8-7空间直线及其方程

与平面 : x y 2z 3的夹角. 解 s { 2 , 1 ,2 } ， n { 1 , 1 ,2 } ，
例4 设有 L 1 ： x 1 1 直 y 2 5 线 z 1 8 及
直 L 2 ： 线 2 x y y z 6 3 ， ， 则 L 1 与 L 2 的夹 [C]． (1 角 9 )
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
6
4
3
2
解 直线 L2的方程可x化 6为yz23，
又 设 求点 M s 直 则 (x{ 线 ,Lm M y的 , ,zn 0)M ,是 方 p /} /， L程 s 上 M ． 0 M 任 { 一 x x点 x 0 ,y ， o y •0 M, z 0 z 0 } y
从而有 xx0yy0zz0 直线的对称式方程
其m 中s n 非 m ,n ,p p 零 称 L 的 向 为方 量向
coL 1 sL 2 ()m 1 2 |m 1 n m 1 22 p n 1 21n2 m 2 2 p1n p2 2 2 | p2 2．
两直线的夹角公式
两直线的相关位置：
直线 L1：xm 1x1y n1y1z p1z1， s 1 m 1 ,n 1 ,p 1 ，
直线 L2：xm 2x2y n2y2z p2z2， s 2 m 2 ,n 2 ,p 2 ，
1
根据题意，知 sn 1， sn 2， L 2
ijk
取 s n 1n 2 1 0 4 { 4, 3, 1}，
2 1 5
所求直线的方程 x3y2z5. 4 31
三、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线
间的夹角，称为直线与平面的夹角． 0 L: xx0yy0zz0， s { m ,n ,p } ，2
从而 L1与L2的方向向量分别为
s 1 1 , 2 ,1 ， s 21 ,1 , 2 ，
故 co s|122| 1， ，
6 6 2
3
应选C．
例 5 求过点(3,2,5)且与两平面x 4z 3
和2x y 5z 1的交线平行的直线方程．
解 设所求直线的方向向量为
s { m ,n ,p } ，
直线与平面的夹角公式
直线与平面的相关位置 设有直L线 : xx0yy0zz0，
mn p 及平面 : A B x C y D z 0 ，
(1)L s // n m ABnCp. (2) L// s n A m B C n 0 p .
例 6 求直线L : x 1 y z 1 2 wenku.baidu.com 2
第七节 空间直线及其方程
一、空间直线方程的几种形式
1. 空间直线的一般式(交面式)方程
设 1 有 :A 1 x B 1 y 平 C 1 z D 1 面 0 ，
2 :A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ，
其A 中 1、 B 1、 C1与 A 2、 B 2、 C2不对应成
mn p :A B x C y D z 0 ， n {A ,B ,C } ，
(s^,n) 或 (s^,n)
2
2
si n co s |cos()||cos sn )(|
2
2
si n |A B m C n | p. A 2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
x2x1 y2y1 z2z1
直线的两点式方程
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
2xxyyz3z1400.
解
在直线上任取一点 (x0,y0,z0)，
令z0， 2xxyy1400，解得
故直线 (5过 ,2,0)点 ，
x 5 3
y2 3
,
33
因所求直线与两平面的法向量都垂直， i jk
取 s n 1 n 2 1 1 1 {4,1 ,3}，
则其交 L的 线方程为 z
A A 1 2x x B B 1 2y y C C 1 2 zz D D 1 2 0 0.
1
空间直线的一般式(交面式)方程
2
注意 空间直线的一般式方程不唯一 oL
y
x
2. 空间直线的对称式(点向式、标准式)方程
且 设 与 L 直 过 s 非 M 0 m ( 线 点 x ,n 0 零 ,,y p 0 ,z 平 0 ) ， 向 行 z量 s， •M L
2 1 3
因为直线的 s方 {4,1向 ,3}， 向量
且过(点 5,2,0)，
33
所以其对称式方程为
x5 y2 3 3
z
，
4 1 3
x
5 3
4t
参数方程为
y
2 3
t
.
z 3t
例2 求与y轴平行的直线的方 一程 般． 式 解 由题意所求直线的一 式般 方程为
A A12xx C C12zzD D1200， 其中 A A12 C C12. 例 3 一直线过点(2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，
求其方程．
解 因为直线和y 轴垂直相交，
所以交点为 B(0,3,0)， 由两点式方程，所求直线方程为 x2y3z4.
2 04 或2yxz30.
二、两直线的夹角
定义 两直线方向向量间的夹角，称为两直线的夹角． (一般取锐角)
直线 L1：xm 1x1y n1y1z p1z1， s 1 m 1 ,n 1 ,p 1 ， 直线 L2：xm 2x2y n2y2z p2z2， s 2 m 2 ,n 2 ,p 2 ，
(1) L 1 L 2s 1 s 2m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 .
(2 例)如L 1 ，//直L 2 线 L1 s :1 // s s 1 2 { 1 , 4 m m,120 } ， nn12 pp12. 直s 1线s 2L 20 :， s 2 s 1 { 0 ,0 s ,2 1 ， } ， 即 L 1 L 2 .
其坐 m ,n标 ,p称L 为 的一组不 方全 向为 数
方向向量的方向余弦，称为直线的方向余弦．
3. 空间直线的参数方程
在直线的对称式方程，中若令xx0yy0zz0t
mn p
x x0 mt
则有
y
y0
nt
直线的参数方程
z z0 pt
4. 空间直线的两点式方程
设 L 过 M 直 1 ( x 1 , y 1 , z 点 1 ) 与 M 线 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， 则其方程为 xx1yy1zz1