西南交大数值分析题库积分微分方程

用复化梯形公式计算积分

1

()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保

证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)

()

1f x ∞

≤）

；如果知道(2)

()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1

()f x dx ⎰

此实际值 大 (大，小)。

在以1

0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =

∈⎰为内积的空间C[0,1]

中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2

3

x -

3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y

y λ'=⎧⎨=⎩

的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解

解 Euler 公式 11,1,,,k k k x

y y h y k n h n

λ--=+==

L -----------(5分) ()()1011k

k k y h y h y λλ-=+==+L ------------------- (10分)

若用复化梯形求积公式计算积分1

x I e dx =

⎰

区间[0,1]应分 2129 等分，即要

计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过

71

102

-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值

1．用Romberg 法计算积分 2

3

2

x e dx -⎰

解 []02()()2b a

T f a f b -=

+= 9.6410430E-003 10221()222

b a a b

T T f -+=+= 5.1319070E-003

10

022243

T T S -=

= 4.6288616E-003

22T = 4.4998E-003 21

122243

T T S -=

= 4.E-003

10

02221615

S S C -=

= 4.6588636E-003

32T = 4.7817699E-003

32

222243

T T S -=

= 4.1067038E-003

21

12221615S S C -=

= 4.5783515E-003

10

02226463

C C R -=

= 4.7358037E-003

2．用复合Simpson 公式计算积分

2

3

2

x e dx -⎰

(n=5)

解 44

501()4()2()(),625k k h h b a

S f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦

∑∑

5S =4.3630653 E-003

3、 对于n+1个节点的插值求积公式

()()b

n

k k k a

f x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度. 4、 插值型求积公式

()()b

n

k k k a

f x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0n

k k A =∑=b-a 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式

()()4()()22b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

≈

++⎢⎥⎣⎦

⎰

具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则

()()4()()22b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

-++⎢⎥⎣⎦

⎰

=)(f 2880)a b ()4(5η--

(η∈[a,b])

因此对不超过3次的多项式f(x)有

()()4()()022b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

-

++=⎢⎥⎣⎦

⎰

即

()()4()()22b

a

b a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤

=

++⎢⎥⎣⎦

⎰

精确成立,对任一4次的多项式f(x)有 因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.

6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型？ 解 由()1f x = 得 4A B C ++= 由()f x x = 得 0aA aC -+=

由2()f x x = 得 22

163

a A a C +=

由3()f x x = 得 33

0a A a C -+=

由4()f x x = 得 44

64

5

a A a C +=

可

得1016,,99A C B a ====? 代数精度是5, 是Gauss 型积分公式

7．1）设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求

)(2x P

2）构造如下的Gauss 型求积公式1

00110()()()xf x dx A f x A f x ≈+⎰

解 (1) 0()1P x =, 01000(,())2

()()((),())3

x P x P x x P x x P x P x =-

=-

(2) 2

263

()510

P x x x =-

+

的两零点为01x x ==(即Gauss 点) Gauss

型求积公式

1

()xf x dx f f +⎰ 8 用复合Simpson 公式计算：

要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson 公式求此

积分值。

解 复合Simpson 公式计算的误差为 =)f (R n 4(4)

b-a ()2880

h f η-

，η∈[a ，b] 因此只要

4

0.0052880n ⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

ππ 即可.得 2.147n >,取3n = 9 试述何谓Gauss 型求积公式。如下求积公式：

是否是Gauss 型求积公式？Gauss 型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分

区间上连续)

⎰π

sin xdx

()()()()1

1

141

101333

f x dx f f f -≈

-++⎰