专题：关于函数不动点的研究及其应用

关于函数不动点的研究及其应用

相关概念：定义：一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =

（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；

（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点； 说明：（1）不动点实际上是方程组⎩⎨⎧==x

y x f y )(的解),(00y x 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标

（2）稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.

（3）令()0f x t =，

则()()00f t x x t =≠，故函数()y f x =有两个二阶不动点0,x 则 二元方程()()

00f x t f t x =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即点()()00,,,t x x t 都在函数()y f x =图象上，所以()y f x =得二阶不动点就是函数()y f x =图象上关于直线y x =对称两点的横坐标。

（4）若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点，但稳定点不一定就是不动点，但若函数()y f x =单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。（证明）

相关习题：

1.（2013年四川文科）.设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若存在]1,0[∈b 使b b f f =))((成立，则a 的取值范围是（ ）

A. ],1[e

B. ]1,1[+e

C. ]1,[+e e

D.]1,0[

分析：题目的等价于()y f x =存在二阶不动点]1,0[∈b ，而易知()y f x =在定义域内为单调递增函数，故二阶不动点与一阶不动点等价，进而转化为()y f x =存在一阶不动点]1,0[∈b ，即[]0,1x ∃∈，使得x a x e x f x =-+=)(在]1,0[∈x 有解,

整理可得，2

x x e a x -+=，在]1,0[∈x 有解

令2)(x x e x g x -+=，]1,0[∈x

∵021121)(=-+>-+='x e x g x ，∴)(x g 在]1,0[∈x 单调递增 1)0(=g ，e g =)1(，],1[e a ∈，故选择A

变式：（2013四川理科）设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是（ ）

A . ],1[e B. ]1,1[1--e C. ]1,1[+e D. ]1,1[1+--e e

2.如果函数()()2f x x a a R =+∈的二阶不动点恰是它的一阶不动点，求实数a 的取值范围。

分析：我们知道函数的不动点一定是稳定点，这里稳定点恰是不动点，即不存在非不动点的

稳定点，即()f x x =必然有解，且方程组()()()121221f x x x x f x x =⎧⎪≠⎨=⎪⎩

无解。 由()f x x =有解⇒20x x a -+=有解1140,4

a a ⇒∆=-≥≤ 由()()()121221f x x x x f x x =⎧⎪≠⎨=⎪⎩，得()21212221

x a x x x x a x ⎧+=≠⎨+=⎩两式相减，得12211,1x x x x +==- 得21110x x a +++=必然无解或仅有两个相等的实数根()31410,4a a ⇒∆=-+≥≥- 故31,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

*对于方程组()()()121221f x x x x f x x =⎧⎪≠⎨=⎪⎩

无解，可进一步优化即)(x f y =图象上不存在关于直线y x =对称的两点，不妨假设存在两点,A B 关于y x =对称，设AB 中点()00,M x x

可求出直线AB 方程020x y x ++=，联立2y x a =+，消去y ，得2

10x x a ++-= 存在即210x x a ++-=有两个不相等的实根，不存在即()31410,4a a ⇒∆=-+≥≥-

变式：若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且它的稳定点恰是它的不动点，则实数a 的取值范围为__________

3.（2013年江西理科）已知函数1()(12)2

f x a x =--，a R ∈且0a > （1）证明：函数()f x 的图像关于直线12

x =对称； （2）若0x 满足00(())f f x x =, 但00()f x x ≠，则0x 称为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定实数a 的取值范围.

(1)证明：因为12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭

＝a (1－2|x |)，

有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 所以函数f (x )的图像关于直线12

x =

对称． (2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩ 所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点． 当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2

x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩ 所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩

⎭中的所有点都不是二阶周期点． 当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩

，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，22

22441414a a f a a

⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12

a >. 说明：对于第(2)问，可等价转化为函数()y f x =的图象上至少存在两点关于直线y x =对

称，函数可化为()()1221212ax x f x a x x ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩， 故只需1212a a >⇒>