圆的标准方程和一般方程定
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆的标准方程与一般方程(一)
圆的标准方程与一般方程(一)教学目标：了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等），掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化；2010年考试说明要求为C级。
知识点回顾：1. 圆的标准方程：，圆心是（a,b），半径是r；特别地：2. 圆的一般方程：，配方得，其中圆心是，半径是__________（其中：D2+E2-4F>0表示圆；D2+E2-4F=0表示点；D2+E2-4F=0不表示任何图形）；注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>03. 直径式圆方程：设，则以A、B为直径的圆方程为基础训练：1.圆心在原点，半径为6的圆方程为_______________2.经过点P(6，3)，圆心为C(2，-2) 的圆方程为_______________3. 以点C(-1，-5)为圆心，并且和Y轴相切的圆方程为_______________4. 已知点A(-4，-5)，B(6，-1)，则以线段AB为直径的圆方程为__________________5.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A（5，6），C（3，-4），则这个圆的方程为_____________________典型例题：已知圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
检测与反馈：1. 下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径（1）（2）2. 已知半径为5的圆过点P（-4，3），且圆心在直线2x-y+1=0上，则这个圆的方程的方程为____________________3. 经过点A(4，1)，B(-6，3)，C(3，0)的圆方程为_________________4. 如果方程所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有______________5．若直线（）通过点（），则a、b必须满足关系．（用含a，b的式子表示）。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。
（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r=①化简可得：222()()x a y b r-+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r-+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用及解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置及半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 及A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 及直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的标准方程与一般方程(含参考答案)
圆的标准方程与一般方程知识要点：1. 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。
2.以()b a C ,为圆心，r 为半径的圆的标准方程是： 。
3. 过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+。
4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；5.点与圆的位置关系：点在圆上： 圆内： 圆外：例1. 已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程. ()()253522=-+-y x例2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程.()()102122=+++y x例3、求过三点A （1，1）B （3，1）和C （5，3）的圆的方程.0108422=+--+y x y x一、选择题1、若一圆的标准方程为（x-1）2+（y+5）2=3，则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A.(-1,5),3 B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),32、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b )A.π13B. π132C. π2D. π323、圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ）A.-4、-6、3B.-4、6、3C.-4、6、–3D. 4、-6、-34、已知圆的方程是122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c)A 、02=+-y xB 、02=-+y xC 、02=+-y x 与02=-+y xD 、02=++y x 与02=-+y x5.点)5,(2m 与圆2422=+y x 的位置关系是(A) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知圆:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么(C) A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上8．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A)A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C. 22(3)(3)2x y -+-= D. 22(3)(3)2x y +++=二、填空题1、圆()003322222>=+--+a a ay ax y x 的半径为 ；圆心坐标为 。
圆的一般方程和标准方程知识题型总结
圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
圆的一般方程和标准公式
圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。
圆一般式的圆心和半径公式
圆的一般式方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)，其中圆心坐标是（-D/2，-E/2）
半径公式为：
推导过程：
扩展资料：
1、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，
b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
2、在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数个点。
圆有无数条半径和无数条直径。
圆是轴对称、中心对称图形。
对称轴是直径所在的直线。
同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。
当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。
所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 :222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是222r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:例１ 求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3.求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB长为30x y -=上,求此圆的方程.2. 圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理, 得22222220x y ax by a b r +--++-=,反过来, 将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2240DE F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;(2)当2240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22D E--; （３)当2240D E F +-<时,方程①不表示任何图形.结论:当2240D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1)2x 和2y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,0422>-+FA E D ）说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。
数学圆的方程
数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。
在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。
标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。
一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。
这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。
圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。
圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。
参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。
解析几何圆的公式
解析几何圆的公式圆的解析几何方程如下圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。
其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。
圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2 扩展资料：直线与圆的位置关系平面内直线与圆的位置关系有三种：（1）相离：无交点；（2）相切：仅有一个交点；（3）相交：有两个交点。
直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d与半径r的关系：（1）d>r：直线与圆相离；（2）d=r：直线与圆相切；（3）d<r：直线与圆相交。
初中数学圆的知识点总结1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆的函数知识点总结
圆的函数知识点总结圆是几何学中非常重要的一种形状，对于圆的函数也是数学学科中的重要内容。
圆的函数是指与圆有关的函数，可以描述圆的性质和特点，对于圆的函数有很多重要的知识点需要掌握，下面我们就来总结一下圆的函数知识点。
1. 圆的标准方程圆的标准方程是表示圆的一般形式，通常写作(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b) 表示圆心坐标，r 表示半径。
通过这个方程，我们可以得到圆心坐标和半径的信息。
2. 圆的一般方程将圆的标准方程展开可以得到圆的一般方程，通常写作 x²+y²+dx+ey+f=0，其中 (d,e) 表示圆心坐标，f 表示半径。
3. 圆的参数方程圆的参数方程是用参数形式来表示圆的方程，通常写作x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b) 表示圆心坐标，r 表示半径，θ 表示参数。
4. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程是用极坐标形式来表示圆的方程，通常写作r=r₀，其中r₀ 表示圆的半径。
5. 圆的直径圆的直径是指通过圆心并且同时与圆上两点相交的线段，直径的长度是圆的半径的两倍。
圆的直径也可以表示为对角线的长度，这个对角线是圆的直径。
6. 圆的弧长圆的弧长是指圆上的一段弧的长度，可以通过圆的半径和圆心角来计算。
弧长公式为s=r*θ，其中 r 表示圆的半径，θ 表示圆心角。
7. 圆的面积圆的面积是指圆所包含的平面内的所有点的集合，圆的面积可以通过半径和π 来计算。
圆的面积公式为A=πr²，其中 r 表示圆的半径。
8. 圆的周长圆的周长是指圆的边界的长度，可以通过圆的直径或者圆的半径和π 来计算。
圆的周长公式为C=2πr 或者C=πd，其中 r 表示圆的半径，d 表示圆的直径。
9. 圆的切线圆的切线是指与圆相切的直线，切线与圆相切的点称为切点。
切线的斜率可以通过圆心和切点的坐标来计算，切线的方程可以通过圆的一般方程和斜率来确定。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究：2、探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为Ａ（a ，b ）,半径为ｒ。
(其中a 、b 、r 都是常数，ｒ>０）设M （ｘ，y ）为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)Ｐ＝{Ｍ||ＭA|=ｒ},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =ﻩ①化简可得:222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程,得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究:点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:(１)2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 (２）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （３)2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例(2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数．（学生自己运算解决）例(３)：已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程_知识点总结
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程_知识点总结
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。
定点就是圆心，定长就是半径。
圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。
圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。
圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心,高考历史；定形条件：半径。
（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程：
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点。
圆的一般方程与标准方程互化
圆的一般方程与标准方程互化圆是数学中的一种基本概念，在日常生活中也有着广泛的应用。
圆可以用简单的几何概念来表示，但它们也可以用数学方法来表示，这就是以一般方程表示圆的方法。
圆的一般方程是一种将圆的形状、位置等信息用公式表示的方法，其形式如下：(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0)其中A、B、C是圆的参数，它们能够让你判断这个圆的形状和位置信息。
其中A、C是决定圆形状的参数，常常称为“缩放参数”，它们表示圆的大小与轴等比。
B是旋转参数，它决定了圆的旋转方向。
D、E、F则是定位参数，它们表示圆心的位置。
圆的一般方程式是一种表达圆形的精准形式，在日常生活中及科学研究中都经常用到，比如空气动力学研究中的空气动力学模型，求解符合圆的一般方程的运动轨迹。
然而，由于圆的一般方程太复杂，手动计算太麻烦，所以有必要把圆的一般方程转换成标准方程，以便更容易地进行求解。
标准方程是指圆的方程表示形式，它的形式如下：((x-h)^2+(y-k)^2=r^2)其中h、k是圆心的坐标，r是圆半径。
圆的标准方程可以从几何角度来理解，它表明任何点到圆心的距离都是r，而且圆心正是圆的中心。
圆的一般方程与标准方程之间的互换有着很多的计算方法，它们有以下特点：1.用几何概念：根据圆的定义可以知道，圆心到点的距离等于半径，并且圆心是圆的中心，根据这一概念可以把圆的一般方程转换成标准方程。
2.用代数方法：把圆的一般方程展开，让它的两边变成同一类型，然后化简消除项，就可以求出圆的标准方程。
3.用坐标变换：即把圆心从原来的位置变换到y轴上，这样就可以把圆的一般方程转换成标准方程。
以上就是圆的一般方程与标准方程互换的方法，它们可以让我们更方便地表达圆的形状及位置，便于进行计算求解。
综上所述，圆的一般方程与标准方程之间的互换可以利用几何概念、代数方法和坐标变换等多种方法来实现，这不仅可以帮助我们更好地表达圆的形状及位置，还可以更容易地求解圆的位置和大小。
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(x a)2 (y b)2 r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r 2 r 5
所求圆的方程为
∴圆心 C1,3 到3x 4y 7 0 的距离
d r 31 43 7 16
32 42 5
∴圆的方程为
x12
y
32
256 25
2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
展示题目 展示小组
评价小组
问题1 第8组
第2组
问题2 第9组
第1组
问题3 第7组
第6组
自由展示 自由 自由
要求：
1、展示同学注意要迅速、准确、规范；非展示同学讨论完结 束后，根据讨论的情况，再补充完善；
2、评价同学注意语言简洁、思路清晰；重点点评优缺点及总 结方法规律；
3、其他同学做好笔记、认真思考，提出疑问的加倍奖分.
2、评价同学注意语言简洁、思路清晰；重点点评优缺点及总 结方法规律；
3、其他同学做好笔记、认真思考，提出疑问的加倍奖分.
想一想，是不是任何一个形如
x2 y 2 Dx Ey F 0
的二元二次方程表示的曲线都是圆？
将上式配方整理可得
(x
D
2
)
(
y
E
2
)
D2
E
2
4F
.
2
2
4
(1)当D2 E 2 4F 0时,
（1） (x-3)2+(y-6)2=10
（2）x2+(y+3)2=25
（3） x2+(y-2)2 = 1
小组展示与评价分工：
展示题目 展示小组
评价小组
问题1 第8组
第2组
问题2 第9组
第1组
问题3 第7组
第6组
自由展示 自由 自由
要求：
1、展示同学注意要迅速、准确、规范；非展示同学讨论完结 束后，根据讨论的情况，再补充完善；
(1)表示原点(0,0).
2表示圆心为 1,2,半径为 11的圆.
3当a ,b不同时为0时,表示圆心为 a ,0,
半径为 a2 b2的圆.
当a ,b同时为0时,表示原点0,0.
变式训练二
求以 c(1,3) 为圆心并且和直线 3x 4y 7 0
相切的圆的方程
解： 圆与直线 3x 4y 7 0 相切
知识点拨：
圆的标准方程
圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
圆的标准方程
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M r
C
圆心坐标C(a,b) 圆的半径 r O
x
注：标准方程明确给出了圆心坐标和半径。
预设习题
回答下列圆的圆心坐标和半径：
C1 : x 2 y 2 5 (0,0)
5
C 2 : ( x 3)2 y 2 4 (3,0) r = 2
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
x 2 y2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方
一般方程 展开
标准方程(圆心,半径)
(x 2)2 (y 3)2 25
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法三： 几何方法
y
A(5,1)
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
质疑再探
小结
1. 本节课的主要内容是圆的标准 方程和一般方程,其表达式为
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
(x
D)2
(
y
E
2
)
D2
E2
4F
.
2
2
4
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
变式训练一
已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的圆心坐 标为(-2,3),半径为4,则 D,E,F分别等于（）
( A)4,6,3
(B) 4,6,3
(C) 4,6,3
(D)4,6,3
D
预设习题：
下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 ________ . (2)x2 y2 2x 4y 6 0____. (3)x2 y2 2ax b2 0________.
圆的标准方程 和一般方程
创设情境 引入新课
一石激起千 层浪
奥运五 环
乐在其 中
福建土 楼
小憩片
阅读教材78-80，并思考下列问题：
1.圆的标准方程有何形式？怎样推导？有何特 点？
2.圆的一般方程有何形式？有何特点？有何限 制条件？
3.圆的标准方程和一般方程有哪有区别和联系？
小组展示与评价分工：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0 待定系数法
即 (x 2)2 (y 3)2 25
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法
C 3 : x 2 ( y 1)2 2 (0,-1) , r = 2
C4 : ( x 2)2 ( y 1)2 3
(-2,1) , r = 3
变式训练一
求满足下列条件的圆的方程： (1)已知点A（2，3），B（4，9）, 圆以线段AB为直径； (2)圆心为(0,-3)，过(3,1); (3)圆过点(0,1)和（0，3），半径等于1；
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
D 2
,
E )为圆心， 2
1 D2 E2 4F为半径的圆. 2
(2)当D2 E 2 4F 0时,
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E) 2
(3)当D2 E 2 4F任何图形.
圆的一般方程与标准方程：