函数图像过定点问题

函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究

题1：

求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．

归纳：

第一步：对含有变系数的项集中；

第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；

第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：

（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）

A. （1，3）

B. （1，0）

C. （－1，3）

D. （－1，0）

巩固练习：

1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）

2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）

①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．

A．1个B．2个C．3个D．4个

3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．

4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ．

5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．

6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．

8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标

9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰

好在直线y=x+1

2

（1﹣m）上（其中m、n为正数）．

（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

函数图像过定点的研究

题1：

求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．

审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．

解：整理抛物线的解析式，得

y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1

＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k

＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3)，

上式中令x2－x－2＝0，得x

1＝－1，x

2

＝2.

将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，

解得y

1＝4，y

2

＝7，

把点(－1，4)、(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，

无论k取何值，等式总成立，

即点(－1，4)、(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，

即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．

归纳：

第一步：对含有变系数的项集中；

第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；

第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值

y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数

的图像总过的点是（）

A. （1，3）

B. （1，0）

C. （－1，3）

D. （－1，0）

解法一、特殊值法

依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。

解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。

则函数解析式变为：

。

联立方程组解得

把中，无论m为何值，等式总成立。

所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。

故应选A。

解法二、变换主元法

依据：一元一次方程的解有三种情形：

（1）当a≠0时，方程有惟一解：；

（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；

（3）当a=0，b≠0时，方程无解。

这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y 的代数式）中，a=b=0时的情形。

解：将其二次函数整理变形为：

①