西南交大数值分析题库积分微分方程

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西南交通大学2018-2019数值分析Matlab上机实习题

西南交通⼤学2018-2019数值分析Matlab上机实习题数值分析2018-2019第1学期上机实习题f x，隔根第1题.给出⽜顿法求函数零点的程序。

调⽤条件：输⼊函数表达式()a b，输出结果：零点的值x和精度e，试取函数区间[,]，⽤⽜顿法计算附近的根，判断相应的收敛速度，并给出数学解释。

1.1程序代码：f=input('输⼊函数表达式：y=','s');a=input('输⼊迭代初始值：a=');delta=input('输⼊截⽌误差：delta=');f=sym(f);f_=diff(f); %求导f=inline(f);f_=inline(f_);c0=a;c=c0-f(c0)/f_(c0);n=1;while abs(c-c0)>deltac0=c;c=c0-f(c0)/f_(c0);n=n+1;enderr=abs(c-c0);yc=f(c);disp(strcat('⽤⽜顿法求得零点为',num2str(c)));disp(strcat('迭代次数为',num2str(n)));disp(strcat('精度为',num2str(err)));1.2运⾏结果：run('H:\Adocument\matlab\1⽜顿迭代法求零点\newtondiedai.m')输⼊函数表达式：y=x^4-1.4*x^3-0.48*x^2+1.408*x-0.512输⼊迭代初始值：a=1输⼊截⽌误差：delta=0.0005⽤⽜顿法求得零点为0.80072迭代次数为14精度为0.00036062⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根，给定⼀个初值，每经过⼀次⽜顿迭代，曲线上⼀点的切线与x轴交点就会在区间[a,b]上逐步逼近于根。

上述例⼦中，通过给定初值x=1，经过14次迭代后，得到根为0.80072，精度为0.00036062。

西南交通大学研究生数值分析总复习

记x*表示x的近似值，若x* 0.a1a2 an 10m , (ai 是0,1,,9中的一个数字，a1 0)，
*
1 mn 如果 x x 10 , 则称x *近似x时具有n位有效数字。 2
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前进
3. 记近似值x*=0.a1a2…an×10m，若要保留五位有效数字（这是以后常会用到的），即要求误差限ε<0.5×10m-n, 则n=5；
1 这即要求出满足： 10( n 1) 0.01%的n 2a1
例3（续）
1 由a1 5 10( n 1) 0.01% 0.0001 25 10( n 1) 0.001 n 1 lg 0.001 3 n 4 1 因此，只要对 0.052631578 的近似值取四位 19 1 有效数字为 0.05263 ，则其相对误差限就不超过0.01% 19
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§2 绝对误差、相对误差和有效数字
2.1 绝对误差与相对误差设 x *为准确值的近似值，记
e xx
*
e x x* er x x
分别称e为近似值x *的绝对误差或误差， er为x*的相对误差。
一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝对误差e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情况估计出e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界ε :
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迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是：设方程f (x) = 0在区间[a, b]内有一根x*，将方程化为等价方程x = (x)，并在[a, b]内任取一点x0作为初始近似值，然后按迭代公式计第二章非线性方程求解算： x ( x ), (k 0,1,2,) (2 - 3)
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西南交大数值分析第一次大作业答案

数值分析大作业1、证明：1-x-sinx=0在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于0.5*10^-4的根要迭代多少次，并输出每一步的迭代解和迭代误差证明：令f(x)= 1-x-sinx;f(0)=1,f(1)=-sin1f(0)*f(1)<0f’(x)=1-cosx<0在[0,1]内恒成立所以1-x-sinx=0在[0,1]内恒有一个根程序：function chap2bisecta = 0;b = 1;fprintf('n || a || b || c || r \n')for k=1:15c = (a+b)/2;r=(b-a)/2;fa =1-a-sin(a);fb =1-b-sin(b);fc =1-c-sin(c);fprintf('%d || %f || %f || %f \n',k,a,b,c,r);if abs(fc)<0.5*10^(-4) r=c; sprintf('the root is: %d' , r);elseif fa*fc<0 b=c;elseif fb*fc<0 a=c;endendroot = (a+b)/2结果：n || a || b || c || r1 || 0.000000 || 1.000000 || 0.500000 ||5.000000e-001 ||2 || 0.500000 || 1.000000 || 0.750000 ||2.500000e-001 ||3 || 0.500000 || 0.750000 || 0.625000 ||1.250000e-001 ||4 || 0.500000 || 0.625000 || 0.562500 ||6.250000e-002 ||125 || 0.500000 || 0.562500 || 0.531250 ||3.125000e-002 ||6 || 0.500000 || 0.531250 || 0.515625 ||1.562500e-002 ||7 || 0.500000 || 0.515625 || 0.507813 ||7.812500e-003 ||8 || 0.507813 || 0.515625 || 0.511719 ||3.906250e-003 || 9 || 0.507813 || 0.511719 || 0.509766 ||1.953125e-003 || 10 || 0.509766 || 0.511719 || 0.510742 ||9.765625e-004 || 11 || 0.510742 || 0.511719 || 0.511230 ||4.882813e-004 || 12 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 13 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 14 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 15 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || root =0.510986328125000。

西南交大《数值计算》习题习题

4
5
y
0
16
46
88
0
求各价差商，并写出Newton基本插值公式。 4．已知函数表：
x 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750
f(x) 0.79618 0.77334 0.74371 0.70431 0.65632 0.60228
(1) 写出差分表 (2) 用Newton向前插值公式计算f(0.158)的近似值 (3) 用Newton向后插值公式计算f(0.636)的近似值 5．求次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足：
6．用Romberg法计算下述积分。
(1)
(2)
使误差不超过
7．分别用n=5的Gauss型求积公式，计算：
及
8. 试证明上的Gauss-Legendre求积公式的节点和系数关于原点是对称分
布。
习题八 1．分别用Euler法，改进Euler法，二阶及四阶标准Rumge-Kutta法求解如下的初值问题。在点x=0.1处的数值解（分别取h=0.1,h=0.05）及局部截断误差（准确
（1） p(1)=p (1)=0, p(2)=p (2) =0, p(3)=1 （2） p(0)=p (0)=0, p(1)=p (1) =1, p(2)=1 并写出误差表达式。 6．已知数据表：
x
1
2
4
5
y
1
4
6
4
试分别求出满足下列条件的三次样条插值函数。 (1)S (1)=1 S (5)=0 (2)S (1)=1 S (5)=0 7. 设
习题八分别用euler法改进euler法二阶及四阶标准rumgekutta法求解如下的初值问在点x01处的数值解分别取h01h005及局部截断误差准确解y用adamas预报一校正公式求初值问题

数值分析练习题附答案

目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1）写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式）（2）讨论这两种迭代法的收敛性（3）取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。

西南交大研究生数值分析期末考试作业答案

序言随着科技的进步和经济的迅猛发展，计算机这一工具在人们的生活和工作中越来越重要，数值分析作为工程计算和科学计算连接计算机的一门基础课程日益受到人们的重视，数值分析这门课在我们整个研究生课程的学习中具有很重要的意义，对我们以后的工作学习有很重要的作用。

Matlab是与一个非常优秀的的计算机语言，集数学计算，仿真和函数绘图等于一体，是一款功能强大的数学软件，是科研机构进行数学建模分析、研究必要的工具。

本上机实习的所有内容都是采用Matlab7.0这个软件开发平台。

使用Matlab7.0语言所编写的程序，与Visual C++、Basic和Pascal程序相比，具有速度快、操作简单、修改方便、界面友好、功能强大等优势。

用C++自编程序解决问题针对性好,可以得到想要的各种结论,而用数学软件计算则有一定的局限性,因为数学软件的算法是封装的,甚至我们不知道命令的具体算法,另外数学软件的命令只能解决通用的计算问题,对需要特定结论的计算问题,比如得到迭代次数, 光用数学软件的命令便不能得到,而用C++编程则有很强的适应性,可以精细控制计算细节,得到一些想要的结论,但是对于常规的计算问题,比如拟合和插值以及解方程(组),如果只要结果,那么用软件计算比较有优势,所以对实际问题综合使用计算方法比较好.由于使用能力所限，有一些疏忽，恳请老师指正，在此感谢老师这个学期对我们的悉心教导。

第一题写出对一般的线性方程组通用的Gauss消元, Gauss-Seidel迭代程序。

并以下面的线性方程组为例进行计算，讨论所得到的计算结果是否与理论一致。

（1）6213100 1422200 3144345x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭或（2）10.80.835 0.810.820 0.80.81110x⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭或（3）134 716x⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭本题的思路为编写Gauss－Seidel迭带的函数，在matlab中运行，查看其收敛与否与收敛速度，然后验证迭代收敛的条件。

数值分析试题库与答案解析

模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, ，，0.1543)7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

西南交大数值分析题库填空

西南交大数值分析题库填空一. 填空2．Gauss型求积公式不是插值型求积公式。

（限填“是”或“不是”）3. 设l k(x)是关于互异节点x0, x1,…, x n, 的Lagrange 插值基函数，则 0m=1,2,…,n5．用个不同节点作不超过次的多项式插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton插值方法所得多项式相等(相等, 不相等)。

7. n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1次8.f(x)=ax7+x4+3x+1,f[20, 21,…,27]= a，f [20, 21,…,28]= 010设(i=0,1,…,n)，则＝ _x_ , 这里（x i x j,ij, n2）11.设称为柯特斯系数则=______1____12采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的_法方程组病态___问题。

13辛卜生（Simpson）公式具有___3____次代数精度。

14 牛顿插商与导数之间的关系式为：15试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？答：p(x)=(3/2)x, ; 唯一。

17.给定方程组记此方程组的Jacobi迭代矩阵为B J=(a ij)33，则a23= -1； ,且相应的Jacobi迭代序列是__发散_____的。

18.欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为h) ，此方法是阶方法。

，此方法是 2阶方法。

19. 2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。

20.设，则关于的 ||f|| =121矩阵的LU分解中L是一个_为单位下三角阵，而U是一个上三角阵____。

22.设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: ||f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|23设迭代函数(x)在x*邻近有r（1）阶连续导数，且x* = (x*)，并且有(k) (x*)=0 (k=1,…,r-1)，但(r) (x*)0，则x n+1=(x n)产生的序列{ x n }的收敛阶数为___r___24设公式为插值型求积公式，则, 且=b-a25称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为O(h p+1)。

西南交大2007--2008数值分析期末真题

一、填空题（每空2分，共40分） 07~081、求方程3310x x --= 的在02x =附近的根，用迭代公式1k x += 具有局部收敛性；用迭代公式3113k k x x ++=（是，否）具有局部收敛性。

2、函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,是三次样条函数的函数是，另一函数不是三次样条函数的理由是。

3、若用复化梯形求积公式计算积分10x I e dx =⎰ 区间[0,1]应分 _______ 等分，即要计算个_______ 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分_____ 等分，即要计算个 _____点的函数值。

4、设若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A ，=2||||A ，=∞||||A ；则矩阵A 的谱半径(A)= ，cond 1(A)=5、在方阵A 的LU 分解中, 方阵A 的所有顺序主子不为零,是方阵A 能进行LU 分解的______(充分,必要)条件；严格行对角占优阵______(能,不能)进行LU 分解；非奇异矩阵_______(一定，不一定)能进行LU 分解。

6、设f (x )=2x 4在[-1,1]上的不超过3次最佳一致逼近多项式P (x )= 。

7．在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =?ò为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的一次多项式是8、能用乘幂法解n 阶矩阵A 的特征值中，能求出模最大特征值及对应的特征向量，那么矩阵A 应满足的特征值条件为 , 特征向量条件为。

二、计算题（共50分）1. (14分) 设方程组1231231235212422023103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ (1)写出Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式,指出是否收敛并证明你的结论(2)如果(0)( 3.9,3.1,1.9)T x =-,分别用Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式计算 (1)x2. (20分)用Householder 方法将1220014112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦化为上Hessenberg 阵要求 (1) 写出Householder 矩阵H(2) 对应的上Hessenberg 阵 21A HA H =3. (16分） 1)设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求)(2x P2）构造如下的Gauss 型求积公式100110()()()xf x dx A f x A f x ?ò三、证明题（共10分）设()f x 在区间a b [,]上具有四阶连续导数，设3()H x 是满足3()H a =()f a ，3()()H b f b =， 3()H a '=()f a '，3()()H b f b ''= 的三次Hermite 插值多项式。

西南交大数值分析题库

考试目标及考试大纲本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。

通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。

本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。

考试内容包括以下部分：绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。

非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。

解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。

解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。

插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。

(完整word版)西南交通大学2011-2012学年第(1)学期考试试卷(A卷)-计算方法II

2i 西南交通大学2011 - 2012学年第（1）学期考试试卷（A 卷） I ■ I 课程代码1171002课程名称计算方法II _________ 考试时间120分钟、填空（共18分，每空2 分）A 二L ・L T ，其中L 是对角线元素为正的下三角阵。

、（12分）已知函数f x 的数据表如下： X i -1 0 1f(X i ) -1 0 1f 'X i ) --1线订装封密题号一一一二二二 -三四五六七八九十总成绩得分 (1) 若 f x = x 7 x 3 1，则 f 2, (2) 如果A = -1 1」，则 cond 2 A = (3) 形如 f （x ）dx ：・、A k f x k 的插值型求积公式，其代数精度至少可达阶，至多能达到阶。

线订装封密(4) 0 i0 0 2 -2 (5) ，当a 满足条件时，A 可作LU 分解，当a 满足条件时，必有分解线订装封密三、（8 分）用乘幕法计算矩阵I 4 14 0 I13按摸最大特征值和相应的特征向量。

取 x 叽1,1,1，迭代两步即可。

阅卷教师签字: 20,21^128 二求满足上述数据的三次样条插值函数。

四、（12 分）用n = 4的高斯-勒让德公式求积分值2\ =.1 2xdx并估计计算误差。

五、(20 分)设微分方程初值问题为'y”' = ®(x,y,y'y") ,a 兰x 兰by(a)二y°,y'(a)二y°,y”(a)二y0(1)构造求解此问题的四阶龙格-库塔格式；(2)如果Jx,y,y'y") = _x-1 • 2e x,a = 0, y°二y°二y； = 0，写出上述四阶龙格-库塔的具体格式，并取h=0.1，计算y(0.1)，y(0.2)，y(0.3)。

六、(12 分)写出解线性方程组^-5x2 x3 = 16x1 x2 _4x3二7-8x1 x2= 1Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并判断其收敛性。

西南交大大学物理卷子

第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征值为 2
m 0,1,) (m
对应的本征函数为
( ) A cos m B sin m
这时，另一个方程为
5
1 d d m (sin ) [l (l 1) 2 ] 0 sin d d sin
x
d 2R dR 2 x x ( x 2 m2 ) R 0 2 dx dx
11
这称为虚宗量贝塞尔方程，只要把贝塞尔方程的自变量x用ix代换，就将贝塞尔方程变为虚宗量贝塞尔方程。前面，对三维Laplace方程，在球坐标系中，由的方程导出L阶勒让德方程，柱坐标系中，由R的方程在两种情况下分别导出贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程。 2. 波动方程
与Laplace方程时的情况比较，仅是R的方程不同，R 的方程可写为
d R dR r 2r [k 2 r 2 l (l 1)]R 0 dr2 dr
2
2
16
称为L阶的球贝塞尔方程。作代换
x kr, R(r )
得到

2xΒιβλιοθήκη y ( x)d2y dy 1 2 2 2 x x [ x (l ) ] y 0 2 dx dx 2 这称L+1/2阶的贝塞尔方程。当k=0时，方程则退化为欧拉型方程。 (2) 柱坐标系柱坐标系中的亥姆霍兹方程为
第九章
二阶常微分方程级数解法本征值问题
1.特殊函数常微分方程
2.常点邻域上的级数解法
3.正则奇点邻域上的级数解法 4.施图姆-刘维尔本征值问题(自学)
1
§1. 特殊函数常微分方程
place方程
2.波动方程 3.输运方程
4.亥姆霍兹方程

西南交大数值分析题库分析题库1(方程,迭代)

x （2） x 4 2 。 sin x) / 4 ；分析判断方程 x ( x) 能否用迭代法求根，最关键的是 ( x) 在根的附近能否满足 ( x) I 1 。因此可用该条件来判断。
（1） x
(cos x
解答
（1） ( x)
(cos x
( x)
故能用迭代法求根。（2）方程为 x
( sin x
x
简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。
x
f ( x) / f ( x0 ) ，则 ( x)
L 1 （在 x*的邻域内）是
xn
1
xn
即解得
f ( xn ) / f ( x0 ) 收敛的一个充分条件，
1
f ( x) / f ( x0 )
L 1
1 1 L 1 ,使对任何 x [a, b] 上式都能成立的话，单调
xk
1.368869419 1.368808109 1.368808108
x5
1.368808108 。
注记由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言，当牛顿法中 f ( xk ) 的计算量超过 f ( xk ) 的计算量的 44%时，双点弦割法的总计算时间较牛顿法的少，见参考文献 7. 例 4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。
1 ，使
5
4.8x 0.51 1.141213562
2
0
1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562
曲线 y
2.4 x2 1.89 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿

西南交通大学数值分析题库

通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。

本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。

(西南交大)数值分析题库-方程组

例5-10 求矩阵Q 的||Q ||1，||Q ||2，||Q ||∞与Cond 2(Q)，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111Q 分析这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。

解答（1）由定义，显然||Q ||1=4 （2）因Q T Q=4I ，故24)(||||max 2===Q Q Q T λ（3）由定义显知4||||=∞Q （4）因Q T Q=4I ，故T Q Q 411=-，从而T T QQ Q Q 161)()(11=--==---)]()[(||||11max 21Q Q Q T λ21)41()161(max max ==I QQ T λλ 所以1212||||||||)(Cond 2122=⋅=⋅=-Q Q Q 例5-12 设有方程组AX=b ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3231 21 ,220122101b A已知它有解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0 3121 X . 如果右端有小扰动61021||||-∞⨯=b δ，试估计由此引起的解的相对误差。

分析本题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出Cond ∞(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。

解答容易求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1125.1121111A ，从而Cond ∞(A)=22.5由公式∞∞∞∞∞⋅≤||||||||)(||||||||b b A Cond X X δδ有56106875.13/210215.22|||||||--∞∞⨯=⨯⨯≤bX X δ例5-13 试证明矩阵A 的谱半径与范数有如下关系||||)(A A ≤ρ其中||A||为A 的任何一种算子范数。

分析由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。

证明由特征值定义，对任一特征值λ有 AX=λX （X ≠0，特征向量）取范数有 ||AX||=|λ| ⋅ ||X||由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||≤||A|| ⋅ ||X|| 从而|λ| ⋅ ||X||≤||A|| ⋅ ||X|| 由于X ≠0，故|λ|≤||A||，从而 ρ(A) ≤ ||A||例5-18 设A,B 为n 阶矩阵，试证Cond(AB) ≤ Cond(A) ⋅ Cond(B)分析由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。

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用复化梯形公式计算积分
1
()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保
证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)
()
1f x ∞
≤）
；如果知道(2)
()0f x >，则用复化梯形公式计算积分1
()f x dx ⎰
此实际值大 (大，小)。

在以1
0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =
∈⎰为内积的空间C[0,1]
中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2
3
x -
3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y
y λ'=⎧⎨=⎩
的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解
解 Euler 公式 11,1,,,k k k x
y y h y k n h n
λ--=+==
L -----------(5分) ()()1011k
k k y h y h y λλ-=+==+L ------------------- (10分)
若用复化梯形求积公式计算积分1
x I e dx =
⎰
区间[0,1]应分 2129 等分，即要
计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过
71
102
-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值
1．用Romberg 法计算积分 2
3
2
x e dx -⎰
解 []02()()2b a
T f a f b -=
+= 9.6410430E-003 10221()222
b a a b
T T f -+=+= 5.1319070E-003
10
022243
T T S -=
= 4.6288616E-003
22T = 4.4998E-003 21
122243
T T S -=
= 4.E-003
10
02221615
S S C -=
= 4.6588636E-003
32T = 4.7817699E-003
32
222243
T T S -=
= 4.1067038E-003
21
12221615S S C -=
= 4.5783515E-003
10
02226463
C C R -=
= 4.7358037E-003
2．用复合Simpson 公式计算积分
2
3
2
x e dx -⎰
(n=5)
解 44
501()4()2()(),625k k h h b a
S f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦
∑∑
5S =4.3630653 E-003
3、对于n+1个节点的插值求积公式
()()b
n
k k k a
f x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度. 4、插值型求积公式
()()b
n
k k k a
f x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0n
k k A =∑=b-a 5、证明定积分近似计算的抛物线公式
()()4()()22b
a
b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤
≈
++⎢⎥⎣⎦
⎰
具有三次代数精度证明如果具有4阶导数,则
()()4()()22b
a
b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
⎰
=)(f 2880)a b ()4(5η--
(η∈[a,b])
因此对不超过3次的多项式f(x)有
()()4()()022b
a
b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤
-
++=⎢⎥⎣⎦
⎰
即
()()4()()22b
a
b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤
=
++⎢⎥⎣⎦
⎰
精确成立,对任一4次的多项式f(x)有因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度或直接用定义证.
6、试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型？解由()1f x = 得 4A B C ++= 由()f x x = 得 0aA aC -+=
由2()f x x = 得 22
163
a A a C +=
由3()f x x = 得 33
0a A a C -+=
由4()f x x = 得 44
64
5
a A a C +=
可
得1016,,99A C B a ====? 代数精度是5, 是Gauss 型积分公式
7．1）设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求
)(2x P
2）构造如下的Gauss 型求积公式1
00110()()()xf x dx A f x A f x ≈+⎰
解 (1) 0()1P x =, 01000(,())2
()()((),())3
x P x P x x P x x P x P x =-
=-
(2) 2
263
()510
P x x x =-
+
的两零点为01x x ==(即Gauss 点) Gauss
型求积公式
1
()xf x dx f f +⎰ 8 用复合Simpson 公式计算：
要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson 公式求此
积分值。

解复合Simpson 公式计算的误差为 =)f (R n 4(4)
b-a ()2880
h f η-
，η∈[a ，b] 因此只要
4
0.0052880n ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
ππ 即可.得 2.147n >,取3n = 9 试述何谓Gauss 型求积公式。

如下求积公式：
是否是Gauss 型求积公式？Gauss 型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分
区间上连续)
⎰π
sin xdx
()()()()1
1
141
101333
f x dx f f f -≈
-++⎰。