圆的标准方程和一般方程定

圆的标准方程 和一般方程
创设情境 引入新课
一石激起千 层浪
奥运五 环
乐在其 中
福建土 楼
小憩片
阅读教材78-80，并思考下列问题：
1.圆的标准方程有何形式？怎样推导？有何特 点？
2.圆的一般方程有何形式？有何特点？有何限 制条件？
3.圆的标准方程和一般方程有哪有区别和联系？
小组展示与评价分工：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
(x
D)2
(
y
E
2
)
D2
E2
4F
.
2
2
4
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
变式训练一
已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的圆心坐 标为(-2,3),半径为4,则 D,E,F分别等于（）
( A)4,6,3
(B) 4,6,3
(C) 4,6,3
(D)4,6,3
D
预设习题：
下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 ________ . (2)x2 y2 2x 4y 6 0____. (3)x2 y2 2ax b2 0________.
(x 2)2 (y 3)2 25
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法三： 几何方法
y
A(5,1)
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
质疑再探
小结
1. 本节课的主要内容是圆的标准 方程和一般方程,其表达式为
知识点拨：
圆的标准方程
圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
圆的标准方程
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M r
C
圆心坐标C(a,b) 圆的半径 r O
x
注：标准方程明确给出了圆心坐标和半径。
预设习题
回答下列圆的圆心坐标和半径：
C1 : x 2 y 2 5 (0,0)
5
C 2 : ( x 3)2 y 2 4 (3,0) r = 2
(1)表示原点(0,0).
2表示圆心为 1,2,半径为 11的圆.
3当a ,b不同时为0时,表示圆心为 a ,0,
半径为 a2 b2的圆.
当a ,b同时为0时,表示原点0,0.
变式训练二
求以 c(1,3) 为圆心并且和直线 3x 4y 7 0
相切的圆的方程
解： 圆与直线 3x 4y 7 0 相切
2、评价同学注意语言简洁、思路清晰；重点点评优缺点及总 结方法规律；
3、其他同学做好笔记、认真思考，提出疑问的加倍奖分.
想一想，是不是任何一个形如
x2 y 2 Dx Ey F 0
的二元二次方程表示的曲线都是圆？
将上式配方整理可得
(x
D
2
)
(
y
E
2
)
D2
E
2
4F
.
2
2
4wk.baidu.com
(1)当D2 E 2 4F 0时,
展示题目 展示小组
评价小组
问题1 第8组
第2组
问题2 第9组
第1组
问题3 第7组
第6组
自由展示 自由 自由
要求：
1、展示同学注意要迅速、准确、规范；非展示同学讨论完结 束后，根据讨论的情况，再补充完善；
2、评价同学注意语言简洁、思路清晰；重点点评优缺点及总 结方法规律；
3、其他同学做好笔记、认真思考，提出疑问的加倍奖分.
C 3 : x 2 ( y 1)2 2 (0,-1) , r = 2
C4 : ( x 2)2 ( y 1)2 3
(-2,1) , r = 3
变式训练一
求满足下列条件的圆的方程： (1)已知点A（2，3），B（4，9）, 圆以线段AB为直径； (2)圆心为(0,-3)，过(3,1); (3)圆过点(0,1)和（0，3），半径等于1；
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
x 2 y2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方
一般方程 展开
标准方程(圆心,半径)
（1） (x-3)2+(y-6)2=10
（2）x2+(y+3)2=25
（3） x2+(y-2)2 = 1
小组展示与评价分工：
展示题目 展示小组
评价小组
问题1 第8组
第2组
问题2 第9组
第1组
问题3 第7组
第6组
自由展示 自由 自由
要求：
1、展示同学注意要迅速、准确、规范；非展示同学讨论完结 束后，根据讨论的情况，再补充完善；
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r 2 r 5
所求圆的方程为
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
D 2
,
E )为圆心， 2
1 D2 E2 4F为半径的圆. 2
(2)当D2 E 2 4F 0时,
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E) 2
(3)当D2 E 2 4F 0时,
方程x2 y2 Dx Ey F 0不表示任何图形.
圆的一般方程与标准方程：
∴圆心 C1,3 到3x 4y 7 0 的距离
d r 31 43 7 16
32 42 5
∴圆的方程为
x12
y
32
256 25
2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0 待定系数法
即 (x 2)2 (y 3)2 25
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法