西南交大数值分析题库分析题库1(方程,迭代)
西南交通大学2018-2019数值分析Matlab上机实习题
西南交通⼤学2018-2019数值分析Matlab上机实习题数值分析2018-2019第1学期上机实习题f x，隔根第1题.给出⽜顿法求函数零点的程序。
调⽤条件：输⼊函数表达式()a b，输出结果：零点的值x和精度e，试取函数区间[,]，⽤⽜顿法计算附近的根，判断相应的收敛速度，并给出数学解释。
1.1程序代码：f=input('输⼊函数表达式：y=','s');a=input('输⼊迭代初始值：a=');delta=input('输⼊截⽌误差：delta=');f=sym(f);f_=diff(f); %求导f=inline(f);f_=inline(f_);c0=a;c=c0-f(c0)/f_(c0);n=1;while abs(c-c0)>deltac0=c;c=c0-f(c0)/f_(c0);n=n+1;enderr=abs(c-c0);yc=f(c);disp(strcat('⽤⽜顿法求得零点为',num2str(c)));disp(strcat('迭代次数为',num2str(n)));disp(strcat('精度为',num2str(err)));1.2运⾏结果：run('H:\Adocument\matlab\1⽜顿迭代法求零点\newtondiedai.m')输⼊函数表达式：y=x^4-1.4*x^3-0.48*x^2+1.408*x-0.512输⼊迭代初始值：a=1输⼊截⽌误差：delta=0.0005⽤⽜顿法求得零点为0.80072迭代次数为14精度为0.00036062⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根，给定⼀个初值，每经过⼀次⽜顿迭代，曲线上⼀点的切线与x轴交点就会在区间[a,b]上逐步逼近于根。
上述例⼦中，通过给定初值x=1，经过14次迭代后，得到根为0.80072，精度为0.00036062。
西南交通大学研究生数值分析总复习
记x*表示x的近似值，若x* 0.a1a2 an 10m , (ai 是0,1,,9中的一个数字，a1 0)，
*
1 mn 如果 x x 10 , 则称x *近似x时具有n位有效数字。 2
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3. 记近似值x*=0.a1a2…an×10m，若要保留五位有效数 字（这是 以后常会用到的），即要求误差限ε<0.5×10m-n, 则n=5；
1 这即要求出满足： 10( n 1) 0.01%的n 2a1
例3（续）
1 由a1 5 10( n 1) 0.01% 0.0001 25 10( n 1) 0.001 n 1 lg 0.001 3 n 4 1 因此，只要对 0.052631578 的近似值取四位 19 1 有效数字为 0.05263 ，则其相对误差限就不 超过0.01% 19
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§2 绝对误差、相对误差和有效数字
2.1 绝对误差与相对误差 设 x *为准确值的近似值，记
e xx
*
e x x* er x x
分别称e为近似值x *的绝对误差或误差， er为x*的相对误差。
一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝 对误差e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情 况估计出e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界ε :
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迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是： 设方程f (x) = 0在区间[a, b]内有一根x*，将方程化为等价 方程x = (x)，并在[a, b]内任取一点x0作为初始近似值， 然后按迭代公式计第二章 非线性方程求解算： x ( x ), (k 0,1,2,) (2 - 3)
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西南交大数值分析题库积分微分方程
用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)()1f x ∞≤）；如果知道(2)()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰此实际值 大 (大，小)。
在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =∈⎰为内积的空间C[0,1]中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 23x -3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y yy λ'=⎧⎨=⎩的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler 公式 11,1,,,k k k xy y h y k n h nλ--=+==L -----------(5分) ()()1011kk k y h y h y λλ-=+==+L ------------------- (10分)若用复化梯形求积公式计算积分1x I e dx =⎰区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值1．用Romberg 法计算积分 232x e dx -⎰解 []02()()2b aT f a f b -=+= 9.6410430E-003 10221()222b a a bT T f -+=+= 5.1319070E-00310022243T T S -== 4.6288616E-00322T = 4.4998E-003 21122243T T S -== 4.E-0031002221615S S C -== 4.6588636E-00332T = 4.7817699E-00332222243T T S -== 4.1067038E-0032112221615S S C -== 4.5783515E-0031002226463C C R -== 4.7358037E-0032．用复合Simpson 公式计算积分232x e dx -⎰(n=5)解 44501()4()2()(),625k k h h b aS f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦∑∑5S =4.3630653 E-0033、 对于n+1个节点的插值求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度. 4、 插值型求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0nk k A =∑=b-a 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎰=)(f 2880)a b ()4(5η--(η∈[a,b])因此对不超过3次的多项式f(x)有()()4()()022bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰即()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰精确成立,对任一4次的多项式f(x)有 因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
西南交大数值分析第一次大作业答案
数值分析大作业1、证明：1-x-sinx=0在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于0.5*10^-4的根要迭代多少次，并输出每一步的迭代解和迭代误差证明：令f(x)= 1-x-sinx;f(0)=1,f(1)=-sin1f(0)*f(1)<0f’(x)=1-cosx<0在[0,1]内恒成立所以1-x-sinx=0在[0,1]内恒有一个根程序：function chap2bisecta = 0;b = 1;fprintf('n || a || b || c || r \n')for k=1:15c = (a+b)/2;r=(b-a)/2;fa =1-a-sin(a);fb =1-b-sin(b);fc =1-c-sin(c);fprintf('%d || %f || %f || %f \n',k,a,b,c,r);if abs(fc)<0.5*10^(-4) r=c; sprintf('the root is: %d' , r);elseif fa*fc<0 b=c;elseif fb*fc<0 a=c;endendroot = (a+b)/2结果：n || a || b || c || r1 || 0.000000 || 1.000000 || 0.500000 ||5.000000e-001 ||2 || 0.500000 || 1.000000 || 0.750000 ||2.500000e-001 ||3 || 0.500000 || 0.750000 || 0.625000 ||1.250000e-001 ||4 || 0.500000 || 0.625000 || 0.562500 ||6.250000e-002 ||125 || 0.500000 || 0.562500 || 0.531250 ||3.125000e-002 ||6 || 0.500000 || 0.531250 || 0.515625 ||1.562500e-002 ||7 || 0.500000 || 0.515625 || 0.507813 ||7.812500e-003 ||8 || 0.507813 || 0.515625 || 0.511719 ||3.906250e-003 || 9 || 0.507813 || 0.511719 || 0.509766 ||1.953125e-003 || 10 || 0.509766 || 0.511719 || 0.510742 ||9.765625e-004 || 11 || 0.510742 || 0.511719 || 0.511230 ||4.882813e-004 || 12 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 13 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 14 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 15 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || root =0.510986328125000。
西南交大线性代数习题参考答案
西南交大线性代数习题参考答案第一章 行列式§1 行列式的概念1． 填空(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。
(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。
(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。
(4) 在6阶行列式中， 含152332445166aa a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a a a a a a的项的符号为 。
2． 用行列式的定义计算下列行列式的值(1)1122233233000a a a a a解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。
(2)12,121,21,11,12,100000n n n nn n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比nn-2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）21141183---（2）222111a b c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式 (1)()33ax byay bzaz bxxy z D ay bz az bx ax by a b yz x az bx ax by ay bz zxy+++=+++=++++（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2) ()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n nnn n xx x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+(提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
西南交大《数值计算》习题习题
4
5
y
0
16
46
88
0
求各价差商，并写出Newton基本插值公式。 4． 已知函数表：
x 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750
f(x) 0.79618 0.77334 0.74371 0.70431 0.65632 0.60228
(1) 写出差分表 (2) 用Newton向前插值公式计算f(0.158)的近似值 (3) 用Newton向后插值公式计算f(0.636)的近似值 5． 求次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足：
6． 用Romberg法计算下述积分。
(1)
(2)
使误差不超过
7． 分别用n=5的Gauss型求积公式，计算：
及
8. 试证明上的Gauss-Legendre求积公式的节点和系数关于原点是对称分
布。
习题八 1． 分别用Euler法，改进Euler法，二阶及四阶标准Rumge-Kutta法求 解如下的初值问 题。 在点x=0.1处的数值解（分别取h=0.1,h=0.05）及局部截断误差（准确
（1） p(1)=p (1)=0, p(2)=p (2) =0, p(3)=1 （2） p(0)=p (0)=0, p(1)=p (1) =1, p(2)=1 并写出误差表达式。 6． 已知数据表：
x
1
2
4
5
y
1
4
6
4
试分别求出满足下列条件的三次样条插值函数。 (1)S (1)=1 S (5)=0 (2)S (1)=1 S (5)=0 7. 设
习题八分别用euler法改进euler法二阶及四阶标准rumgekutta法求解如下的初值问在点x01处的数值解分别取h01h005及局部截断误差准确解y用adamas预报一校正公式求初值问题
数值分析试卷及其答案1
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有６位有效数字，求绝对误差限。
（4分)解:由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分）解:{},88,4,1max 1==A１分{},66,6,1max ==∞A1分()AA A T max 2λ=1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T420⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001220-⎥⎥⎥⎦⎤440＝⎢⎢⎢⎣⎡00180⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分{}3232,8,1max )(max ==A A T λ1分24322==A3. 设32)()(a x x f -= （６分） ① 写出f(x ）＝0解的Ne ｗt ｏｎ迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,１……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①N ｅwton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分 ②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组A ｘ=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=０,１……)求解Ａx ＝b,问取什么实数α，可使迭代收敛(8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B ２分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I2分即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α ２分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jaco ｂｉ迭代法的收敛性,并建立Gauss-Ｓeidel 迭代格式 (9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-21)(1U L D B J22--⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分,03213=====-λλλλλJ B I2分即10)(<=J B ρ,由此可知Jaco ｂi 迭代收敛 １分Gauss －Ｓeidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k=０,1,2,3……) ３分6. 用Dool ｉttl ｅ分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i ＝1,2,3)其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= (１2分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=ＬU 3分由Ly=ｂ1,即⎢⎢⎢⎣⎡111110⎥⎥⎥⎦⎤100ｙ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974得y ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分由Ｕｘ1＝y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得ｘ1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421ｘ2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111由Ly=ｂ2=x １，即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 １分由U ｘ2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 由L ｙ=ｂ3=x2,即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分由U ｘ3＝y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分)解:作重点的差分表,如下:3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+１)+2ｘ.ｘ(x ＋1）=232x x +3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表,并利用Ｎew ｔon 前插公式给出它的插值多项式 (7分)解:由已知条件可作差分表,3分i ih x x i =+=0 (i ＝0，１，2,3）为等距插值节点，则N ｅw ｔｏn 向前插值公式为: 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f hx x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+= ＝4＋５ｘ＋x(ｘ-1)=442++x x4分9. 求f(x)=x 在[-1，1］上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ,并求出平方误差 （8分)解:令22102)(x a x a a x P ++=2分取m ＝1, ｎ=x ， k=2x ，计算得： （m,m)＝dx ⎰-111＝0 (m,ｎ)=dx x ⎰-11=１ (m ，k)=dx x⎰-112＝0(n,k)=dx x⎰-113=0．5 （k,ｋ)=dx x⎰-114=０ （m,y ）＝dx x ⎰-11=1(n,ｙ)=dx x ⎰-112＝０ (k ，y ）=dx x ⎰-113＝0.5得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零） 即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+=１分平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据:用复合梯形公式，复合Ｓi ｍps ｏn 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位) （８分)解:用复合梯形公式: )}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3．1３９4分用复合Ｓimpso ｎ公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++= ＝３.142４分11. 计算积分⎰=2sin πxdx I ，若用复合Simpso ｎ公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分？若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解: ①由Simp ｓon 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ２分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π,由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯１分12. 用改进Eu ｌe ｒ格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为０．1，计算y(1.１）的近似值 （保留小数点后三位)[提示:sin1＝0.84,ｓi ｎ1.1=0．８9] （6分）解：改进Ｅul ｅr 格式为:⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y2分于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=０,1,2……) 2分 由y(１）=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y2分即ｙ（1.1)的近似值为0.83８13. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明:]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出4分14. 证明:设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数,则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值,x 为相对应的特征向量,则有Ａx=λｘ１分且λρ=)(A ,若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ1分而xx ⋅=λλx A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax2分 由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以1分 故A A ≤)(ρ1分当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
西南交通大学数值分析题库
考试目标及考试大纲本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。
通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。
本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。
考试内容包括以下部分：绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。
非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。
解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。
解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。
插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。
西南交大数值分析题库插值逼近题库
xkj lk (0)
1, 0, ( 1) n x0 x1...xn
n k 0 n 1 xk lk ( x) n k 0
j 0 j 1,2,...,n j n 1
n f ( n 1) () wn 1 ( x) 其中，wn+1(x)= ( x (n 1)! j 0
n k 0
证明： f ( x)
f (3) () 2 (x 3! k 0 xk )
(3). 三次样条插值与一般分段 3 次多项式插值的区别是_____ (三次样条连续且光 滑，一般分段 3 次连续不一定光滑。) §2. 计算题 (1). (a10 分)依据下列函数值表，建立不超过 3 次的 lagrange 插值多项式 L3(x). x 0 1 2 3 f(x) 1 9 23 3 解：基函数分别为
xn
1
(x
j 0
xj )
n 1 xk lk ( x)
wn 1 ( x) 可见其为 n 次多项式，并且可得其最高次系数为
(x0+…+ xn) (5). 设函数 f(x)是 k 次多项式，对于互异节点 x1,…, xn,， 证明当 n>k 时，差商 f [x, x1,…,xn]0，当 nk 时，该差商是 k-n 次多项式。 证明：因 f [ x0 , x1 , , xn ]
多项式 P1(x)在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值即可。
f ( x) P 1 ( x) f () ( x a)( x b) 2!
x3 , c( x 1)
2 3
hi2 max f // ( x) a 8 x b
0 x x 1 2
x [a, b]
(12). s(x)=
2
已知 s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
西南交大数值分析题库填空
西南交大数值分析题库填空一. 填空2．Gauss型求积公式不是插值型求积公式。
（限填“是”或“不是”）3. 设l k(x)是关于互异节点x0, x1,…, x n, 的Lagrange 插值基函数，则 0m=1,2,…,n5．用个不同节点作不超过次的多项式插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton插值方法所得多项式相等(相等, 不相等)。
7. n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1次8.f(x)=ax7+x4+3x+1,f[20, 21,…,27]= a，f [20, 21,…,28]= 010设(i=0,1,…,n)，则＝ _x_ , 这里（x i x j,ij, n2）11.设称为柯特斯系数则=______1____12采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的_法方程组病态___问题。
13辛卜生（Simpson）公式具有___3____次代数精度。
14 牛顿插商与导数之间的关系式为：15试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？答：p(x)=(3/2)x, ; 唯一。
17.给定方程组记此方程组的Jacobi迭代矩阵为B J=(a ij)33，则a23= -1； ,且相应的Jacobi迭代序列是__发散_____的。
18.欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为h) ，此方法是阶方法。
，此方法是 2阶方法。
19. 2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。
20.设，则关于的 ||f|| =121矩阵的LU分解中L是一个_为单位下三角阵，而U是一个上三角阵____。
22.设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: ||f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|23设迭代函数(x)在x*邻近有r（1）阶连续导数，且x* = (x*)，并且有(k) (x*)=0 (k=1,…,r-1)，但(r) (x*)0，则x n+1=(x n)产生的序列{ x n }的收敛阶数为___r___24设公式为插值型求积公式，则, 且=b-a25称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为O(h p+1)。
西南交大2007--2008数值分析期末真题
一、 填空题（每空2分，共40分） 07~081、求方程3310x x --= 的在02x =附近的根，用迭代公式1k x += 具有局部收敛性；用迭代公式3113k k x x ++=（是，否） 具有局部收敛性。
2、函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,是三次样条函数的函数是 ，另一函数不是三次样条函数的理由是 。
3、若用复化梯形求积公式计算积分10x I e dx =⎰ 区间[0,1]应分 _______ 等分，即要计算个_______ 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分_____ 等分，即要计算个 _____点的函数值。
4、设若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A ，=2||||A ，=∞||||A ；则矩阵A 的谱半径(A)= ，cond 1(A)=5、在方阵A 的LU 分解中, 方阵A 的所有顺序主子不为零,是方阵A 能进行LU 分解的______(充 分,必要)条件；严格行对角占优阵______(能,不能)进行LU 分解；非奇异矩阵_______(一定，不一 定)能进行LU 分解。
6、设f (x )=2x 4在[-1,1]上的不超过3次最佳一致逼近多项式P (x )= 。
7． 在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =?ò为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的一次多项式是8、能用乘幂法解n 阶矩阵A 的特征值中，能求出模最大特征值及对应的特征向量，那么矩阵A 应满足的特征值条件为 , 特征向量条件为 。
二、 计算题（共50分）1. (14分) 设方程组1231231235212422023103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ (1)写出Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式,指出是否收敛并证明你的结论(2)如果(0)( 3.9,3.1,1.9)T x =-,分别用Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式计算 (1)x2. (20分)用Householder 方法将1220014112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦化为上Hessenberg 阵 要求 (1) 写出Householder 矩阵H(2) 对应的上Hessenberg 阵 21A HA H =3. (16分） 1)设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求)(2x P2）构造如下的Gauss 型求积公式100110()()()xf x dx A f x A f x ?ò三、证明题 （共10分）设()f x 在区间a b [,]上具有四阶连续导数，设3()H x 是满足3()H a =()f a ，3()()H b f b =， 3()H a '=()f a '，3()()H b f b ''= 的三次Hermite 插值多项式。
西南交大数值分析题库分析题库1(方程,迭代)
（1） x
(cos x
解答
（1） ( x)
(cos x
( x)
故能用迭代法求根。 （2）方程为 x
( sin x
x
简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。
x
f ( x) / f ( x0 ) ，则 ( x)
L 1 （在 x*的邻域内）是
xn
1
xn
即 解得
f ( xn ) / f ( x0 ) 收敛的一个充分条件，
1
f ( x) / f ( x0 )
L 1
1 1 L 1 ,使对任何 x [a, b] 上式都能成立的话，单调
xk
1.368869419 1.368808109 1.368808108
x5
1.368808108 。
注记 由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛 顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言， 当牛顿法中 f ( xk ) 的计算量超过 f ( xk ) 的计算量的 44%时，双点弦割法的总计算时间较牛 顿法的少，见参考文献 7. 例 4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的 形式。
1 ，使
5
4.8x 0.51 1.141213562
2
0
1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562
曲线 y
2.4 x2 1.89 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿
西南交通大学数值分析题库
考试目标及考试大纲本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。
通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。
本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。
考试内容包括以下部分：绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。
非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。
解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。
解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。
插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。
数值分析试题库与答案解析
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出 其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, (0.02，0.22，0.1543) 7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。
(西南交大)数值分析题库-方程组
例5-10 求矩阵Q 的||Q ||1，||Q ||2，||Q ||∞与Cond 2(Q)，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111Q 分析 这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。
解答 （1）由定义，显然||Q ||1=4 （2）因Q T Q=4I ，故24)(||||max 2===Q Q Q T λ（3）由定义显知4||||=∞Q （4）因Q T Q=4I ，故T Q Q 411=-，从而T T QQ Q Q 161)()(11=--==---)]()[(||||11max 21Q Q Q T λ21)41()161(max max ==I QQ T λλ 所以1212||||||||)(Cond 2122=⋅=⋅=-Q Q Q 例5-12 设有方程组AX=b ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3231 21 ,220122101b A已知它有解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0 3121 X . 如果右端有小扰动61021||||-∞⨯=b δ，试估计由此引起的解的相对误差。
分析 本题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出Cond ∞(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。
解答 容易求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1125.1121111A ，从而Cond ∞(A)=22.5由公式∞∞∞∞∞⋅≤||||||||)(||||||||b b A Cond X X δδ有56106875.13/210215.22|||||||--∞∞⨯=⨯⨯≤bX X δ例5-13 试证明矩阵A 的谱半径与范数有如下关系||||)(A A ≤ρ其中||A||为A 的任何一种算子范数。
分析 由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。
证明 由特征值定义，对任一特征值λ有 AX=λX （X ≠0，特征向量） 取范数有 ||AX||=|λ| ⋅ ||X||由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||≤||A|| ⋅ ||X|| 从而|λ| ⋅ ||X||≤||A|| ⋅ ||X|| 由于X ≠0，故|λ|≤||A||，从而 ρ(A) ≤ ||A||例5-18 设A,B 为n 阶矩阵，试证Cond(AB) ≤ Cond(A) ⋅ Cond(B)分析 由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。
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( x)
(1 x2 )1/3 , ( x)
2 / [3(1
x2 ) 2/3 ]
2 1.6 / [3(1 1.32 )]2/3
（2）也收敛。 （3）
( x)
1/ x 1, ( x)
1/ [2( x 1)3 / 2]
1 2(1.6 1)3/2
k 5 6 7 8 9
1.0758287 1 ，故发散。
x8
设a
0.00003447
0, x0
2 xk ( xk
1 10 3 ,故可取 x* 2
2 3a) / (3xk
x9
1.466 。
0 ，证明迭代公式
xk
分析
1
a)
是计算 a 的三阶方法。 本题应说明 xk 的极限为 a，并且 lim ( xk
k 1
a) / ( xk
a )3
C ( 0) 才行。
关于第二件事也可按定理 3.3 来证（下文未给出该种证明） 。 证明 显然，当 a 0, x0 0 时， xk 0(k 1, 2, ) 。令
x*) / f ( x0 )
这样 所以
x*
x*
f ( x0 ) ( xn 1 xn ) f () f ( x0 ) xn 1 xn f ()
1
1 f ( x0 ) xn m
例 7-2 已知函数方程 ( x 之对任意初始近似 x0 求 xk
xn
（1）确定有根区间[a,b]； （2）构造不动点迭代公式使 2)e x 1， [a, b] ，迭代方法均收敛； （3）用所构造的公式计算根的近似值，要
sin x) / 4 ，对所有的 x，有 2 1 cos x) / 4 1 4 2
x 4
2 ln 2
x
4
2x
0 。设 f ( x)
x
2 x ，则 f (1)
2ln 2
0, f (2)
0 ，故有根
区间为[1,2]，题中 ( x)
4 2 , ( x)
1.38629 1 ，故不能用
xk
4 2 xk 来迭代。 把原方程改写为 x ln(4 x) / ln 2 ，此时， ( x) ln(4 x) ln 2 ， 1 1 1 1 1 ( x) 1 ，故可用迭代公式 4 x ln 2 4 2 ln 2 2ln 2 xk 1 ln(4 xk ) / ln 2
x
1, f (1)
0, f (1)
1 时 f(x)单减，故 f(x)=0 在 (
（2）将 ( x
,
) 内有具仅有一根 x * ，即 x* [2,3] 。
2)e x
1 等价变形为 x
( x)
2
e x , x [2,3] ，则，由于当
e
2
x [2,3] 时 2
故不动点迭代法 xk
1
3, ( x)
，对 x0
1 ，使
5
4.8x 0.51 1.141213562
2
0
1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562
曲线 y
2.4 x2 1.89 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿
1
迭代法求切点横坐标的近似值 xk 解 两曲线的导数分别为 y 令 f ( x)
3x 2
迭代法，得计算公式
xk
由于 f ( x) 表 7-6 k 0 1 2 继续计算仍得 x6 注 本题也可令 x
由于 ( x0 ) 越小，越快地收敛于 x * ，故取第（2）式来求根。计算结果如下： k 0 1 2 3 4 由于 x9 例 4-15
xk
1.5 1.48124803 1.47270573 1.46881731 1.46704797
xk
1.46624301 1.46587682 1.46571024 1.46563446 1.46559999
（2）C 取何值对收敛最快？
1 1 ，计算 ( x) 的不动点 2 ，要求 , 2 2 2 xk 1 xk 10 5
x C( x2 2), ( x) 1 2Cx ，根据定理 7.3 当
解（1） ( x)
4
( 2)
1 2 2C
1 ，亦即
1 2
C
0 时迭代收敛。
0 ，即 C
（2）由定理 7.4 知，当 ( 2) 敛的，收敛最快。 （3）分别取 C 表 7-4 k 0 1 6 12 13 此时都达到 xk 例 7-8
例 4-2 证明 1
x sin x
使用二分法求误差不大于 0 在[0,1]内有一个根，
1 10 4 的根要 2
迭代多少次？ 解答 设 f ( x)
f ( x)
xk
2
k
1 x sin x ，则 f ( x) 1 0, f (1) sin1 0 ；又因 1 cos x 0, x [0,1] ，故..在[0，1]上单减，因此 f(x)在[0,1]上有且仅有一个根。
0 要求
0, f (2) 0 ，故应取
xk
10 6 。
0 在（1，2）内有一个根，且 f ( x)
解答 由上题知， f ( x)
x0
2 ，利用牛顿迭代公式 xk 1 xk f ( xk ) / f ( xk ), k xk
1 1.6 1.383388704 ,故取 x*
0,1, 2,
k 3 4 5
计算结果如下： k 0 1 2
x5 3.347529903 0.136323129 0 ，故根据定理 7.4 知方法是线性收敛的，并有
ek 1 ek
( x*) .。
对于迭代函数 ( x)
1
例 7-4
x
C( x2
2) ，试讨论：
（1）当 C 为何值时， xk （3）分别取 C
( xk )(k
0,1, 2, ) 产生的序列 xk 收敛于 2 ；
例 7-3 考虑求解方程 2cos x
3x 12
0 的迭代公式
2 xk 1 4 cos xk , k 3 （1）试证：对任意初始近似 x0
（2）取 x0 （3）所给方法的收敛阶是多少？
0,1, 2,
R ，该方法收敛；
1
4 ，求根的近似值. xk
xk
4
10 3 .；
2 cos x, x ( 3 , ) 。由于 ( x) 的值
x （2） x 4 2 。 sin x) / 4 ； 分析 判断方程 x ( x) 能否用迭代法求根，最关键的是 ( x) 在根的附近能否满足 ( x) I 1 。因此可用该条件来判断。
（1） x
(cos x
解答
（1） ( x)
(cos x
( x)
故能用迭代法求根。 （2）方程为 x
( sin x
解（1）由迭代公式知，迭代函数 ( x) 域介于 4
2 与 4 3
2 之间，且 3 ( x) 2 2 sin x 1 3 3 , ) 内存在惟一的不动点 x*，且对 x0
故根据定理 7.1,7.2 知 ( x) 在 ( 式得到的序列 xk 收敛于 x*。 （2）取 x0 表 7-3 k 0 1 2 3 4 5 此时 x5 已满足差要求，即 x* （3）由于 ( x*) 有. lim
x
简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。
x
f ( x) / f ( x0 ) ，则 ( x)
L 1 （在 x*的邻域内）是
xn
1
xn
即 解得
f ( xn ) / f ( x0 ) 收敛的一个充分条件，
1
f ( x) / f ( x0 )
L 1
1 1 L 1 ,使对任何 x [a, b] 上式都能成立的话，单调
k
R ，迭代公
4 ，迭代计算结果如表 7-3 所示。 xk
4 3.564237587 3.391995168 3.354124827 3.348333384 3.347529903
xk
xk
1
0.435762413 0.172242419 0.037870341 0.005791443 0.000803481
xk
xk
10 5 。
3x 2
0.51 和 y
4.8x ，两曲线相切，导数相等，故有
4.8x 0.51 ，则 f(1)<0,f(2)>0，故区间[1,2]是 f(x)=0 的有根区间，又当 x [1, 2] 时， f ( x) 6 x 4.8 0 ，因此 f(x)=0 在[1,2]上有惟一实根 x*
2
e
xk
,k
0,1, 2,
[2,3] 均收敛。
3
（3）取 x0
2.5 ，利用 xk
1
2
e
xk
进行迭代计算，结果如表 7-2 所示 .. 0.417915001 0.042585005 0.0058197617 0.000622589
xk k 0 2.5 1 2.082084999 2 2.124670004 3 2.119472387 4 2.120094976 此时 x4 已满足误差要求，即 x* x4 2.120094976 。
xk
1.368869419 1.368808109 1.368808108
x5
1.368808108 。
注记 由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛 顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言， 当牛顿法中 f ( xk ) 的计算量超过 f ( xk ) 的计算量的 44%时，双点弦割法的总计算时间较牛 顿法的少，见参考文献 7. 例 4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的 形式。