2017高考一轮复习教案二次函数与幂函数(后附完整答案)

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2017数学(理)一轮教学案：第二章第4讲二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数考纲展示命题探究1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标．(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x 轴交点的横坐标．2二次函数的图象与性质y min＝4ac－b24a y max＝4ac－b24a注意点解决二次函数问题应用数形结合思想二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.1．思维辨析(1)形如y＝ax2＋bx＋c的函数一定是二次函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是4ac－b24a.()(4)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.()(5)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2；当x＝1时，f(x)的最大值为f(1)＝3＋a＝3－2＝1，选C.3．(1)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为______．答案 (1)(0,8) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127 解析 (1)由题意知，Δ＝(－a )2－8a <0，解得0<a <8. (2)∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， ∴其定义域[a －1,2a ]关于原点对称， ∴即a －1＝－2a ，∴a ＝13， ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴f (x )＝13x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23，其值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪1≤y ≤3127.[考法综述] 高考中以考查二次函数的图象、单调性、最值为主，有二次不等式恒成立问题以及二次方程根的分布问题等．命题法二次函数的图象及性质的应用典例 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 3C ．1<x <2D ．x <2或x >3[解析] (1)因为图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a 0，g (1)>0，即⎩⎨⎧g (－1)＝x 2－5x ＋6>0，g (1)＝x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B.[答案] (1)B (2)B【解题法】二次函数问题的求解策略(1)二次函数的最值问题一般先配方，通过对称轴，开口方向等特征求得，有时需要讨论，如动轴定区间问题和定轴动区间问题．(2)与二次函数图象有关的问题采用数形结合的方法，需尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚．1.如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18C ．25 D.812答案 B解析由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩⎨⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝tn .由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn 相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－126－12n ＝tn，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D.4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．答案 2或－1解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈[0,1]时，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎨⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎨⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎨⎧a ≤0，1－a ＝2.解得a ＝2或a ＝－1.6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．答案－2解析设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2－b (t －b )＋4b 2－c ＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤85c ，所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t4，所以a ＝3t 8.故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122－2≥－2. 7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝a |x －1|的图象，由图知，当a ＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a <0时，两图象没有交点，故必有a >0.若曲线y ＝－x 2－3x (－3≤x ≤0)与直线y ＝－a (x －1)(x ≤1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0得a ＝1(a ＝9舍去)，因此当0<a <1时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点；若曲线y ＝x 2＋3x (x >0)与直线y ＝a (x －1)(x >1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0可得a ＝9(a ＝1舍去)，因此当a >9时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．1幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数．2五种幂函数图象的比较3幂函数的性质比较注意点α的大小对幂函数图象的影响幂函数在第一象限的图象中，以直线x＝1为分界，当0<x<1时，α越大，图象越低(即图象越靠近x轴，可记为“指大图低”)；当x>1时，α越大，图象越高(即图象离x轴越远，不包含y＝x0).1．思维辨析(1)函数y＝2x 12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．()(5)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y＝x下方的增函数是()A．y＝x 12B．y＝x2C．y＝x3D．y＝x－1答案 A解析y＝x2，y＝x3在x∈(1，＋∞)时，图象不在直线y＝x下方，排除B、C，而y＝x－1是(－∞，0)，(0，＋∞)上的减函数．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )答案 C解析因为函数f (x )＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数，又0<a 0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )(2)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15 23 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a 0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 不符合；在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 不符合；在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 不符合；在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符．(2)因为y ＝x 23 在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 >b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15 23 ，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 <c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13，所以b <a <c .[答案] (1)D (2)D【解题法】幂函数的图象与性质问题的解题策略 (1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．1．若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，33，则其定义域为( )A ．{x |x ∈R ，且x >0}B ．{x |x ∈R ，且x <0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．R答案 A解析设f (x )＝x α，∴3α＝33，α＝－12，f (x )＝x －12， ∴其定义域为{x |x >0}，选A 项．2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1 答案 B解析 ②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C 、D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.3．若f (x )＝x 23 －x － 12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (0,1)解析令y 1＝x 23 ，y 2＝x － 12 ，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23，y 2＝x － 12 的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0,1)．4.已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案－1 解析由已知得⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，－5m －3>0，解得m ＝－1.已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2[错解][正解] 二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a2，又x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2>0恒成立，即f (x )最小值>0.①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a 2>0，解得a >－23，与a ≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a2>0，解得a <2，与a ≥2矛盾；③当－1<a2<1，即－2<a <2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝14a 2－12a 2＋a 2>0，解得0<a <2.综上得实数a 的取值范围是(0,2)．[答案] A [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学周测]已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2答案 B解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.2．[2016·冀州中学热身]若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )答案 A解析函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2，4c －b 24，则－b 2>0.f ′(x )＝2x ＋b ，令f ′(x )＝0，得x ＝－b2>0，即导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，且斜率为正，故选A.3．[2016·枣强中学周测]定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18 C ．－14 D ．0答案 A解析设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.4. [2016·冀州中学预测]对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)答案 D解析解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).其图象如下图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.5．[2016·衡水中学期末]幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 C解析因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f (x )＝x 2，单调增区间为[0，＋∞)，选C.6．[2016·武邑中学期中]设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是( )答案 D解析由A 、B 、C 、D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝ca ＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1<－1，x 2<－1，所以D 不满足．故选D.7. [2016·衡水中学期中]已知函数f (x )＝a sin x －12cos2x ＋a －3a ＋12(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R 都有f (x )≤0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(0,1] D ．[1,3]答案 C解析化简函数得f (x )＝sin 2x ＋a sin x ＋a －3a .令t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则g (t )＝t 2＋at ＋a －3a ，问题转化为使g (t )在[－1,1]上恒有g (t )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝1－3a ≤0，g (1)＝1＋2a －3a ≤0，解得0<a ≤1，故选C.8．[2016·枣强中学猜题]若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－x 2－x －1B ．f (x )＝－x 2＋x －1C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案 D解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.9．[2016·衡水中学月考]“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．10．[2016·武邑中学周测]已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：①f (3－x )＝f (x )；②f (1)＝0；③对任意实数x ，f (x )≥14a －12恒成立．则其解析式为f (x )＝________. 答案 x 2－3x ＋2解析依题意可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋k ，由f (1)＝14a ＋k ＝0，得k ＝－14a ，从而f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－a 4≥14a －12恒成立，则－a 4≥14a －12，且a >0，即14a ＋a 4－12≤0，即a 2－2a ＋14a ≤0，且a >0，∴a ＝1. 从而f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14＝x 2－3x ＋2. 11．[2016·冀州中学月考]已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2，∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b .∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4，∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)．又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎨⎧4a ＋b ＝02a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2.∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.即f (x )＝12x 2＋2x －1.12．[2016·衡水中学周测]已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎨⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，∴⎩⎨⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎨⎧f (3)＝2，f (2)＝5，∴⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2. 若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4，∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26.故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．能力组13.[2016·枣强中学一轮检测]已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增答案 D解析当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数；当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增，故选D.14．[2016·武邑中学模拟]函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是( )A ．a ≤0B ．a <－4C ．－4<a <0D ．－4<a ≤0答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0；当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0. 综上可知：－4<a ≤0.15．[2016·冀州中学预测]当0<x <1时，函数f (x )＝x ，g (x )＝x ，h (x )＝x －2的大小关系是________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．16．[2016·枣强中学周测]是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎨⎧f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎨⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，⎩⎨⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎨⎧f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.。

(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数

∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)

高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ，由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )，即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间．解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数；当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a，由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数；当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。

(苏教版)高考数学一轮复习第二章第五节二次函数与幂函数教案文(解析版)

1．五种常见幂函数的图象与性质2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图象和性质[小题体验]1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9,3)，则函数的解析式为________________．答案：f (x )＝x 12(x ≥0)2．(2019·天一中学高三测试)已知点P 1(x 1,2 019)和P 2(x 2,2 019)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．答案：93．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为________．答案：⎣⎡⎦⎤1，31271．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞ 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n ＜0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数；④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a.其中正确的是________(填序号)．答案：②考点一幂函数的图象与性质基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·苏州高三期中调研)已知幂函数y ＝x 2m－m 2(m ∈N *)在(0，＋∞)是增函数，则实数m 的值是________．解析：由题意知2m －m 2＞0，解得0＜m ＜2，因为m ∈N *，所以m ＝1. 答案：12．(2019·常州一中检测)已知函数f (x )＝(3－m )x 2m－5是幂函数，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：函数f (x )＝(3－m )x 2m －5是幂函数，则3－m ＝1，解得m ＝2， ∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 答案：23．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 考点二二次函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12.所以m ＝12，又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a－2a －1－a 24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[由题悟法]求二次函数解析式的方法[即时应用]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4a －2b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)．由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.答案：19x 2＋49x －592．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又因为f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，a ＝1.所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.考点三二次函数的图象与性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考对二次函数图象与性质的考查．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇．常见的命题角度有： (1)二次函数的单调性问题； (2)二次函数的最值问题；(3)二次函数中恒成立问题．[题点全练]角度一：二次函数的单调性问题1．(2019·江安中学测试)已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，则f (2)的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象(抛物线)开口向上，对称轴为x ＝a －12，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，则a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.答案：[7，＋∞)角度二：二次函数的最值问题2．(1)(2019·苏州测试)已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b ，若f (0)＝4，则f (1)的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．解析：(1)因为f (0)＝4，所以a ＋2b ＝4，即a ＝4－2b ，所以f (1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5＝(4－2b )b ＋5＝－2b 2＋4b ＋5＝－2(b －1)2＋7，所以当b ＝1时，f (1)的最大值为7.(2)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，x ∈[0,1]，对称轴方程为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：(1)7 (2)－1或2 角度三：二次函数中恒成立问题3．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．解析：由题意得x 2＋x ＋1＞k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， ∵g (x )在[－3，－1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k ＜1.故k 的取值范围为(－∞，1)．答案：(－∞，1)[通法在握]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴． 2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键 (1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[演练冲关]已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·清河中学检测)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 答案：322．(2019·连云港调研)若函数f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝a －1， f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上为增函数， ∴对称轴x ＝a －1≥4，∴a ≥5. 答案：[5，＋∞)3．(2018·淮阴模拟)已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )，f (0)的大小关系为________．解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：f (m )＜f (0)4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋m ，若|f (x )|在区间[0,1]上单调，则实数m 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 2＋x ＋m ，且|f (x )|在区间[0,1]上单调，所以f (x )在[0,1]上满足f (0)·f (1)≥0，即m (1＋1＋m )≥0，解得m ≥0或m ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[0，＋∞)5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－46．(2019·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为________．解析：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．答案：{－3,3}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·海安中学检测)已知幂函数f (x )＝x α，其中α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，2，3.则使f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的取值集合为________．解析：若幂函数f (x )为奇函数，则α＝－1,1,3，又f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以α的取值集合为{1,3}．答案：{1,3}2．(2019·武汉调研)已知幂函数f (x )＝x m2－4m(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上为减函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )＝x m2－4m(m ∈Z)在区间(0，＋∞)上为减函数，∴m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4. 又m ∈Z ，∴m ＝1或m ＝2或m ＝3.当m ＝1时，f (x )＝x －3，图象不关于y 轴对称；当m ＝2时，f (x )＝x －4，图象关于y 轴对称；当m ＝3时，f (x )＝x －3，图象不关于y 轴对称．综上，m 的值为2. 答案：23．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )＜f (4)＝－2，所以a ＜－2. 答案：(－∞，－2)4．(2018·泰州中学调研)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，不等式f (x 2－3)＞f (2x )的解集为________．解析：根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，则有f (0)＝0，当x ＜0时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2为减函数，则当x ＞0时，f (x )也为减函数，综上可得f (x )在R 上为减函数，若f (x 2－3)＞f (2x )，则有x 2－3＜2x ，解得－1＜x ＜3，即不等式f (x 2－3)＞f (2x )的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)5．若函数f (x )＝x α2－2α－3(常数α∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α的值为________．解析：根据幂函数的性质，要使函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α2－2α－3为偶数，且α2－2α－3＜0，解不等式可得－1＜α＜3.因为α∈Z ，所以α＝0,1,2.当α＝0时，α2－2α－3＝－3，不满足条件；当α＝1时，α2－2α－3＝－4，满足条件；当α＝2时，α2－2α－3＝－3，不满足条件，所以α＝1.答案：16．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．解析：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.答案：⎣⎡⎦⎤32，37．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，Δ＝36－45－a a ＋5＜0，解得－4＜a ＜4. 答案：(－4,4)8．(2019·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：89．已知幂函数f (x )＝x21(m m )－＋(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x21(m m )－＋(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝221(m m )－＋，即212＝221(m m )－＋，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12. 又因为f (2－a )＞f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．(2019·启东检测)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1)若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； (2)若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎡⎦⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a (a ＞1)，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]．又已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a 2－2a 2＋5＝1，f 1＝1－2a ＋5＝a ，解得a ＝2.(2)由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x .(*)令1x＝t ，t ∈[2,3]，则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12⎝⎛⎭⎫t －522＋258，则g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫52＝258，所以a ≥258；记h (t )＝12t 2＋52t ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋522－258，则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7，综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤258，7. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·金陵中学期中)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )与g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为f (x )与g (x )的“关联区间”．若f (x )＝13x 3－x 2－x 与g (x )＝2x ＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则b 的取值范围是________．解析：由题意设m (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－x 2－3x －b ，则m ′(x )＝x 2－2x －3，由m ′(x )＝0，得m ＝－1或m ＝3.∵f (x )与g (x )在[－3,0]上是“关联函数”，∴x ＝－1是函数m (x )在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．要使m (x )＝f (x )－g (x )在[－3,0]上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧m 00，m －1＞0，m －30，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ≤0，53－b ＞0，－9－b ≤0，解得0≤b ＜53，故b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，53.答案：⎣⎡⎭⎫0，532．(2019·泰州中学检测)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |.(1)若a ＝－1，求满足f (x )＝1的x 的取值集合；(2)若函数f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＜1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1，x ≥－1，1，x ＜－1.当x ≥－1时，令2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x ＜－1时，f (x )＝1恒成立，∴x 的取值集合为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－a ＋1x ＋a ，x ≥a ，a ＋1x －a ，x ＜a ，若f (x )在R 上单调递增，且f (x )是连续的，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1＞0，解得a ≥13，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－a ＋3x ＋a ＋3，x ≥a ，a －1x －a ＋3，x ＜a .若不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立，则当x＜a时，∵a＜1，∴g(x)单调递减，其值域为(a2－2a＋3，＋∞)．∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞2，∴g(x)≥0恒成立．当x≥a时，∵a＜1，∴a＜a＋34，∴g(x)min＝g⎝⎛⎭⎫a＋34＝a＋3－a＋328≥0，得－3≤a≤5.∵a＜1，∴－3≤a＜1，综上，a的取值范围是[－3,1)．。

2017年高考数学(理)一轮复习专题07 二次函数与幂函数(教学案) 含解析

专题07 二次函数与幂函数（教学案）2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.考查三个“二次”的联系和应用；2.以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象、性质，多以客观题的形式出现；3.和其他知识交汇，以解答题形式考查综合应用．1．一次函数与二次函数的解析式(1)一次函数：y＝kx＋b (k，b为常数，且k≠0)．(2)二次函数①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．一次函数与二次函数的定义及性质函数一次函数二次函数解析式y＝kx＋b (k≠0)y＝ax2＋bx＋c (a≠0)图象k>0 k<0 a>0 a<0b>0b>0b<0，c>0 b>0，c<0定义域R R值域R [4ac－b24a，＋∞)(－∞，4ac－b24a]单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数在(－∞，－b2a]上是减函数；在[－b2a，＋∞)上是增函数在(－∞，－b2a]上是增函数；在[－b2a，＋∞)上是减函数函数性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减高频一求二次函数的解析式例1、已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．方法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x2＋4x ＋7. 方法三 (利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax2－ax －2a －1. 又函数的最大值是8，即4a－2a －1－－a 24a＝8.解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x ＋7.【感悟提升】求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解．【变式探究】(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是_____________________________．(2)若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a ，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案 (1)f(x)＝12x2－2x ＋1 (2)－2x2＋4高频考点二二次函数的图象与性质例2、已知函数f(x)＝x2＋2ax ＋3，x∈，(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间上是单调函数； (2)当a ＝－1时，求f(|x|)的单调区间．解 (1)函数f(x)＝x2＋2ax ＋3的图象的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，∴要使f(x)在上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6. 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪，∴f(|x|)在区间上为增函数．【变式探究】(1)设函数f(x)＝ax2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，则实数a 的取值范围为________．(2)已知a 是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x －3在x∈上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12【感悟提升】(1)二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【举一反三】已知函数f(x)＝x2＋2ax ＋2，x∈． (1)当a ＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间上是单调函数．高频考点三幂函数的图象和性质例3、(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)若(2m ＋1)12>(m2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案 (1)C (2)D解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数y ＝x 12的定义域为上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在内，∴f(x)在上递减，在[1a ，1]上递增．∴f(x)min＝f(1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a >1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在的右侧，∴f(x)在上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a －2.【方法与技巧】 1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便． 2．研究二次函数的性质要注意： (1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【失误与防范】1．对于函数y ＝ax2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a ＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．1．（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]2．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.3．（2013·安徽卷）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C4．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B.法二：也可以采用数值法：x 1 2 4f(x)＝2ln x 0 2ln 2＝ln 4>1 ln 42<5g(x)＝x2－4x＋5 2 1 5可知它们有2个交点，选B.5．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【答案】C6．（2013·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f(x)＝( )A ．ex ＋1B ．ex －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1【答案】D【解析】依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x －1)的图像，又y ＝e x的图像关于y 轴对称的图像的解析式为y ＝e －x，所以f(x －1)＝e －x，所以f(x)＝e－x －1.1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又因为f (x )＝x α为奇函数，所以α只能取－1.2．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是( )A ．－4B ．4C ．4或－4D ．不存在解析：选B 依题意，函数f (x )是偶函数，则y ＝x 2＋ax －5是偶函数，故a ＝0，f (x )＝(1－x 2)(x 2－5)＝－x 4＋6x 2－5＝－(x 2－3)2＋4，当x 2＝3时，f (x )取最大值为4.3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B 由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.4．设函数f (x )＝x 2－23x ＋60，g (x )＝f (x )＋|f (x )|，则g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝( ) A ．56 B ．112 C ．0D ．38解析：选B 由二次函数图象的性质得，当3≤x ≤20时，f (x )＋|f (x )|＝0，∴g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝g (1)＋g (2)＝112.5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析：选D 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.6．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 解析：由已知得－a ＋22＝1，解得a ＝－4.又因为a ＋b2＝1，所以b ＝2－a ＝6.答案：67．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在上有最大值4，则实数a 的值为________．解析：此函数图象的对称轴为直线x ＝－1.当a >0时，图象开口向上，所以x ＝2时取得最大值，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝4，解得a ＝38；当a <0时，图象开口向下，所以x ＝－1时取得最大值，f (－1)＝a －2a ＋1＝4，解得a ＝－3.答案：－3或388．已知幂函数f (x )＝x 12－，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 12－＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5.答案：(3,5) 9．已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z)是偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(1) 求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)g (x )＝log 2，求g (x )的定义域和值域．解：(1)因为f (x )在(0，＋∞)单调递增，由幂函数的性质得－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32. 因为m ∈Z，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，f (x )＝x 3不是偶函数；当m ＝1时，f (x )＝x 2是偶函数，所以m ＝1，f (x )＝x 2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2. (2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －224.由g (x )的图象知，要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．。

高考数学复习知识点讲解教案第9讲二次函数与幂函数

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[解析] 设.由，得的图象关于直线对称，则，即①.设的图象与轴交点的横坐标为,，则由题意得，得 ②.由已知得③.由①②③解得，，，， .
探究点三二次函数的图象与性质
例3（1） [2024·江苏南通模拟] 记函数在区间上的最大值为，则的最小值为( )
A
A. B. C. D.1
②
（ⅲ）当时，画出的大致图象，如图③④，当时，，易知当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，则在上单调递增，所以.所以当时，.因为，所以综上可知，的最小值为 .故选A.
③
④
（2） [2024·浙江名校协作体联考] 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为( )
变式题（1） [2024·黑龙江省实验中学月考] 函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且，，则的值( )
B
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
[解析] 因为函数对任意，，且，满足，所以在上单调递减.由是幂函数，可得，解得或.当时，，在上单调递增，不满足题意.当时，，在上单调递减，满足题意，故，且为奇函数.因为，，所以，所以，所以，所以 .故选B.
[解析] 当时，函数在给定区间上单调递增，不符合题意；当时，函数是二次函数，其图象的对称轴为直线，依题意知解得 .
6.已知幂函数，若，则的取值范围为_______.
[解析] 幂函数在定义域上单调递减，由，得解得 .
探究点一幂函数的图象和性质
例1（1）已知幂函数,,, 在第一象限内的图象如图所示，则( )
（2）写出一个满足条件“函数的图象与轴、轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数: _ ___________________.

高考数学一轮复习专题训练—幂函数与二次函数

幂函数与二次函数考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 不在给定定义域内时，最值不是4ac －b 24a，故(4)错误.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2答案 C解析因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.3.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________. 答案 2 2解析 f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.4.(2021·全国大联考)不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞) B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案 A解析不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12等价于x 2＋1>3x ＋5≥0，解得－53≤x <－1或x >4.所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞). 5.(2020·贵阳质检)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)答案 C解析 f (x )图象的对称轴x ＝k8，且f (x )在[5，8]上是单调函数， ∴k 8≥8或k8≤5，解之得k ≥64或k ≤40. 6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 答案－1解析由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，取α＝－1.考点一幂函数的图象和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 C解析设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m ＝( )A.2B.－1C.4D.2或－1答案 A解析依幂函数定义，m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去. ∴m ＝2.3.(2021·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c 1>2－12＝22>13，所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝⎛⎭⎫13，则b >c >a .4.(2021·郑州质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去，当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称，因此m ＝2.感悟升华 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴. 考点二二次函数的解析式【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一 (利用“一般式”) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.感悟升华求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练1】 (1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x (2)x 2－4x ＋3解析 (1)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f (x )＝a (x －1)(x －3). 又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 考点三二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象【例2】 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0)，若f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0答案 (1)B (2)C解析 (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ，即5a 0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0>－12，所以f (m ＋1)>f (0)>0.感悟升华 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2 二次函数的单调性与最值【例3】 (2021·西安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增.∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.感悟升华 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3 二次函数中的恒成立问题【例4】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.∴所求m 的取值范围是(－4，0].(2)法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立.就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二当x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 感悟升华由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练2】 (1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，若f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，且f (m )≥f (0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－1)解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)，∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴a (3＋x )2＋b (3＋x )＋c ＝a (3－x )2＋b (3－x )＋c ，∴x (6a ＋b )＝0，∴6a ＋b ＝0，∴f (x )＝ax 2－6ax ＋c ＝a (x －3)2－9a ＋c .又∵f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a <0，∴f (x )的图象是以直线x ＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.A 级基础巩固一、选择题1.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.2.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )答案 C解析 ∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54，因此，结合图象，选项C 正确. 3.(2020·成都诊断)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( ) A.14B.－14C.2D.－2答案 A解析设幂函数为f (x )＝x α，由于点⎝⎛⎭⎫12，22在幂函数的图象上，所以22＝⎝⎛⎭⎫12α，解得α＝12，则f (x )＝x 12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 B解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案 B解析由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b ＝( )A.0B.1C.12D.2 答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 二、填空题7.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，则实数a ＝________. 答案 15解析设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案 5解析 f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图象关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋b ＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1. 消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x<1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 三、解答题10.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6].(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1). B 级能力提升12.(2021·江南十校调研)已知幂函数f (x )＝mx 1＋n 是定义在区间[－2，n ]上的奇函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，则( ) A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 答案 A解析根据f (x )＝mx 1＋n 是幂函数，且在区间[－2，n ]上是奇函数，得m ＝1，且－2＋n ＝0，解得n ＝2，∴f (x )＝x 3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.又0<π4<2π7<π2，∴cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7<f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7<f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，即b <a <c . 13.(2019·上海春招)如图，正方形OABC 的边长为a (a >1)，函数y ＝3x 2的图象交AB 于点Q ，函数y ＝x －12的图象交BC 于点P ，则当|AQ |＋|CP |最小时，a 的值为________.答案 3解析依题意得Q ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则|AQ |＋|CP |＝a 3＋1a ＝a 3＋1a ，记a ＝t (t >1)，f (t )＝|AQ |＋|CP |，则f (t )＝t 3＋1t ，所以f (t )＝t 3＋1t ≥213，当且仅当t 3＝1t ，即t 2＝3时取等号，此时a ＝ 3. 14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54，因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).。

第一轮复习07----二次函数与幂函数

D
已知f x ax bx c, 且a b c,
2
二次函数的应用
a b c 0, 集合A m | f m 0, ） A.任意m A, 都有f m 3 0
则（
C.存在m0 A, 使得f m 3 0
B.任意m A, 都有f m 3 0
3 2 , 3 3
二次函数的应用
已知函数f x 3ax 2bx c,
2
a b c 0, 且a b c. b 7 2 7 1 , ,1; （1）求的取值范围 ; 3 2 3 a （2）若x1、x2是方程f x 0的两个实根，求 | x1 x2 | 的取值范围。
有最大值3，最小值2，求m的取值范围。
9 ; 1,2 2
二次函数
0,1，对称轴为x 2，二次函数的图像过点
最小值为- 1，求它的解析式。
1 2 y x 2 1 2
二次函数
2 3，已知函数f x x 2ax 3, x 4,6. (1)当a 2时，求f x 的最值。 (2)求实数a的取值范围，使 y f x 在区间 - 4,6上是单调函数； (3)当a 1时，求f | x |的单调区间。
2
(1)若函数f x 的最小值为f 1 0,
(2)在(1)的条件下，f x x k在区
二次函数的应用
如果函数f x x bx c对任意的实数
2
C. f 2 f 0 f 2
B. f 0 f 2 f 2

分类讨论思想在函数中的应用
（ 1）若a 1，作出函数f x 的图像。 g a 的表达式。

高考数学一轮复习第二章函数2.5幂函数与二次函数教学案苏教版

高考数学一轮复习第二章函数2.5幂函数与二次函数教学案苏教版[最新考纲] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象性质定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R{y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞) 上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)图象定义域R R值域⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a单调性在x∈上单调递减；在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上单调递增在x∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上单调递增；在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称[常用结论]1．幂函数y＝xα性质研究的方法(1)先确定幂函数的定义域(分数指数幂先转化为根式)，若对称，判定其奇偶性；(2)研究幂函数在第一象限的图象与性质：①当α＞0时，函数y＝xα恒经过(0,0)，(1,1)；在[0，＋∞)上为增函数；②当α＜0时，函数恒经过(1,1)；在(0，＋∞)上为减函数；(3)结合函数的奇偶性研究其它象限的图象．(4)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”；(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )(3)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数． ( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、教材改编1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 C [因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.] 2.如图是①y ＝x a；②y ＝x b；③y ＝x c在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜bD [根据幂函数的性质，可知选D.]3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3D ．a ≤－3D [函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.]4．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，又g (0)＝0，g (3)＝9－6＝3， ∴g (x )max ＝3，即g (x )的值域为[－1,3]．]考点1 幂函数的图象及性质幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.1.幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52B [因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3＜0，解得m ＝1.]3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [因为y ＝x23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b ＜a ＜c .]4．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.]在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T 3.考点2 求二次函数的解析式求二次函数解析式的策略[一题多解]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a －2a －1－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同．1.已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.19x 2＋49x －59[法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ －b2a＝－2，4ac －b24a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.]2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝________.x2－4x＋3[∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.]考点3 二次函数的图象与性质解决二次函数图象与性质问题时应注意2点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．二次函数的图象已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )A BC DD[A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]识别二次函数图象应学会“三看”。

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章函数第4节幂函数与二次函数

第
一
章
[课程标准要求]

2
3

1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它

们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量 ,α是常数.

2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,

2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.

法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),

2
即 y= x -x-4.

(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+

.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.

高考文科数学一轮复习经典教案(带详解)第二章第4节：幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数【最新考纲】 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.高考会这样考 1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，考查和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；3.利用幂函数的图像、性质解决有关问题．要点梳理1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质[友情提示]1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．幂函数的图像(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．(2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数.( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .( )解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错. (3)由于当b ＝0时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋c 为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 小于a 或大于b 时，最值不是4ac －b 24a ，故(4)错.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2解析因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1.又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.答案 C3.已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <cB.a a >b . 答案 A4.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关解析设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关.答案 B5.若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a ≥3，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2]错误!题型分类错误!考点突破考点一幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3B.1C.2D.1或2解析 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.答案 (1)C (2)B规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【变式练习1】 (1)若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a 的大小关系是( ) A.5－a ＜5a ＜0.5a B.5a ＜0.5a ＜5－a C.0.5a ＜5－a ＜5aD.5a ＜5－a ＜0.5a(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析 (1)5－a＝⎝⎛⎭⎫15a，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a＜5－a . (2)在同一坐标系中，作y ＝f (x )的图象与直线y ＝k ，如图所示，则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根. 答案 (1)B (2)(0，1)考点二二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【变式练习2】(1)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.答案－2x2＋4(2)若将例2条件变为：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足①不等式f(x)＋2x>0的解集为{x|1<x<3}，②方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，试确定f(x)的解析式.解因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－15.由于a<0，舍去a＝1.所以f(x)＝－15x2－65x－35.考点三二次函数的图象与性质的应用(多维探究)命题角度1二次函数的单调性与最值【例3－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).命题角度2 二次函数的图象应用【例3－2】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i ＝( )A.0B.mC.2mD.4m解析由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称.不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又∑mi ＝1x i ＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以2∑m i ＝1x i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑m i ＝1x i ＝m . 答案 B命题角度3 二次函数的恒成立问题【例3－3】已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[1，2] C.[2，3]D.[1，2]解析由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以，t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2. 又t ≥1，∴1≤t ≤ 2. 答案 B规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【变式练习3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为 (－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间 [－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1).错误!课后练习A 组 (时间：40分钟)一、选择题1.幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A.1或3B.1C.3D.2解析由题意知⎩⎨⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.答案 B2.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( ) A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B.在(－∞，3)上递增 C.在[1，3]上递增 D.单调性不能确定解析由已知可得该函数图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的. 答案 A3.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a 的图象可能是( )解析若a <0，由y ＝x a 的图象知排除C ，D 选项，由y ＝ax ＋1a 的图象知应选B ；若a >0，y ＝x a 的图象知排除A ，B 选项，但y ＝ax ＋1a 的图象均不适合，综上选B. 答案 B4.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)解析不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案 A5.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( ) A.(－4，2)B.(－2，4)C.(－∞，－4)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析依题意，f (x )是二次函数，其图象是抛物线，开口向上，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x <－4. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________. 解析设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15.答案157.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________.解析由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.答案 [0，4]8.已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析由x ＋y ＝1，x ≥0，y ≥0，得0≤x ≤1. ∴x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12.当x ＝12时，x 2＋y 2有最小值12，当x ＝0或x ＝1时，x 2＋y 2有最大值1.∴x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 三、解答题9.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围.解幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数. 由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32. ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1，则f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).B 组 (时间：20分钟)11.已知f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x 在区间(1，＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析由于f (x )在(－∞，1)上有最小值，所以x ＝a <1，g (x )＝f （x ）x ＝x ＋a x －2a ，若a ≤0，则g (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递增，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增.若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增.综上可得，g (x )＝x ＋a x －2a 在(1，＋∞)上单调递增.答案 D12.函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为________. 解析令f (x )＝0，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在平面直角坐标系中分别画出函数y ＝x 12与y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象. 如图所示，由图可知两函数图象有1个交点，故f (x )的零点只有一个.答案 113.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ，c ∈R ).(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围.解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立.又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0].。

高考数学一轮复习学案：二次函数与幂函数学案理北师大版

第四节二次函数与幕函数［考纲传真］(教师用书独具)1.(1) 了解幕函数的概念；(2)结合函数y= x, y = x2,13 1y = x , y = x2, y = -的图像，了解它们的变化情况2理解二次函数的图像和性质，x能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.双基自主测评I 梳理自測巩固基础知识(对应学生用书第16页)［基础知识填充］1. 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x) = ax + bx+ c(0)；2顶点式：f (x) = a(x- h) + k(a z0)，顶点坐标为(h, k)；零点式：f (x) = a( x—x"( x —X2)( a^ 0), X1, X2为f (x)的零点.(2)二次函数的图像与性质函数2y = ax + bx+ c( a> 0)2y= ax 十bx+ c(a< 0)J1图像Xu/g 1:定义域R值域；4ac —b2)+ 8 i1 4a，十丿4ac—b2]—4a 一I ,在！-m,—上减在在!一OO,--坯上增，在单调性-b V —若十^广增7 b r方,十8上减对称性函数的图像关于x=—-2对称2a2. 幕函数(1) 定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量a，即y = x a，这样的函数称为幕函数.(2) 五种常见幕函数的图像与性质特\函、/ \数y = x2y = x3y= x 1 y = x2—1y= x4.200[知识拓展] 若f (x ) = ax + bx + c (a ^0)，则当*时，恒有f (x ) >0;当*A V 0 △ v 0时，恒有f (x ) V 0.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”) 二次函数y = ax 2+ bx + c , x € R 不可能是偶函数.()24ac — b二次函数y = ax + bx + c , x €［a , b ］的最值一定是 .(4a幕函数的图像一定经过点 (1,1)和点(0,0).( )当n >0时，幕函数y = x 在(0 ,+^)上是增函数.( )［答案］X (2) X (3) X (4) V2. 2y =x , y =y = 4x 2, y = x 5 + 1, y = (x — 1)2, y = x , y = a x ( a > 1)，上述函数是幕函1.(1)(1)4.数的有( B. 1个D. 3个i a >0，得 a >-0.]1 — 20a v 0,20若f (x ) = (x + a )( x — 4)为偶函数，则实数a = _________ .24 [f (x ) = x + (a — 4)x — 4a ,由 f (x )是偶函数知 a — 4 = 0,所以 a = 4.]A. 0个 C. 2个 3.C ［只有已知函数f (x ) = ax + x + 5的图像在x 轴上方，则 y = x 是幕函数，故选 C.］a 的取值范围是(A. 0， 20B.一oo,C. 20D.20'C [由题意知,a >0，I A V 0,< 0.)1• f (x ) = x 2.故选 C.2(2) a = 23 = 43, b = 33, c = 253 = 53. 2••• y = x 3在第一象限内为增函数，又 5> 4 > 3,••• c > a > b.]［规律方法］(1)幕函数的形式是y = x a( a € R),其中只有一个参数 a ,因此只需一个条件即可确定其解析式•⑵若幕函数y = x a( a € R)是偶函数，则 a 必为偶数•当a 是分数时，一般先将其化为根式，再判断•5.(教材改编)已知幕函数y = f (x )的图像过点2, '则此函数的解析式为区间上递减.y = x2 (0,+口 [设 f (x ) = x a ,则 2a 韦,11 --所以a =- 2,即幕函数的解析式为y = x 2,单调减区间为(0，+m ).］题型(对应学生用书第17页)幕函数的图像与性质(1)幕函数y = f (x )的图像过点(4,2)，则幕函数y = f (x )的图像是( )⑵(2016 •全国卷川)已知b = 33,c = 253,则()A. b v a < cB. a 0，若在(0，+m )上单调递减，则a［跟踪训练］(1)已知幕函数2f (x ) = ( n + 2 !n —2) • x n 一3n( n € Z)在(0 , +^)上是减函数,贝U n 的值为()A. — 3B. 1C. 2D. 1 或 21 1(2)若(a + 1)2v (3 — 2a )2，则实数a 的取值范围是 ________________ .(1)B (2) — 1, I )［⑴ 由于f (x )为幕函数，所以n 2+ 2n — 2= 1,解得n = 1或n =— -2118I.当 n = 1 时，f (x ) = x = x 在(0,+^)上是减函数；当 n = — I 时，f (x ) = x 在(0 , X+ ^)上是增函数•故 n = 1符合题意，应选 B.(2)易知函数y = x 2的定义域为［0 ,+^)，在定义域内为增函数， a+1> 0, I2所以 \3-2a >0,解得一 1w a v |.]^a +1 v 3 — 2a ?创二次函数的解析式•【导学号：79140037】［解］法一(利用一般式)：设 f (x ) = ax 2+ bx + c (0).4a + 2b + c =— 1a —b +c =— 1, 4ac — b 2=8,a=— 4,解得」b = 4,•••所求二次函数为 f (x ) = — 4x 2 + 4x + 7.■C = 7. 法二(利用顶点式)：2设 f (x ) = a (x —m ) + n .••• f(2) = f( — 1),由题意得 4a• m ^2.又根据题意函数有最大值 8,二n = 8.•-y = f (x ) = a x -2 | + 8.••• f(2) =- 1 ,• a 2-2 + 8=- 1,解得 a =-4, • f (x ) =- 4 x - 2 + 8=- 4x 2+ 4x + 7. 法三(利用零点式)：由已知f (x ) + 1 = 0的两根为x i = 2, X 2=- 1,故可设 f (x ) + 1= a (x -2)( x + 1), 即 f (x ) = ax - ax -2a - 1.24a ( 一 2a - 1) 一 ( 一 a )又函数的最大值是 8,即 ---------- 厂」一 =8,解得a =-4, •所求函数的解析式为 f (x ) =- 4x 2 + 4x + 7. ［规律方法］用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式, 选法如下：［跟踪训练］已知二次函数f (x )的图像经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x € R ,都有f (2 - x ) = f (2 + x )，求f (x )的解析式. ［解］•/ f (2 -x ) = f (2 + x )对 x € R 恒成立， • f (x )的对称轴为x = 2.又••• f (x )的图像被x 轴截得的线段长为 2,• f (x ) = 0的两根为1和3.设 f (x )的解析式为 f (x ) = a (x - 1)( x - 3)( a M 0). 又••• f (x )的图像过点(4,3), • 3 a = 3, a = 1.•所求f (x )的解析式为f (x ) = (x - 1)( x -3), 即 f (x ) = x 2- 4x + 3.•••抛物线的图像的对称轴为x = 2 +( - 1)1 2.9. 设abc > 0,则二次函数f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像可能是()A(2017 •广州十六中月考)若函数f (x ) = x 2— 2x +1在区间［a , a + 2］上的最小值为仅已知函数 f (x ) = x 2 + bx + c ( b , c € R)，对任意的 x € R ,恒有 f '(x ) w f (x ).◎角度1二次函数图像的识别及应用D [由 A , C, D 知，f (0) = c v 0.T abc > 0,「. ab v 0,二对称轴x =— 2a > 0,知AC 错误，D 符合要求.由B 知f (0) v 0, B 错误.]b=c > 0 ,二 ab > 0 ,二 x =—— 2a◎角度2二次函数的最值问题 4，则a 的取值集合为(C [f (x ) = x 2— 2x + 1 = (x — 1)2，图像的对称轴是 x = 1.因为f (x )在区间［a , a +2］上的最小值为 4,所以当 1 w a 时，y min = f ( a ) = (a — 1) 2= 4，解得 a =— 1(舍去)或 a = 3；当 a + 2w 1,即卩 a w — 1 时，y min = f (a + 2) = (a +1)2= 4，解得 a = 1(舍去)或 a =— 3；当a v 1 v a + 2,即一1v a v 1时，y min = f (1) = 0工4,不符合题意，故 a 的取值集合为{ — 3,3}.]◎角度3二次函数中的恒成立问题 2(1)证明：当 X 》0 时，f ( x ) w(x + c )；2 2⑵ 若对满足题设条件的任意 b , c ,不等式f (c ) — f (b ) w Me — b )恒成立，求 M 的最小值.[解](1)证明：易知 f '(x ) = 2x + b . 由题设，对任意的 x € R,2x + b w x 2+ bx + c ,2即x + (b — 2)x + c — b 》0恒成立,2b 2所以△= (b — 2) — 4( c — b ) w 0,从而 c > — + 1.b ；x 1= |b |,是 01,且 02A. [ — 3,3]B. [ —1,3]C. { — 3,3}D. { — 1,— 3,3}二次函数的图像与性质当且仅当b =±2时等号成立. 因此 2c — b = c + (c — b ) >0.2当 x 》0 时，有(x + c ) — f (x ) = (2 c — b )x + c (c — 1) >0.2故当 x 》0 时,f (x ) w(x + c ).(2)由(1)知，c >1 b |，则当c > | b |时，有f (c ) — f (b ) c 2— b 2 + bc — b 2 c + 2b M >2 ---------- 2=2 ---------- 2=c — bc — b b + c .而函数 g (t ) = 2—1-+^( — 1 <t < 1)的值域为 i —g, 3 , -3\因此，当c > | b |时，M 的取值范围为g,+s .当 c = | b | 时，由(1)知，b =± 2, c = 2. 此时 f (c ) — f (b ) =— 8 或 0，且 c 2 — b 2= 0, 从而 f (c ) — f (b ) w Me 2— b 2)恒成立. 3综上所述，M 的最小值为2.［规律方法］ 1.二次函数的最值问题的类型及求解方法1类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动•2求解方法：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思想求解 2.二次函数中恒成立问题的求解思路由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a > f x ? a > f x max , a < f x ? a < f x min .［跟踪训练］ ⑴ 已知函数f (x ) = ax 2— 2x + 2，若对一切x € I 1, 2 !, f (x ) >0都成立，则实C. [ — 4, +m) D. ( — 4,+^)2(2)已知函数f (x ) = x + mx- 1,若对于任意x €[m , m + 1]，都有f (x ) <0成立，则实数m 的取值范围是 _________________ .令t = c 则—1<t <1，士b = 2—丄b +c 1 +1数a 的取值范围为()【导学号：79140038】B.⑵ 因为函数f (x ) = x 2+ mx- 1的图像是开口向上的抛物线，要使对于任意x €[m m f (m v o ,+ 1]，都有f (x ) v 0,则有＜f (m+ 1) v 0,广 2 2 . —|— m + m - 1 v 0, .[2所以实数m 的取值范围是f (x ) > 0都成立，所以当x € 即㈣ 1)2+ nW 1) - 1 v 0, (1)B ⑵ ［⑴因为对一切x € 则实数a 的取值范围为。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2，结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误；对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞，所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =，即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________．【答案】1，1-（答案不唯一）【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立；当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一）【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数，当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =，当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=，所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+，故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+．由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩，若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求．综上，②③符合题意，故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<，综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+；当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-；要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥；且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)，又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项，令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =，要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =，又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1，当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误；显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<，综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精讲(含答案)

幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0}2.二次函数的图象和性质R R【题型1 幂函数的图象及性质】【例1】（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f （0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解题思路】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8），∴m﹣1＝1，且m n＝8，求得m ＝2，n ＝3，故f （x ）＝x 3．∵a ＝f （20.3）＝20.9＞1，b ＝f （0.32）＝0.36∈（0，1），c ＝f （log 20.3）=(log 20.3)3＜0， ∴a ＞b ＞c ，故选：D ．【变式1-1】（2021•阳泉三模）已知点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上，设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【解题思路】推导出f （x ）＝x 3，从而45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．【解答过程】解：点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， ∴f （2）＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f （x ）＝x 3，设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)， ∴45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c ．故选：A ．【变式1-2】（2020•金安区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，设a ＝f （sin2π7），b ＝f （cos2π7），c ＝f （tan2π7），则（） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解题思路】根据幂函数的定义与奇函数的定义，求出m 、n 的值，写出f （x ），判断其单调性，再根据cos2π7、sin2π7和tan2π7的大小比较f （cos2π7）与f （sin2π7）、f （tan2π7）的大小．【解答过程】解：根据幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，得m ＝1，且﹣2+n ＝0，解得n ＝2；∴f （x ）＝x 3，且在定义域R 上是单调增函数；又0＜π4＜2π7＜π2，∴cos2π7＜sin2π7＜1＜tan2π7，∴f （cos 2π7）＜f （sin 2π7）＜f （tan 2π7），即b ＜a ＜c ．故选：A ．【变式1-3】（2020•三明模拟）已知幂函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x ﹣t ，对于任意x 1∈[1，5）时，总存在x 2∈[1，5）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（） A ．∅B ．t ≥7或t ≤1C ．t ＞7或t ＜1D ．1≤t ≤7【解题思路】先利用幂函数的定义和单调性，求出m 的值，得到函数f （x ）的解析式，设函数f （x ）在[1，5）的值域为集合A ，函数g （x ）在[1，5）的值域为集合B ，利用函数的单调性分别求出集合A ，集合B ，由题意可得A ⊆B ，利用集合间的包含关系列出不等式组，即可求出t 的取值范围．【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，∴{(m −1)2=1m 2−4m +2＞0，解得m ＝0，∴f （x ）＝x 2，当x 1∈[1，5）时，f （x 1）∈[1，25），设集合A ＝[1，25），又当x 2∈[1，5）时，g （x 2）∈[2﹣t ，32﹣t ），设集合B ＝[2﹣t ，32﹣t ），由题意得：A ⊆B ，∴{2−t ≤132−t ≥25，解得：1≤t ≤7，故选：D ．【题型2 二次函数的图象及性质】【例2】（2020•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]【解题思路】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m 是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答．【解答过程】解：由题意可知：当m ＝0时，由f （x ）＝0 知，﹣3x +1＝0，∴x =13＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）＝1可知：{△=(m−3)2−4m≥0−m−32m＞0，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）＝1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选：D．【变式2-1】（2020秋•龙岩期中）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．(2，1+2√3)B．(2，2√3−1)C．(1+2√3，+∞)D．(−∞，2−2√3)【解题思路】由已知结合二次函数的实根分布中特殊点函数值的符号建立关于a的不等式，可求．【解答过程】解：若a＞0，则{f(−1)=a2−1＞0f(1)=a2+2a−11＜0 f(2)=a2+6a−11＞0，解得2＜a＜2√3−1；若a＜0，则{f(−1)=a2−1＜0f(1)=a2+2a−11＞0f(2)=a2+6a−16＜0，不等式组无解．故a的取值范围是(2，2√3−1)．故选：B．【变式2-2】（2020秋•咸阳期末）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1时，函数f（x）的图象恰好在函数g（x）＝2x+b的图象上方（f（x）≥g（x）且恰好能取到等号），求实数b的值．【解题思路】（Ⅰ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出b的值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2，对称轴是x＝a，若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）；（Ⅱ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+2，f（x）﹣g（x）＝x2﹣4x+3﹣b，由题意得f（x）﹣g（x）≥0，即x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，故△＝16﹣12+4b ≤0，解得：b ≤﹣1，当f （x ）≥g （x ）且恰好能取到等号，即f （x ）＝g （x ）时，b ＝﹣1．【变式2-3】（2020秋•越秀区期末）问题：是否存在二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0，b ，c ∈R ）同时满足下列条件：f （0）＝3，f （x ）的最大值为4，____？若存在，求出f （x ）的解析式；若不存在，请说明理由．在①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．【解题思路】由f （0）＝3，可求得c ＝3，由条件可得函数的对称轴，又f （x ）的最大值为4，可得关于a ，b 的方程组，求解即可．【解答过程】解：由f （0）＝3，可得c ＝3，则f （x ）＝ax 2+bx +3，若选择①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，可得f （x ）的对称轴为x ＝1，所以−b2a =1，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （1）＝4，即a +b +3＝4，解得a ＝﹣1，b ＝2，此时f （x ）＝﹣x 2+2x +3；若选择②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，可得f （x ）关于x ＝2对称，则−b2a =2，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （2）＝4，即4a +2b +3＝4，解得a =−14，b ＝1，此时f （x ）=−14x 2+x +3；若选择③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)，可得f （x ）关于x =12对称，则−b2a =12，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （12）＝4，即14a +12b +3＝4，解得a ＝﹣4，b ＝﹣4，此时f （x ）＝﹣4x 2﹣4x +3．【题型3 二次函数的最值问题】【例3】（2020春•滨海新区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在x ∈[﹣1，2]．上有最大值是4，则实数a 的值为（） A ．﹣1或3B ．﹣4或0C ．﹣1或0D ．﹣4或3【解题思路】由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知函数f （x ）在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．从而分类讨论求解．【解答过程】解：由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知，函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．若函数f （x ）在﹣1上取得最大值4，则 {−a ≥121−2a +a 2=4，解得a ＝﹣1，若函数f （x ）在2上取得最大值4，则 {−a ≤124+4a +a 2=4，解得a ＝0，故选：C ．【变式3-1】（2020秋•仓山区校级期中）如果函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3在区间[0，2]上有最小值3，那么实数a 的值为．【解题思路】由二次函数对称轴结合定义域进行讨论即可解决此题．【解答过程】解：函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3的对称轴是：x =a2．当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，2]上的最小值a 2﹣2a +3＝3，解得：a ＝0或2（舍去）；当0＜a2＜2，即0＜a ＜4时，f （x ）的最小值是f （a2）＝﹣2a +3＝3，解得：a ＝0（舍去）；a 2≥2，即a ≥4时，f （x ）的最小值是f （2）＝4×22﹣4a ×2+a 2﹣2a +3＝a 2﹣8a +19＝3，解得：a 1＝a 2＝4．综上，a 的值是0或4．故答案为：0或4．【变式3-2】（2020•浙江模拟）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1，则当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为．【解题思路】由题知{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，进而求出a ，b ，c ，所以f （x ）＝f （1）(x 2+x 2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f（0）（1﹣x 2）再由题知对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1分别再讨论﹣2≤x ≤﹣1与1≤x ≤2区间最值，最后得出最值．【解答过程】解：由题意{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，有得{a =12[f(1)+f(−1)−2f(0)]b =12[f(1)−f(−1)]c =f(0)所以f （x ）＝f （1）(x 2+x2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f （0）（1﹣x 2）对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1所以当﹣2≤x ＜﹣1时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+|| =(x 2+x2)+(x 2−x2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7当1＜x ≤2时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+||=(x 2+x 2)+(x 2−x 2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7综上所述，当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为7．【变式3-3】（2021春•浦东新区校级期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3．（1）若f （a +1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5﹣a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据已知条件，得到（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3解方程即可求出结果；（2）由于f （x ）的对称轴为x =a−22，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；（3）根据题意转化为 m ，n 是方程 x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x 的两个根，结合韦达定理得到 m +n ＝2+mn ，分离常数，根据m ，n 为整数即可求解．【解答过程】解：（1）因为f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3，且 f （a +1）＝f （2a ），所以（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3，整理得2a 2+a ﹣3＝0，解得a ＝1或−32；（2）f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3 的对称轴为 x =a−22，因为 x ∈[2，3]， ①当a−22≤2，即 a ≤6，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝22﹣2（a ﹣2）+a ﹣3＝5﹣a ，符合题意；②当2＜a−22＜3，即6＜a ＜8，则f （x ）在(2，a−22)上单调递减，在(a−22，3)单调递增，所以f(x)min =f(a−22)=(a−22)2−a−22(a −2)+a −3=−a 2+8a−164=5﹣a ，则a ＝6，与6＜a ＜8矛盾，不符合题意； ③a−22≥3，即a ≥8，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递减，所以f(x)min =f(3)=32−3(a −2)+a −3=12−2a =5−a ，则a ＝7，与a ≥8矛盾，不符合题意，综上a ≤6，因此实数a 的取值范围为（﹣∞，6]；（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]， ①若a−22≤m ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递增，所以{f(m)=mf(n)=n，即m ，n 是方程x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x ，即x 2﹣（a ﹣1）x +a ﹣3＝0的两个根，由韦达定理得{m +n =a −1mn =a −3，所以 m +n ＝2+mn ，所以m （1﹣n ）＝2﹣n ，当n ＝1时，m 不存在，舍去，当n ≠1时，m =2−n 1−n =11−n +1，所以当n ＝0时，m ＝2；当n ＝2时，m ＝0，又因为m ＜n ，所以n ＝2，m ＝0，经检验，此时a ＝3，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若m ＜a−22≤n ，则f （x ）在(m ，a−22)上单调递减，在(a−22，n +1)上单调递增，所以{f(a−22)≥m f(n)=n f(m)=n ，即{(a−22)2−(a −2)⋅a−22+a −3≥m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n，所以{−a 2+8a −16≥4m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n ，即x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3﹣n ＝0有两个不相等的实数根，且m +n ＝2﹣a ，由于m ，n 为整数，则a 为整数，则a =n 2+n−3n−1=n +2−1n−1，当n ＝0时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；当n ＝2时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验符合题意；故m ＝﹣1，n ＝2； ③若a−22≥n ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递减，所以{f(m)=nf(n)=m，即{m 2−(a −2)⋅m +a −3=n n 2−(a −2)⋅n +a −3=m ，则m ＝n ，不合题意舍去．综上：存在这样的m ，n 为整数，且m ＝﹣1，n ＝2．【题型4 二次函数的恒成立问题】【例4】（2021•4月份模拟）对于任意a ∈[﹣1，1]，函数f （x ）＝x 2+（a ﹣4）x +4﹣2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是（） A ．（1，3） B ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C ．（1，2）D ．（3，+∞）【解题思路】把二次函数的恒成立问题转化为y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x 的取值范围．【解答过程】解：原问题可转化为关于a 的一次函数y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需{(−1)⋅(x −2)+x 2−4x +4＞01×(x −2)+x 2−4x +4＞0， ∴{x ＞3，或x ＜2x ＜1，或x ＞2， ∴x ＜1或x ＞3．故选：B ．【变式4-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143，可得k ＞143．故选：D ．【变式4-2】（2020春•浙江期中）已知f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ，若f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，0]C ．[0，+∞）D ．[﹣1，0]【解题思路】利用分段思想，分类讨论，结合二次函数性质即可求解．【解答过程】解：f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ={x 2−x +2a ，x ≥a x 2+x ，x ＜a ，∵f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，∴①{x 2−x ≤−2a x ≥a 恒成立，此时a ≤﹣1；②{x 2+x ≤0x ＜a在x ∈[﹣1，1]恒成立，此时a ≤0；综上核对a ≤0，故选：B ．【变式4-3】（2021春•虹口区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2．（1）若对于任意x ∈R ，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，求实数x 的取值范围．【解题思路】（1）利用二次函数的图象与性质可得△≤0，从而可求得a 的取值范围；（2）f （x ）≥0恒成立等价于f （x ）min ≥0，利用二次函数的图象与性质对a 分类讨论，求出f （x ）的最小值，结合题意即可求解a 的取值范围；（3）将函数f （x ）看作关于a 的函数g （a ），结合题意可得关于x 的不等式组即可求解x 的取值范围．【解答过程】解：（1）f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2≥0恒成立，可得△＝4a 2﹣4（2﹣a ）≤0，解得﹣2≤a ≤1，即实数a 的取值范围是[﹣2，1]．（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，则f （x ）min ≥0，函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2的对称轴为x ＝﹣a ，当﹣a ＜﹣1，即a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝3﹣3a ≥0，解得a ≤1，矛盾，舍去；当﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，f （x ）min ＝f （1）＝3+a ≥0，可得﹣3≤a ＜﹣1，当﹣1≤﹣a ≤1，即﹣1≤a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣a ）＝﹣a 2﹣a +2≥0，可得﹣1≤a ≤1，综上所述，求实数a 的取值范围是[﹣3，1]．（3）对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，等价于对于任意a ∈[﹣1，1]，g （a ）＝（2x ﹣1）a +x 2+2＞0，所以{g(−1)=x 2−2x +3＞0g(1)=x 2+2x +1＞0，解得x ≠1，所以实数x 的取值范围是{x |x ≠﹣1}．。

高三一轮复习讲义第2章第4节二次函数与幂函数及答案

二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．【知识拓展】1．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．()(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．() (4)函数122y x =是幂函数．()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．() (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．()1．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3C ．a ＜－3 D ．a ≤－32．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )3．幂函数()21023a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．64．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．5．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．题型一求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有 f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3]C ．[－2,0] D ．[－3,0] 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.命题点2二次函数的最值例3已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值．题型三幂函数的图象和性质例5(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 (2)若11222(21)(1)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2幂函数的图象经过点(4,2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．52．幂函数24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4] B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D ．[32，3]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1C ．2 D ．－26．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2) D ．与a 值有关7．已知幂函数()12f x x －＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________．9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．*10.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．12．已知幂函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．【知识拓展】1．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.(×)(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．(×)(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(√) (4)函数122y x =是幂函数．(×)(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．(×)1．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是() A ．a ≥3 B ．a ≤3C ．a ＜－3 D ．a ≤－3 答案D解析函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是()答案D解析由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知a >0，c <0，由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C.3．幂函数()21023a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于()A ．3B ．4C ．5D ．6 答案C解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，()2(5)2a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．答案[1,2]解析如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2]．5．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．答案12y x-=(0，＋∞)解析设f (x )＝x a ，则2a ＝22， ∴a ＝－12，即幂函数的解析式为12y x -=，单调减区间为(0，＋∞)．题型一求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有 f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案(1)x 2＋2x ＋1(2)－2x 2＋4解析(1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称，∴－a ＝－(－2a b)，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3－a 2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.答案－3解析由题意知a <0，又3－a 2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2二次函数的最值例3已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a. ①当0<1a≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a，1]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a. ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]的右侧， ∴f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1. 命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．答案(1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析(1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1.由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．答案⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值．解∵函数f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，f (x )min ＝a 2－2a ，当a >1时，f (x )min ＝－1.题型三幂函数的图象和性质例5(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于() A.12B ．1 C.32D ．2 (2)若11222(21)(1)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2 答案(1)C(2)D解析(1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数12y x =的定义域为[0，＋∞)且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 思维升华(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象经过点(4,2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是()A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b ) 答案C解析设幂函数为f (x )＝x α，将(4,2)代入得α＝12，所以12(),f x x 该函数在(0，＋∞)上为增函数，又0<a 1b >1，即a <b <1b <1a ，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)．3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．思想方法指导已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号．规范解答解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .[1分](1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；[3分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[6分] (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[9分]综上可知，a 的值为38或－3.[10分]1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为()A ．－3B ．13C ．7D ．5答案B解析函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，∴m ＝－8，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.2．幂函数24m m y x －＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3答案C解析∵24m m y x －＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ，∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是()A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案C解析由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是() A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D ．[32，3] 答案D解析二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3]． 5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于()A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案B解析∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点处取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 6．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为()A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关答案C解析该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，则14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 7．已知幂函数()12f x x－＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．答案(3,5)解析∵幂函数()12f x x －＝单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x－2的大小关系是________________．答案h (x )>g (x )>f (x ) 解析如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案(－∞，－5]解析方法一∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－(x ＋4x)对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数． ∴4<y <5，∴－5<－(x ＋4x)<－4，∴m ≤－5. 方法二设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5. *10.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案[0,2]解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)， x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24， x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a 2)2－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a 2)上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意．综上，a 的取值范围是[0,2]．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]．∵f (x )的对称轴为x ＝1，∴当x ＝1时，f (x )取最小值1；当x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a ，∵f (x )在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故实数a 的取值范围为a ≤－5或a ≥5.12．已知幂函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数． (2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，21()2m m－＋，即211()222m m－＋＝，所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又因为m∈N*，所以m＝1，12(),f x x=又因为f(2－a)>f(a－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a≥0，a－1≥0，2－a＞a－1，解得1≤a＜32，故函数f(x)的图象经过点(2，2)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，32)．13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．(1)当－a2<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73，故此时a不存在；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f⎝⎛⎭⎫－a2＝3－a－a24≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，综上得－7≤a≤2.。

高三数学一轮复习二次函数与幂函数教案_1

芯衣州星海市涌泉学校高三数学一轮复习二次函数与幂函数1教案教材分析：二次函数是高考中常见的函数，常在求复合函数的单调性，不等式的求解，求参数等综合应用题中出现。

幂函数是根本初等函数之一，在高考中出现的频率不高。

学情分析：初中就二次函数的解析式三种形式作过详细的讲述，高中那么是用函数的观点来研究它的性质，学生对概念理解，但应用才能可能比较欠缺。

教学目的：1.掌握二次函数的图象与性质; 2.理解的概念幂函数;3.结合函数21132,,,,xy x y x y x y x y =====-的图象,理解它们的变化情况.教学重点、难点：二次函数与幂函数的图象与性质教学流程：一、课堂提问——知识回忆1. 二次函数的解析式C〔1〕一般式c bx ax x f ++=2)(，〔0≠a 〕〔2〕顶点式ab ac a b x a x f 44)2()(22-++=，〔0≠a 〕〔3〕两点式))(()(21x x x x a x f --=，〔0≠a 〕 2. 二次函数的性质C二、课堂练习——习题讲练 C 例1．画出以下函数的图象：〔1〕1)(2-=x x f 〔2〕12)(2+-=x x x f 〔3〕22)(2++=x x x fC 练习1.画出以下函数的图象：〔1〕21)(x x f -= 〔2〕12)(2-+-=x x x f 〔3〕22)(2---=x x x fB 练习2.设abc>0,二次函数的图象可能是〔〕 AB CDC 例2．函数1)(2++=mx x x f 的图象关于直线x=1对称，求m 的值. B 练习3.函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，求〔1〕m 的值;〔2〕函数的单调增区间，函数的单调减区间; 〔3〕函数在区间[-5，-3]上，[3，5]上的单调性.C 例3．二次函数y=f(x)的图象是以原点为顶点，且过点〔1，1〕，求f(x)解析式.B/A 练习4.关于x 的二次函数t x t x x f 21)12()(2-+-+=，求证：对于任意R t ∈，方程f(x)=1必有实数根. 三、小结1．二次函数的解析式 2．二次函数的图象与性质四、作业布置C1.假设a x x x f +-=2)(0)(<-m f ,求〔1〕)1(+m f 值；〔2〕比较)1(+m f 与0的大小. B/A2.函数⎩⎨⎧<-≥+=.0,4,0,4)(22x x x x x x x f 假设)()2(2a f a f >-，务实数a 的取值范围. 五、板书设计。

高三数学一轮复习精品教案1：2.7二次函数与幂函数教学设计

2.5二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图像与性质2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图像和性质1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数． 2．形如y ＝x α(α∈R )才是幂函数，如y ＝3x 12不是幂函数．『试一试』1．(2013·南通二调)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.『解析』依题意，由f (x )＝k ·x α是幂函数，可知k ＝1.又其图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，得22＝⎝⎛⎭⎫12α，则α＝12，从而k ＋α＝32.『答案』322．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是________．『解析』由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.『答案』⎝⎛⎭⎫120，＋∞1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．『练一练』如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈『a ，b 』)的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．『解析』由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 『答案』51.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的解析式为______________________．『解析』令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.『答案』f (x )＝x 122.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为____________．『答案』2，12，－12，－23．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．『解析』∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，∴c >b ， ∴a >c >b . 『答案』a >c >b『备课札记』『类题通法』1．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．『典例』已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．『解析』法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a－2a －1－a 24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.『备课札记』『类题通法』求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：『针对训练』已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式．『解析』设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝－5，解得a ＝13，b ＝－23，c ＝－5，故f (x )＝13x 2－23x －5.研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有： 1轴定区间定求最值； 2轴动区间定求最值； 3轴定区间动求最值.角度一轴定区间定求最值1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈『－4,6』． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．『解析』(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈『－4,6』， ∴f (x )在『－4,2』上单调递减，在『2,6』上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈『－6,6』，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6』，单调递减区间是『－6,0』．角度二轴动区间定求最值2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈『0,1』时有最大值2，求a 的值．『解析』函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . (1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2. 角度三轴定区间动求最值3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈『－2，a 』，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．『解析』∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间『－2，a 』内， ∴应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在『－2，a 』上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在『－2,1』上单调递减，在『1，a 』上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.『备课札记』『类题通法』影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法： (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．『课堂练通考点』1．(2014·徐州摸底)已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是『1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．『解析』由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4a c ＋1－－424a ＝1，a >0，化简得1c ＝a 4且a >0，于是1a ＋9c ＝1a ＋9a4≥21a ×9a 4＝3，当且仅当1a ＝9a 4，即a ＝23时取等号．『答案』32．(2014·苏北四市期末)已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈『a ，b 』的值域为『－1,3』，则b －a 的取值范围是________．『解析』f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1∈『－1,3』，对称轴为直线x ＝1，最小值为－1，所以当a ＝－1时，b ∈『1,3』；当b ＝3时，a ∈『－1,1』，所以b －a ∈『2,4』．『答案』『2,4』3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．『解析』依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图像过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.『答案』f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为『0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．『解析』由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.『答案』a >0，ac ＝4 5．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？『解析』∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数．∴m ＝－1.。

高二数学教案：二次函数

高二数学教案：二次函数高二数学教案：二次函数学案12 二次函数(2)、幂函数一、课前准备：【自主梳理】1、形如的函数叫幂函数.2、幂函数有哪些性质?(分析幂函数在第一象限内图像的特点.)(1)图像必过点.(2) 时，过点，且随x的增大，函数图像向y轴方向延伸。

在第一象限是函数.(3) 时，随x的增大，函数图像向x轴方向延伸。

在第一象限是函数.(4) 时，随x的增大，函数图像与x轴、y轴无限接近，但永不相交，在第一象限是函数.【自我检测】1.指数函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是.2.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围 .3.已知函数过定点，则此定点坐标为 .4.下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.二、课堂活动：【例1】填空题：长为8，则此二次函数的解析式为.8.函数的定义域为___ __;单调递增区间;值域 .9.利用幂函数图象，画出下列函数的图象(写清步骤)(1) .10.设函数求证：(1) ;(2)设是函数的两个零点，则四、纠错分析错题卡题号错题原因分析答案【自主梳理】1、 (其中且互质)2、(1) (2) 增(3)增(4)减【自我检测】1、 .2. .3. .4.解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：(1) 定义域[0，，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，是增函数;通过上面分析，可以得出(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).二、课堂活动：【例1】(1)③ ⑤ ⑥(2)解：(1)(2)函数上增函数且(3)(1)当时，，合乎题意;当时，恒成立，则 ;所以 .(2)当时，，合乎题意;时，恒成立，则 ;所以 .(3) 时，，合乎题意;时，则 ;所以 .(4) 时，，不合乎题意;时，则 ;所以 .(5) 时，，合乎题意;时 ;所以 .【例2】解：由【例3】解：⑴由题意知：，设函数图象上的任意一点关于原点的对称点为P(x,y), 则，因为点连续，恒成立即，由上为减函数，当时取最小值0，故 .另解：，，解得 .三、课后作业1. ;2. ;3.5;4. 为奇数，是偶数;5. 6. 7. 8. R; ; .9.解：(1) 把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象.(2) 的图象可以由图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到.图象略10.证明：(1)又又2c=-3a-2b 由3a2b 3a-3a-2b2b∵a0(2)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点则的两根。

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第四节二次函数与幂函数1．二次函数:掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．2．幂函数:(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．知识点一五种常见幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 易误提醒形如y ＝x α(α∈R )才是幂函数，如y ＝3x 2不是幂函数．[自测练习]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32D ．2 知识点二二次函数1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．二次函数的图象和性质x ∈R易误提醒研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数．必备方法1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[自测练习]2.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋13．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 4．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．考点一幂函数的图象与性质|1．(2015·济南二模)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A.13 B.12 C.23D.432.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c3．(2015·安庆三模)若13(a+1)-<1-3(3-2a)，则实数a 的取值范围是________．幂函数图象与性质应用的三个关注点(1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(1)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2(2)函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)>25解决二次函数图象与性质问题时两个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．1．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．(2016·聊城模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx在t ∈[－2,2]时恒成立，求实数x 的取值范围．不等式恒成立的求解方法由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .2．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值，都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用【典例】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．[思路分析]参数a的值确定f(x)图象的形状；a≠0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位臵．[思想点评](1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论．(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论．[跟踪练习]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(x)，求g(x)．A组考点能力演练1．当ab>0时，函数y＝ax2与f(x)＝ax＋b在同一坐标系中的图象可能是下列图象中的()2．(2015·芜湖质检)已知函数f(x)＝x2＋x＋c.若f(0)>0，f(p)<0，则必有()A．f(p＋1)>0B．f(p＋1)<0C．f(p＋1)＝0D．f(p＋1)的符号不能确定3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝14．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤32，35．(2015·沧州质检)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)6．二次函数f (x )＝x 2＋(2－log 2m )x ＋m 是偶函数，则实数m ＝________. 7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．8．(2015·济南二模)已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．B组高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()2．(2014·高考北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt ＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟3．(2013·高考辽宁卷)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝() A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．164．(2015·高考福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．1.解析：因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. 答案：C2.解析：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图得：a <0，b <0，c >0.选C.答案：C3.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝44.解：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫m 8，＋∞，所以m8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]1.解析：设f (x )＝x a ，又f (4)＝3f (2)，∴4a ＝3×2a ，解得a ＝log 23，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：A2.解析：幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.答案：B3.解析：不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a .解得a <－1或23<a <32.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32[解析] 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为42＋22＝3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2，故选D. [答案] D(2)[解析] 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的增区间为⎣⎡⎭⎫m 8，＋∞，由已知可得m8≤－2⇒m ≤－16，所以f (1)＝4×12－m ×1＋5＝9－m ≥25.[答案] A1.解：(1)f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b ＝a (x －1)2＋2＋b －a ，若a >0，则f (x )在区间[2,3]上是增函数．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2＋b ＝2，f (3)＝3a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝1.若a <0，则f (x )在区间[2,3]上是减函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2＋b ＝5，f (3)＝3a ＋2＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝－1.综上可知，a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)由b <1知，a ＝1，b ＝0，则f (x )＝x 2－2x ＋2，所以g (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2.因为g (x )在区间[2,4]上是单调函数，所以 m ＋22≥4或m ＋22≤2，解得m ≥6或m ≤2.[解] (1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴是直线x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x 有且只有一个解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相同的实根，∴Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx 等价于f (x )>tx －2，即12x 2＋x >tx －2在t ∈[－2,2]时恒成立⇔函数g (t )＝xt －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋2<0在t ∈[－2,2]时恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0，解得x <－3－5或x >－3＋5，故实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)．2．解：由f (x )>0，即ax 2－2x ＋2>0，x ∈(1,4)，得a >－2x 2＋2x在(1,4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12， 1x ∈⎝⎛⎭⎫14，1，∴g (x )max ＝g (2)＝12，所以要使f (x )>0在(1,4)上恒成立，只要a >12即可. 【典例】[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a. ①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧， ∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2， a <1，－1a，a ≥1. [跟踪练习] 解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.A 组考点能力演练1.解析：因为ab >0，所以，当a <0，b <0时，函数y ＝ax 2的图象开口向下，函数f (x )＝ax ＋b 的图象在x ，y 轴上的截距均为负值，显然D 项满足条件；而当a >0，b >0时，函数y ＝ax 2的图象开口向上，函数f (x )＝ax ＋b 的图象在x 轴上的截距为负值，在y 轴上的截距为正值，没有符合条件的选项，故选D.答案：D2.解析：函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－12，又∵f (0)>0，f (p )<0，∴－10，∴f (p ＋1)>0.答案：A3.解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.答案：B4.解析：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.答案：D5.解析：由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又抛物线f (x )开口向上，∴f (0)<f (2)<f (－2)．答案：D6.解析：利用偶函数性质求解．因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以－2－log 2m 2＝0，解得m ＝4.答案：47.解析：∵f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a >－1，a <5，a >3，∴3<a <5.答案：(3,5)8.解析：由题意知，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为函数f (x )在[a ，b ]上的值域为[－1,3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a ≤1，所以b －a ∈[2,4]．答案：[2,4]9.解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －k －222＋1－(k －2)24. 由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．10.解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]．B 组高考题型专练1解析：函数y ＝x a (x ≥0)与y ＝log a x (x >0)，选项A 中没有幂函数图象，不符合；对于选项B ，y ＝x a (x ≥0)中a >1，y ＝log a x (x >0)中0<a <1，不符合；对于选项C ，y ＝x a (x ≥0)中，0<a <1，y ＝log a x (x >0)中a >1，不符合，对于选项D ，y ＝x a (x ≥0)中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中，0<a <1，符合，故选D.答案：D2.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B. 答案：B3.解析：f (x )＝g (x )，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.f (x )与g (x )的图象如图.由图及H 1(x )的定义知H 1(x )的最小值是f (a ＋2)，H 2(x )的最大值为g (a －2)，A －B ＝f (a ＋2)－g (a －2)＝(a ＋2)2－2(a ＋2)2＋a 2＋(a －2)2－2(a －2)2＋a 2－8＝－16.答案：C4.解析：依题意有a ，b 是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，则a ＋b ＝p ，ab ＝q ，由p >0，q >0可知a >0，b >0.由题意可知ab ＝(－2)2＝4＝q ，a －2＝2b 或b －2＝2a ，将a －2＝2b 代入ab ＝4可解得a ＝4，b ＝1，此时a ＋b ＝5，将b －2＝2a 代入ab ＝4可解得a ＝1，b ＝4，此时a ＋b ＝5，则p ＝5，故p ＋q ＝9.答案：9。