函数不动点
不动点原理
不动点原理不动点原理不动点原理是现代数学中的一个基本概念，也是函数式编程语言中的重要概念。
它的核心思想是找到一个函数，使得对于某个输入值，该函数的输出值等于输入值本身。
这个输入值就被称为该函数的不动点。
一、定义在数学中，给定一个函数f，如果存在一个实数x使得f(x)=x，则称x 为f的不动点。
二、举例说明以求平方根为例，假设我们要求一个数的平方根，可以使用牛顿迭代法来实现。
具体过程如下：1. 选取初始值x0；2. 计算f(x0)=x1=x0/2+a/(2*x0)，其中a为要求平方根的数；3. 如果|f(x1)-x1|<ε，则停止计算，并将结果输出；否则返回第二步。
通过牛顿迭代法可以求出一个数a的平方根sqrt(a)。
但是我们发现，在计算过程中出现了不动点：当x=sqrt(a)时，有f(x)=sqrt(a)。
因此，sqrt(a)就是函数f(x)=x/2+a/(2*x)的不动点。
三、应用领域1. 函数式编程语言在函数式编程语言中，不动点常用于定义递归函数或实现高阶函数。
例如，在Haskell语言中，可以使用不动点来定义递归函数，如下所示：fix :: (a -> a) -> afix f = let x = f x in x这个函数的作用是寻找一个不动点，使得f(x)=x。
通过这个不动点，可以实现递归。
2. 计算机科学在计算机科学中，不动点理论被广泛应用于程序分析、程序验证和编译器优化等领域。
例如，在静态分析中，可以使用不动点来求解程序的不变量；在编译器优化中，可以使用不动点来实现常量传播、死代码删除等优化技术。
3. 经济学在经济学中，不动点理论被应用于博弈论和均衡分析等领域。
例如，在博弈论中，可以使用不动点来求解纳什均衡；在均衡分析中，可以使用不动点来求解市场均衡等问题。
四、总结总之，不动点原理是一种基本的数学概念，在函数式编程语言、计算机科学和经济学等领域都有广泛的应用。
通过寻找函数的不动点，我们可以实现递归、求解程序的不变量、实现编译器优化、求解均衡分析等问题。
不动点定理
不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。
该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。
不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。
假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。
对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。
这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。
我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。
我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。
很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。
现在我们将问题扩展到更一般的函数。
假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。
通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。
这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。
不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。
这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。
不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。
例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。
这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。
总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。
通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。
不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。
在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。
不动点与稳定点
高考数学试题研究不动点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00)(x x f =，则称0x 为函数)(x f y =的不动点。
不动点实际上是方程组⎩⎨⎧==x y x f y )(的解),(00y x 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标 当然，这个方程组根据函数)(x f y =的不同，可能有多解。
例如1：⎩⎨⎧=-=x y x y 12的解只有一个)1,1(，故函数12-=x y 有一个不动点10=x 例如2：⎩⎨⎧=-=xy x y 122的解为)21,21(-，)1,1(，故函数122-=x y 有两个不动点1,21- 稳定点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00))((x x f f =，则称0x 为函数)(x f y =的稳定点。
很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点。
证明是非常简单的！因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，即00))((x x f f =，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点。
反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！例如3：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x故函数12-=x y 有一个稳定点10=x例如4：12)(2-=x x f ，令x x =--1)12(222，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21-=x ，由此因式分解，可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x 还有另外两解451±-=x ，故函数122-=x y 的稳定点有1,21-，451±- 其中451±-是稳定点，但不是不动点。
请看下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线x y =的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.根据例1和例3，我们可以给出命题：若函数)(x f y =单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
专题1：函数的零点、不动点、稳定点
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点二、例题选讲1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）A AB ⊂ B A B ⊂C B A =D φ=B A2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。
（1）求cb a b ac ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。
4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。
高中数学常用方法---利用函数的不动点求数列的通项公式
高中数学常用方法—利用函数的不动点求数列的通项公式1． 函数的不动点：给出函数()y f x =，满足方程0()f x x =的解0x ，称为函数()y f x =的一个不动点。
例 求函数()24f x x =-的不动点。
解：令24x x -=，解出4x =，即4是函数()24f x x =-的一个不动点。
2． 用函数的不动点求数列的通项公式：如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数()f n ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。
例 已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+求数列的通项公式na 。
解：因为121n na a +=+，所以211x x x =+⇒=-，两边都减去不动点1-得11211n n a a ++=++，所以可以得到112(1)n n a a ++=+，设1n na b +=，所以12n n b b +=，数列{}n a 为等比数列，故1122n n n b b -=⋅=，所以121nn na b =-=-。
例 已知数列{}na 中，11a =，1112n n aa +=+求数列的通项公式na 。
解：因为1112n n aa +=+，所以1122x x x =+⇒=，两边都减去不动点2得12212n n aa +-=+-，所以可以得到112(2)2n n aa +-=-，设2nna b -=，所以112n nb b +=，故111122n nn b b --⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，所以1222nnn ab -=+=-。
3．定理1：若函数(),01f x ax b a a =+≠≠且，p 是函数()f x ax b=+的一个不动点，即()f p p =，如果数列{}nx 满足递推关系1(),1nn x f x n -=>，则1()nn x p a x p --=-。
不动点的性质与应用
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点.例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点.二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
把使得f (f (x ))=x 成立的x 称为函数的f (x )的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和 B. 即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }，（1）请证明：A ⊆B ；（2）2()(,)f x x a a R x R =-∈∈，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围.例6、已知函数(),y f x x D =∈，若存在0x D ∈，使得00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点；若存在0x D ∈，使得00[()]f f x x =，则称0x 为函数()f x 的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).①112-、是函数2()21f x x =-的两个不动点；②若0x 为函数()y f x =的不动点，则0x 必为函数()y f x =的稳定点； ③若0x 为函数()y f x =的稳定点，则0x 必为函数()y f x =的不动点； ④函数2()21f x x =-共有三个稳定点；⑤()f x =例7、设函数())f x a R =∈.若方程f (f (x ))=x 有解,则a 的取值范围为( )A.1(,]4-∞B. 1[0,]8C. 1(,]8-∞ D.[1,+∞)例8：已知()bx x x f -=3，若()x f 在[1,)+∞上单调．（1）求b 的取值范围；（2）已知()bx x x f -=3，若设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．例9：已知()()20f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根。
不动点的性质与应用
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有 例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ， 故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况； 综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
函数的不动点有大用
函数的不动点有大用1神马叫不动点？对于函数y=f(x)，方程f(x)=x的根称为函数f(x)的一阶不动点.方程f(f(x))=x的根成为函数f(x)的二阶不动点.依此类推，可以定义函数的n阶不动点.一阶不动点就称为不动点，二阶不动点也称为稳定点.2求不动点和稳定点看栗子.1.求函数f(x)=2x-1的不动点和稳定点.求不动点.令2x-1=x，解答x=1.所以函数f(x)的不动点是1.求稳定点.令2（2x-1)-1=x，解得x=1.所以函数f(x)的稳定点是1.2.求函数f(x)=-x的不动点和稳定点.求不动点.令-x=x，解得x=0.所以函数f(x)的不动点是0.求稳定点.令-(-x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意实数.3.求函数f(x)=-1/x的不动点和稳定点.求不动点.令-1/x=x，方程无实数解.所以函数f(x)没有不动点.求稳定点.令-1/(-1/x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意不为零的实数.咦，怎么有时不动点和稳定点一样，有时又不同呢？为回答这个疑惑，我们讲两个小结论.3不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点先证明前半句话.再证明后半句话.举个反例即可.比如2是函数f(x)=-x的稳定点，但不是函数f(x)=-x的不动点.（就是上面第2个函数的例子）4若函数f(x)单调递增，则它的不动点和稳定点等价下面做等价条件的证明.5高考题实战2013年四川高考理科数学卷第10题.本题是选择压轴题，考察了函数的稳定点问题.经过简单分析发现，函数f(x)为单增函数，所以我们可以把稳定点问题转化为不动点问题.不动点法应用很广，比如在数列中，求复杂数列的通项公式时，经常用到不动点法.。
函数不动点
函数不动点1 什么是函数不动点函数不动点是指对某个函数的参数进行某些给定的条件变化，使得此函数的值不变的点。
举个例子，一元二次函数ax²+bx+c中,当b²-4ac=0时，这个函数只有一个不动点；如果b²-4ac<0时，函数就没有不动点。
2 函数不动点的概念函数不动点一般涉及四个概念：（1）函数的参数发生了变化；（2）函数的值不变；（3）函数的值可以是最大值或最小值；（4）函数的值可以是某一特定值。
函数的不动点分为局部不动点和全局不动点。
局部不动点就是在某一函数的某一一段区间内，其函数值与参数发生变化而不变的点。
而全局不动点就是指对某个函数而言，它在整个参数范围内函数值都不变的点，常叫全局极值点。
3 函数不动点的类型主要有两种不动点，一种是极大值的不动点，另一种是极小值的不动点。
极大值的不动点指的是，函数在某一点上的值比它的左右附近的值都要大，这个不动点称为极大值不动点。
而函数在某一点处的值要比它的左右附近值都小，此点就叫做极小值不动点。
也有一类特殊的不动点，它既是极大值又是极小值，一般被称作最大最小值不动点。
4 函数不动点的意义函数不动点可以用来研究函数的极值，支持函数增长或者减少的构筑和分析，也可以用来检验一些非函数的几何性质。
它是数学建模的基础，为最优化问题的求解提供帮助，在建模和优化方面尤其重要。
另外，函数的不动点也被广泛地用于物理学、化学、生物学等各个领域中。
就是这样，函数不动点可以解决许多数学问题，可以把矛盾形式简单化，使问题看起来更容易处理。
它是数学建模和处理最优化问题的重要工具，对科学研究和科技发展也有着重要意义。
数学中不动点理论及其应用分析
数学中不动点理论及其应用分析不动点理论是数学中一个重要的概念和工具，被广泛应用于不同的学科和领域，例如动力系统、函数方程、微分方程、经济学等。
本文将对不动点理论进行详细分析，并探讨其在数学中的应用。
不动点是指一个函数中的某个点，在施加函数变换后，其值保持不变。
即对于函数f(x)，若存在x使得f(x) = x，则x即为f的不动点。
不动点理论主要关注寻找函数的不动点，并研究其性质和存在条件。
在数学分析中，不动点理论由Banach不动点定理和Brouwer不动点定理两大支柱构成。
Banach不动点定理也被称为压缩映射原理，它是20世纪最重要的数学发现之一，为数学中不动点理论的研究奠定了基础。
Banach不动点定理的核心思想是基于完备度的概念。
如果在某个度量空间中，存在一个压缩映射，即满足d(f(x), f(y)) ≤ q · d(x, y)(0＜q＜1)，其中d(x, y)代表x和y之间的距离，则这个压缩映射必有一个不动点。
换句话说，如果将一个空间的点映射到自身，并且映射过程中距离会不断缩小，那么必然存在一个点保持不变，这个点即为不动点。
Brouwer不动点定理则更加普遍，它适用于拓扑空间中的紧集合。
该定理表明，任何连续映射都至少有一个不动点。
虽然定理的证明相对复杂，但其结论确实深刻而重要。
不动点理论在数学的各个领域都有广泛的应用。
其中，动力系统是其中之一。
动力系统研究的是在时间推移下，系统如何演化的数学模型。
通过不动点理论，我们可以确定系统演化的稳定状态，即系统的不动点。
不动点的稳定性分析在动力系统研究中起着至关重要的作用。
不动点理论还被应用于函数方程和微分方程的研究。
对于给定的方程，通过找到方程的不动点，可以解决方程的存在性及唯一性问题。
这对于数学建模和分析具有重要意义。
此外，不动点理论还在经济学、物理学等学科中有广泛的应用。
在经济学中，通过构建经济模型的不动点，可以研究经济系统的平衡状态和稳定性。
不动点法原理
不动点法原理
不动点法是一种数值解法，用于求解非线性方程的近似根。
其原理是通过迭代逼近，寻找一个函数的不动点，即函数自身与迭代函数相等的点。
考虑一个非线性方程f(x) = 0，不动点法的目标是找到一个函
数g(x)，其中x是方程的根，使得g(x) = x。
通过将方程f(x) = 0转化为x = g(x)，我们可以尝试使用迭代方法来求解根的近似值。
具体而言，我们从一个初始值x_0开始，通过不断迭代计算 x_n+1 = g(x_n)，直到找到满足|g(x_n+1) -
x_n+1| < ε的近似根，其中ε是预设的误差容限。
迭代函数g(x)的选择对于不动点法的收敛性至关重要。
为了确保收敛性，g(x)必须满足Lipschitz条件，即存在一个常数L，
使得对于任意的x和y，有|g(x) - g(y)| ≤ L|x - y|。
这意味着函
数g(x)的斜率不能太大，以保证迭代过程不会发散。
不动点法的收敛性可由不动点定理来保证。
根据不动点定理，如果g(x)在某个区间[a, b]上满足Lipschitz条件，并且|x - g(x)| ≤ k < 1对于该区间上的所有x都成立，那么不动点法将以任
何初始值x_0属于[a, b]为近似根的初始值而收敛。
不动点法的优点是简单易实现，但其收敛速度较慢，需要选择合适的迭代函数和初始值，以及控制误差容限。
此外，不动点法在某些情况下可能发散或者陷入周期性振荡，因此需要对问题进行仔细分析和调试。
关于函数的不动点
关于函数的不动点在数学中，函数的不动点是指一个函数的输入和输出相等的点。
换句话说，如果一个函数f在一些点x处的值等于x本身，那么x就是函数f的不动点。
在形式化的表示中，可以用f(x)=x来表示。
不动点在很多数学理论和应用中都有重要的意义，在探索函数的性质、解方程、优化问题等方面都有广泛的应用。
首先，不动点理论是函数分析、拓扑学和离散动力系统等领域的重要研究内容之一、在函数分析中，不动点定理是一个重要的工具，它可以帮助我们证明函数的连续性、存在性和唯一性等性质。
其中，著名的Banach不动点定理是函数分析中的一个重要结果，它指出了完备度量空间中的压缩映射必然存在不动点。
通过不动点定理，我们可以解决一些方程和优化问题，如求解方程f(x) = x的解、求解方程组、寻找最优解等。
其次，不动点还在离散动力系统的研究中起到重要的作用。
离散动力系统是指在离散时间点上由函数迭代产生的动力学系统。
这些离散动力系统可以通过不动点来描述。
例如，一个动力系统可以用差分方程f(x)来表示，如果在x处的函数值等于x本身，那么x就是这个动力系统的不动点。
离散动力系统的稳定性、吸引子等性质可以通过不动点的性质来研究和分析。
此外，在数值计算和优化问题中，不动点也起到关键的作用。
例如，在迭代算法中，通过迭代产生的序列可以看作是函数的不动点的逼近值。
当迭代到一些值时，如果该值与下一次迭代产生的值相差很小，那么该值可以近似地看作函数的不动点。
通过不动点的逼近，我们可以解决一些数值计算问题，如求函数的根、求解方程组、求极值等。
除了在数学领域中的应用，不动点还在计算机科学和信息论等领域有广泛的应用。
在计算机科学中，不动点理论被广泛应用于程序语言的语义分析、类型推导、程序验证等方面。
通过不动点理论，我们可以定义各种语言的语义，并进行形式化的推理和验证。
在信息论中，不动点也被用于描述和分析数据压缩算法、信道编码等问题。
通过不动点的性质，我们可以找到效率更高的数据压缩算法和信道编码方案。
函数不动点
高中数学中的函数“不动点”函数不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数()f x 的取值过程中，如果有0x ，使得00()f x x =，就称0x 为()f x 的一个不动点，也称为一阶不动点。
对此定义，可以从代数意义和几何意义去理解。
（1） 代数意义：若方程()f x x =有实根0x ，则函数()f x 有不动点0x ；（2） 几何意义：若函数()y f x =与y x =有交点00(,)x y ，则函数()f x 有不动点0x 。
二阶不动点：若存在0x 使得00(())f f x x =，则0x 为()f x 的二阶不动点，简称稳定点。
说明：稳定点是函数图像与它的反函数的交点的横坐标；若0x 为()f x 的不动点，则0x 为()f x 的稳定点，但稳定点不一定是函数的不动点。
注意：如果函数在定义域内单调，那么它的不动点和稳定点是完全等价的。
例题：设函数()f x =若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，求a 的取值范围。
解析：因为(())f f b b =，[0,1]b ∈，所以函数在[0,1]内存在二阶不动点；又因为函数()f x =[0,1]b ∈上存在()f b b =。
即方程2x e x a x +-=在[0,1]内有解，即2x a e x x =+-，[0,1]x ∈，令2()([0,1])x g x e x x x =+-∈，求导'()120x g x e x =+->，所以min max (0)1,(1)a g a g e ====练习：1、 设函数()f x =sin y x =上存在点00(,)x y 使00(())f f y y =成立，求a 的取值范围。
（2013年四川卷与例题相同）2、 （2013年江西）已知函数1()(12||)2f x a x =--，,0a R a ∈>。
（1） 证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称； （2） 若0x 满足00(())f f x x =，但00()f x x ≠，则0x 称为()f x 的二阶不动点，如果()f x 有两个二阶不动点，求实数a 的取值范围。
不动点定理知识点总结
不动点定理知识点总结一、不动点的定义首先，我们来看一下不动点的定义。
给定函数f: X → X，如果存在x∈X使得f(x) = x，那么x就是函数f的一个不动点。
换句话说，对于函数f，如果存在一个点x，使得f将x映射到它自身，那么x就是函数f的一个不动点。
举个简单的例子，考虑函数f(x) = 2x，显然f的不动点就是x=0，因为f(0) = 2*0 = 0。
此外，函数g(x) = x^2也有不动点x=0，因为g(0) = 0^2 = 0。
不动点的概念看起来很简单，但它在数学分析中有着深远的应用。
接下来，我们将介绍不动点定理的条件以及应用。
二、Banach不动点定理Banach不动点定理是最著名的不动点定理之一，它是由波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）在20世纪初提出的。
Banach不动点定理说的是，如果X是一个完备度量空间，而f: X→X是一个压缩映射（contraction mapping），那么f在X上存在唯一的不动点。
首先，我们来看一下完备度量空间的定义。
给定的度量空间（metric space）(X, d)，如果该空间中任意柯西列（Cauchy sequence）都收敛于X中的某个点，则称X是完备的。
在完备度量空间中，我们可以证明如下的两个定理：定理1：完备度量空间中任何紧集合都是闭的；定理2：完备度量空间上的任何收敛序列都是柯西列。
接着，我们来看一下压缩映射的定义。
给定度量空间(X, d)和函数f: X → X，如果存在一个常数0≤k<1，使得对于任意x, y∈X，有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么称f是一个压缩映射。
有了完备度量空间和压缩映射的概念，我们可以给出Banach不动点定理的表述：定理3（Banach不动点定理）：如果(X, d)是一个完备度量空间，而f: X→X是一个压缩映射，那么f在X上存在唯一的不动点。
这个定理的证明是通过构造一个柯西列，利用完备度量空间的性质来证明不动点的存在，并利用压缩映射的性质来证明不动点的唯一性。
高考的学子们必须知晓的函数不动点知识
高考的学子们必须知晓的函数不动点知识
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点。
例如，定义在实数上的函数，
f(x) = x2 − 3x + 4，则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。
函数的不动点在函数研究与应用中(如在函数迭代研究和应用于求数列通项),占有重要地位.
下面我们以一道例题来分析：
小伙伴先自己分析该题的思路
第一问直接根据不定点的定义直接转换为一元二次方程，求解该方程根即可
第二问就转换为求一元二次方程根的情况，讨论字母的取值范围这题稍微转换一下是不是很熟悉的解题思路，在圆锥曲线中我们采用的哟，小伙伴拿去慢慢消化吧
注:函数的不动点有两方面的理解:
①代数意义:函数f(x)的不动点x0是方程f(x)=x的实数根;
②几何意义:函数f(x)的不动点x0是函数y=f(x)与直线y=x交点的横坐标.
每天进步一点点，祝各位学业有成。
专题1：函数的零点、不动点、稳定点
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点二、例题选讲1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）A AB ⊂ B A B ⊂C B A =D φ=B A2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。
（1）求cb a b ac ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。
4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。
不动点与稳定点
故 x0 y0 ，即 f (x0 ) x0 ， y f (x) 有不动点 x0 .
【2013 年• 四川卷 （文科）第 10 题】
1. 设 函 数 f (x) e x x a （ a R ， e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） . 若 存 在 b [0,1] 使
f ( f (b)) b 成立，则 a 的取值范围是（ ）
若函数 y f (x) 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
证明：若函数 y f (x) 有不动点 x0 ，显然它也有稳定点 x0 ；
若函数 y f (x) 有稳定点 x0 ，即 f ( f (x0 )) x0 ，设 f (x0 ) y0 ，则 f ( y0 ) x0
y y 2x2 1 yx
x
图-1
x
图-2
y y 2x 1
y
1 2
x
1 2
x
yx
图-3
y y 2x2 1 yx
x
y
x 1 2
图-4
由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线 y x 的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与
它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标. 根据例 1 和例 3，我们可以给出命题：
即 (x0 , y0 ) 和 ( y0 , x0 ) 都在函数 y f (x) 的图象上，
假设 x0 y0 ，因为 y f (x) 是增函数，则 f (x0 ) f ( y0 ) ，即 y0 x0 ，与假设矛盾；
假设 x0 y0 ，因为 y f (x) 是增函数，则 f (x0 ) f ( y0 ) ，即 y0 x0 ，与假设矛盾；
反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！
不动点 奇函数
不动点奇函数在数学领域中，不动点指的是一个函数中的某个点，当输入该点时，函数的输出值与输入值相等。
也就是说，如果对于函数f(x)，存在一个点c，使得f(c)=c，那么c就是函数f(x)的不动点。
奇函数是指具有对称性质的函数，即f(x)=-f(-x)。
换句话说，对于奇函数来说，当自变量的值发生变化时，函数值也会发生相应的变化，并且变化的趋势是对称的。
不动点和奇函数在数学中都有重要的应用和研究价值。
下面将分别介绍不动点和奇函数的特性及应用。
不动点的特性和应用不动点在数学中具有广泛的应用，尤其在函数分析和微分方程等领域中被广泛研究和应用。
不动点的存在性是很关键的。
根据不动点定理，如果一个函数满足某些条件，那么它必然存在不动点。
这个定理有很多不同的形式和推广，比如Banach不动点定理和Brouwer不动点定理等。
这些定理为函数的研究提供了强有力的工具和方法。
不动点在解方程和求根等问题中具有重要意义。
例如，在计算机科学中，不动点迭代法被广泛应用于求解非线性方程和优化问题。
通过不断迭代函数的不动点，可以逐步逼近方程的解。
这种方法简单而有效，被广泛应用于实际问题的求解中。
不动点还在动力系统和混沌理论等领域中发挥着重要作用。
动力系统是研究物理系统演化规律的数学分支，而混沌理论则是研究非线性系统中的混沌现象。
不动点是动力系统中的一个关键概念，它描述了系统在某些条件下的稳定状态。
奇函数的特性和应用奇函数是一类特殊的函数，具有对称性质和一些独特的特性。
奇函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
奇函数具有对称性质，这使得它们在研究对称性问题时非常有用。
例如，在物理学中，奇函数经常出现在对称体系中，比如球对称体系和空间反演对称体系。
奇函数的出现与系统的对称性密切相关，对于研究系统的性质和行为具有重要意义。
奇函数在傅里叶级数展开和信号处理中也有重要应用。
根据奇偶性质，任何一个函数都可以分解为奇函数和偶函数的线性组合。
这种分解方法被广泛应用于信号处理和图像处理等领域，可以有效地降低计算的复杂度和提高处理的效率。
不动点与稳定点
高考数学试题研究不动点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00)(x x f =，则称0x 为函数)(x f y =的不动点。
不动点实际上是方程组⎩⎨⎧==x y x f y )(的解),(00y x 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标 当然，这个方程组根据函数)(x f y =的不同，可能有多解。
例如1：⎩⎨⎧=-=x y x y 12的解只有一个)1,1(，故函数12-=x y 有一个不动点10=x 例如2：⎩⎨⎧=-=xy x y 122的解为)21,21(-，)1,1(，故函数122-=x y 有两个不动点1,21- 稳定点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00))((x x f f =，则称0x 为函数)(x f y =的稳定点。
很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点。
证明是非常简单的！因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，即00))((x x f f =，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点。
反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！例如3：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x故函数12-=x y 有一个稳定点10=x例如4：12)(2-=x x f ，令x x =--1)12(222，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21-=x ，由此因式分解，可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x 还有另外两解451±-=x ，故函数122-=x y 的稳定点有1,21-，451±- 其中451±-是稳定点，但不是不动点。
请看下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线x y =的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.根据例1和例3，我们可以给出命题：若函数)(x f y =单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
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【例题1】 (2010浙江大学) 设{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈(1) 求证：N M ⊆(2) ()f x 单调递增时，是否有N M =？证明你的结论解析：(1)任取0x M ∈，则00()f x x =所以 000[()]()f f x f x x ==，因此0x N ∈，命题得证。
(3) 由(1)知，只需要证明M N ⊆任取0x N ∈，则00[()]f f x x =若00()x f x >，因为()f x 单调递增，所以000()[()]f x f f x x >=，这与假设矛盾，因此00()x f x ≤；同理可得00()x f x ≥；故00()f x x =，所以0x M ∈，命题得证。
由此我们可以看出：()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，但是反之不真（例如：设()(,0)(0,)f x x x =-∈-∞⋃+∞，则易见定义域中的每个值都是[()]f f x 的不动点，但是()f x 没有不动点）。
由于()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，故当()f x 是多项式函数时，[()]f f x x -中一定含有()f x x -项。
特别地，如果2()f x ax bx c =++，则222[()]()()f f x x a ax bx c b ax bx c c x -=++++++-22222()()a ax bx c ax ax b ax bx c c x =++-+++++-2222()()(1)(1)(1)a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b =++-++++++-++222(1)(1)(1)(1)a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦222(1)(1)1ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤=+-++++++⎣⎦⎣⎦[()][()1]f x x af x ax b =-+++以此为基础，我们可以很容易地做出下面三个题目：题目1 设2()f x x px q =++，{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈，如果{1,3}M =-，求N解：{1,3}M =- ∴1,3-是方程2x px q x ++=的两根，由韦达定理得1,3p q =-=-22[()](23)(3)01f f x x x x x x =⇔---=⇔=-或3或所以{N =-题目2 (2008上海交大)已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，问：[()]f f x x =是否有实数根？并证明你的结论解：[()]f f x x =没有实数根证法一：[()]f f x x -=222(1)(1)10ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x ac b +++++=． 21(1)40b ac ∆=--<；2222222(1)4(1)(1)4440a b a ac b a b ac a ⎡⎤∆=+-++=---<<⎣⎦故[()]f f x x =不存在实数根。
证法二：若0a >，则()f x x >，于是 [()]()f f x f x x >>；若0a <，则()f x x <，于是 [()]()f f x f x x <<；所以[()]f f x x =没有实数根。
题目3设2()1f x ax =-，{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈，且M N φ=≠，求实数a 的取值范围解：当0a =时，{1}M N ==-，符合题意当0a ≠时，2()10f x x ax x =⇔--= M φ≠ 11404a a ∴∆=+≥⇒≥-且0a ≠ 222[()](1)(1)0f f x x ax x a x ax a =⇔----+=因为N M ⊆，故只需M N ⊆即可，这等价于2210a x ax a --+=○1无实数根或者○2与210ax x --=有相同的实数根或者○3以210ax x --=的一个实数根为二重根 对于○1，234(1)04a a a a ∆=+-<⇒<且0a ≠ 对于○2，可得110a a -+=-⇒=，矛盾对于○3，234(1)04a a a a ∆=+-=⇒=-，此时22103ax x x --=⇒=-或2 222103a x ax a x --+=⇒=，不合题意。
综上，a 的取值范围是13(,)44- 【例题2】(2009上海交大) 证明：若[()]f f x 有唯一不动点，则()f x 也有唯一不动点 证明：存在性：设0x 是[()]f f x 的唯一不动点，记0()f x t =，则0()f t x =，所以0[()]()f f t f x t ==，故t 也是[()]f f x 的不动点。
由[()]f f x 只有一个不动点可知0t x =， 因此00()f x x =，即()f x 有不动点唯一性：假设1x 0()x ≠也是()f x 的不动点，易见1x 也是[()]f f x 的不动点，这与已知矛盾。
【例题3】(2013四川10)设函数()f x a R ∈，e 为自然对数的底数)。
若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使00[()]f f y y =，则a 的取值范围是（ ）（A ）[1,]e （B ）1[1,1]e -- （C ）[1,1]e + （D ）1[1,1]e e --+ 解析：易见()f x 单调递增，所以0000[()]()f f y y f y y =⇔=○1 0[()]f f y 有意义，0()0f y ∴≥○2 00sin y x =， 011y ∴-≤≤○3由○1○2○3知()f x x ==在[0,1]上有解2x e x x a ⇔-+=在[0,1]上有解记2()x g x e x x =⇔-+，则()21x g x e x '=-+，()2xg x e ''=-所以当(0,ln 2)x ∈时，()0g x ''<；当(ln 2,1)x ∈时，()0g x ''>所以()(ln 2)32ln 20g x g ''≥=->，因此()g x 在[0,1]上单调递增所以(0)(1)g a g ≤≤，故选A【例题4】(2013江西21)已知函数1()=(1-2-)2f x a x ，a 为常数且>0a . (1) 证明：函数()f x 的图像关于直线1=2x 对称； (2) 若0x 满足00[()]=f f x x ，但00()f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；(3) 对于(2)中的12,x x 和a ， 设3x 为函数[()]f f x 的最大值点，11(,[()])A x f f x ，22(,[()])B x f f x ，33(,[()])C x f f x ，记△ABC 的面积为()S a ，讨论()S a 的单调性. 解析：(1)(3)略 (2)12(1)2()122a x x f x ax x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩ 当102a <<时，221422[()]142a x a x f f x a x x ⎧-+>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩ 由[()]f f x x =解得0x =，而(0)0f =，故0x =不是二阶周期点， 所以102a <<不合题意 当12a =时，112[()]12x x f f x x x ⎧-+>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩ [()]f f x x =有解集1{|}2x x ≤，而当12x ≤时，()f x x =恒成立，故12a =不合题意 当12a >时，222224144414142(12)24[()]112442144a a a x x a a a x a a x a f f x a a x x a a x x a -⎧->⎪⎪-⎪+-<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪≤⎩由[()]f f x x =解得0x =或 2214a a + 或212a a+或 22414a a + 又(0)0f =，2222()1414a a f a a ≠++，22()1212a a f a a=++，222244()1414a a f a a ≠++ 所以()f x 恰有两个二阶周期点。
综上，a 的取值范围是1(,)2+∞例 已知2()66f x x x =-，设121()(),()[()],g x f x g x f g x ==……1()[()],....n n g x f g x -=(1) 求证：如果存在一个实数0x ，满足100()g x x =，则对一切n N +∈有00()n g x x =成立(2) 若实数0x 满足00()n g x x =(n N +∈)，则称0x 为不动点，试求出所有的不动点(3) 是否存在区间I ，使得对任意x I ∈，当2()n n N +≥∈时，都有()0?n g x < 解析：(1)用数学归纳法证明，当1n =时100()g x x =显然成立；假设当n k =时00()()k g x x k N +=∈成立，则当1n k =+时，1000100()[()]()()k k g x f g x f x g x x +====也成立。
命题得证。
(2)由(1)可知：0x 为不动点当且仅当100()g x x =，即00()f x x =由20000()66f x x x x =-=解得00x =或56(3)2()06600f x x x x <⇔-<⇔<或1x >11()0[()]0()0n n n g x f g x g x --∴<⇔<⇔<或1()1n g x ->因此要使对一切2()n n N +≥∈都有()0n g x <成立，只需1()0g x <或1()1g x > 而1()00g x x <⇔<或1x >133()166g x x +>⇔<<所以，取区间(1,)B =+∞或B =即可满足题意。