(完整版)教案平面向量的数乘运算
1.3 向量的数乘 教案 2021-2022学年湘教版（2019）高中数学必修第二册
1．3 向量的数乘新课程标准解读核心素养1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义数学抽象 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 数学运算 3.理解两个向量共线的含义逻辑推理教学设计 一、目标展示二、情境导入一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a ，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a 吗？你能用图形表示吗？[问题] 类比实数的运算“a ＋a ＋a ＝3a ”你能猜想实例中a ＋a ＋a 的结果吗？ 三、合作探究知识点一 向量的实数倍及数乘运算律1．向量的数乘：求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地实数λ与向量a 的乘积是一个向量记作λa ，称为a 的λ倍，它的长度|λa|＝|λ|·|a|． (1)当λ≠0，且a≠0时，λa 的方向⎩⎨⎧当λ＞0时，与a 同向，当λ＜0时，与a 反向；(2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0a ＝0或λa ＝λ0＝0. 2．数乘运算律设a ，b 是任意向量，x ，y 是任意实数，则 (1)对实数加法的分配律：(x ＋y)a ＝xa ＋ya ； (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a ； (3)对向量加法的分配律：x (a ＋b)＝xa ＋xb ．1．实数与向量可以相乘，同样实数与向量能相加、减吗？ 2．向量的线性运算的结果是实数还是向量？教学札记知识点二 共线向量1．定义：当非零向量a ，b 方向相同或相反时，我们既称a ，b 共线，也称a ，b 平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b.2．共线向量定理两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．即a∥b ⇔存在实数λ，使得b ＝λa 或a ＝λb ．3．向量a ，b 的夹角设a ，b 是两个非零向量，任选一点O ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则射线OA ，OB 所夹的最小非负角∥AOB ＝θ称为向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．若向量a 是非零向量，则向量a|a|与向量a 的方向如何？ 四、精讲点拨[例1] (1)化简下列各式：①3(6a ＋b)－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；②12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b . (2)设x 是未知向量，解方程3x －2(x －a)＝0.[例2] (链接教科书第19页例5)如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，试用a ，b 表示AM ―→.2．(变条件)若本例中的条件“OA ―→＝a ，OB ―→＝b”换为“OD ―→＝a ，AB ―→＝b”，其结论又如何呢？[例3] (链接教科书第19页例4)设a ，b 是不共线的两个非零向量． (1)若OA ―→＝2a －b ，OB ―→＝3a ＋b ，OC ―→＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值．教学札记五、达标检测1．下列运算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；∥2(a ＋b)－(2b －a)＝3a ；∥(a ＋2b)－(2b ＋a)＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．32.12a ＋b ＋32a －4b 等于( ) A ．2a ＋3b B ．a －3b C ．2a －3bD ．2a －2b3．如图，已知AM 是∥ABC 的边BC 上的中线，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AM ―→等于( )A.12(a －b) B ．－12(a －b) C.12(a ＋b)D ．－12(a ＋b)4．已知a 与b 共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a ＝________b. 六、课堂小结1.用已知向量表示未知向量;2.共线(平行)向量定理及应用;3.共线(平行)向量定理及应用.课后作业教后反思。
(教案)向量的数乘运算Word版含解析
6.2.3向量的数乘运算课标解读课标要求核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点)3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养.2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力.3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少?答案设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?答案-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个①向量记法λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向②相同λ<0λa的方向与a的方向③相反几何意义λa中的实数λ是向量a的系数λ>0λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ<0λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到特别提醒当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.思考1:实数与向量能否进行加减运算?提示不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa +μa; (3)λ(a+b )=λa +λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b. 思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示在形式上类似. 4.共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b =λa. 思考4:λ与向量a,b 的方向有什么关系?提示若λ>0,则a 与b 同向;若λ<0,则a 与b 反向.探究一向量的线性运算例1(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9(a +13b);②12[3a +2b -(a +12b)]-2(12a +38b); ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n 满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b 表示向量m,n. 解析(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=12(2a +32b)-a-34b=a+34b-a-34b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n ①,b=m-3n ②, 则①×3+②×2得3a+2b=11m, 即m=311a+211b. ①-②×3得a-3b=11n,即n=111a-311b. 思维突破向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=16×(4a+16b-16a+8b)=16×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb.探究二共线向量定理及其应用例2设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b 与a+kb 共线. 解析(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b, CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A 、B 、D 三点共线. (2)∵ka+b 与a+kb 共线, ∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb), 即ka+b =λa +λk b,∴(k-λ)a =(λk -1)b. ∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1. 思维突破用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b =λa(a 、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在线段BD 上,且有BN=13BD,求证:M,N,C 三点共线.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+13(b-a)=16a+13b,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b=3×(16a +13b)=3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M,∴M,N,C 三点共线.探究三向量线性运算的应用例3(易错题)已知点E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b.在△EFP 中,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12·a-12b =-12(a+b).易错点拨在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1已知四边形ABCD 是一个梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析解法一:如图,连接CN, 易知AN 与DC 垂直且相等, 所以四边形ANCD 是平行四边形. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,又因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+14a. 解法二:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以a+BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)+(-b)=0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, 又因为在四边形ADMN 中有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以b+14a+MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)=0, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b. 3-2设O 为△ABC 内任意一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若D,E 分别是BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求S△ABC S △AOC的值.解析(1)证明:如图,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14×S △ABC =13S △ABC ,∴S△ABC S △AOC=3.1.已知非零向量a,b 满足a=4b,则() A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反答案C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与b 的方向相同, ∴a 与b 的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是() A.a=2e,b=-2e B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 2答案ABCA 中,b=-a,则a,b 共线;B 中,b=-2a,则a,b 共线;C 中,a=4b,则a,b 共线;D 中,a,b 不共线.3.已知向量a=e 1+λe 2,b=2e 1,λ∈R,且λ≠0,若a ∥b,则() A.e 1=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或e 1=0或e 2=0 答案D4.已知x,y 是实数,向量a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=. 答案12;12解析由已知得{x +y -1=0,x -y =0,解得x=y=12.5.已知两个非零向量e 1、e 2不共线,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2.求证:A 、B 、D 三点共线.证明∵AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2 =12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A, ∴A 、B 、D 三点共线.数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知▱ABCD 的边BC,CD 上的中点分别为K,L,且AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =①, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ +KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,DL⃗⃗⃗⃗⃗ =12e 1-14a. 又AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得a+12e 1-14a=e 2, 解得a=②.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =③.解法二:设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n,则BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12m,DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12n. 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得④,得m=23(2e 2-e 1),n=⑤,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43e 1+23e 2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与AL 的延长线交于点E,则△DLA ≌△CLE.从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 由KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得32BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 2-e 1, 即BC⃗⃗⃗⃗⃗ =⑥. 同理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =⑦.思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案①12a ②43e 2-23e 1,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1 ③-43e 1+23e 2④{-n +12m =e 1m -12n =e 2⑤23(-2e 1+e 2)⑥43e 2-23e 1⑦-43e 1+23e 2如图所示,四边形OADB 是以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b 为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b. ∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a+23b, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a+23b-16a-56b=12a-16b.1.将112[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为() A.2a-bB.2b-a C.a-bD.b-a答案B2.在△ABC 中,如果AD,BE 分别为BC,AC 上的中线,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.23a+43bB.23a-23b C.23a-43bD.-23a+43b 答案A3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+4b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b-a,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a+b),则() A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线 C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 答案B4.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ等于() A.23B.13C.-13D.-23答案A 解法一:由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 解法二:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) C.λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) 答案A 因为P 是对角线AC 上的一点(不包括端点A 、C),所以存在λ∈(0,1),使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 6.已知向量a,b 不共线,实数x,y 满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=,y=. 答案3;-4解析因为a 与b 不共线,所以{5x =3y +27,8-y =4x,解得{x =3,y =-4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与a 反向,则a=b. 答案-32解析因为b 与a 反向,所以a =λb ,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b |=|λ|, 所以λ=-32,所以a=-32b.8.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形EFGH 为平行四边形.证明∵F,G 分别是AB,AC 的中点, ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理,EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG=EH,FG ∥EH,∴四边形EFGH 为平行四边形.9.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=() A.2B.3C.4D.5答案B 由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,M 为△ABC 的重心,故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即m=3.10.(多选题)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 可以是() A.-13B.-14C.0D.-√26答案BD 当点O 与点C 重合时,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-0)·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时x=0;当点O 与点D 重合时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 此时x=-13.因为点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),所以-13<x<0.故x 可以是-14,-√26.故选BD. 11.若对于△ABC 内部的一点O,存在实数λ使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,则△OBC 与△ABC 的面积比为. 答案1∶2解析如图所示,设D,E 分别是AB,AC 的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB 为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC 为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点O 在线段DE 上.又因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以△OBC 与△ABC 的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示下列向量:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案e 2+12e 1;14e 1-e 2解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2+12e 1.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2. 13.已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的取值范围.解析(1)证明:因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又λ∈R ,λ≠1,λ≠0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A,所以A,B,M 三点共线.(2)由(1)知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点B 在线段AM 上,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC 和一点O(如图),线段OA,OB,OC 的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a,b,c 表示向量EL⃗⃗⃗⃗⃗ ,FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明:线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.解析(1)因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a,OL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c),所以EL ⃗⃗⃗⃗⃗ =OL ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c-a). 同理可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+c-b), GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b-c). (2)证明:设线段EL 的中点为P 1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OL ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a+b+c). 设FM,GN 的中点分别为P 2,P 3,同理可求得OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),所以OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.。
高中数学数乘向量教案
高中数学数乘向量教案
教学目标：
1. 理解数乘向量的概念。
2. 掌握数乘向量的运算法则。
3. 能够应用数乘向量解决实际问题。
教学重点：
1. 数乘向量的定义和性质。
2. 数乘向量的运算法则。
教学难点：
1. 能够熟练地进行数乘向量的运算。
2. 能够灵活运用数乘向量解决实际问题。
教学准备：
1. 教学资料：教材、讲义、习题集等。
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入向量的概念，引出数乘向量的定义，并提出学习数乘向量的目的和意义。
二、讲解（15分钟）
1. 数乘向量的定义和性质。
2. 数乘向量的运算法则。
三、示范（10分钟）
教师通过示范例题，演示如何进行数乘向量的运算，并让学生跟着一起做练习。
四、练习（15分钟）
学生进行课堂练习，巩固数乘向量的运算方法，解决相关问题。
五、拓展（10分钟）
教师通过拓展练习，帮助学生深入理解数乘向量的应用，并激发学生的学习兴趣。
六、总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数乘向量的重要性和实际应用。
七、作业布置（5分钟）
布置相应作业，激发学生的学习兴趣，巩固今天所学知识。
教学反思：通过这节课的教学，学生能够初步掌握数乘向量的概念和运算法则，并能够灵
活运用解决问题。
同时，通过拓展练习，能够启发学生的思维，提高他们的数学应用能力。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。
【教学目标与核心素养】A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【教学过程】。
特点:首尾相接，连首尾。
2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。
3.向量减法的三角形法则。
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。
即。
的方向与的方向相同，。
类似地，，其方向与的方向相反，。
AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。
(完整版)教案平面向量的数乘运算
(完整版)教案平面向量的数乘运算一、引言平面向量是代数中一个重要的概念，而平面向量的数乘运算是对向量进行伸缩的操作，其在数学和物理中具有广泛的应用。
本教案将详细介绍平面向量的数乘运算及其性质。
二、定义1.1 平面向量平面向量是指具有大小和方向的量，在平面上由箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
常用大写字母表示平面向量，如向量A。
1.2 数乘运算数乘运算是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
若向量A与实数k进行数乘运算，记作kA，其中k为实数。
数乘运算可改变向量的大小和方向，具体规律将在后文中介绍。
三、性质与规律2.1 数乘运算的基本性质（1）零向量的数乘：0A = 0，其中0为零向量。
零向量的数乘结果仍为零向量。
（2）单位向量的数乘：1A = A，其中1为单位向量。
单位向量的数乘结果与原向量相等。
2.2 数乘运算的规律（1）交换律：kA = Ak，其中k为实数。
数乘运算满足交换律，即数与向量的顺序可以交换。
（2）结合律：(kl)A = k(lA)，其中k、l为实数。
数乘运算满足结合律，即数与向量的括号位置可以移动。
（3）分配律：(k + l)A = kA + lA，其中k、l为实数。
数乘运算满足分配律，即数与向量相加后再进行数乘，等价于先进行数乘再相加。
四、数乘运算的几何解释3.1 放缩效应数乘运算改变向量的大小，当k > 1时，数乘结果的向量放大；当0 < k < 1时，数乘结果的向量缩小；当k < 0时，数乘结果的向量方向发生反转。
3.2 平行效应数乘运算可以改变向量的方向，当k > 0时，数乘结果的向量与原向量方向相同；当k < 0时，数乘结果的向量与原向量方向相反；当k = 0时，数乘结果的向量为零向量。
五、数乘运算的应用4.1 向量的单位化将一个非零向量除以它的模长，得到的结果是一个方向与原向量相同的单位向量。
4.2 平面向量加法与数乘运算的关系在平面向量加法中，若向量A与向量B的和为向量C，即C = A + B，那么向量C也可以表示为C = kA + lB的形式，其中k、l为实数。
教案平面向量的数乘运算
平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入实数与向量的乘积，即数乘运算。
2. 讲解数乘运算的定义及性质。
二、平面向量的数乘运算规则1. 讲解数乘运算的分配律。
2. 讲解数乘运算的结合律。
3. 讲解数乘运算的单位向量。
三、数乘运算在坐标系中的应用1. 讲解二维坐标系中向量的数乘运算。
2. 讲解三维坐标系中向量的数乘运算。
四、数乘运算与向量长度的关系1. 讲解数乘运算与向量长度的关系。
2. 讲解数乘运算在求向量长度中的应用。
五、数乘运算在向量运算中的应用1. 讲解数乘运算在向量加法中的应用。
2. 讲解数乘运算在向量减法中的应用。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算的概念、规则及应用。
2. 利用多媒体演示，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。
3. 引导学生通过练习，巩固数乘运算的知识。
教学评估：1. 课堂练习：布置有关数乘运算的题目，检查学生掌握情况。
2. 课后作业：布置有关数乘运算的综合题目，要求学生在规定时间内完成。
3. 单元测试：进行有关数乘运算的测试，了解学生对知识的掌握程度。
教学资源：1. 教学PPT：展示数乘运算的概念、规则及应用。
2. 练习题库：提供丰富的数乘运算题目，供学生练习。
3. 坐标系软件：辅助展示数乘运算在坐标系中的应用。
教学建议：1. 在讲解数乘运算概念时，注意与实数的乘法进行对比，帮助学生理解。
2. 在讲解数乘运算规则时，举例说明，让学生更好地掌握。
3. 在数乘运算的应用部分，注重引导学生思考，提高解决问题的能力。
4. 针对不同程度的学生，合理安排课堂练习和课后作业，提高教学效果。
5. 及时进行教学评估，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。
平面向量的数乘运算教学内容：六、数乘运算与向量坐标的关系2. 举例说明数乘运算在坐标系中的应用。
平面向量教案3篇
平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。
二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。
三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。
四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。
向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。
在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。
2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。
平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。
（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。
（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。
（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。
（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。
（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。
平面向量的数乘教案
平面向量的数乘教案【篇一：《平面向量的加法教案》】《平面向量的加法》教案课题名称：平面向量的加法教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》年级：高一撰写教师：徐艳一、理解课程要求教材分析：(1)地位和作用《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用.（2）教学内容及教材处理教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情.教学目标：（1）知识目标①理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量；②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算.（2）能力目标①经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程；②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力.(3) 情感目标努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态.二、分析学生背景(1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础.(2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力.(3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。
《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计(优质课比赛教案)
《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计一、教学分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.本节学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A和某个向量a 表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、教学目标1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律.2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.四、教学重难点教学重点：1．实数与向量积的意义及其几何意义； 2．实数与向量积的运算律；3．两个向量共线的等价条件及其运算. 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用. 五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学. 六、教学过程 1、导入新课：一条细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是a 3吗？若蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是a3-吗?你能用图形表示吗？学生活动：独立思考.教师活动：提问、引导学生作答.设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过位移的实际背景引入新课. 2、推进新课：探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？学生活动：独立观察、思考、总结. 教师活动：提问、引导学生.设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出向量a a a++和)()()(a a a-+-+-，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性aa a认识做好铺垫.问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 从而推广到一般的向量数乘的定义.我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作aλ，它的长度与方向规定如下：（1）a aλλ=；（2）当0>λ时，a λ的方向与a 一致；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反.由（1）可知当0=λ时，0=a λ.设计意图：通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法. 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 学生活动：小组合作交流，学生单独作答.设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a的反方向放大λ倍或缩小λ倍.问题3：C 在线段AB 上，且25=CB AC ，则=AC AB ；=BC AB . 学生活动：独立思考并踊跃回答. 教师活动：评价.设计意图：通过简单口答题来巩固学生对向量数乘定义的理解及运用.通过活动过程的成功体验提高学生学习的积极性.问题4：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？归纳总结： （1）a a)()(λμμλ=（2）a a aμλμλ+=+)(（3）b a b aλλλ+=+)(问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？归纳总结：)()(a a a-=-=-λλλ， b a b a λλλ-=-)(.问题6：你能从形式上描述向量数乘运算律与思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？师生活动：通过类比得到向量数乘运算律；并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.设计意图：数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题.向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发.而数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律.向量具有明显的几何背景，所以向量的运算及运算律也具有明显的几何意义，尤其是涉及到长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.这样了解向量数乘运算律的几何意义就有必要了. 3、例题讲解:例1．计算： 1.a 4)3(⨯-；2.)23()32(c b a c b a +---+. 变式练习：（1）计算：---+)(2)(3；（2）已知：0)(4)2(2)(3 =+---++b a x a x a x 求x.学生活动：独立完成，学生单独回答. 教师活动：提问、及时评价.设计意图：心理学认为：概念一旦形成，必须及时加以巩固，通过例1及巩固练习加深学生对数乘向量运算律的理解.解以向量作为未知数的方程可与求解实数方程类比.归纳总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a2121)(λμλμμμλ±=±.设计意图：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算.问题7：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？ 师生活动：（分析总结）对于向量)0(≠a a 、b ，如果有一个实数λ，使a b λ=，那么由向量数乘的定义知a与b 共线，且向量b 是向量)0( ≠a a 模的λ倍，而λ的正负由向量)0( ≠a a 、b 的方向所决定.反过来，已知向量a 与b 共线，0 ≠a ，且向量b 的长度是向量a的长度的μ倍，即a b μ=，那么当a 与b 同方向时，有a b μ=；当a与b 反方向时，有a b μ-=.从上述两方面可知归纳总结：共线向量定理：向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.问题8:1) a为什么要是非零向量?2) b可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？ 学生活动：合作交流，独立作答. 教师活动：提问、引导、及时评价.设计意图：师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量)0( ≠a a 的前提下，向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=；且实数λ的唯一性是由向量a和b 的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. 例2.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b a==,，你能用b a ,表示,,,吗？师生互动：利用向量共线的定理及平行四 边形的性质定理，即平行四边形的对角线互相平分.∵b a AC AB AC+=+=， .b a-=-=结合平行四边形的性质：b a b a AC MA2121)(2121--=+-=-=，,212121b a +==.212121b a+-=-=-=设计意图：综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.尤其是应当注意到-=，-=从而可简化解题过程，并且在实际的解题中做到举一反三、融会贯通；通过例3的教学使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 4、课堂作业（1）.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若DB AD 2=，CB CA CD λ+=31，则λ的值为（ ）32.A31.B31.-C32.-D ,2121)(2121b a b a -=-==Aa（2.）计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a.（3）.若向量方程0)2(32 =--a x x ，则向量=x.（4）.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.（1）=； （2）BC AD 31=； （3）==,5、课堂小结一、①aλ的定义及运算律；②向量共线定理)0( ≠a ，⇔=a b λ 向量a与b 共线.二、定理的应用：（1）证明向量共线；（2）证明三点共线：⇒=λA 、B 、C 三点共线； （3）证明两直线平行. 三、你体会到了那些数学思想.特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化等数学思想. 设计意图：1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力. 6、课后作业P92 A 组习题11、12题。
向量的数乘运算教学设计
环节二 向量的数乘运算【引入新课】问题1：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？平面向量与实数相乘该如何定义呢？设计意图：在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，符合学生认知规律，有利于概念的同化．追问1：已知非零向量 a ，求作：(1) a ＋a ＋a ；(2) (－a )＋(－a )＋(－a )．请观察3a 与－3a 是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化？答案：3a 与－3a 还是向量，3a 与向量 a 方向相同，3a 的长度是a 长度的3倍，即|3a|=3|a|；－3a 与向量 a 方向相反，－3a 的长度是向量a 长度的3倍，即|－3a|=3|a|．追问２：已知→AB ，把线段AB 三等分，分点为P ，Q ，则→AP ，→AQ ，→BP 与→AB 的关系如何？答案：→AP ，→AQ ，→BP 与→AB 共线，其中→AP 与→AB 同向共线，长度是→AB 长度的13；→AQ 与→AB 同向共线，长度是→AB 长度的23；→BP 与→AB 反向共线，长度是→AB 长度的23． 【新知探究】问题１答案：向量数乘的定义：实数λ和向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa ． 向量 λa ( a ≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：(1) | λa |＝| λ | | a |；(2) 当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜ 0 时，λa 与a 的方向相反．当 λ＝0时，0a ＝0；当a ＝0时，λ0＝0．当λ＝－1时，(－)a ＝－a ．－a －a －aa a a a A P Q B追问3：你对零向量，相反向量有什么新的认识？答案：数零乘任何向量的结果为零向量，零向量与任何数的乘积为零向量，-１乘任何向量得到这个向量的相反向量．追问４：向量数乘有什么几何意义？设计意图：培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．紧扣向量的两要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．答案：把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向，长度放大或缩小．如2a 的几何意义就是沿着向量a 的方向，长度放大到原来的2倍．追问５：如果把非零向量a 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变，得到向量ｂ，向量ｂ该如何表示？向量a ，ｂ之间的关系怎样？答案：ｂ＝3.5a ；ｂ的方向与a 的方向相同，ｂ的长度是a 的长度的3.5倍．问题2：我们知道实数的乘法有很好的运算律，类比猜想一下，向量数乘运算有哪些运算律呢？试着写出来并加以验证．设计意图：通过学生的自主学习，类比概括向量数乘的运算律，使学生的知识融会贯通，更好的理解掌握教学内容．答案：设 λ，μ∈R ，有：(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2) (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3) λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．特别地，我们有()()()λλλ-=-=-a a a ，()λλλ-=-a b a b .向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a ，ｂ以及任意实数12λμμ，，，恒有()1212++λμμλμλμ=a b a b .【例题演练】例1 计算：（1）(－3)⨯ 4a ； （2）3(a ＋b )－2(a －b ) －a ；（3）()()2332+---+a b c a b c （4）(λ+μ)(a －b )－(λ－μ)(a+b )解：（1）原式=()3412-⨯-a =a ；（2）原式=33225+-+-a b a b a =b ；（3）原式=233252+--+--+-a b c a b c =a b c ；（4）原式=()()()()λμλμλμλμ+-+----a b a b()()()()λμλμλμλμ=+---++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b22μλ=-a b ．例２ 如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，ｂ表示MA ，MB ，MC 和MD ．解：在ABCD 中，AC AB AD +=+=a b ，DB AB AD =-=-a b ．由平行四边形的两条对角线互相平分，得：()11112222MA AC +=-=-=--a b a b ， ()11112222MB BD ==-=-a b a b ， 111222MC AC ==+a b ， 111222MD DB =-=-+a b ． 总结：（１）向量得数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．（２）向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．【归纳小结】问题3 回忆本节课内容,回答以下问题:(1)什么是向量的数乘运算,向量数乘运算的几何意义是什么?(2)向量数乘运算满足哪些运算律?答案:(1) 实数λ和向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．Λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．(2)向量数乘运算满足以下运算律：设λ，μ R，有：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2) (λ＋μ)a＝λa＋μa；(3) λ(a＋b)＝λa＋λb．另外需要注意的是：实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．。
教案平面向量的数乘运算
教案：平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入向量的概念，回顾向量的定义和表示方法。
2. 引入数乘运算的概念，解释数乘运算的含义。
二、平面向量的数乘运算规则1. 展示平面向量的数乘运算例子，引导学生总结数乘运算的规律。
2. 讲解平面向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘法以及向量的数乘。
三、数乘运算的性质1. 引导学生思考数乘运算的性质，如交换律、结合律等。
2. 讲解数乘运算的性质，并通过示例进行说明。
四、数乘运算在实际问题中的应用1. 给出实际问题，引导学生运用数乘运算进行解决。
2. 讲解数乘运算在实际问题中的应用方法，如速度和加速度的合成等。
五、巩固练习1. 提供练习题，让学生独立完成，巩固对数乘运算的理解和应用。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示向量和数乘运算的示例和性质。
2. 练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对数乘运算的理解程度和应用能力。
3. 学生练习题的完成情况。
教学时间安排：1. 第一节课：介绍平面向量的数乘运算概念。
2. 第二节课：讲解平面向量的数乘运算规则。
3. 第三节课：讲解数乘运算的性质。
4. 第四节课：讲解数乘运算在实际问题中的应用。
5. 第五节课：巩固练习和解答学生问题。
教案：平面向量的数乘运算（续）六、数乘运算与向量长度的关系1. 回顾向量长度的定义和计算方法。
2. 讲解数乘运算与向量长度的关系，引导学生理解数乘运算对向量长度的影响。
七、数乘运算与向量方向的关系1. 讲解数乘运算与向量方向的关系，包括数乘运算对向量方向的影响。
2. 引导学生通过示例理解数乘运算对向量方向的影响。
八、数乘运算的逆元素1. 引入逆元素的概念，解释数乘运算的逆元素。
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，就不得不需要编写说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。
那么什么样的说课稿才是好的呢？下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿（通用3篇），希望对大家有所帮助。
《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。
本节内容也是全章重要内容之一。
二、说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。
（2）：平面两点间的距离公式。
（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。
以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
三、说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。
（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。
四、说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。
通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。
如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五、说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案教案标题：向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念和性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学重点：1. 向量的数乘运算的定义和性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。
教学难点：1. 理解向量的数乘运算的几何意义；2. 运用向量的数乘运算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算工具、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、计算工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入向量的数乘运算的概念，通过实际例子说明向量的数乘运算的意义和应用；2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？有什么应用场景？二、概念讲解（10分钟）1. 教师介绍向量的数乘运算的定义和性质，包括数乘的定义、数乘的性质（分配律、结合律等）；2. 教师通过几何图形解释向量的数乘运算的几何意义。
三、计算方法（15分钟）1. 教师详细讲解向量的数乘运算的计算方法，包括向量与实数的相乘、向量的分量与实数的乘积等；2. 教师通过示例演示向量的数乘运算的具体计算步骤。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生进行课堂练习，计算给定向量的数乘运算；2. 学生互相讨论解题方法和答案，并与教师进行交流。
五、拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生思考向量的数乘运算在实际问题中的应用，如力的合成、速度的变化等；2. 学生尝试应用向量的数乘运算解决实际问题，并与教师分享解题思路和结果。
六、归纳总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调向量的数乘运算的重要性和应用；2. 学生进行笔记整理，梳理向量的数乘运算的关键点和方法。
七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业，巩固向量的数乘运算的知识；2. 教师提醒学生预习下节课的内容，做好课前准备。
教学反思：本节课通过引入实际例子、概念讲解、计算方法、练习与讨论、拓展应用等环节，全面介绍了向量的数乘运算的概念、性质和计算方法，培养了学生的计算能力和应用能力。
《向量的数乘运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.3 向量的数乘运算》教案【教材分析】实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
【教学目标与核心素养】 课程目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【教学过程】 一、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.aaa ()()()a a a二、预习课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、定义实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．λaλa||||||λaλaλλa a0λλa a 0λ0a0λaa bλμ()λμaλaμa()()λμaλμa()λa bλaλbb aλbλa【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y .【答案】1、－53i －5j . 2、⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .．【解析】1、原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .2、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .题型二 向量线性运算的应用例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －12c .【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .解题技巧： (用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→＝14a －b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .题型三 共线定理的应用例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.【解析】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.【解析】1、证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2、解 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题. 【教学反思】向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A 和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.《6.2.3 向量的数乘运算》导学案【学习目标】 知识目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.核心素养l aa1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本13-16页，填写。
平面向量的数乘运算课件
已知平面向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$\theta $，且$|\overset{\longrightarrow}{a}| = m,|\overset{\longrightarrow}{b}| = n$，求 $|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}|$的值。
典型例题分析
• 解：$|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}| = \sqrt{(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})^{2}} = \sqrt{|\overset{\longrightarrow}{a}|^{2} + 2\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} + |\overset{\longrightarrow}{b}|^{2}}$$= \sqrt{m^{2} + 2mn\cos\theta + n^{2}}$。
03
平面向量的数乘运算的 应用
在几何中的应用
向量数量积的几何意义
平面向量的数乘运算可以表示向量的 长度和方向，其几何意义可以应用于 解决几何问题中的长度、角度、面积 等问题。
平行四边形的性质
三角形的重心坐标
利用数乘运算可以求出三角形重心的 坐标，从而解决与重心坐标相关的几 何问题。
高一数学教案：向量的数乘
高一数学教案：向量的数乘【】鉴于大伙儿对查字典数学网十分关注，小编在此为大伙儿搜集整理了此文高一数学教案：向量的数乘，供大伙儿参考!本文题目：高一数学教案：向量的数乘量的数乘(2)一、课题：向量的数乘(2))二、教学目标：1.了解平面向量差不多定理的概念;2.通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量;3.能运用平面向量差不多定理处理简单的几何问题。
三、教学重、难点：1.平面向量差不多定理的应用;2.平面向量差不多定理的明白得。
四、教学过程：(一)复习引入：(1)向量的加法运算、向量共线定理;(2)设，是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，下面我们来研究向量与，的关系。
(二)新课讲解：1.平面向量差不多定理：假如，是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使.其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①，均非零向量;②，不唯独(事先给定);③，唯独;④时，与共线; 时，与共线; 时，.2.例题分析：例1 已知向量，(如图)，求作向量.作法：1.如图(2)，任取一点，作，;2.作OACB，因此是所求作的向量。
例2 如图，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和.解：在中，ABCD ∵，例3 如图，、不共线，，用、表示.解：∵，例4 已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、.解：(1)∵(2)(3)连接，则，例5 已知在四边形中，，，，求证：是梯形。
证明：明显，又点不在是梯形。
五、小结：1.熟练把握平面向量差不多定理;2.会应用平面向量差不多定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。
六、作业：补充：1.设是的重心.若，，试用，表示向量.;2.已知：如图，， .(1)求证：;(2)求与的面积之比.3.设，是两个不共线向量，求与家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
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【教学过程】 *揭示课题
7.2.3 平面向量的数乘运算 *情境导入
有一同学从O 点出发，向东行进，1秒后到达A 点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且
OC ＝3a ．
图7−15
*引入新知
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为
（7．3）
若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．当λ＝0时，λa = 0。
实数λ与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。
由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有
（7．4）
容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则： ()()111=-=-a a a a ， ；
()()()()2a a a λμλμμλ== ；
()()3a a a λμλμ+=+ ；
()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】
请画出图形来，分别验证这些法则．
向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数
a a a
a
O
A B
C
的运算的意义是不同的． *例题讲解
例1 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．
例2 计算： （1）（-3）×4a
（2）5（a +b ）-2（a -b ） （3）（a +4 b -3c ）-（2 a -3 b -5c ）
*练习强化
1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；
（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．
2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝1
2
（a ＋b ）． *揭示课题
7.4.1 平面向量的内积 *情境导入
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？
我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则
F =x i + y j cos30sin 30=⋅+⋅F i F j ，
F
s
图7—21
︒
30O
图7－16
即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即
W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×
2
3·10＝5003 （J ） *引入新知
力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．我们规定，0180θ≤≤
两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即
(7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知 a ·0＝0, 0·a ＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |. （2） cos<a ,b >＝
||||
⋅a b
a b . （
3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.
（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，
有
a ·
b ＝0⇔a ⊥b.
可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．
（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3）
(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．
注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即
a ·(
b ·
c )≠（a ·b ）·c .
B
*例题讲解
60,求a·b．
例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝︒
-,求<a,b>．
例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2
*练习强化
60，求a·b．
1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒
2. 已知a·a＝9,求|a|．
30，求(2a＋b)·b．
3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒
*归纳小结
向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？。