【解析】,,,可得第4幅图，第n幅图.【考点】类比推理.12.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】∵证明y=x3是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提是：增函数的定义，小前提是函数f（x）=x3满足增函数的定义．故选B．【考点】演绎推理的基本方法．13.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】通过图形可以看出，中间的每一个数都等于其肩上的两个数之和，所以a=3+3=6,故答案为C.【考点】归纳推理.14.设定义在R上的函数满足，，则＝．【答案】3【解析】把代入得，进一步知所以.【考点】推理与证明.15. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .【答案】 465【解析】由题意得：，所以200的所有正约数之和为.【考点】类比推理.16.观察下列各式：，，，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．17.观察下列各式：，，，，，，则（）A．28B．C．D．【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．18.演绎推理“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【答案】A【解析】大前提错误，对数函数当时，为增函数，当时，为减函数．【考点】演绎推理，对数函数的性质．19.已知数列2,5,11,20，x,47，合情推出x的值为()A．29B．31C．32D．33【答案】C【解析】观察可知，可得，即.【考点】合情推理,数列的定义.20.若函数，则对于，【答案】【解析】当时，，则当时，故【考点】归纳推理21.观察下列等式：＋＝；＋＋＋＝；＋＋＋＋＋＝；则当且时，＋＋＋＋＋＋＝________(最后结果用表示)．【答案】【解析】观察可知：＋＋＋=（＋）＋（＋）=（＋）＋（＋），有项，＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＋（＋），有项，因此＋＋＋＋＋＋共有项，利用倒序求和：＋＋＋＋＋+【考点】归纳猜想22.记为有限集合的某项指标，已知，，，，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若，（结果用含的式子表示）.【答案】【解析】法一（相邻项的变化关系式）：因为，，进而得到根据数列中的累加法可得到，所以；法二（每一项与集合元素的个数的联系）：，所以可猜想.【考点】1.合情推理中的归纳推理；2.累加法.23.下列推理是归纳推理的是( )．A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理24.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．【答案】1＋＋＋…＋>【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>25.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．【答案】猜想成立【解析】在△DEF中(如图)，由正弦定理得.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想成立．26.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形【答案】C【解析】根据题意，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
专练37 合情推理与演绎推理
专练37 合情推理与演绎推理命题范围：合情推理(归纳和类比)、演绎推理．[基础强化]一、选择题1．下面几种推理是演绎推理的是( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12 (a n －1＋1a n －1)(n ≥2)由此归纳数列{a n }的通项公式 B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人2．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的3．[2022·全国乙卷(理)，4]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}b n ：b 1＝1＋1α1 ，b 2＝1＋1α1＋1α2 ，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，…，依此类推，其中αk ∈N *(k ＝1，2，…).则( )A ．b 1<b 5B ．b 3<b 8C ．b 6<b 2D ．b 4<b 74．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1995．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2 ＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A ．18 B ．19 C ．164 D ．1276．[2022·陕西省西安中学四模]第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语；乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是( )A ．德语B ．法语C ．日语D ．英语7．完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是( )(说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数)A.2(V －2)π B ．(F －2)πC ．(E －2)πD ．(V ＋F －4)π8．[2022·东北三省第三次联考]下列说法错误的是( )A ．由函数y ＝x ＋x －1的性质猜想函数y ＝x －x －1的性质是类比推理B ．由ln 1≤0，ln 2＜1，ln 3＜2…猜想ln n ≤n －1(n ∈N *)是归纳推理C ．由锐角x 满足sin x ＜x 及0＜π12 ＜π2 ，推出sin π12 ＜π12是合情推理 D ．“因为cos (－x )＝cos x 恒成立，所以函数y ＝cos x 是偶函数”是省略大前提的三段论9．[2022·黑龙江省第三次质检]以下四个命题中是假命题的是( )A ．“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理B ．“在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理C ．若命题“ ¬p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题D ．若x ∈(0，π2 ]，则sin x ＋2sin x的最小值为22 二、填空题10．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．11．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每阵的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n 群，……，第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是________．12 34 6 58 12 10 716 24 20 14 932 48 40 28 18 11……12．[2022·江西赣州二模]“n ×n 蛇形数阵”是指将从1开始到n 2(n ∈N *)的若干个连续的自然数按顺序顺时针排列在正方形数阵中，如图分别是3×3与4×4的蛇形数阵，在一个11×11的蛇形数阵，则该数阵的第6行第5列的数为________．[能力提升] 13．[2022·安徽芜湖一中三模]一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了A ，B ，C ，D 选项．他们的自述如下，甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”．其中有且仅有一位同学说了真话，则选对正确答案的同学是________.14．[2022·重庆南开中学模拟]给定正整数n (n ≥5)，按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n ，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n 行只有一项，记第i 行第j 项为a ij ，如图所示．现给定n ＝2 022，若a i 4>2 022，则i 的最小值为________．15．[2022·安徽淮南二模]像13 ，113 ，1105等这样分子为1的分数在算术上称为“单位分数”，数学史上常称为“埃及分数”.1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘术》中提到，任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和，如78 ＝12 ＋14 ＋18.该结论直到1880年才被英国数学家薛尔维斯特严格证明，实际上，任何真分数a b(a ＜b ，a ∈N *，b ∈N *)总可表示成a b ＝1x ＋1 ＋（x ＋1）a －b （x ＋1）b①，这里x ＝⎣⎡⎦⎤b a ，即不超过b a 的最大整数，反复利用①式即可将a b 化为若干个“埃及分数”之和．请利用上面的方法将1318表示成3个互不相等的“埃及分数”之和，则1318＝________． 16．[2022·河南开封三模]在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图中的三角形的周长为1，则第4个图形的周长为________．。
2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解
2.1 合情推理与演绎推理 答案一、选择题1.B 解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n 项和Sn ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.2.A 解析：由演绎推理的三段论可知答案应为A.3.B 解析：由点P 是正三角形ABC 的边BC 上一点，且P 到另两边的距离分别为h1，h2，正三角形ABC 的高为h ，由面积相等可以得到h ＝h1＋h2.于是，采用类比方法，平面上的面积类比空间中的体积，可得答案为B.二、填空题4.13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析：观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.三、计算题5.证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =23)cos (sin 2322=+αα=右边 .6 解：由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABC P -中，三个侧面PCA PBC PAB ,,两两垂直，且与底面所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα”证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记h PO =由PB PC PA PC ⊥⊥,得PAB PC 面⊥，从而PM PC ⊥，又α=∠PMCPC h PCO =∠=sin cos α，PA h =βcos ，PBh =γcos h PA PC PC PB PB PA PC PB PA V ABC P ⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅=-)cos 21cos 21cos 21(3161γβα 1)cos cos cos (=++∴h PBPA PC γβα即1cos cos cos 222=++γβα 7. 解：（3）如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别是A 和B ，则“212121c c b b a a ==”是“B A =”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．。
高考数学 试题汇编 第二节 合情推理与演绎推理 理(含解析)
高考数学试题汇编第二节合情推理与演绎推理理（含解析）合情推理考向聚焦由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论,是高考对合情推理的常规考法,从题型上看,以选择题、填空题为主,所占分值4~5分,属中低档题备考指津合情推理(归纳推理和类比推理)是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想.归纳推理时要做到归纳到位、准确;类比推理时,要从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑1.(2012年江西卷,理6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b 2=3,a 3+b3=4,a 4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )(A)28 (B)76 (C)123 (D)199解析:本题考查递推数列知识以及归纳推理的思想方法.记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123,即a10+b10=123.故选C.答案:C.涉及递推数列的某一项或通项的问题(尤其是小题)常常可借助归纳推理加以解决.2.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125解析:∵55=3125,56=15625,57=78125,58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,∴52011=54×501+7末四位数字为8125.答案:D.3.(2012年陕西卷,理11,5分)观察下列不等式1+<,1++<,1+++<,……照此规律,第五个不等式为.解析:不完全归纳:第一个:1+<,第二个:1++<,第三个:1+++<,…归纳猜想:第n个:1+++…+<,故n=5时,1+++…+<.答案:1+++++<4.(2012年湖北卷,理13,5分)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则(1)4位回文数有个;(2)2n+1(n∈N+)位回文数有个.解析:已知1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有1001,1111,…,1991,2002,…,9999,共90个,以此类推,猜想2n+1位回文数与2(n+1)位回文数个数相等,均为9×10n个.答案:(1)90 (2)9×10n5.(2011年陕西卷,理13)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律,第n个等式为.解析:照等式规律,第n行的首位数字为n且有2n-1个相邻正整数相加∴n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2答案:n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)26.(2011年山东卷,理15)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))= .解析:观察分母的x的系数数列:1,3,7,15,…,a n,…而分母的常数项数列:2,4,8,16,…,b n,…∴b n=2n,a n=2n-1,∴当n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=答案:7.(2010年陕西卷,理12)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为.解析:观察已知等式13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,归纳可得,13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212,故应填13+23+33+43+53+63=212.答案:13+23+33+43+53+63=2128.(2010年浙江卷,理14)设n≥2,n∈N,(2x+)n-(3x+)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,将|a k|(0≤k ≤n)的最小值记为T n,则T2=0,T3=-,T4=0,T5=-,…,T n,…其中T n= .解析:由归纳推理得T n=.答案:此类题目要对所给的已知等式进行观察,分析其结构特征,再进行比较和联想,发现规律,归纳得出结论.演绎推理考向聚焦演绎推理也是高考重点考查的内容,渗透于各种题型的各个问题中,主要以综合题的形式考查演绎推理的基本步骤与严谨性,有时也会出现高难度题,12~14分备考指津在数学研究中,合情推理获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,它只能帮助我们猜想和发现结论,由已知条件归纳或类比出的结论,需要再运用演绎推理进行证明.也就是说,合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在前提和推理形式都正确的情况下,利用演绎推理证明所得结论是正确的9.(2011年浙江卷,理20)如图,在三棱锥P ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A MC B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC,所以PO⊥BC.因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.(2)解:存在.如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连接CM,PD.由(1)知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.又AP⊂平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=(AO+OD)2+(BC)2=41,得AB=.在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+DB2=36,得PB=6.在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.又cos∠BPA==,从而PM=PB·cos∠BPA=2,所以AM=PA-PM=3.综上所述,存在点M符合题意,AM=3.演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理,在应用三段论来求解问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只有前提和推理形式是正确的,结论才是正确的.。
高三数学一轮复习 第六章 第六节 合情推理与演绎推理
考 体 验 ·
· 固
理称为类比推理(简称类比)．
明 考
基 础
②特点：类比推理是由特殊到________的推理．
情
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再特进殊行归纳、______，然
后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
典
例
类比
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
考 体
落 实
数比常数项少1，为2n－1，
验 ·
·
固 基 础
故fn(x)＝（2n－1x）x＋2n.
明 考 情
【答案】
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新课标 ·理科数学（广东专用）
2．演绎推理
高
自
主 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下
考 体
落 实
的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推
验 ·
· 固
理是由一般到_______的推理．
明 考
基 础
(2)“三段论”是特演殊绎推理的一般模式：
情
①大前提——已知的一般原理；
例
课
探 究 ·
【解析】 观察每个不等式的特点，可知第n个不等式
后 作
业
提 知 能
为1＋212＋312＋…＋（n＋1 1）2<2nn＋＋11，
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新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自 主 落
故第五个不等ห้องสมุดไป่ตู้为1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
考 体 验
实
·
·
明
固 基 础
课时跟踪检测(六十七) 合情推理与演绎推理
课时跟踪检测（六十七）合情推理与演绎推理1．(2019·广东珠海一中、惠州一中联考)因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等，补充以上推理的大前提为()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B用三段论的形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，因为由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，所以大前提一定是矩形的对角线相等．故选B.2．(2019·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选B由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．(2019·南昌调研)已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C∵13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝n2(n＋1)24.∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，∴n2(n＋1)24＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.4．(2019·武汉外国语学校月考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选D 如果1号或2号选手得第一名，则乙、丙、丁对，如果3号选手得第一名，则只有丁对，如果4号或5号选手得第一名，则甲、乙都对，如果6号选手得第一名，则乙、丙都对．因此只有丁猜对，故选D.5．(2019·辽宁实验中学等五校期末)如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于( )A.2V KB.V 2KC.3V KD.V 3K解析：选C 类比，得H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V K ，证明如下：连接Q 与三棱锥的四个顶点，将原三棱锥分成四个小三棱锥，其体积和为V ，即V 1＋V 2＋V 3＋V 4＝V ，即13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝V .又由S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，得S 1＝K ，S 2＝2K ，S 3＝3K ，S 4＝4K ，则K 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝V ，即H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V K ，故选C. 6．(2019·大连模拟)“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名．下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化．在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是( )A ．男护士B ．女护士C ．男医生D ．女医生解析：选A 设女护士人数为a ，男护士人数为b ，女医生人数为c ，男医生人数为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ≥c ＋d ，d ＞a ，a ＞b ，c ≥1，所以d ＞a ＞b ＞c ≥1.a ＋b ＋c ＋d ＝13，经检验得仅有a ＝4，b ＝3，c＝1，d ＝5符合条件．因为无论是否把这位说话人计算在内，都满足条件，所以这位说话人是男护士．7．(2019·成都七中期中)如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的，n∈N*，则在第n个图形中共有____________个顶点．(用n表示)解析：第n个图形是在第(n＋2)边形的基础上每条边加上n＋2个顶点，因此顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝(n＋2)(n＋3)．答案：(n＋2)(n＋3)8．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，……按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝1×3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝2×5，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝3×7，……，以此类推，第n 个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.答案：2n2＋n9．(2019·石家庄模拟)观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据上述规律，第n个不等式可能为______________________________________．解析：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据上述规律，第n个不等式的左端是n＋1项的和1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2，右端分母依次是2,3,4，…，n＋1，分子依次是3,5,7，…，2n＋1，故第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋1.答案：1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋110．(2019·长春质检)有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日11．(2019·台州中学期中)如图，正方形ABCD 的边长为1，分别作边AB ，BC ，CD ，DA 上的三等分点A 1，B 1，C 1，D 1，得正方形A 1B 1C 1D 1，再分别取边A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1上的三等分点A 2，B 2，C 2，D 2，得正方形A 2B 2C 2D 2，如此继续下去，得正方形A 3B 3C 3D 3，…，则正方形A n B n C n D n 的面积为________．解析：设正方形A 1B 1C 1D 1的面积为S 1，∵AB ＝1，∴A 1B ＝23，BB 1＝13，∴A 1B 1＝53，S 1S ＝⎝⎛⎭⎫532＝59，∴相邻的两正方形的面积比为59，所有正方形面积构成等比数列，公比为59，首项为1，∴正方形A n B n C n D n 的面积为⎝⎛⎭⎫59n .答案：⎝⎛⎭⎫59n12．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)； ……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝_____________. 解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1·n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·(n ＋4)． 答案：1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.当x∈R＋时，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推广为x＋≥n＋1，其中P等于 ( )A、 B、Ｃ、 D、【答案】A【解析】∵x∈R+时可得到不等式x+≥2，x+≥3，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方，∴p=n n，故选A【考点】本题考查了归纳推理点评：解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向2.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是 ( )A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】解：因为用演绎法证明函数是增函数，可以根据函数满足增函数的定义，得到结论。
3.根据给出的数塔猜测123456×9＋7=( )1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111……A．1111113B．1111112C．1111111D．1111110【答案】C【解析】解：根据已知的条件1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111，观察归纳猜想可知123456×9＋7=1111111 ，选C4.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.5.类比圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，距圆心较近的弦较长”，可得球的性质_【答案】“与球心距离相等的两截面圆面积相等，距球心较近的截面圆面积较大。
归纳与技巧：合情推理与演绎推理(含解析)
归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5． 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1． 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3． 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4． 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7． 设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29． 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1． 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2． 已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)， 则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)． 解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。
完整版合情推理演绎推理专题练习及答案
合情推理、演绎推理一、考点梳理：(略)命题预测:归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。
预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。
三、题型讲解:1：与代数式有关的推理问题a b a b a b ,3a ab b2进而猜想a n b n例1、观察a b3a b 24 a b4a b 3 a a2b ab2 b3例2、观察1=1,1-4=- (1+2), 1-4+9= (1+2+3)1-4+9-16= - (1+2+3+4)…猜想第n 个等式是：_____________________________________________________________________________________________________ 。
练习：观察下列等式：132332, 1323336", 13b 3s才10，…，根据上述规律，第五个.等式为_____________ 。
练习：在计算“ 1 2 2 3 n(n 1) ”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1k(k 1) [k(k 1冰2) (k 1)k(k 1)],由此得31 1 11 2 -(1 2 3 0 1 2),2 3 —(2 3 4 1 2 3),…n(n 1) -[n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1)].3 3 31相加，得1 2 2 3 n(n 1) -n(n 1)(1 2).3类比上述方法，请你计算“ 1 2 3 2 3 4 n(n 1)(n 2) ”，其结果为.2:与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。
练习：观察下列等式:2① cos2 a =2 cos a — 1 ；② cos 4 a =8 cos 4 a — 8 COS 2 a +1 ；642③ cos 6 a =32 cos a — 48 cos a+ 18 cos a — 1；④ cos 8 a = 128 cos 8a — 256cos 6 a+ 160 cos 4 a — 32 cos 2 a + 1 ；108642⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ；可以推测，m — n+p=.3:与不等式有关的推理0),若再添加m 克盐(m>o 则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .例2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入 木板的钉子长度后一次为前一次的 i (k N ),已知铁钉受击三次后全部进入木板，且第一次受击后进入木k' ' 44，请从这个事实中提炼一个不等式组为7由上可得出一般的结论为： _____________________ 。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.观察下列式子：根据以上式子可以猜想：A．B．C．D．【答案】C【解析】由可以发现：每一项不等式右边的分子恰好构成一个以3为首项以2为公差的等差数列，分母恰好构成一个以2为首项以1为公差的等差数列，此项为2013项所以此时右边为.【考点】归纳推理.2.观察下列等式23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是131，则正整数m等于_________．【答案】11【解析】由题意可知131是按规律加的第个奇数，因此，解得m=11或m=-12（舍），答案为11.【考点】归纳推理与等差数列的通项公式3.观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)569猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】对三棱锥，5+8-9=2，对五棱锥，6+6-10=2，对立方体，6+8-12=2，可归纳得.【考点】归纳推理4.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.5.观察以下个等式：照以上式子规律：写出第个等式，并猜想第个等式；用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题目给我们的几个式子易得出结论；（2）先猜想第n个式子为，当n=1,n=k时的式子成立，然后利用规纳总结也成立，即可证明．试题解析：（1）第6个等式为 2分（2）猜想：第个等式为 4分下面用数学归纳法给予证明：①当时，由已知得原式成立； 5分②假设当时，原式成立，即 6分那么，当时，故时，原式也成立 11分由①②知，成立 13分【考点】1，学生对规律的把握2，学生对规纳总结方法的应用．6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则=_______.【答案】【解析】由题意得：【考点】归纳猜想7.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则=_______。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）. A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【答案】B.【解析】该三段论的推理形式、小前提是正确的，但大前提“任何实数的平方大于0”是错误的，应是“任何实数的平方大于或等于0”.【考点】演绎推理.2.观察下列式子：根据以上式子可以猜想：A．B．C．D．【答案】C【解析】由可以发现：每一项不等式右边的分子恰好构成一个以3为首项以2为公差的等差数列，分母恰好构成一个以2为首项以1为公差的等差数列，此项为2013项所以此时右边为.【考点】归纳推理.3.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误;（2）小前提错误;（3）推理形式正确;（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P，M是S，M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.4.观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)569猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】对三棱锥，5+8-9=2，对五棱锥，6+6-10=2，对立方体，6+8-12=2，可归纳得.【考点】归纳推理5.下列正确的是（）A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．归纳推理是由个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤【答案】C【解析】对于A,类比推理是从个别到个别的推理,故A错；对于Ｂ：演绎推理是由一般到特殊的推理，故Ｂ错；对于Ｃ：归纳推理是由个别到一般的推理，是正确的；对于Ｄ：合情推理不可以作为证明的步骤，故Ｄ错；因此选Ｃ．【考点】推理方法．6.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．7.以下说法，正确的个数为：（）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理.②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的.③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理.④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理. A．0B．2C．3D．4【答案】C【解析】①人的身高与脚长的关系:身高=脚印长 6.876（中国人），是通过统计数据,用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误；②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确；③由球的定义可知，球与圆是有计多类似性质的，故由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质是运用的类比推理是正确的；④这是运用的演绎推理的“三段论”：大前提是：“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是：“2375的个位是5”，结论为：“2375是5的倍数”，所以正确；故选C.【考点】推理与证明.8.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.9.已知……根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】.【解析】根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案．【考点】归纳推理．10.在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是．【答案】【解析】由正方形截下的一个直角三角形，有勾股定理，即两边的平方等于截边的平方，所以类比得。
高三数学合情推理与演绎推理试题
高三数学合情推理与演绎推理试题1.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________【答案】A【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市．【考点】推理．2.表示不超过的最大整数，例如：．依此规律，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为；所以故选A.【考点】合情推理.3. [2014·长春调研]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为________．【答案】6n＋2【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n－1)，即6n ＋2.4.观察等式：，，.照此规律，对于一般的角，有等式 .【答案】【解析】，，，所以.【考点】归纳推理.5.已知，经计算得，，，，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 .【答案】【解析】,,,,由归纳推理得，一般结论为，【考点】归纳推理.6.（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________．【答案】1000【解析】原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：10007.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76B．80C．86D．92【答案】B【解析】观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an =4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．8.观察下列各式：则___________.【答案】123【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即123，故答案为：123．【考点】数列的简单应用、推理与证明.9.在计算“1×2+2×3+...+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=由此得1×2=...............相加，得1×2+2×3+...+n（n+1）.类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+”，其结果是_________________.（结果写出关于的一次因式的积的形式）【答案】【解析】先改写第k项：由此得……相加，得．【考点】归纳推理.10.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理11.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理12.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数【答案】2700【解析】由表格知，∴．【考点】归纳推理，数列的通项公式．13.已知数列{an }满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，则a3＝________，a1.a2.a3 (2007)________．【答案】－，3【解析】(解法1)分别求出a2＝－3、a3＝－、a4＝、a5＝2，可以发现a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.(解法2)由a n ＋1＝，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tanθ，则有a 2＝tan，a 3＝tan，a 4＝tan，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.14. 下表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i 行第j 列的数为a ij (i≥j,i,j ∈N *),则a 53等于 ,a mn = (m≥3)., ,,… 【答案】【解析】由题意可知第一列首项为,公差d=-=,第二列的首项为,公差d=-=, 所以a 51=+4×=,a 52=+3×=, 所以第5行的公比为q==,所以a 53=a 52q=×=.由题意知a m1=+(m-1)×=, 第m 行的公比q=, 所以a mn =a m1q n-1=×=,m≥3.15. 观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为 . 【答案】13+23+33+43+53+63=212【解析】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.16. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5).(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.【答案】(1)41 (2) f(n)=2n 2-2n+1【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41. (2)由f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, …得f(n+1)-f(n)=4n.∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1)∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2n(n-1),∴f(n)=2n2-2n+1.17.已知…，若（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= .【答案】35.【解析】照此规律：a=6,t=a2-1=35.【考点】推理证明.18.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）．【答案】．【解析】当时，为第一个式子，此时，当时，为第二个式子，此时，当时，为第三个式子，此时，由归纳推理可知观察下列等式：，故答案为：．【考点】归纳推理．，则；类比此性质，如图，在四19.在中，，斜边上的高为h1面体中，若，，两两垂直，底面上的高为，则得到的正确结论为_________________________.【答案】【解析】连接且延长交于点，连，由已知，在直角三角形中，，即，容易知道⊥平面，所以，在直角三角形中，，所以，，故.（也可以由等体积法得到）【考点】1.等面积法应用；2.勾股定理.20.给出下列等式：观察各式：，则依次类推可得；【答案】18【解析】由于，所以【考点】归纳推理点评：做归纳推理的题目，关键是找出里面的规律。
2-1-1 合情推理与演绎推理
片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的
卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字
之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足，
若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足，故甲的卡片上的数字是(1,3)．
解析：A 错误，因为 logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B 错误，因为 sin(x＋y) ＝sin xcos y＋cos xsin y；对于 C，则有(x＋y)n＝C0nxn＋C1nxn－1·y＋…＋Crn·xn－r·yr＋… ＋Cnnyn；D 正确，为加乘法的结合律，故选 D.
B．f(n)＝n＋2
C．f(n)＝2n
D．f(n)＝2n
解析：选 C.对于 f(n)＝2n，有 f(n1＋n2)＝2(n1＋n2)．f(n1)＋f(n2)＝2n1＋2n2， ∴f(n1＋n2)＝f(n1)＋f(n2)．
∴f(n)＝2n. 5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则 b1b2b3…b9＝29，若{an}为等差数列，a5 ＝2，则{an}的类似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9 解析：选 D.由等差数列性质，有 a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5， ∴a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝2×9. 6．下列推理正确的是( )
解：在△DEF 中，由正弦定理，得 d ＝ e ＝ f .于是， sin D sin E sin F
类比三角形中的正弦定理，在四面体 SABC 中，我们猜想 S1 ＝ sin α1
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1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )
A ．121
B.123 C ．231 D ．211
解析：选B .法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.
法二：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.
2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( )
A ．21
B.34 C ．52 D ．55
解析：选D .因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，
1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( )
A ．(7，5)
B.(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2)
解析：选B .依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整
数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2
个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2
，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．
4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD
与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n
，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )
A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋n
B.S 0＝nS 1＋mS 2m ＋n C .S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n D ．S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n
解析：选C .在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的
性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nb m ＋n 类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是
S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n
，故选C . 5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A ．2人
B.3人 C ．4人 D ．5人
解析：选B .假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．
6．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .
答案：A
7．(2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：。