函数不动点

【例题1】 (2010浙江大学) 设{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈

(1) 求证：N M ⊆

(2) ()f x 单调递增时，是否有N M =？证明你的结论

解析：(1)任取0x M ∈，则00()f x x =

所以 000[()]()f f x f x x ==，因此0x N ∈，命题得证。

(3) 由(1)知，只需要证明M N ⊆

任取0x N ∈，则00[()]f f x x =

若00()x f x >，因为()f x 单调递增，所以000()[()]f x f f x x >=，

这与假设矛盾，因此00()x f x ≤；同理可得00()x f x ≥；故00()f x x =，所以0x M ∈，命题得证。

由此我们可以看出：()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，但是反之不真（例如：设()(,0)(0,)f x x x =-∈-∞⋃+∞，则易见定义域中的每个值都是[()]f f x 的不动点，但是()f x 没有不动点）。

由于()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，故当()f x 是多项式函数时，[()]f f x x -中一定含有()f x x -项。特别地，如果2()f x ax bx c =++，则222[()]()()f f x x a ax bx c b ax bx c c x -=++++++-

22222()()a ax bx c ax ax b ax bx c c x =++-+++++-

2222()()(1)(1)(1)a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b =++-++++++-++

222(1)(1)(1)(1)a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦

222(1)(1)1ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤=+-++++++⎣⎦⎣⎦

[()][()1]f x x af x ax b =-+++

以此为基础，我们可以很容易地做出下面三个题目：

题目1 设2

()f x x px q =++，{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈，如果{1,3}M =-，求N

解：{1,3}M =- ∴1,3-是方程2x px q x ++=的两根，由韦达定理得1,3p q =-=-

22[()](23)(3)01f f x x x x x x =⇔---=⇔=-或3或

所以{N =-

题目2 (2008上海交大)已知函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，问：[()]f f x x =是否有实数根？并证明你的结论

解：[()]f f x x =没有实数根

证法一：

[()]f f x x -=222(1)(1)10ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦

于是有2(1)0ax b x c +-+=或22

(1)10a x a b x ac b +++++=． 21(1)40b ac ∆=--<；

2222222(1)4(1)(1)4440a b a ac b a b ac a ⎡⎤∆=+-++=---<<⎣⎦

故[()]f f x x =不存在实数根。

证法二：

若0a >，则()f x x >，于是 [()]()f f x f x x >>；

若0a <，则()f x x <，于是 [()]()f f x f x x <<；

所以[()]f f x x =没有实数根。

题目3设2

()1f x ax =-，{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈，且M N φ=≠，求实数a 的取值范围

解：当0a =时，{1}M N ==-，符合题意

当0a ≠时，2

()10f x x ax x =⇔--= M φ≠ 11404

a a ∴∆=+≥⇒≥-且0a ≠ 222[()](1)(1)0f f x x ax x a x ax a =⇔----+=

因为N M ⊆，故只需M N ⊆即可，这等价于22

10a x ax a --+=○1无实数根或者

○

2与210ax x --=有相同的实数根或者○3以210ax x --=的一个实数根为二重根 对于○1，234(1)04

a a a a ∆=+-<⇒<且0a ≠ 对于○2，可得110a a -+=-⇒=，矛盾

对于○3，234(1)04a a a a ∆=+-=⇒=-，此时22103ax x x --=⇒=-或2 222103

a x ax a x --+=⇒=，不合题意。 综上，a 的取值范围是13(,)44

- 【例题2】(2009上海交大) 证明：若[()]f f x 有唯一不动点，则()f x 也有唯一不动点 证明：存在性：设0x 是[()]f f x 的唯一不动点，记0()f x t =，则0()f t x =，所以0[()]()f f t f x t ==，故t 也是[()]f f x 的不动点。由[()]f f x 只有一个不动点可知0t x =， 因此00()f x x =，即()f x 有不动点

唯一性：假设1x 0()x ≠也是()f x 的不动点，易见1x 也是[()]f f x 的不动点，这与已知矛盾。

【例题3】(2013四川10)设函数()f x a R ∈，e 为自然对数的底数)。若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使00[()]f f y y =，则a 的取值范围是（ ）

（A ）[1,]e （B ）1[1,1]e -- （C ）[1,1]e + （D ）1

[1,1]e e --+ 解析：易见()f x 单调递增，所以0000[()]()f f y y f y y =⇔=○1 0[()]f f y 有意义，0()0f y ∴≥○2 00sin y x =， 011y ∴-≤≤○3

由○1○2○3知()f x x ==在[0,1]上有解2x e x x a ⇔-+=在[0,1]上有解

记2()x g x e x x =⇔-+，则()21x g x e x '=-+，()2x

g x e ''=-

所以当(0,ln 2)x ∈时，()0g x ''<；当(ln 2,1)x ∈时，()0g x ''>

所以()(ln 2)32ln 20g x g ''≥=->，因此()g x 在[0,1]上单调递增

所以(0)(1)g a g ≤≤，故选A