8-7空间直线及其方程
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常重要的概念，它是两点确定的一条直线。
在平面坐标系中，我们可以通过两点的坐标来确定一条直线的方程，而在空间中，我们同样可以通过一点和方向向量来确定一条直线的方程。
本文将重点介绍空间直线的标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下空间直线的一般方程。
对于空间中的一条直线l，如果它通过点P0(x0, y0, z0)并且方向向量为a=(a1, a2, a3)，那么直线l上任意一点P(x, y, z)都满足以下关系式：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3。
这就是空间直线的一般方程，通过这个方程我们可以得到直线l上任意一点的坐标。
然而，这个方程并不是最简洁的形式，为了更方便地描述直线，我们可以将其化简为标准方程。
空间直线的标准方程形式为：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3 = t。
其中t为参数，通过参数t的取值可以得到直线l上的所有点。
这个方程就是空间直线的标准方程，它是一种更加简洁和方便的描述直线的方式。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助读者更好地理解空间直线的标准方程。
例1，求过点P(1, 2, 3)并且与向量a=(2, -1, 3)平行的直线的标准方程。
解：直线l上任意一点P(x, y, z)满足方程：(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t。
这就是所求直线的标准方程。
例2，已知直线l的标准方程为(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t，求直线l上的一点坐标。
解，直线l上任意一点的坐标可以通过参数t的取值来确定，比如当t=0时，我们可以得到点P(1, 2, 3)。
当t=1时，我们可以得到另外一点，依此类推，我们可以得到直线l上的所有点。
通过以上例子，我们可以看到空间直线的标准方程在求解直线问题时具有很大的便利性，它能够简洁地描述直线的位置和方向，帮助我们更好地理解和运用空间解析几何的知识。
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
平面及其方程,空间直线及其方程
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
ted
(1) 1 2 Evalun1ationn2 only. with Aspose.SliAd1eAs2 foBr1.BN2ETC31 C.52
1
C l0ient
Pron1f2ile
5.2
(2)
Co1p//yri2ght
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
EvaluatioAn1Ao2nlyB.1B2 C1C2 0
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By ECvzalu0ation only. ted w代it入h A已s知po点se(4.S, lid3,es1)fo得r .NET 3.5 Client Profile 5.2
5B D 0, EDvalu5aBt,ion only. ted with A所s求po平s面e.方Sl程 ide为syfor5 .N0E. T 3.5 Client Profile 5.2
C(3)o由p题yr意ig设h所t 2求0平0面4-方2程01为1BAy sCpzosDeP0,ty Ltd. 将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
平面及其方程,空间直线及其方程
4
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2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
第6节
平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第八章
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C), 求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
题8 1 :由题意设所求平面方程为： By D 0, 将点2，-5，3 代入上述方程，得
5B D 0, D 5B, 所求平面方程为y 5 0.
(3)由题意设所求平面方程为By Cz D 0,
将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
有 Ｂ－＋２７ＣＣ＋＋ＤＤ＝＝0０， Ｄ＝２Ｃ，Ｂ＝－９Ｃ， 所求方程为－９ｙ＋ｚ＋２＝０.
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练习：习题8-6 题1，题3.
• 题1. • 题3.
3x 7y 5z 4 0
空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义 两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种 值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零， 从而方程(13)表达一种平面， 若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳 值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
高等数学第六节空间直线及其方程
空间直线及其方程
P 330
一、空间直线的一般方程 （交面式）
空间直线可看成是两张平面的交线 , 从而得到直线的 一般式方程 :
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2) ( A1 : A2 B1 : B2 C1 : C 2 不成立 )
再找出 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
x0 1 x0 z0 1 0 . 设 y0 0 , 则 z 0 2 2 x 0 3 z 0 4 0
s ( 4 , 1, 3 ) , M 0 M 0 ( 1, 0 , 2 )
四、两点式方程
已知两点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , M1 ( x1 , y1 , z1 ) , 直线 L 过点 M 0 , M1 .
L的方向向量 :
( L 存在唯一 )
M0
M1
L
s M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) ,
L的方程 :
五、两直线的夹角
一 . 两直线夹角 两直线方向向量的夹角( 取锐角 ) . x x1 y y1 z z1 n2 设 L1方程为 , m1 n1 p1 n1 x x2 y y2 z z 2 L2方程为 , m2 n2 p2 为锐角 L1 , L2 夹角为 . 为钝角 s1 s 2 m1m 2 n1n2 p1 p2 cos , 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s 2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 L1 L2 s1 // s2 s1 s2
空间直线的一般方程
2 2 2 2 2 2
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0,
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例如， 直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
l
M1
解
设所求直线为l , 先求两直线的交点。
M0
L
过点M0做平面垂直于直线L： 3x+2y-z=5 x 1 3 t L的参数方程： y 1 2t 代入平面方程 z t
所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7)
取 s kM 0 M1 {2,1,4}
z
1 2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件
• 由两个平面确定一条直线；
• 由空间的两点确定一条直线；
• 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
如果一非零向量 s 平行于 一条已知直线L，向量 s 称为
直线L的方向向量． 设定点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) L,
所求直线方程
m 4p 0 m n p s n1 , s n2 4 3 1 2m n 5 p 0
取 s {4,3,1}
例 5 一直线过点 M0(2,1,3)， 且与直线 L: 直相交，求其方程.
x 1 y 1 z 垂 3 2 1
x 5 y z 0 例7 求过直线: 且与平面 x 4 y x z 4 0, 8 z 12 0 组成 角的平面方程. 4 解 过已知直线的平面束方程为
8-7空间直线及其方程
3
12
解 先求过点 M ，且与已知平面平行的平面方程，
过点 M ，且与已知平面平行的 平面方程为 3x 4 y z 1 0，
M M1
再求已知直线与辅助平面的交点，
x 3t 1
已知直线的参数方程为
y
t
3
，故交点 M1 为
z 2t
(41, 37 , 32).
取 s n1 n 2 1 1 1 {4, 1, 3}，
2 1 3
因为直线的方向向量为 s {4, 1, 3}，
且过点 ( 5 , 2 , 0)，
33
所以其对称式方程为
x5 y2 3 3
z，
4 1 3
x
5 3
4t
参数方程为
y
s 1 3 2 74,2,1，
2 1 10
平面 的法向量为 n 4,2,1，所以 s 与 n 平行，
从而直线 L 垂直于平面 ． 应选 C．
例8 求过点 (1,0,4)，且与平面 3x 4 y z 10 0平行，
又与直线 x 1 y 3 z 相交的直线方程．
z
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
.
1
空间直线的一般式(交面式)方程
2
注意 空间直线的一般式方程不唯一 o L
y
x
2. 空间直线的对称式(点向式、标准式)方程
且与设非直零线向L量过点s M0m( x, n0 ,,
y0 , z0 )，
空间直线及其方程
7.8 空间直线及其方程7.8.1空间直线方程的几种形式1．空间直线的一般式方程空间直线L 可看作是两个平面π与π的交线（图7.37）设有平面1π： 01111=+++D z C y B x A 和平面2π： 02222=+++D z C y B x A若},,{1111C B A n =与},,{2222C B A n =不平行，则平面1π与平面2π相交，那么空间直线L 上的点的坐标同时满足平面1π与平面2π的方程，即满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A （1）反过来，若点M 不在直线上，则它的坐标不可能即满足平面1π的方程，又满足平面2π的方程，所以M 的坐标不满足方程组（1），因此直线L 可用方程组（1）来表示，称方程组为空间直线的一般方程或交面式方程.由于通过直线L 的平面有无数个，其中任何两个平面方程的联立都表示直线L 的方程,因此空间直线的方程不是唯一的，例如方程组⎩⎨⎧==00y x 与⎩⎨⎧=-=+0y x y x 都表示z 轴。
2，空间直线的点向式方程假如已知一点和一个不为零的向量},,{p n m s =那么通过已知点且平行于已知向量的直线在空间的位置就可以完全确定，已知非零向量s 叫做直线的方向向量.设空间直线通过点),,(0000z y x M ，且直线的方向向量为（图7.38）,下面求直线的方程.在直线L 上任取一点),,(z y x M ,由题意知,向量M 0与s 平行,而},,{0000z z y y x x M M ---= 所以pz z n y y m x x 000-=-=- (2) 即在直线上L 的点的坐标满足方程（2）.反过来若M 不在直线上，则M M 0与不平行，从而点M 的坐标不满足（2），所以（2）式就是我们所求的直线L 的方程，称（2）为直线的点向式方程或标准式方程或对称式方程.方程（2）中如果p n m ,,三数中有一个为零或两个为零,如0=m ,此时式子pz z n y y x x 0000-=-=- 应理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=p z z n y y x x 000若0==n m ,此时式子 pz z y y x x 00000-=-=- 应理解为 ⎩⎨⎧==0y y x x若一直线通过两点),,(1111z y x M ,),,(2222z y x M ,则此直线的方向向量可取为 },,{12121221z z y y x x M M ---==于是通过21,M M 两点的直线方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3)我们称（3）式为直线的两点式方程.若设t pz z n y y m x x =-=-=-000,则得到 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 (4)方程组（4）称为空间直线的参数式方程，其中t 为参数.例1求过点)3,2,1(-,方向向量}2,1,2{-=的直线方程. 解 代入(2)式得直线的点向式方程; 231221-=-+=-z y x 它的参数方程是:⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=t z t y t x 23221也可以写成两面交线的形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-+=-23121221z y y x 或⎩⎨⎧+-=++=+-342421z y y x例2一直线通过点)2,0,1(-M ，且垂直于平面032=+-z y x ，求此直线的对称式方程和参数方程.解 所求直线与一平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量平行，故可取}3,1,2{-==,代入（2）式得直线的对称式方程为:321021+=--=-z y x 直线的参数方程为:⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=+=t z t y t x 3221直线方程的几种形式之间可以互化，由标准方程可写出一般式方程和参数方程.下面的例子说明直线的一般方程可以化为标准方程.例3用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x （5） 解 求直线的标准方程，需要求出直线上一个点和直线的方向向量.首先求直线上一点),,(000z y x ，方程（5）中两个方程三个未知数，可有无穷多组解，任意选定000,,z y x 中的一个为已知，例如可以取10=x ,代入方程（5）得 ⎩⎨⎧=--=+632z y z y解这个二元一次方程组得2,000-==z y ，于是求出)2,0,1(0-M 为直线上一点. 其次求出直线的方向向量,因为所求直线是平面1π:01=+++z y x 及平面2π:0432=++-z y x 的交线,所以直线同时垂直于1π与2π的法向量，故可取}3,1,4{1121--=-=⨯=n n代入（2）式得直线的对称式方程为：32141-+=-=-z y x 令 t z y x =-+=-=-32141即得所给直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y tx 3241注意在本题中也可以用另一种方法得对称式方程，例如再设01=x 代入方程（5）得⎩⎨⎧=++-=++04301z y z y解之得45,4111-==z y ，因此又得直线上的另一点)45,41,0(1-M ，由于向量10M M 平行于直线，因此可取}43,41,1{10-==M M ，于是所求直线方程为4324111+==--z y x 即32141+==--z y x 7.8.2两直角的夹角空间两直线可相交也可不相交，两直线的夹角是指两直线的方向向量的夹角.设有两条直线:1L :111111p z z n y y m x x -=-=- 1L :222222p z z n y y m x x -=-=- 它们的方向向量分别为},,{1111p n m s =、},,{2222p n m s =，于是计算两直线之间夹角θ的公式为222222212121212121cos pn m pn m p p n n m m ++++++==θ （6）由此得到若直线1L 与直线2L 互相垂直，即1s 垂直于2s 的充分必要条件是 0212121=++p p n n m m若直线1L 与直线2L 平行，即1s 平行于2s 的充分必要条件是212121p p n n m m == 例4求两直线121123--=+=-z y x 和112713+=+=+z y x 间的夹角. 解 代入公式（6）得21121)1(121)1(2112cos 222222=++-++⨯-+⨯+⨯==θ 所以 3πθ=或π32.例5直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=tz t y t x 22332与⎪⎩⎪⎨⎧+=-==t z t y t x 25416平行还是垂直?解 两直线的方向向量分别为}1,2,3{1-=s 和}2,4,6{2-=,显然1s 与2s 平行,所以,两直线平行.必须注意,若两条直线的方向向量平行,则两直线平行.若两直线的方向向量不平行,则两直线或相交或为异面直线，须区别这两种情形.7.8.3直线和平面的夹角直线和它在平面上的投影直线所成的两邻角中的任何一个均可定义为直线与平面的夹角θ(图7.39).这两个角互为补角，它们的正弦相等，我们不妨规定20πθ≤≤.设直线L:pz z n y y m x x 000-=-=- 平面π: 0=+++D Cz By Ax求它们的夹角，直线L 的方向向量},,{p n m =，平面π的法向量},,{C B A =，s 与n 的夹角为θπ-2或θπ+2，又因为)2cos()2cos(sin θπθπθ+=-=，而)2cos()2cos(θπθπ+=-=所以 222222sin pn m CB A Cp Bn Am ++++++=θ （7）特别，若直线L 垂直于平面π，即平行于，其充分必要条件是pC n B m A == 若直线L 与平面π垂直，即垂直于，其充分必要条件是 0=++Cp Bn Am图7.39例6 当B A ,为何值时，平面086=+++z By Ax 与直线314321+=-+=+z y x 垂直. 解 平面的法向量为}6,,{B A n =,直线的方向向量为}3,4,2{-=s ,若直线与平面垂直必有3642=-=B A 解得 8,4-==B A例7 求过点)4,2,1(-且与平面0432=--+z y x 垂直的直线方程.解 由于所求直线与平面0432=--+z y x 垂直,所以直线的方向向量s 与向量}1,3,2{-=n 平行,故可取}1,3,2{-==n s ,所求直线的方程为143221--=+=-z y x 总结上两节对平面和直线的讨论可知，建立平面和直线方程的条件是，对于直线只须知道其通过的一个点和它的方向向量，对于平面，只须知道其通过的一个点和它的法向量，建立方程时，若给出的是其它条件，应设法找出一个点并得到直线的方向量，或平面的法向量，求两直线或两平面的夹角都归结为求方向向量或法向量的夹角，它们互相垂直或平行的条件也就是两向量垂直或平行的条件.习题7-81． 求过点)1,2,3(和)3,3,4(的直线方程.2．求过点)3,0,2(-且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.3．求过点)2,1,3(-且通过直线321121-=-+=-z y x 的平面方程. 4．求满足下列条件的直线方程 （1）过点)3,1,4(-且平行于直线5123-==-z y x ;（2）经过点)4,4,3(-，方向角为πππ32,4,3; （3）过)4,2,0(且与两平面23,12=-=+z y z x 平行（4）过点)2,0,1(-且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线才垂直？？？？？？？？？？. 5．试确定下列各组中直线与平面间的关系.（1）3224,37423=--=-+=-+z y x zy x ; （2）8723,723=+-=-=z y x z y x ;（3）3,431232=++--=+=-z y x z y x .6．求直线⎩⎨⎧=+-=+-1239335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=++=-+18832322z y x z y x 的夹角的余弦.7．求点)0,2,1(-在平面012=+-+z y x 上的投影.8．求点)2,1,3(-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.。
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
空间直线及其方程(2)-精品文档
y1 z3 x 5 7
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此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为(1,5,7)
2011.2.6 8-6-12
空间直线及其方程
3x2yz 10 将 2x yz20 化为对称式方程.
法二 先求直线上一定点:以 z0 代入 ,
3 8 3 x2 y0 z 10 x ,y 7 7 xy0 z20 2
求直线与平面的交点时常用此。
2011.2.6
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8-6-6
空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 ( x , y , z ), M ( x , y , z ) 设一直线过两点 M ， 1 1 1 1 2 2 2 2
x y y z z 1 1 1 则此直线的方程为: x (4)
2011.2.6
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8-6-8
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相 ,
求其方程 .
z
解 交点为 B ( 0 , 3 ,0 ),
取s BA
( 2 ,0 ,4 ),
所求直线方程
.A
s
.B
x
O
y
x2 y3 z 4 . 2 0 4
方向向量.
( x ,y , z ) 设一直线过 M ， 0 0 0 0 ( m , n , p ), 其方向向量为的 s
z
s L sM
M0
y
O
求此直线方程。
x
一条直线可以有许多方向向量.
2011.2.6
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8-6-3
空间直线及其方程
解 M ( x ,y , z ) L
第七章空间解析几何第7节直线及其方程
投影直线为
小结
空间平面
一般形式 (三元一次方程) Ax+By+Cz+D=0. 法点式 n M 0 M 0
x y z 1. 截距式 p q r
空间直线
交面式 (一般形式)： 三元一次方程组. x x0 y y 0 z z 0 对称式: s M 0 M 0, 即 m n p 参数形式:
x3 y 3 z 故直线方程为 . 2 2 2
例6. 求直线 l1: x+y1=0, y+z+1=0, 在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程. 解：直线l1的方向
s1 1 1 0 i j k =(1, 1, 1). 0 1 1
i
j
k
再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解
即
x 1 y z 1 . 1 4 1
l1
M1
n
M0
思想：
求直线与 交点M0； 求直线上平面 外一点M1 ； 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ; 求 l2 与 的交点M2 ；
求过M0，M2 的投影直线方程.
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式 两点式
x 0 y 1 z 2 t. 2 1 2
设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足
22t +1+t+2(2+2t )=0 1 t 3 2 4 4 ). 得交点 M2(x2, y2, z2) ( , , 3 3 3 所求直线方程为 x 1 y 0 z 1 , 2 4 4 1 0 1 3 3 3
空间直线及其方程
x −2 y − 3 z −4 = = =t 解 令直线方程 1 1 2
得 x=2+t y=3+t z=4+2t （ 1） 代入平面π方程， 代入平面π方程， 2+t +(3+t)+(4+2t)得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t= 5,即t=5t=整理得5t=-5,即t=-1 t=- 代回方程组（ 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（ 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点
cosϕ =
m m2 + n1n2 + p1 p2 1 m +n + p
2 1 2 1 2 1
m +n + p
2 2 2 2
2 2
两个结论： 两个结论：
1 若 线 1与 2平 ， 有 、 直 L L 行 则
m n p 1 1 1 L // L ⇔ = = 1 2 m n p 2 2 2
2 若 线 1与 2垂 ， 有 、 直 L L 直 则
M0
s s1
L1
因 s平 s1可 s = {2,1,-5}; 为 行 取
又因为直线L过点M0 (4,-1,3)， 又因为直线 过点 ， 故，所求直线方程L为： 所求直线方程 为
x −4 y +1 z −3 = = 2 1 −5
直线与平面位置关系两个结论： 直线与平面位置关系两个结论：
1.若直线 与平面π平行， n⊥s， 1.若直线 L与平面π平行，则 n⊥s，于是
L//π ⇔mA+nB+ pC = 0
L // π图示 图示
x − x0 y − y0 z − z0 = = L： m n p
高等数学：几何(2)(8-7)
0
且垂直于已知平面7x y 4z 3 0,求该平面法线的
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 (7, 1, 4)
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
y 1
2
y
1
L0绕y轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 曲面 方 程 为 ：
x2 z2 2 y2 1 y 12 4 y2 1 y 12
4
4
直
线
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 绕y轴 0
旋
转
一
周,
求 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方程.
化
直
线
3
4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.
例7. 求过点
且与两直线 都相交的直线 L.
解: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ;
再写直线方程.
的方程化为参数方程
L1
L2
M0 M2
M1 L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L
例8 求平分平面1 : x 2 y 3z 1 0和
《高等数学》第七章 6空间直线及其方程
1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x
y
z
1
. 0
L
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x 3y z 9 0
4 x
y
z
1
. 0
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L
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例7
求直线
2x L1 3x
4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
空间直线及其方程
例如, 当
直线方程为
3. 参数式方程
设
得参数式方程 :Biblioteka 例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
,得
是直线上一点 . 再求直线的方向向量 已知直线的两平面的法向量为
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
解题思路:
先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
t
是直线上一点
习题课
三、杂例
例4. 求与两平面 x–4z=3 和2x–y–5z=1的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
解: 所求直线的方向向量可取为
利用点向式可得方程
例5. 求直线
的交点 . 解: 化直线方程为参数方程
与平面
代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.
例6. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，
因此其一般式方程
(不唯一)
1 2
2. 对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，则这个向量叫做 这条直线的方向向量。
已知直线上一点
和它的方向向量
设直线上的动点为
L
则
故有
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
在平面 故应有：
得
从而得投影直线方程
这是投影平面 这是给定的平面
例8.
一直线过点
且垂直于直线
又和直线
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积. 的方向向量为
面的法向量为
则所求直线的方向向量
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从而 L1与L2的方向向量分别为
s 1 1 , 2 ,1 ， s 21 ,1 , 2 ，
故 co s|122| 1， ，
6 6 2
3
应选C．
例 5 求过点(3,2,5)且与两平面x 4z 3
和2x y 5z 1的交线平行的直线方程．
解 设所求直线的方向向量为
s { m ,n ,p } ，
与平面 : x y 2z 3的夹角. 解 s { 2 , 1 ,2 } ， n { 1 , 1 ,2 } ，
又 设 求点 M s 直 则 (x{ 线 ,Lm M y的 , ,zn 0)M ,是 方 p /} /， L程 s 上 M ． 0 M 任 { 一 x x点 x 0 ,y ， o y •0 M, z 0 z 0 } y
从而有 xx0yy0zz0 直线的对称式方程
其m 中s n 非 m ,n ,p p 零 称 L 的 向 为方 量向
(1) L 1 L 2s 1 s 2m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 .
(2 例)如L 1 ，//直L 2 线 L1 s :1 // s s 1 2 { 1 , 4 m m,120 } ， nn12 pp12. 直s 1线s 2L 20 :， s 2 s 1 { 0 ,0 s ,2 1 ， } ， 即 L 1 L 2 .
coL 1 sL 2 ()m 1 2 |m 1 n m 1 22 p n 1 21n2 m 2 2 p1n p2 2 2 | p2 2．
两直线的夹角公式
两直线的相关位置：
直线 L1：xm 1x1y n1y1z p1z1， s 1 m 1 ,n 1 ,p 1 ，
直线 L2：xm 2x2y n2y2z p2z2， s 2 m 2 ,n 2 ,p 2 ，
则其交 L的 线方程为 z
A A 1 2x x B B 1 2y y C C 1 2 zz D D 1 2 0 0.
1
空间直线的一般式(交面式)方程
2
注意 空间直线的一般式方程不唯一 oL
y
x
2. 空间直线的对称式(点向式、标准式)方程
且 设 与 L 直 过 s 非 M 0 m ( 线 点 x ,n 0 零 ,,y p 0 ,z 平 0 ) ， 向 行 z量 s， •M L
直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与平面的夹角公式
直线与平面的相关位置 设有直L线 : xx0yy0zz0，
mn p 及平面 : A B x C y D z 0 ，
(1)L s // n m ABnCp. (2) L// s n A m B C n 0 p .
例 6 求直线L : x 1 y z 1 2 1 2
其坐 m ,n标 ,p称L 为 的一组不 方全 向为 数
方向向量的方向余弦，称为直线的方向余弦．
3. 空间直线的参数方程
在直线的对称式方程，中若令xx0yy0zz0t
mn p
x x0 mt
则有
y
y0
nt
直线的参数方程
z z0 pt
4. 空间直线的两点式方程
设 L 过 M 直 1 ( x 1 , y 1 , z 点 1 ) 与 M 线 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， 则其方程为 xx1yy1zz1
第七节 空间直线及其方程
一、空间直线方程的几种形式
1. 空间直线的一般式(交面式)方程
设 1 有 :A 1 x B 1 y 平 C 1 z D 1 面 0 ，
2 :A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ，
其A 中 1、 B 1、 C1与 A 2、 B 2、 C2不对应成
mn p :A B x C y D z 0 ， n {A ,B ,C } ，
(s^,n) 或 (s^,n)
2
2
si n co s |cos()||cos sn )(|
2
2
si n |A B m C n | p. A 2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
例4 设有 L 1 ： x 1 1 直 y 2 5 线 z 1 8 及
直 L 2 ： 线 2 x y y z 6 3 ， ， 则 L 1 与 L 2 的夹 [C]． (1 角 9 )
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
6
4
3
2
解 直线 L2的方程可x化 6为yz23，
2 1 3
因为直线的 s方 {4,1向 ,3}， 向量
且过(点 5,2,0)，
33
所以其对称式方程为
x5 y2 3 3
z
，
4 1 3
x
5 3
4t
参数方程为
y
2 3
t
.
z 3t
例2 求与y轴平行的直线的方 一程 般． 式 解 由题意所求直线的一 式般 方程为
A A12xx C C12zzD D1200， 其中 A A12 C C12. 例 3 一直线过点(2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，
求其方程．
解 因为直线和y 轴垂直相交，
所以交点为 B(0,3,0)， 由两点式方程，所求直线方程为 x2y3z4.
2 04 或2yxz30.
二、两直线的夹角
定义 两直线方向向量间的夹角，称为两直线的夹角． (一般取锐角)
直线 L1：xm 1x1y n1y1z p1z1， s 1 m 1 ,n 1 ,p 1 ， 直线 L2：xm 2x2y n2y2z p2z2， s 2 m 2 ,n 2 ,p 2 ，
x2x1 y2y1 z2z1
直线的两点式方程
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
2xxyyz3z1400.
解
在直线上任取一点 (x0,y0,z0)，
令z0， 2xxyy1400，解得
故直线 (5过 ,2,0)点 ，
x 5 3
y2 3
,
33
因所求直线与两平面的法向量都垂直， i jk
取 s n 1 n 2 1 1 1 {4,1 ,3}，
1
根据题意，知 sn 1， sn 2， L 2
ijk
取 s n 1n 2 1 0 4 { 4, 3, 1}，
2 1 5
所求直线的方程 x3y2z5. 4 31
三、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线
间的夹角，称为直线与平面的夹角． 0 L: xx0yy0zz0， s { m ,n ,p } ，2