直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识：

1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =

2、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c

x x x x a a

+=-=。

3、中点坐标公式：121

2

,y 22

x x y y x ++=

=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB =

或者AB =

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:

14x y C m

+=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE

∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2

(1)y k x y x

=+⎧⎨

=⎩消y 整理，得2222

(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得

2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2

1

04

k <<

② 由韦达定理，得：2122

21

,k x x k

-+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22

211

(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：2

2

1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =

-，则2

11

(,0)22

E k - ABE ∆为正三角形，

∴2

11

(

,0)22

E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。 2

2

1212()()AB x x y y =-+-2

2

2

141k k k -=

+ 2

12k d k

+=

22

2

2

3141122k k k k k

-+∴

+=

解得3913k =±

满足②式， 此时053

x =。 题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为3，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点并证明你的结论

解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3

c e a =

=，2a =,则得3,1c b ==。 从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由

122

(2)44

y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222

121(14)161640k x k x k +++-=

12x -和是方程的两个根，

21121164214k x k -∴-=+ 则2

112

1

2814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为211

22

11

284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-

12122

k k k k t

-∴

=-+，

直线MN 的方程为：

121

121

y y y y x x x x --=--， ∴令

y=0，得211212x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4

x t

=

又

2t >，∴4

02t

<

< 椭圆的焦点为(3,0)

4

3t

∴=，即43t =

故当43

3

t =

时，MN 过椭圆的焦点。 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22

221x y a b

+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，

直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。 (I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；

(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =

对称，求直线PQ 的斜率。