2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数(有答案)

2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数

一、综合题

1．如图， AB 是

O 的直径，点C 、G 为圆上的两点，当点C 是弧 BG 的中点时， CD 垂直直线

AG ，垂足为D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点P ，弦 CE 平分 ACB ∠ ，交 AB 于点F ，连接

BE .

（1）求证： DC 与 O 相切；

（2）求证： PC PF = ； （3）若 1

tan 3

E =

， 5BE =，求线段 PF 的长. 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，点E 时弧AD 的中点，BE 交AC 于点F ，BC ＝FC.

（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若BF ＝3EF ，求tan⊙ACE 的值.

3．如图，

ABC 内接于

,O D 是

O 的直径 AB 的延长线上一点， DCB OAC ∠=∠ .过圆心 O

作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E .

（1）求证： CD 是 O 的切线；

（2）若 4,6CD CE == ，求

O 的半径及 tan OCB ∠ 的值；

4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是AC 的中点，连接OD ，交AC 于点E ，作BF

CD ，交DO 的延长线于点F.

（1）求证：四边形BCDF 是平行四边形. （2）若AC=8，连接BD ，tan⊙DBF=

3

4

，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长. 5．如图，已知 AB 是

O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点 E ， 42AC =， 2BC = ．

（1）求 sin ABC ∠ ； （2）求CD 的长．

6．如图，点 O 在 ABC ∆ 的 BC 边上，

O 经过点 A 、 C ，且与 BC 相交于点 D .点 E 是下

半圆弧的中点，连接 AE 交 BC 于点 F ，已知 AB BF = .

（1）求证： AB 是

O 的切线；

（2）若 3OC = ， 1OF = ，求 cos B 的值.

7．如图，在Rt ΔABC 中，9068C AC BC ∠=︒==

，，

，

AD

平分ABC 的外角BAM ∠，AD BD ⊥于点

D ，过D 点作D

E 平行BC 交AM 于点E.点P 在线段AB 上，点Q 在直线AC 上，且22CQ BP t ==，连接

PQ ，作P 点关于直线DE 的对称点P '，连接PP P Q ''，.

（1）当P 在AB 中点时，t = ；连接DP ，则此时DP 与EC 位置关系为 （2）①求线段AD 的长：

②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上，求点A 到对应点A '的距离；

（3）如图，当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，求所有满足条件的t 的值.

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A(﹣3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C ，顶点为点

D ，连接AC ，BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线CD 上是否存在点P ，使⊙PBC ＝⊙BCO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分线段MN 时，请直接写出点M 和点N 的坐标.

9．如图，点F 是正方形ABCD 边AB 上一点，过F 作FG⊙BC ，交CD 于G ，连接FC ，H 是FC 的中点，过

H 作EH⊙FC 交BD 于点E ．

（1）连接EF ，EA ，求证：EF ＝AE ．

（2）若

BF

k BA

= ， ①若CD ＝2， 1

3

k = ，求HE 的长；

②连接CE ，求tan⊙DCE 的值．（用含k 的代数式表示）

10．如图，在 Rt ABC 中， 90,6,8ACB BC AC ∠=︒== ，D 是边AB 的中点，动点P 在线段BA 上且不

与点A ，B ，D 重合，以PD 为边构造 Rt PDQ ，使 PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，且点Q 与点C 在直线AB 同侧，设 BP x = ，

PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积为S ．

（1）当点Q 在边BC 上时，求BP 的长； （2）当 7x ≤ 时，求S 关于x 的函数关系式.

11．

如图，在

⊙ABC

中，

⊙ABC ＝90°，过点B 作BD⊙AC 于点D ．

（1）尺规作图，作边BC 的垂直平分线，交边AC 于点E ． （2）若AD ：BD ＝3：4，求sinC 的值．

（3）已知BC ＝10，BD ＝6．若点P 为平面内任意一动点，且保持⊙BPC ＝90°，求线段AP 的最大值．

12．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

（1）【理解运用】

如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC ，若AC = AB ，则cos⊙ABC= ， sin⊙CAD= .

（2）如图2，凸四边形中，AD = BD ，AD⊙BD ，当2CD 2 + CB 2 = CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形，证明你的结论.

（3）【拓展提升】

在平面直角坐标中，A （－1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于⊙ABC 内部，⊙AEC = 90° + ⊙ABC.设

AE

BE

= u ，点D 的纵坐标为t ，请在下方横线上直接写出u 与t 的函数表达，并注明t 的取值范围 .

13．如图，在梯形ABCD 中，AD⊙BC ，BC ＝18，DB ＝DC ＝15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE ＝DF

＝5．AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．

（1）求证：BG ＝CH ；

（2）设AD ＝x ，⊙ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）联结FG ，当⊙HFG 与⊙ADN 相似时，求AD 的长．

14．

（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 为AB 延长线上一点，连接EC 并延长，交AD 的延长线于点F ，则BCE DCF ∠+∠的度数为 °；

（2）【问题探究】如图2，在Rt⊙ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 、E 在直线BC 上，连接AD 、AE ，若

60DAE ∠=︒，6AB =，求⊙ADE 面积的最小值；

（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨

学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC （如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB 的延长线上取一点D ，连接DC 并延长到点E ，连接AE ，已知AE BC ，40AB BC ==米，

90ABC ∠=︒，为节约修建成本，需使修建后⊙ADE 的面积尽可能小，问⊙ADE 的面积是否存在最小值？若存

在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.

15．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且B （﹣1，0），C （0，3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2） 如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，求点P 的坐标；

（3

）

如图

2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，且DD'＝2CD ，点M 是平移后所得抛物线