(完整版)高二数学圆专项训练

高二数学：圆专题

一、圆的标准方程和一般方程

1.【AB 】方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.

【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，

化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.【A 】圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________．

【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，

由题意得

222222

(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩

解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪

=-⎨⎪=⎩

故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.

2.【B 】圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．

【解析】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故

y 22(2)1x y +-=22(2)1x y ++=22(1)(3)1x y -+-=22(3)1x y +-=(0,)

b 1=2b =

圆的方程为。

3.【A 】圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。 【解析】设圆的标准方程为

(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨

⎪⎧

b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，

解得⎩⎨⎧

a ＝1，

b ＝－4，

r ＝2 2.

3.【B 】已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________． 【解析】设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |

2

＝2，

解得a ＝－2，

故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.

二、与圆有关的轨迹问题

1.【A 】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.求圆心P 的轨迹方程； 【解析】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r

2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.

22(2)1x y +-=

∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.

2.【B 】点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．

【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，

则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，∴⎩⎨⎧

x 0＝2x －4，

y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.

3.【A 】已知P(5,0)和圆1622=+y x ,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹为 ．

解：M 是弦的中点，可利用垂径定理。

设轨迹上任一点),(y x M ,连结OM 。

PM PM =⋅∴⊥OM OM

,

0505222=+-=+-∴y x x y x x 即）（51616

052

222=⇒⎩⎨⎧=+=+-x y x y x x 令。)51600522<≤=+-∴x y x x （方程为 ∴弦AB 的中点M 的轨迹为圆的一部分。

3.【B 】已知弦AB 在圆9)2()1(22=++-y x 内运动，且,2=AB 则AB 中点M 的轨迹为 ．

解：连结OM ，则OM ⊥AB ，连结OA 。

2

22AM OM OA +=，

，即8)2()1(1)2()1(92222=++-+++-=∴y x y x

∴M 的轨迹是以（1，－2）为圆心，22为半径的圆。

三、与圆有关的相切问题

1.【AB 】由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )

A.7 B ．22 C ．3

D.2

解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为4

2

＝22，切线长的最小值为

22

2

－1＝7.

2.【AB 】已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )

A. 2

B.212 C ．2 2

D ．2

解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝

5

k 2＋1

， 所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫

12×1×d 2－1＝2，

解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.

2.【A 】过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．