动量守恒中临界问题
第十六章-动量守恒定律在多物体、多过程及临界问题中 (重点)
微型专题1动量守恒定律在多物体、多过程及临界问题中的应用[学习目标] 1.进一步理解动量守恒定律的含义及守恒条件.2.熟练掌握应用动量守恒定律解决问题的方法和步骤．一、动量守恒条件的扩展应用1．动量守恒定律成立的条件(1)系统不受外力或所受外力的合力为零；(2)系统的内力远大于外力；(3)系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为0.2．动量守恒定律的研究对象是系统．研究多个物体组成的系统时，必须合理选择系统，再对系统进行受力分析．分清系统的内力与外力，然后判断所选系统是否符合动量守恒的条件．3、某一方向动量守恒的常见模型（地面光滑）（若系统内部接触面也是光滑的，机械能守恒）例1(多选)质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接，以恒定速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图1所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列情况可能发生的是()A．M、m0、m速度均发生变化，碰后分别为v1、v2、v3，且满足(M＋m0)v＝M v1＋m0v2＋m v3B．m0的速度不变，M和m的速度变为v1和v2，且满足M v＝M v1＋m v2C．m0的速度不变，M和m的速度都变为v′，且满足M v＝(M＋m)v′D．M、m0、m速度均发生变化，M和m0的速度都变为v1，m的速度变为v2，且满足(M＋m0)v＝(M＋m0)v1＋m v2例2如图2所示，质量分布均匀、形状对称的金属块内有一个半径为R的光滑半圆形槽，金属块放在光滑的水平面上且左边挨着竖直墙壁．质量为m的小球从金属块左上端R处由静止下落，小球到达最低点后向右运动从金属块的右端冲出，到达最高点时离半圆形槽最低点的高度为74R，重力加速度为g，不计空气阻力．求：(1)小球第一次到达最低点时，小球对金属块的压力为多大？(2)金属块的质量为多针对练习．(多选)如图5所示，在光滑的水平面上放着一个上部为半圆形光滑槽的木块，开始时木块是静止的，把一个小球放到槽边从静止开始释放，关于两个物体的运动情况，下列说法正确的是()A．当小球到达最低点时，木块有最大速率B．当小球的速率最大时，木块有最大速率C．当小球再次上升到最高点时，木块的速率最大D．当小球再次上升到最高点时，木块的速率为零二、动量守恒定律在多物体、多过程中的应用求解这类问题时应注意：(1)正确分析作用过程中各物体状态的变化情况；(2)分清作用过程中的不同阶段，并按作用关系将系统内的物体分成几个小系统，既要符合守恒条件，又方便解题．(3)对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态，分别列动量守恒方程．例3如图3所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为m A＝2kg、m B＝1kg、m C＝2kg.开始时C静止，A、B一起以v0＝5m/s的速度匀速向右运动，A 与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞．求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小．三、动量守恒定律应用中的临界问题分析分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．例4如图4所示，一质量为m3的人站在质量为m的小船甲上，以速率v0在水平面上向右运动．另一个完全相同的小船乙以速率v0从右方向左方驶来，两船在一条直线上运动．为避免两船相撞，人从甲船以一定的速率水平向右跃到乙船上，问：为能避免两船相撞，人水平跳出时相对于地面的速率至少多大？针对练习．如图7所示，甲车质量m1＝20kg，车上有质量M＝50kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3m/s 的速度向右滑行，此时质量m2＝50kg的乙车正以v0＝1.8m/s的速度迎面滑来．为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围内才能避免两车相撞？不计地面和小车之间的摩擦，且乙车足够长．课后达标练习1．(多选)如图1所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶端由静止释放，在小球下滑的过程中，以下说法正确的是()A．斜面和小球组成的系统动量守恒B．斜面向右运动C．斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒D．斜面静止不动2．质量为M 的砂车，沿光滑水平面以速度v 0做匀速直线运动，此时从砂车上方竖直向下落入一个质量为m 的大铁球，如图2所示，则铁球落入砂车后，砂车将()A ．立即停止运动B ．仍匀速运动，速度仍为v0C ．仍匀速运动，速度小于v 0D ．做变速运动，速度不能确定3．(多选)下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是()4．如图3所示，质量为m 2的小车上有一半圆形的光滑槽，一质量为m 1的小球置于槽内，共同以速度v 0沿水平面运动，并与一个原来静止的小车m 3对接，则对接后瞬间，小车的速度大小为()A.(m 2＋m 3)v 0m 1＋m 2＋m 3 B.m 2v 0m 1＋m 2＋m 3 C.m 2v 0m 2＋m 3D ．以上答案均不对5．(多选)如图4所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块．今让一小球自左侧槽口A 的正上方从静止开始落下，与半圆槽相切自A 点进入槽内，则以下结论中正确的是()A ．小球在半圆槽内由A 向B 做圆周运动，由B 向C 也做圆周运动B ．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽组成的系统在水平方向动量守恒C ．小球自半圆槽的最低点B 向C 点运动的过程中，小球与半圆槽组成的系统在水平方向动量守恒D ．小球离开C 点以后，将做斜抛运动6．两辆质量相同的小车，置于光滑的水平面上，有一人静止在小车A 上，两车静止，如图5所示．当这个人从A 车跳到B 车上，接着又从B 车跳回A 车并与A 车保持相对静止，则A 车的速率()A ．等于零B ．小于B 车的速率C ．大于B 车的速率D ．等于B 车的速率7．质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v 0的第5个物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图6所示，最后这五个物块粘成一个整体，则它们最后的速度为()A ．v 0 B.v 05 C.v 03 D.v 048.如图7所示，一轻质弹簧两端连着物体A 和B ，放在光滑的水平面上，物体A 被水平速度为v 0的子弹射中并且子弹嵌在其中．已知物体A 的质量m A 是物体B 的质量m B 的34，子弹的质量m 是物体B 的质量m B 的14，弹簧压缩到最短时B 的速度为()A.v 02 B.v 04 C.v 08 D.v 039．如图8所示，在一光滑的水平面上，有质量相同的三个小球A、B、C，其中B、C静止，中间连有一轻弹簧，弹簧处于自由伸长状态，现小球A以速度v与小球B正碰并粘在一起，碰撞时间极短，则碰后瞬间()A．A、B的速度变为v3，C的速度仍为0B．A、B、C的速度均为v3C．A、B的速度变为v2，C的速度仍为0D．A、B、C的速度均为v210．(多选)如图9所示，小车AB放在光滑水平面上，A端固定一个轻弹簧，B端粘有油泥，AB总质量为M，质量为m的物块C放在小车上，用细绳接于小车的A端并使弹簧压缩，开始时AB和C都静止，当突然烧断细绳时，C被释放，使C离开弹簧向B端冲去，并跟B端油泥粘在一起，忽略一切摩擦，以下说法正确的是()A．弹簧伸长过程中C向右运动，同时AB也向右运动B．C与B碰撞前，C与AB的速率之比为M∶mC．C与油泥粘在一起后，AB立即停止运动D．C与油泥粘在一起后，AB继续向右运动二、非选择题11．如图10所示，光滑水平面上放置质量均为M＝2kg的甲、乙两辆小车，两车之间通过一感应开关相连(当滑块滑过感应开关时，两车自动分离)．其中甲车上表面光滑，乙车上表面与滑块P之间的动摩擦因数μ＝0.5.一根通过细线(细线未画出)拴着而被压缩的轻质弹簧固定在甲车的左端，质量为m＝1kg的滑块P(可视为质点)与弹簧的右端接触但不相连，此时弹簧储存的弹性势能E0＝10J，弹簧原长小于甲车长度，整个系统处于静止状态．现剪断细线，求：(g取10m/s2)(1)滑块P滑上乙车前瞬间速度的大小；(2)要使滑块P恰好不滑离小车乙，则小车乙最终的速度大小．12．如图11所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30kg，冰块的质量为m2＝10kg，小孩与滑板始终无相对运动．重力加速度g取10m/s2.(1)求斜面体的质量；(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？。
动量守恒中临界问题
一. 涉及弹簧的临界问题对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。
例1. 如图（1）所示，在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物体以6m/s的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方。
A与C碰撞后将粘在一起运动，在以后的运动中，弹簧达到最大弹性势能时，C的速度为多少？（1）二. 涉及最大高度的临界问题在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。
物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零。
例2. 如图（2）所示，质量为M的槽体放在光滑水平面上，内有半径为R的半圆形轨道，其左端紧靠一个固定在地面上的挡板。
质量为m的小球从A点由静止释放。
若槽内光滑，求小球上升的最大高度。
图（2）三. 涉及追碰的临界问题两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度必须大于乙物体的速度，即，而甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是。
例3.如图所示，甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上做游戏，甲和他的冰车质量之和为M＝30 kg，乙和他的冰车质量之和也是M＝30 kg．游戏时，甲推着一个质量m＝15 kg的箱子以大小为v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑动到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦，求甲至少要以多大速度(相对于地)将箱子推出，才能避免与乙相撞．解：当甲把箱子推出后，甲的运动存在三种可能：①继续向前，方向不变；②停止运动；③反向运动。
以上三种推出箱子的方法，由动量守恒定律可知，第一种推法箱子获得的速度最小，若这种推法能实现目标，则箱子获得的速度最小，设箱子的速度为四. 涉及子弹打木块的临界问题子弹打木块是一种常见的模型。
子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同。
动量守恒定律的理解及应用
考点二 动量守恒定律的基本应用
例4 如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、 12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0，为避免两船 相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的 人将货物接住，求抛出货物的最小速度。(不计水的阻力)
√C.只有甲、丙
B.只有丙、丁 D.只有乙、丁
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上， 在b上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示，当撤去外力后，下列 说法正确的是 A.a离开墙壁前，a、b和弹簧组成的系统机械能不守恒 B.a离开墙壁前，a、b和弹簧组成的系统动量守恒
考点三 爆炸问题 反冲运动 人船模型
例6 将质量为1.00 kg的模型火箭点火升空，50 g燃烧的燃气以大小为
600 m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。在燃气喷出后的瞬间，火
箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽略)
√A.30 kg·m/s
C.6.0×102 kg·m/s
B.5.7×102 kg·m/s D.6.3×102 kg·m/s
考点一 动量守恒定律的理解
例2 (2023·辽宁丹东市期末)如图，水平地面上有一小车C，顶端有一轻滑 轮，质量完全相同的两个小木块A、B由通过滑轮的轻绳相连接，初始时用 手托住小木块A，使A、B、C均处于静止状态。某时刻突然将手撤去，A、 B、C开始运动，则对小车C、小木块A、B三者组成的系统，下列说法正确 的是(所有摩擦均忽略不计) A.动量不守恒，机械能不守恒 B.动量守恒，机械能守恒 C.竖直方向上动量守恒，机械能不守恒
高中物理必修三 讲义 16 A动量守恒定律及应用 基础版
动量守恒定律及应用考点一动量守恒定律的理解和基本应用1．内容如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变．2．表达式(1)p＝p′或m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′.系统相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量．(2)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向．3．适用条件(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒．技巧点拨应用动量守恒定律解题的步骤(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)．(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)．(3)规定正方向，确定初、末状态动量．(4)由动量守恒定律列出方程．(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．例题精练1．如图1所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧紧靠在墙壁上．现让一小球自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与圆弧槽相切自A点进入槽内，则下列结论中正确的是()图1A．小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒C ．小球自半圆槽B 点向C 点运动的过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒D ．小球离开C 点以后，将做竖直上抛运动2．(多选)如图2所示，一质量M ＝3.0 kg 的长方形木板B 放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m ＝1.0 kg 的小木块A ，同时给A 和B 以大小均为4.0 m/s ，方向相反的初速度，使A 开始向左运动，B 开始向右运动，A 始终没有滑离B 板，在小木块A 做加速运动的时间内，木板速度大小可能是( )图2A ．2.1 m/sB ．2.4 m/sC ．2.8 m/sD ．3.0 m/s3．(多选)某研究小组通过实验测得两滑块碰撞前后运动的实验数据，得到如图3所示的位移—时间图象．图中的线段a 、b 、c 分别表示沿光滑水平面上同一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ和它们发生正碰后结合体的位移随时间变化关系．已知相互作用时间极短，由图象给出的信息可知( )图3A ．碰前滑块Ⅰ与滑块Ⅱ速度大小之比为5∶2B ．碰前滑块Ⅰ的动量大小比滑块Ⅱ的动量大小大C ．碰前滑块Ⅰ的动能比滑块Ⅱ的动能小D ．滑块Ⅰ的质量是滑块Ⅱ的质量的16考点二 动量守恒定律的临界问题1．当小物块到达最高点时，两物体速度相同．2．弹簧最短或最长时，两物体速度相同，此时弹簧弹性势能最大．3．两物体刚好不相撞，两物体速度相同．4．滑块恰好不滑出长木板，滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同．例题精练4．如图4所示，光滑悬空轨道上静止一质量为3m的小车A，用一段不可伸长的轻质细绳悬挂一质量为2m的木块B.一质量为m的子弹以水平速度v0射入木块(时间极短)，在以后的运动过程中，细绳离开竖直方向的最大角度小于90°，试求：(不计空气阻力，重力加速度为g)图4(1)子弹射入木块B时产生的热量；(2)木块B能摆起的最大高度；(3)小车A运动过程的最大速度大小．综合练习一．选择题（共10小题）1．（和平区校级期中）如图所示，质量为m2的小车上有一半圆形的光滑槽，一质量为m1的小球置于槽内，共同以速度v0沿水平面运动，并与一个原来静止的小车m3对接，则对接后瞬间，小车的速度大小为（）A．B．C．D．以上答案均不对2．（邳州市校级期中）A、B两球沿一直线发生正碰，如图所示的x﹣t图像记录了两球碰撞前后的运动情况，图中的a、b分别为碰撞前A、B两球的x﹣t图线。
22人教版高中物理新教材选择性必修第一册--第3节 动量守恒定律
量守恒，放开右手时总动量方向向左，放开右手后总动量方向也向左，故选
项B错误，C、D正确。
误区警示
关于动量守恒定律的理解的三个误区
（1）误认为只要系统初、末状态的动量相同，则系统动量守恒。产生该误区
的原因是没有正确理解动量守恒定律，系统在变化的过程中每一个时刻动量
提示 外力是系统以外的物体施加给系统内物体的力，内力是系统中物体间的
作用力。区分外力与内力可以看施力物体是系统内的物体还是系统外的物体。
③ 系统的总动量保持不变是不是意味着系统内每个物体的动量都不变？
提示 不是，系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不
断变化。
1.一个力是内力还是外力关键看所选择的系统，如发射炮弹时，以炮弹和炮
C. 男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D. 木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同
[解析] 分析系统的受力情况，注意动量的矢量性。
)
2. (★) （多选）如图所示，质量相等的两物体A、 ，原来静止在平板小
车 上， 和 间夹一被压缩了的轻弹簧， 、 与平板车上表面间的动摩
8.5 m/s 的速度沿原方向航行，若水的阻力不计，求在交换麻袋前两只船的速
度大小。
[答案] 1 m/s 9 m/s
[解析] 以质量较小的船的速度方向为正方向，选取质量较小的船和从质量
较大的船投过去的麻袋组成的系统为研究对象，如题图所示，根据动量守恒
定律有 (1 − )1 − 2 = 0
擦因数之比为3:5，地面光滑。当压缩弹簧突然被释放后， 、 相对C滑动
的过程中，以下说法正确的是( BC
专题06 碰撞与动量守恒 高考物理经典问题妙解通解(解析版)
考点分类：考点分类见下表考点一应用动量定理求解连续作用问题机枪连续发射子弹、水柱持续冲击煤层等都属于连续作用问题．这类问题的特点是：研究对象不是质点(也不是能看成质点的物体)，动量定理应用的对象是质点或可以看做质点的物体，所以应设法把子弹、水柱质点化，通常选取一小段时间内射出的子弹或喷出的水柱作为研究对象，对它们进行受力分析，应用动量定理，或者综合牛顿运动定律综合求解．考点二“人船模型”问题的特点和分析1．“人船模型”问题两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒．在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比．这样的问题归为“人船模型”问题．2．人船模型的特点(1)两物体满足动量守恒定律：m1v1－m2v2＝0.(2)运动特点：人动船动，人静船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即x1x2＝v1v2＝m2m1.(3)应用此关系时要注意一个问题：公式v1、v2和x 一般都是相对地面而言的．考点三 动量守恒中的临界问题1.滑块不滑出小车的临界问题如图所示,滑块冲上小车后,在滑块与小车之间的摩擦力作用下,滑块做减速运动,小车做加速运动.滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时,滑块与小车的速度相同.＃网2.两物体不相碰的临界问题两个在光滑水平面上做匀速运动的物体,甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v 甲大于乙物体的速度v 乙,即v 甲>v 乙,而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是v 甲=v 乙. 3.涉及物体与弹簧相互作用的临界问题对于由弹簧组成的系统,在物体间发生相互作用的过程中,当弹簧被压缩到最短时,弹簧两端的两个物体的速度相等.4.涉及最大高度的临界问题在物体滑上斜面体(斜面体放在光滑水平面上)的过程中,由于弹力的作用,斜面体在水平方向将做加速运动.物体滑到斜面体上最高点的临界条件是物体与斜面体沿水平方向具有共同的速度,物体在竖直方向的分速度等于零.考点四 弹簧类的慢碰撞问题慢碰撞问题指的是物体在相互作用的过程中,有弹簧、光滑斜面或光滑曲面等,使得作用不像碰撞那样瞬间完成,并存在明显的中间状态,在研究此类问题时,可以将作用过程分段研究,也可以全过程研究.典例精析★考点一：应用动量定理求解连续作用问题◆典例一：正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m 、n 和v 的关系．(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明) 【答案】f ＝13nmv2 【解析】◆典例二:一股水流以10 m/s 的速度从喷嘴竖直向上喷出，喷嘴截面积为0.5 cm2，有一质量为0.32 kg 的球，因受水对其下侧的冲击而停在空中，若水冲击球后速度变为0，则小球停在离喷嘴多高处？【答案】1.8 m【解析】小球能停在空中，说明小球受到的冲力等于重力F ＝mg ①小球受到的冲力大小等于小球对水的力．取很小一段长为Δl 的小水柱Δm ，其受到重力Δmg 和球对水的力F ，取向下为正方向．学＊(F ＋Δmg)t ＝0－(－Δmv)②其中小段水柱的重力Δm·g 忽略不计，Δm ＝ρS·Δl★考点二：“人船模型”问题的特点和分析◆典例一：如图所示，长为L 、质量为M 的小船停在静水中，质量为m 的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人相对地面的位移各为多少？【答案】m m ＋M L Mm ＋M L【解析】设任一时刻人与船的速度大小分别为v 1、v 2，作用前都静止．因整个过程中动量守恒，所以有mv 1＝Mv 2.而整个过程中的平均速度大小为v 1、v 2，则有m v 1＝M v 2.两边乘以时间t 有m v 1t ＝M v 2t ，即mx 1＝Mx 2.且x 1＋x 2＝L ，可求出x 1＝M m ＋M L ，x 2＝mm ＋M L . ◆典例二：如图所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M ，顶端高度为h ，今有一质量为m 的小物体，沿光滑斜面下滑，当小物体从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是( )A.mh M ＋mB.Mh M ＋mC.mh ＋D.Mh ＋【答案】C★考点三：动量守恒中的临界问题◆典例一：两质量分别为M1和M2的劈A 和B,高度相同,放在光滑水平面上,A 和B 的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示.一质量为m 的物块位于劈A 的倾斜面上,距水平面的高度为h.物块从静止滑下,然后滑上劈B.求物块在B 上能够达到的最大高度.【答案】h′=1212()()M M M m M m ++h.◆典例二 甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏,甲和他的冰车的质量共为M=30 kg,乙和他的冰车的质量也是30 kg.游戏时,甲推着一个质量为m=15 kg 的箱子和他一起以大小为v0=2.0 m/s 的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来,如图所示.为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住.若不计冰面的摩擦力,求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞.【答案】5.2 m/s【解析】法一 取甲开始运动的方向为正方向,设甲推出箱子后的速度为v1,箱子的速度为v,以甲和箱子为系统,则由动量守恒定律得(m+M)v0=Mv1+mv.设乙抓住箱子后其速度为v2,以箱子和乙为系统,则由动量守恒定律得mv-Mv0=(m+M)v2.而甲、乙不相撞的条件是v2≥v1,当甲和乙的速度相等时,甲推箱子的速度最小,此时v1=v2.联立上述三式可得v=222222m mM M m mM+++v0=5.2 m/s.即甲至少要以对地5.2 m/s 的速度将箱子推出,才能避免与乙相撞.法二 若以甲、乙和箱子三者组成的整体为一系统,由于不相撞的条件是甲、乙速度相等,设为v1,则由动量守恒定律得(m+M)v0-Mv0=(m+2M)v1,代入具体数据可得v1=0.4 m/s.再以甲和箱子为一系统,设推出箱子的速度为v,推出箱子前、后系统的动量守恒(m+M)v0=Mv1+mv,代入具体数据得v=5.2 m/s.考点四 弹簧类的慢碰撞问题◆典例一：(2018·四川南充模拟)如图所示,质量为M 的滑块静止在光滑的水平桌面上,滑块的光滑弧面底部与桌面相切,一质量为m 的小球以速度v0向滑块滚来,设小球不能越过滑块,求:(1)小球到达最高点时小球和滑块的速度分别为多少? (2)小球上升的最大高度.【答案】v=0mv M m+,h=202()Mv M m g +1.【2016·全国新课标Ⅰ卷】（10分）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。
理解动量守恒定律应注意的四个方面
理解动量守恒定律应注意的四个方面作者：***来源：《中学生数理化·高考理化》2024年第01期动量守恒定律是自然界中最普遍的基本规律之一，它在解释自然现象和解决实际问题时具有极其广泛的应用。
动量守恒定律的表述很简洁，但是同学们不能仅仅局限于记住定律内容（如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，那么这个系统的总动量保持不变），还需要从以下四个方面着手深刻理解动量守恒定律的内涵和外延，避免因概念理解不透彻、规律认识不清楚而错误应用。
一、选对满足动量守恒定律的系统由两个或多个相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。
利用动量守恒定律列方程式时，既不能把没有参与作用的物体放在选定的研究系统中，也不能在选定研究系统时漏掉参与作用的物体，更不能使得所列方程式两边选定的不是同一个研究系统。
例1 如图1所示，小车和物块位于光滑水平地面上，小球用轻绳悬挂在车厢顶部，某时刻小车以速度v 与静止物块发生碰撞。
若小车的质量为m1，小球的质量为m2，物块的质量为m3，碰撞的时间极短，则下列情况可能发生的是（）。
A.碰撞后小车、小球、物块的速度均变化，且三者碰后的速度v1、v2、v3 满足关系式（m1+m2）v=m1v1+m2v2+m3v3B.碰撞后小球的速度不变，小车和物块的速度变化，且二者碰后的速度v1、v2 满足关系式（m1+m2）v=m1v1+m3v2C.碰撞后小球的速度不变，小车和物块的速度都变为v1，且满足关系式m1v =（m1+m3）v1D.碰撞后小球和小车的速度变为v1，物块的速度变为v2，且满足关系式（m1+m2）v=（m1+m2）v1+m3v2解析：小车和物块位于光滑水平地面上，小球悬挂在车厢顶部，由小车、小球和物块组成的系统在水平方向上不受外力作用，可以判断碰撞前后系统的动量守恒。
又因碰撞时间极短，小车与物块碰撞的过程中，悬挂小球的轻绳来不及偏离竖直方向，小车与物块间的作用力只能使小车和物块的动量发生变化，而不能使小球的动量发生变化。
(江苏物理总复习)第2讲 动量守恒定律
C．若 A、B 所受的摩擦力大小相等，A、B 组成的系统
D．若 A、B 所受的摩擦力大小相等，A、B、C 组成的系统
解析：若 A、B 与 C 上表面间的动摩擦因数相同，弹簧被释放后，A、B 分别 相对 C 向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力 FA 向右，FB 向左，由于 mA∶ mB＝3∶2，所以 FA∶FB＝3∶2，则 A、B 组成的系统所受的外力之和不为零， 故 A、B 组成的系统动量不守恒，故 A 项符合题意；对 A、B、C 组成的系统， A 与 C、B 与 C 间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向的重力和 支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，和 A、B 与 C 间的动摩擦 因数或摩擦力大小是否相等无关，B、D 项不符合题意；若 A、B 所受的摩擦 力大小相等，则 A、B 组成的系统所受的外力之和为零，故其动量守恒，C 项不符合题意。 答案：A
情景创设 A 球的质量是 m，B 球的质量是m2 ，它们在光滑的水平面上以相同的动量 运动，A 在前，B 在后，发生正碰后，B 球仍朝原方向运动，但其速率是原来 的一半。
微点判断
(1)只要系统合外力做功为零，系统动量就守恒。
(×)
(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞，两个物体组成的系统动量守恒。 (√)
(1)动量守恒定律是矢量方程，解题时应选取统一的正方向。 (2)各物体的速度必须相对于同一参考系，一般选地面为参考系。 (3)列动量守恒定律方程时应注意所选取的研究系统及研究过程。
2．[某个方向上的动量守恒问题]
如图所示，质量为 M 的楔形物体静止在光滑的水平地面
上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹角为 θ。一个
(1)A 与 B 第一次碰撞后 B 的速率； (2)从 A 开始运动到两物体第二次相碰经历的时间及因摩擦而产生的热量。
动量小专题7—动量守恒中的临界问题
动量小专题7—动量守恒中的临界问题动量守恒定律是力学中的一个重要规律。
在运用动量守恒定律解题时，常会遇到相互作用的几个物体间的临界问题，求解这类问题要注意分析临界状态，把握相关的临界条件。
现将与动量守恒定律相关的临界问题作一初步的分析和讨论。
一. 涉及弹簧的临界问题对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短（或拉伸到最长）时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。
例1.如图（1）所示，在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物体以6m/s的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方。
A与C碰撞后将粘在一起运动，在以后的运动中，弹簧达到最大弹性势能时，C的速度为多少？图（1）二. 涉及最大高度的临界问题在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。
物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零。
例2.如图（2）所示，质量为M的槽体放在光滑水平面上，内有半径为R的半圆形轨道，其左端紧靠一个固定在地面上的挡板。
质量为m的小球从A点由静止释放。
若槽内光滑，求小球上升的最大高度。
图（2）三. 涉及追碰的临界问题两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v甲必须大于乙物体的速度v乙，即v甲大于v乙，甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是v甲＝v乙。
例3. 甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为v0=2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相碰，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。
若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于冰面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。
四. 涉及子弹打木块的临界问题子弹打木块是一种常见的模型。
动量守恒中的临界问题
动量专题 动量守恒中的临界问题1. 常见类型(1)滑块与小车的临界问题：滑块与小车是一种常见的相互作用模型．如图所示，滑块冲上小车后，在滑块与小车之间的摩擦力作用下，滑块做减速运动，小车做加速运动．滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同．(2)两物体不相碰的临界问题：两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v 甲大于乙物体的速度v 乙，即v 甲>v 乙，而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是v 甲＝v 乙．(3)涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度相等．学；科网(4)涉及最大高度的临界问题：在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动．物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零．2．求解动量守恒定律中的临界问题的关键(1)寻找临界状态：看题设情景中有相互作用的两物体是否相距最近，避免相碰和物体开始反向运动等临界状态．(2)挖掘临界条件：在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，即速度相等或位移相等．【典例1】 如图所示，甲车质量m 1 ＝ m ，在车上有质量为M ＝2m 的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h 处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量m 2＝2m 的乙车正以v 0 的速度迎面滑来，已知h ＝2v 20g，为了使两车不可能发生碰撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳上乙车，试求人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看作质点。
【答案】 135v 0≤v ≤113v 0 【解析】 设甲车(包括人)滑下斜坡后速度为v 1，由机械能守恒定律得12(m 1＋M )v 21＝(m 1＋M )gh得：v 1＝2gh ＝2v 0设人跳离甲车的水平速度(相对地面)为v ，在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车的速度分别为v 1′和v 2′，则人跳离甲车时：(M ＋m 1)v 1＝Mv ＋m 1v 1′即(2m ＋m )v 1＝2mv ＋mv 1′①人跳上乙车时：Mv －m 2v 0＝(M ＋m 2)v 2′故v 的取值范围为135v 0≤v ≤113v 0. 【典例2】如图所示，一质量M ＝2 kg 的带有弧形轨道的平台置于足够长的水平轨道上，弧形轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上静置一小球B .从弧形轨道上距离水平轨道高h ＝0.3 m 处由静止释放一质量m A ＝1 kg 的小球A ，小球A 沿轨道下滑后与小球B 发生弹性正碰，碰后小球A 被弹回，且恰好追不上平台．已知所有接触面均光滑，重力加速度为g .求小球B 的质量．(取重力加速度g ＝10 m/s 2)【答案】3 kg 【解析】：设小球A 下滑到水平轨道上时的速度大小为v 1，平台水平速度大小为v ，由动量守恒定律有 0＝m A v 1－Mv由能量守恒定律有m A gh ＝12m A v 21＋12Mv 2 联立解得v 1＝2 m/s ，v ＝1 m/s小球A 、B 碰后运动方向相反，设小球A 、B 的速度大小分别为v ′1和v 2.由于碰后小球A 被弹回，且恰好追不上平台，则此时小球A 的速度等于平台的速度，有v ′1＝1 m/s由动量守恒定律得m A v 1＝－m A v ′1＋m B v 2由能量守恒定律有12m A v 21＝12m A v ′21＋12m B v 22联立上式解得m B ＝3 kg.【典例3】如图所示，用长为R 的不可伸长的轻绳将质量为m 3的小球A 悬挂于O 点．在光滑的水平地面上，质量为m 的小物块B (可视为质点)置于长木板C 的左端静止．将小球A 拉起，使轻绳水平拉直，将A 球由静止释放，运动到最低点时与小物块B 发生弹性正碰．学科；网(1)求碰后轻绳与竖直方向的最大夹角θ的余弦值．(2)若长木板C 的质量为2m ，小物块B 与长木板C 之间的动摩擦因数为μ，长木板C 的长度至少为多大，小物块B 才不会从长木板C 的上表面滑出？【解析】：(1)设小球A 与小物块B 碰前瞬间的速度为v 0，则有m 3gR ＝12·m 3v 20设碰后小球A 和小物块B 的速度分别为v 1和v 2，有m 3v 0＝m 3v 1＋mv 2 12·m 3v 20＝12·m 3v 21＋12·mv 22设小物块B 与长木板C 相互作用达到的共同速度为v ，长木板C 的最小长度为L ，有mv 2＝(m ＋2m )vμmgL ＝12mv 22－12(m ＋2m )v 2 由以上各式解得L ＝R 6μ. 法二：由(1)可求得碰后小物块B 的速度为v 2＝122gR临界状态是指当某种物理现象变化为另一种现象，或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生突变或质的飞跃的转折状态。
动量守恒中的临界问题(解析版)
动量守恒中的临界问题1. 常见类型(1)滑块与小车的临界问题：滑块与小车是一种常见的相互作用模型．如图所示，滑块冲上小车后，在滑块与小车之间的摩擦力作用下，滑块做减速运动，小车做加速运动．滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同．(2)两物体不相碰的临界问题：两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v 甲大于乙物体的速度v 乙，即v 甲>v 乙，而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是v 甲＝v 乙．(3)涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度相等．(4)涉及最大高度的临界问题：在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动．物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零．2．求解动量守恒定律中的临界问题的关键(1)寻找临界状态：看题设情景中有相互作用的两物体是否相距最近，避免相碰和物体开始反向运动等临界状态．(2)挖掘临界条件：在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，即速度相等或位移相等．【典例1】 如图所示，甲车质量m 1 ＝ m ，在车上有质量为M ＝2m 的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h 处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量m 2＝2m 的乙车正以v 0 的速度迎面滑来，已知h ＝2v 20g ，为了使两车不可能发生碰撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳上乙车，试求人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看作质点。
【答案】 135v 0≤v ≤113v 0 【解析】 设甲车(包括人)滑下斜坡后速度为v 1，由机械能守恒定律得12(m 1＋M )v 21＝(m 1＋M )gh得：v 1＝2gh ＝2v 0设人跳离甲车的水平速度(相对地面)为v ，在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车的速度分别为v 1′和v 2′，则人跳离甲车时：(M ＋m 1)v 1＝Mv ＋m 1v 1′即(2m ＋m )v 1＝2mv ＋mv 1′①人跳上乙车时：Mv －m 2v 0＝(M ＋m 2)v 2′故v 的取值范围为135v 0≤v ≤113v 0. 【典例2】如图所示，一质量M ＝2 kg 的带有弧形轨道的平台置于足够长的水平轨道上，弧形轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上静置一小球B .从弧形轨道上距离水平轨道高h ＝0.3 m 处由静止释放一质量m A ＝1 kg 的小球A ，小球A 沿轨道下滑后与小球B 发生弹性正碰，碰后小球A 被弹回，且恰好追不上平台．已知所有接触面均光滑，重力加速度为g .求小球B 的质量．(取重力加速度g ＝10 m/s 2)【答案】3 kg 【解析】：设小球A 下滑到水平轨道上时的速度大小为v 1，平台水平速度大小为v ，由动量守恒定律有 0＝m A v 1－Mv由能量守恒定律有m A gh ＝12m A v 21＋12Mv 2 联立解得v 1＝2 m/s ，v ＝1 m/s小球A 、B 碰后运动方向相反，设小球A 、B 的速度大小分别为v ′1和v 2.由于碰后小球A 被弹回，且恰好追不上平台，则此时小球A 的速度等于平台的速度，有v ′1＝1 m/s由动量守恒定律得m A v 1＝－m A v ′1＋m B v 2由能量守恒定律有12m A v 21＝12m A v ′21＋12m B v 22联立上式解得m B ＝3 kg.【典例3】如图所示，用长为R 的不可伸长的轻绳将质量为m 3的小球A 悬挂于O 点．在光滑的水平地面上，质量为m 的小物块B (可视为质点)置于长木板C 的左端静止．将小球A 拉起，使轻绳水平拉直，将A 球由静止释放，运动到最低点时与小物块B 发生弹性正碰．(1)求碰后轻绳与竖直方向的最大夹角θ的余弦值．(2)若长木板C 的质量为2m ，小物块B 与长木板C 之间的动摩擦因数为μ，长木板C 的长度至少为多大，小物块B 才不会从长木板C 的上表面滑出？【解析】：(1)设小球A 与小物块B 碰前瞬间的速度为v 0，则有m 3gR ＝12·m 3v 20设碰后小球A 和小物块B 的速度分别为v 1和v 2，有m 3v 0＝m 3v 1＋mv 2 12·m 3v 20＝12·m 3v 21＋12·mv 22设小物块B 与长木板C 相互作用达到的共同速度为v ，长木板C 的最小长度为L ，有mv 2＝(m ＋2m )vμmgL ＝12mv 22－12(m ＋2m )v 2 由以上各式解得L ＝R 6μ. 法二：由(1)可求得碰后小物块B 的速度为v 2＝122gR。
动量守恒中的临界问题
动量守恒中的临界问题临界条件常表现为两物体的相对速度与相对位移关系。
1.滑块与小车的临界问题（滑块--滑板模型）滑块冲上小车后，滑块减速，小车加速。
滑块刚好不滑出小车的临界条件是：滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同。
例1.质量为m B=2kg的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一块质量为m A=2kg的物体A，一颗质量为m0=0.01kg的子弹v0=600m/s的水平初速度瞬间射穿A后，速度变为v=100m/s，已知A，B之间的动摩擦因数不为零，且A 与B最终达到相对静止．求：①物体A的最大速度v A；（ v A=2.5m/s）②平板车B的最大速度v B．（ v B=1.25m/s）③要达到AB最终相对静止B至少多长L？（动摩擦因数0.1。
）（L=25/16 m）2.涉及弹簧的临界问题。
有弹簧的系统，当物体A与弹簧作用后, 物体A 减速B加速,两者间距离逐渐减小,弹簧的压缩量逐渐增大，在两者间发生相互作用过程中，当弹簧被压缩到最短,两物体间的速度必然相等,弹簧的弹性势能最大。
当弹簧恢复原长时A，B再次分离，此刻B的速度最大。
例2.如图所示，A、B两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是3m和4m，一颗质量为m的子弹以速度v0瞬间水平射入木块A内，并没有穿出．试求：（1）弹簧第一次最短时，弹性势能为多大？（2）B的最大速度为多大？3.涉及弧（斜）面车的临界问题。
在小球滑上斜面车的过程中由于弹力的作用，斜面车在水平方向做加速运动，小球减速，小球滑到斜面车最高点的临界条件是：小球与斜面车沿水平方向具有相同的速度，小球在竖直方向分速度为零。
（即：小球与斜面车相对静止）例3.光滑水平面上有一质量为M的滑块,滑块的左侧是一光滑的1/4圆弧,圆弧半径为R=1m.一质量为m的小球以速度v0向右运动冲上滑块.已知M=4m,g取10 m/s2,若小球刚好没跃出圆弧的上端,求:(1)小球的初速度v0是多少?(2)滑块获得的最大速度是多少?答案解析:(1)当小球上升到滑块上端时,小球与滑块水平方向速度相同,设为v1,根据水平方向动量守恒有:mv0=(m+M)v1 ①（2分）因系统机械能守恒,所以根据机械能守恒定律有:(m+M)v21+mgR ②（2分）联立①②式解得v0=5 m/s? ③（1分）(2)小球到达最高点以后又滑回,滑块又做加速运动,当小球离开滑块后滑块速度最大.研究小球开始冲上滑块一直到离开滑块的过程,根据动量守恒和能量守恒有:mv0=mv2+Mv3 ④（2分）? ⑤? （2分）联立③④⑤式解得v3=2 m/s.例4两质量分别为M1和M2的劈A和B,高度相同,放在光滑水平面上,A和B的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示,一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上,距水平面的高度为h.物块从静止滑下,然后双滑上劈B.求物块在B上能够达到的最大高度.解：研究m、M1系统：m下滑至M1最低点过程,水平动量守恒（总动量不守恒）： 0=mv1-M1v2（取向右为正方向）机械能守恒：（取水平面为零势能面） mgh=0.5mv1^2+0.5mv2^2 解得v1=√[2M1gh/(M+m)](2)研究m、M2系统：m滑至最高点(m、M2两者共速)过程,设最大高度为H水平动量守恒：mv1=(M2+m)v3机械能守恒：0.5mv1^2=mgH+0.5(m+M2)v3^2联立解得H=M1M2h/[(M1+m)(M2+m)]4.相向运动的两物体，不相撞的临界问题。
动量守恒定律的临界问题1
能力提高之——动量守恒定律中的临界问题1，甲，乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速率均为V0=6m/s。
甲车上有质量m=1kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M1=50kg，乙和他的车总质量M2=30kg，甲不不断地将小球以相对地面的速度大小为v=16.5m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。
问甲至少抛出多少个小球才能保证两车不相撞？2，甲乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏,甲和他的冰车的质量共为30kg，乙和他的冰车的质量也是30kg.游戏时,甲推着一个质量为15kg的箱子,和他一起以大小为2. 0m/s的速度滑行,乙以相同大小的速度迎面滑来,为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时迅速把它抓住.若不计冰面的摩擦力,求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞.？3，甲、乙两船的总质量（包括船、人和货物）分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v.v为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛出甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度。
（不计水的阻力）4，相隔一定距离的A，B两球，质量相等，假定它们之间存在恒定的斥力作用，原来两球被按住，处于静止状态，现突然松开两球，同时给A球以速度V。
，使之沿连线射向B球，B球初速度为零，若两球之间的距离从最小植（两球未接触）到刚恢复原始植所经历的时间为t。
，求B球在斥力作用下的加速度？5，下雪天，卡车在笔直的高速公路上匀速行驶.司机突然发现前方停着一辆故障车，他将刹车踩到底，车轮被抱死，但卡车仍向前滑行，并撞上故障车，且推着它共同滑行了一段距离l后停下.事故发生后，经测量，卡车刹车时与故障车距离为L，撞车后共同滑行的距离 .假定两车轮胎与雪地之间的动摩擦因数相同.已知卡车质量M为故障车质量m 的4倍．（1）设卡车与故障车相撞前的速度为v1，两车相撞后的速度变为v2，求；V1/V2 （2）卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施，事故就能免于发生．。
专题06 动量守恒定律——高考物理复习核心考点归纳识记
高考一轮复习知识考点归纳 专题06 动量守恒定律【基本概念、规律】动量及动量守恒定律第1节 动量及动量定理第2节 动量守恒定律第3节 动量守恒定律的应用实验 验证动量守恒定律(1)定义：力与力作用时间的乘积．(2)公式：I=Ft ；公式适用范围：恒力冲量；(3)量性：矢量，方向与作用力方向一致；动量及动量定理冲量动量动量定理(1)定义：物体质量与速度的乘积；(2)表达式：p=mv ；(3)量性：矢量，方向与速度方向一致；（4）物理意义：反映物体运动状态(1)内容：物体合外力冲量等于物体动量变化量；(2)表达式：F ·Δt ＝Δp ＝p ′－p . (3)注意：动量定理表达式为矢量式【重要考点归纳】考点一 动量定理的理解及应用1．动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力．这种情况下，动量定理中的力F 应理解为变力在作用时间内的平均值．2．动量定理的表达式F ·Δt ＝Δp 是矢量式，运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向，公式中的F 是物体或系统所受的合力．3．应用动量定理解释的两类物理现象(1)当物体的动量变化量一定时，力的作用时间Δt 越短，力F 就越大，力的作用时间Δt 越长，力F 就越小，如玻璃杯掉在水泥地上易碎，而掉在沙地上不易碎．(2)当作用力F 一定时，力的作用时间Δt 越长，动量变化量Δp 越大，力的作用时间Δt 越短，动量变化量Δp 越小4.应用动量定理解题的一般步骤 (1)明确研究对象和研究过程．研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段． (2)进行受力分析．只分析研究对象以外的物体施加给研究对象的力，不必分析内力． (3)规定正方向．(4)写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量(或各外力在各个阶段的冲量的矢量和)，根据动量定理列方程求解．考点二 动量守恒定律与碰撞 1．动量守恒定律的不同表达形式守恒条件：(1)理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统动量守恒．(2)近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看成守恒．(3)分方向守恒：系统在某个方向上所受合力为零时，系统在该方向上动量守恒．动量守恒定律动量守恒定律动量守恒应用1．碰撞 物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．2．特点 在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒．动量守恒定律的表达式：m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v ′1＋m 2v ′2或Δp 1＝－Δp 2.1．爆炸3．反冲 人船模型(1)p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.(2)m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向．(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零．2．碰撞遵守的规律(1)动量守恒，即p1＋p2＝p′1＋p′2.(2)动能不增加，即E k1＋E k2≥E′k1＋E′k2或p212m1＋p222m2≥p′212m1＋p′222m2.(3)速度要合理．①碰前两物体同向，则v后>v前；碰后，原来在前的物体速度一定增大，且v′前≥v′后．②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．3．两种碰撞特例(1)弹性碰撞两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒．以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有m1v1＝m1v′1＋m2v′2①12m1v21＝12m1v′21＋12m2v′22②由①②得v′1＝m1－m2v1m1＋m2v′2＝2m1v1m1＋m2结论：①当m1＝m2时，v′1＝0，v′2＝v1，两球碰撞后交换了速度．②当m1>m2时，v′1>0，v′2>0，碰撞后两球都向前运动．③当m1<m2时，v′1<0，v′2>0，碰撞后质量小的球被反弹回来．(2)完全非弹性碰撞两物体发生完全非弹性碰撞后，速度相同，动能损失最大，但仍遵守动量守恒定律．4.应用动量守恒定律解题的步骤(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上动量是否守恒)；(3)规定正方向，确定初、末状态动量；(4)由动量守恒定律列出方程；(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．考点三爆炸和反冲人船模型1．爆炸的特点(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸时物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒．(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加．(3)位移不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中物体运动的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸时的位置以新的动量开始运动．2．反冲(1)现象：物体的不同部分在内力的作用下向相反方向运动．(2)特点：一般情况下，物体间的相互作用力(内力)较大，因此系统动量往往有以下几种情况：①动量守恒；②动量近似守恒；③某一方向动量守恒．反冲运动中机械能往往不守恒．注意：反冲运动中平均动量守恒．(3)实例：喷气式飞机、火箭、人船模型等．3．人船模型若人船系统在全过程中动量守恒，则这一系统在全过程中的平均动量也守恒．如果系统由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由m1v1＝－m2v2得m1x1＝－m2x2.该式的适用条件是：(1)系统的总动量守恒或某一方向上的动量守恒．(2)构成系统的两物体原来静止，因相互作用而反向运动．(3)x1、x2均为沿动量方向相对于同一参考系的位移．实验：验证动量守恒定律1．实验原理在一维碰撞中，测出物体的质量m和碰撞前后物体的速率v、v′，找出碰撞前的动量p＝m1v1＋m2v2及碰撞后的动量p′＝m1v′1＋m2v′2，看碰撞前后动量是否守恒．2．实验方案方案一：利用气垫导轨完成一维碰撞实验(1)测质量：用天平测出滑块质量．(2)安装：正确安装好气垫导轨．(3)实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前后的速度(①改变滑块的质量．②改变滑块的初速度大小和方向)．(4)验证：一维碰撞中的动量守恒．方案二：利用等长悬线悬挂等大小球完成一维碰撞实验(1)测质量：用天平测出两小球的质量m1、m2.(2)安装：把两个等大小球用等长悬线悬挂起来．(3)实验：一个小球静止，拉起另一个小球，放下时它们相碰．(4)测速度：可以测量小球被拉起的角度，从而算出碰撞前对应小球的速度，测量碰撞后小球摆起的角度，算出碰撞后对应小球的速度．(5)改变条件：改变碰撞条件，重复实验．(6)验证：一维碰撞中的动量守恒．方案三：在光滑桌面上两车碰撞完成一维碰撞实验(1)测质量：用天平测出两小车的质量.(2)安装：将打点计时器固定在光滑长木板的一端，把纸带穿过打点计时器，连在小车的后面，在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥．(3)实验：接通电源，让小车A运动，小车B静止，两车碰撞时撞针插入橡皮泥中，把两小车连接成一体运动．(4)测速度：通过纸带上两计数点间的距离及时间由v＝ΔxΔt算出速度．(5)改变条件：改变碰撞条件，重复实验．(6)验证：一维碰撞中的动量守恒．方案四：利用斜槽上滚下的小球验证动量守恒定律(1)用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为入射小球．(2)按照如图所示安装实验装置，调整固定斜槽使斜槽底端水平．(3)白纸在下，复写纸在上，在适当位置铺放好．记下重垂线所指的位置O.(4)不放被撞小球，让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复10次．用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面，圆心P就是小球落点的平均位置．(5)把被撞小球放在斜槽末端，让入射小球从斜槽同一高度自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验10次．用步骤(4)的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M和被碰小球落点的平均位置N.如图所示．(6)连接ON，测量线段OP、OM、ON的长度．将测量数据填入表中．最后代入m1OP＝m1OM＋m2ON，看在误差允许的范围内是否成立．(7)整理好实验器材放回原处．(8)实验结论：在实验误差范围内，碰撞系统的动量守恒．【思想方法与技巧】动量守恒中的临界问题1．滑块与小车的临界问题滑块与小车是一种常见的相互作用模型．如图所示，滑块冲上小车后，在滑块与小车之间的摩擦力作用下，滑块做减速运动，小车做加速运动．滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同．2．两物体不相碰的临界问题两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v甲大于乙物体的速度v乙，即v甲>v乙，而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是v甲＝v乙．3．涉及弹簧的临界问题对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度相等．4．涉及最大高度的临界问题在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动．物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零．5.正确把握以下两点是求解动量守恒定律中的临界问题的关键：(1)寻找临界状态看题设情景中是否有相互作用的两物体相距最近，避免相碰和物体开始反向运动等临界状态．(2)挖掘临界条件在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，即速度相等或位移相等。
17临界问题
临界问题考点规律分析分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
典型例题如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。
甲和他的冰车总质量为M ＝30 kg ，乙和他的冰车总质量也是30 kg 。
游戏时，甲推着一个质量为m ＝15 kg 的箱子和他一起以v 0＝2 m/s 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。
为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住。
(不计冰面摩擦)(1)若甲将箱子以速度v 推出，甲的速度变为多少？(用字母表示)(2)设乙抓住迎面滑来的速度为v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字母表示)(3)若甲、乙最后不相撞，则箱子被推出的速度至少多大？[规范解答] (1)设甲的速度变为v 1，甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得(M ＋m )v 0＝m v ＋M v 1解得v 1＝(M ＋m )v 0－m vM。
(2)设乙抓住箱子后的速度变为v 2，箱子和乙作用的过程，乙和箱子组成的系统动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得m v －M v 0＝(m ＋M )v 2解得v 2＝m v －M v 0m ＋M。
(3)甲、乙不相撞的条件是v 1≤v 2，其中v 1＝v 2为甲、乙恰好不相撞的条件。
即(M ＋m )v 0－m v M ≤m v －M v 0m ＋M代入数据得v ≥5.2 m/s 。
所以箱子被推出的速度为5.2 m/s 时，甲、乙恰好不相撞。
[完美答案] (1)(M ＋m )v 0－m v M (2)m v －M v 0m ＋M(3)5.2 m/s解决动量的临界问题时需要注意以下几点(1)应联想其中一个物体速度很小或速度很大时的状况。
动量守恒定律及4种临界问题
解析：(1)小球从释放到圆槽底部的过程，动量守恒： mv1＝Mv2， 机械能守恒：mgR＝12mv21＋12Mv22，联立得 v1＝2 m/s， v2＝1 m/s. (2)小球在圆槽底部，由牛顿第二定律：F－mg＝mvR21 得 F＝23.3 N， 由牛顿第三定律：小球对圆槽底部压力为 23.3 N，方 向向下． 答案：(1)v2＝1 m/s (2)23.3 N，方向向下
小试身手
1.如图所示，光滑水平面上有一质量为 m1 的小车 A， 其上面有一个质量为 m2 的物体 B 正在沿粗糙曲面下 滑．以 A 和 B 两个物体为系统．下列说法正确的是( )
A．A 受到的重力是内力 B．B 受到的摩擦力是内力 C．B 对 A 的压力是外力 D．地面对 A 的支持力是内力
答案：B
A．在之后的运动过程中，小球和槽的水平方向动量 始终守恒
B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不 做功
C．全过程小球和槽、弹簧所组成的系统机械能守恒， 且水平方向动量守恒
D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，但小球 不能回到槽高 h 处
解析：小球在槽上运动时，两物体组成的系统在水平 方向上合外力为零，系统在水平方向上动量守恒；而当小 球接触弹簧后，小球受弹簧的弹力作用，合外力不为零， 故系统动量不守恒，但是全过程中小球和槽、弹簧所组成 的系统只有重力和弹力做功，故系统的机械能守恒，故 A、 C 错误；
名师点评 四种临界问题分析
(1)物体恰好到达另一带斜面或弧形槽的物体的最高 点．临界条件是两物体的水平速度相等，竖直速度为零．
(2)两物体恰好不相撞．临界条件是两物体接触时速 度恰好相等．
临界问题
临界条件及应用方法解读当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。
解答临界问题的关键是找临界条件。
许多临界问题，题目中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘内含规律，找出临界条件。
中学物理中的常见的临界问题和相应临界条件有：1.两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为零．2.绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值；绳子由弯到直(或由直变弯)的临界条件为绳子的拉力等于零．3.靠摩擦力连接的物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为摩擦力达到最大．4.某一方向速度最大和最小的条件是该方向加速度为零．5.一个物体在另一个物体表面能否滑落的临界条件是滑到端点时速度相同，6.物体返回的临界条件是速度为零．7.电路中最大电流的临界条件是各个用电器的实际电流均等于额定电流．8.在有界磁场中做匀速圆周运动带电粒子能否射出磁场的临界条件是粒子运动到磁场边界时速度与磁场边界相切．9.光的反射与折射现象中，当光从光密介质射向光疏介质时，发生全反射的临界条件是入射角等于临界角．例题分析一、平衡中的临界问题平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。
这类问题称为临界问题。
解临界问题的基本方法是假设推理法。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件。
解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。
【例题1】一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。
现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
从典型模型看动量守恒中的临界条件
从典型模型看动量守恒中的临界条件作者：刘相周来源：《教育周报·教育论坛》2018年第04期在解决动量守恒定律问题的过程中，无论是系统动量守恒还是某一方向的动量守恒问题，往往会遇到一些最近距离，物体的最大速度，最高点的速度等问题，而这些问题中，临界条件的判断，恰好是解决这类问题的关键。
下面就动量守恒中几个重要的模型和读者一起共同讨论解决这类问题的一般方法。
一、弹簧减振模型例1：一轻弹簧，两端连接两滑块A和B，已知m_A=0.99㎏，m_B=3㎏，放在光滑的水平桌面上，开始时弹簧处于原长。
现滑块A被水平飞来的质量为m_C=10g、速度为400m/s的子弹击中，且没有穿出，如图1所示，试求：运动过程中弹簧的最大弹性势能。
分析：子彈与滑块A获得共同速度后，A的速度大于B的速度，则弹簧被压缩，A在弹簧弹力作用下减速而B在弹力作用下加速。
但v_A仍大于v_B.弹簧被继续压缩。
但A，B的速度越来越接近，设t时刻A，B的速度相等。
之后由于弹力的作用，B继续加速，而A减速。
AB之间距离又逐渐变大，由此可知弹性势能最大的临界条件是速度相等。
解：设子弹射入A时的共同速度v_A，当ABC组成的系统具有共同速度v时弹簧的压缩量最大。
最大弹性势能E_p，选子弹原来的方向为正方向，子弹与木块A相互作用过程，子弹与木块系统动量守恒。
初动量：p_1=m_C v_0，末动量：p_2=（m_A+m_C）v_A，由动量守恒定律p_1=p_2得：m_C v_0=（m_A+m_C）v_A，代入数据得v_A=4m/s.对子弹、木块A、木块B组成的系统由动量守恒定律得：m_C v_0=（m_A+m_B+m_C）v，初机械能： E_1=0+1/2（m_A+m_C）v_A^2，末机械能： E_2=E_P+1/2（m_A+m_B+m_C）v^2，由机械能守恒定律E_1=E_2得：1/2（m_A+m_C）v_A^2=E_P+1/2（m_A+m_B+m_C）v^2代入数据解得E_P=6J。
第16章 第4节 动量守恒定律的运用
甲
乙
动量守恒定律应用中的临界问题
1、在动量守恒定律的应用中常见的临界问题有：
相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始 反向运动等．
2、分析临界问题的关键：
关键是寻找临界状态，临界状态的出现是有条件 的，这种条件就是临界条件．临界条件往往表现 为某个(或某些)物理量的特定取值．在与动量相 关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的 相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的 判断是求解这类问题的关键． 具体分析如下：
求某物体的运动时间时，优先考虑用动量定理（注意动 量定理和动量守恒定律的研究对象和求解方法的区别）
例3、如图所示，质量为M=1kg,长为L=1m的长木板， 静止放置在光滑水平桌面上，有一个质量为m=0.2kg 大小不计的物体以6m/s的水平速度从木板左端冲上木 板，滑到木板右端时跟木板相对静止（g取10m/s2）。
求：（1）木板获得的速度
（2）木块与木板间的动摩擦因素
v0
总结：
1、子弹打木块的模型具有下列力学规律：
2、如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人 和货物)分别为10m、12m，两船沿同一直线同 一方向运动，速度分别为2v0、v0。为避免两船 相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方 向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货 物的最小速度。(不计水的阻力)
3、如图所示，甲车质量m1＝20 kg，车上有质 量M＝50 kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行．此时质量m2＝50 kg的乙 车正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑来，为了避免两 车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到 乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应 当在什么范围以内才能避免两车相撞？不计地面 和小车的摩擦，且乙车足够长．
动量守恒中的临界问题
针对训练
如图9所示，质量为m、半径为R的小球，放在半径为2R、质量 为2m的大空心球内.大球开始静止在光滑的水平面上，当小球从图 示位置无初速度地沿大球内壁滚到最低点时，大球移动的距离是 多少？
图9
解析 由水平方向平均动量守恒有：mx 小球＝2mx 大球，又 x 小球＋x 大球＝R，所以 x 大球＝13R.
动量守恒中的临界问题 和人船模型
一、动量守恒中的临界问题 在动量守恒定律的应用中，常常会出现相距最近、避免相 碰和物体开始反向运动等临界问题.分析临界问题的关键是 寻找临界条件.临界条件往往表现为两物体的相对速度关系 与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的 关键.
例1 如图5所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏， 甲和他的冰车总质量为M＝30 kg，乙和他的冰车总质量也是30 kg. 游戏时，甲推着一个质量为m＝15 kg的箱子和他一起以v0＝2 m/s 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲 突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住.不计冰面 摩擦.
图8
解析 人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙 车的速度（临界条件）就可以避免两车相撞. 以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，由水平方向动量守恒得： (m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′，解得v′＝1 m/s. 以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得： (m1＋M)v＝m1v′＋Mu，解得u＝3.8 m/s. 因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8 m/s，就可避免两车相撞. 答案 大于等于3.8 m/s
以恒定速度v沿光滑水平面运动，与位于
图1
正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图1所示，碰撞时间
极短，在此过程中，下列情况可能发生的是( )
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一. 涉及弹簧的临界问题
对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。
例1. 如图（1）所示，在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B
两物体以6m/s的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方。
A与C碰撞后将粘在一起运动，在以后的运动中，弹簧达到最大弹性势能时，C的速度为多少？
（1）
二. 涉及最大高度的临界问题
在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。
物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零。
例2. 如图（2）所示，质量为M的槽体放在光滑水平面上，内有半径为R的半圆形轨道，其左端紧靠一个固定在地面上的挡板。
质量为m的小球从A点由静止释放。
若槽内光滑，求小球上升的最大高度。
图（2）三. 涉及追碰的临界问题
两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度必须大于乙物体的速度，即，而甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是。
例3.如图所示，甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上做游戏，甲和他的冰车质量之和为M＝30 kg，乙和他的冰车质量之和也是M＝30 kg．游戏时，甲推着一个质量m＝15 kg的箱子以大小为v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑动到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦，求甲至少要以多大速度(相对于地)将箱子推出，才能避免与乙相撞．
解：当甲把箱子推出后，甲的运动存在三种可能：①继续向前，方向不变；②停止运动；③反向运动。
以上三种推出箱子的方法，由动量守恒定律可知，第一种推法箱子获得的速度最小，若这种推法能实现目标，则箱子获得的速度最小，设箱子的速度为
四. 涉及子弹打木块的临界问题
子弹打木块是一种常见的模型。
子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同。
例4. 静止在光滑水平面上的木块，质量为M、长度为L。
一颗质量为m的子弹从木块的左端打进。
设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力，要使子弹刚好从木块的右端打出，则子弹的初速度应等于多大？
(2013全国二卷)如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C．B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）．设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短．求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中．
（1）整个系统损失的机械能；
（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能．(2016全国二卷)．如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m（h小于斜面体的高度）．已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg，冰块的质量为m2=10kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g=10m/s2．
（i）求斜面体的质量；
（ii）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？。