高中数学常用方法---利用函数的不动点求数列的通项公式

高中数学常用方法—利用函数的不动点

求数列的通项公式

1． 函数的不动点：

给出函数()y f x =，满足方程00()f x x =的解0x ，称为函数()y f x =的一个不动点。

例 求函数()24f x x =-的不动点。

解：令24x x -=，解出4x =，即4是函数()24f x x =-的一个不动点。

2． 用函数的不动点求数列的通项公式：

如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数()f n ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。 例 已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+求数列的通项公式n a 。

解：因为121n n a a +=+，所以211x x x =+⇒=-，两边都减去不动点1-得11211n n a a ++=++，所以可以得到112(1)n n a a ++=+，设1n n a b +=，所以12n n b b +=，数列{}n a 为等比数列，故1122n n n b b -=⋅=，所以121n n n a b =-=-。

例 已知数列{}n a 中，11a =，1112n n a a +=

+求数列的通项公式n a 。 解：因为1112n n a a +=+，所以1122

x x x =+⇒=，两边都减去不动点2得12212n n a a +-=+-，所以可以得到112(2)2n n a a +-=-，设2n n a b -=，所以112n n b b +=，故111122n n n b b --⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，所以1222n n n a b -=+=-。

3．定理1：若函数(),01f x ax b a a =+≠≠且，p 是函数()f x ax b =+的一个不动点，即()f p p =，如果数列 {}n x 满足递推关系1(),1n n x f x n -=>，则1()n n x p a x p --=-。

4． 定理2：设()()0,0ax b f x c ad bc cx d

+=≠-≠+，数列{}n x 满足递推关系1(),1n n x f x n -=>，且初始值11()x f x ≠，如果函数()ax b f x cx d +=

+有两个相异的不动点,p q ，则11n n n n x p x p k x q x q ----=⨯--，这里a pc k a qc -=-，也就是说数列n n x p x q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭

是以k 为公比的等比数列；如果函数()ax b f x cx d +=+只有唯一的不动点p ，则111n n k x p x p -=+--，这里2c k a d =+，即数列1n x p ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

是以k 为公差的等差数列。

例 已知数列{}n a 满足11a =，11461n n n a a a ---=

-，求n a 。 解：因为所给数列的递归函数()461x f x x -=-对应的不动点的方程为()464,11

x x a c x -===-，解为13x =，22x =，所以数列12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以12a cx a cx --为公比的等比数列，因为12431422a cx a cx --==--，所以12113312222n n n n a a a a ----⎛⎫=⨯= ⎪--⎝⎭，再解出323212

n

n n a ---=-。 例 设数列{}n a 的首项113(01)2342

n n a a a n --∈=

=，，，，，，…，求{}n a 的通项公式。 解：因为所给数列的递归函数()32x f x -=对应的不动点的方程为32

x x -=，解为1x =，把递归式的两边都减去不动点1得到11311122n n n a a a -----=-=，即 111(1)2n n a a --=--，又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭

。

例 已知12x =，且()21212n n n

x x n x ++=≥，求数列{}n x 的通项公式。 解：因为所给数列的递归函数()222x f x x

+=对应的不动点的方程为()221,22x x a c x +===，解方程得到函数的不动

点为12x x =

，所以(221222n n n n n x x x x x +++=+=，

(221222n n n n n x x x x x ++==，两

2

⎛⎫=，再经反复迭代得

23112222211

n

n

x

x --⎛⎛⎛⎛⎫⎛+====== -⎝，因此可以解出数列的通项公式((((111122222222n n n n n x ----++=

--。