高考数学阶段复习试卷三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题

1. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，已知：3

C

，

a b c （其中1）

(1)当

2时，证明：a

b c ；

(2)若3

AC BC

uu u r u u u r ，求边长c 的最小值.

2. 已知函数4cos sin()3

3

f x

x x

（1）求函数f x 在区间[

,

]42

上的值域；

（2）在

ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，3f C ，且2c ，求ABC 面

积的最大值。

3. 已知函数2

()3sin 22cos f x x x

m

(Ⅰ)若方程()

0f x 在[0,

]2

x

上有解，求m 的取值范围；(Ⅱ)在ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()

1f A ，2b c

时，求a 的最小值

4. 在

ABC 中，

sin 3cos A B a

b

．

(1)求角B 的值；(2)如果2b ，求ABC 面积的最大值．

5. 如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o

，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的

直线和

OA 交于点C ，设AOP

，求

POC 面积的最大值及此时

的值.

6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是

先从

A 沿索道乘缆车到

B ，然后从B 沿直线步行到

C ．现有甲、乙两位游客从

A 处下山，甲沿AC 匀速

步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行

到

C ．假设缆车匀速直线运动的速度为

130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13

A

，

3cos 5

C

．

(1)求索道AB 的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过

3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

7. 如图，在等腰直角三角形

OPQ 中，90POQ

，22OP ，点M 在线段P Q 上．

(1)若5OM ，求PM 的长；

(2)若点N 在线段MQ 上，且

30MON

，问：当

POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出面

积的最小值．

试卷答案

1. 答案：(1)见解析

(2)见解析

分析：(1)∵a

b

c ，由正弦定理得，

sin sin sin 3A B

C ，

2sin sin()

33

B B ，化简得：sin()

1,6

3

B

B

，∴

ABC 为正三角形，

a b c .

(2)由余弦定理得；2

2

2

2

2

2

2cos ()

3c a

b ab C

a

b

ab a b ab ，

又由3

AC BC

uu u r u u u r 知：3

2

,ab 再由a b

c 可得：

3

2

22

3

2

2

6

6

1

c c c

，设3

2

6

()

(1)1

f ，下面求()f 的最值.求导函数

2

226(3)(3)

()

(

1)

f ，当()0f 时，解得

3，其中

0,3舍去.由于当

1

3时，()0f ；

当

3时()

0f ，

故()f 在(1,3)上时减函数，在(3,)上是增函数，因此当

3时，()

f 取极小值，又在(1,)上()f 有且只有一个极值点，所以当3时，()f 取到最小

值.

min

()(3)93f f ，

于是在

ABC 中边长c 存在最小值，不存在最大值，其最小值为

4

min

min

()33c f .

2. 答案：答案见解析分析：（1）()

2cos (sin 3cos )3sin 23cos 22sin(2)3

f x x x x x x x

，

由

4

2

x

剟，有

226

3

3

x

剟，得函数

f x 的值域为1,2.