二次函数的最值问题与过定点类型问题

二次函数的最值与图像过定点问题
对于二次函数:y=-x 2+4x-1/2
(1)当x 取任意实数时,该函数有最 值,最 值是
(2)当-1≤x≤1时,该函数的最大值是 ;最小值是
(3)当3≤x≤4时,该函数的最大值是 ;最小值是
(4)当0≤x≤3时,该函数的最大值是 ;最小值是
求二次函数最值的一般方法： 1画出函数图像找对称轴； 2分清自变量范围找区间； 3数形结合找对应函数值
例1、对于二次函数y=-x 2+2bx-0.5
(1)若b<-1,当-1≤x≤1时,求该函数的最大或最小值(用含b 的式子表示)。

(2)若0﹤b ﹤1时,当-1≤x≤1,求该函数的最大或最小值。

1.如图,抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A(-1,m)、B(4,n),点M 是抛物线上的
一个动点,连接OM
(1)求m,n,p 。

(2)当M 为抛物线的顶点时,求M 坐标和⊿OMB 的面积；
(3)当点M 在直线AB 的下方抛物线上,M 运动到何处时,⊿AMB 的面积最大。

2.抛物线y=ax 2和直线y=kx+b(k 为正常数)交于点A 和点B,其中点A 的坐标是(-2,1),过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点E,点D 是抛物线上B,E 之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D 作两坐标轴的平行线分别交直线AB 于点C,M,设CD=r,MD=m.
(1)根据题意可求出a= ,点E 的坐标是 ；
(2)当点D 可与B,E 重合时,若k=0.5,求t 的取值范围,并确定t 为何值时,r 的值最大；(3)当点D 不与B,E 重合时,若点D 运动过程中可以得到r 的最大值,求k 的取值范围,并判断当r 为最大值时m 的值是否最大,说明理由(下图供分析参考用).
y
x
C
M
E A
O B
D
24．(12分) 如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为(t ，0)，直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线y 1=ax(x ﹣t)(a 为常数，a ＞0)，该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx(k 为常数，k ＞0)
(1)填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A_________，k=_________；
(2)随着三角板的滑动，当a=14时：
①请你验证：抛物线y 1=ax(x ﹣t)的顶点在函数y=﹣14x 2的图象上；
②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；
(3)直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t≤x≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．
抛物线过定点的问题集锦
解法步骤
第一步：对含有变系数的项集中
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)
第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤
1.某二次函数y ＝ax 2－(a ＋c)x ＋c 必过定点__________
2.无论m 为任何实数，二次函数y ＝x 2＋(2－m)x ＋m 的图像总过的点是（ ）
A. （1，3）
B. （1，0）
C. （－1，3）
D. （－1，0）
3.不论a 取何值，抛物线y ＝－12x 2＋5－a 2
x ＋2a －2 经过x 轴上一定点Q ，则点Q 坐标为 4.抛物线y ＝ax 2＋ax －2过直线y ＝mx －2m ＋2上的定点A ，求抛物线的解析式。

5.如图 ,在平面直角坐标系中,已知A(4,0),以OA 为边在第一象限内作正方形OABC.K 为线段CB 上一动点,连接OK,KN ⊥OK 交AB 于N.CK=t.BN=m
(1)△OCK ∽________,K 点坐标K( , );
(2)用含t 的代数式表示m,并确定m 的取值范围;
(3)过O,K 两点作抛物线y=ax 2+bx(a<0)
①用含a,t 的代数式表示b;
②当抛物线的对称轴是直线x=12t
时,求at 的关系式;并说明此时抛物线恒过除原点O
定点.
6.抛物线y=ax 2+bx+c 中,b,c 是非零的常数,无论a 为何值(0除外),其顶点M 一定在直线y=kx+1上;这条直线和x 轴,y 轴分别交于点E,A,且OA=OE
(1)求k 的值； (2)求证：这条抛物线经过点A ；
如图,直线y=hx+d 与x 轴和y 轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=t x
CAO ∠为内角的直角三角形,与以CO 为对角线、一边在x 2mx nx k ++上；直线y=hx+d 、双曲线y=t x 和抛物线2y
ax bx c =++点C,D 。

(1)确定t 的值
(2)确定m , n , k 的值
(3)若无论a , b , c 取何值,抛物线2y ax bx c =++都不经过点P ,请确定P 的坐标。