向量数乘运算及其几何意义
第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确．3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB →考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用题点 用已知向量表示未知向量答案 14b －14a 解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a . 11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.三、解答题13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →， 即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。
向量的数乘运算及其几何意义
3. 证明两直线平行的问题
课后思考
ED A
B
F
C
课后思考
D
EC
M
A
B
课后思考
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
r
r
r
思 与向考量题2ar:
向量 3a 与向量 有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同,
向量
r 3a
的长度是
r a
r
r
r
r
(2)向量3a的r方向r与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a
的3倍,即 3a 3 a .
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
结 论：
练习P90第4题
1. 有关向量共线问题
例 1.
例 2.
E
C
A
B
D
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
uuur uuur uuur r
AB BC(BC 0)
A、B、C三点共线 .
2. 证明三点共线的问题 例 3.
ar
r b
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
例1：计算：
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
探究一： 探究一：向量的数乘运算及其几何意义
O
A
B
C
OC
uur u OP =
P
N
M
O
-
2
O
A
B
C
P
N
M
O
2 3
- 2：如图，设点M为△ABC的重心， ABC的重心， 的重心 BC的中点 的中点， D为BC的中点，那么向量 BD 与 BC ， 分别有什么关系？ A D与 DM 分别有什么关系？
A
1 BD BC 2
M B D C
A D 3DM
探究二: 探究二:向量的数乘运算性质
(3 2)
2
2
思考6 若存在实数λ 思考6：若存在实数λ，使 A B l BC ， 三点的位置关系如何？ 则A、B、C三点的位置关系如何？ A B l BC A、B 、C 共线
3.向量的数乘运算律，不是规定， 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 向量的数乘运算律 可以证明的结论. 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行， 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据. 数量关系的理论依据.
作业： 作业： P90练习 练习： P90练习：3，4，5，6.
高中新课程数学必修④ 高中新课程数学必修④
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
mzgang888@
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、 1.如何求作两个非零向量的和向量、差 如何求作两个非零向量的和向量 向量？ 向量？
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 3=5×3=15.那么相 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究. 运算呢？这需要从理论上进行探究.
向量数乘运算及几何意义
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘的运算及其几何意义教材分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量aλ表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.教学目标重点：掌握向量数乘的定义、运算律,理解向量共线定理. 难点：向量共线定理的探究及其应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.教育点：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练（应用）点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.考试点：运用向量定义、运算律进行有关计算，运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备 尺规、多媒体等 课堂模式 学案导学 一、引入新课：1.复习向量的加法、减法，采用提问的形式. 问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：=，= 则 -=。
向量数乘运算及其几何意义
例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
证明：（1）对于向量 （a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律
向量数乘运算及其几何意义新
解释力和力矩的方向
在分析力学中，向量数乘可以用来解释力和力矩的 方向，以及它们对物体运动状态的影响。
描述磁场和电场的变化
在电磁学中，向量数乘可以用来描述磁场和 电场的变化，以及它们对电荷和电流的作用 。
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩 放，即改变向量的长度而不改变 其方向。
实例分析
标量与向量的数乘实例
在二维平面中，假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2)$，当标量为 $k = 2$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{b} = (2,4)$；当标量为$k = -3$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{c} = (-3,-6)$。
详细描述
向量数乘在数学中可以丰富数学理论体系，例如在解析几 何中，通过向量数乘运算可以描述平面几何图形的旋转和 缩放，从而丰富了平面几何的理论基础。
总结词
促进数学与其他学科的交叉融合
总结词
解决数学难题
详细描述
向量数乘在数学与其他学科的交叉融合中也有着重要的应 用，例如在生物力学中，通过向量数乘运算可以描述肌肉 收缩和骨骼运动的关系，从而促进了生物学和力学的交叉 融合。
在物理建模过程中，向量数乘运算可以简化复杂的物理模 型，例如在力学中，通过向量数乘运算可以描述力的合成 与分解，从而简化了对物体运动轨迹的分析。
详细描述
向量数乘在物理中有着广泛的应用，例如在电磁学中，通 过向量数乘运算可以描述电荷的运动轨迹和电场线的分布 ，从而揭示电磁现象的本质。
总结词
提高物理实验的精度
案例三：向量数乘在工程中的运用
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
b // a( a 0 ) 存在唯一实数，使b a
思考 (1)为什么规定 a 0 ? (2) 若 a 0 ,则情况会怎样?
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件有无数多个
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件不存在 综上所述， a必须是非零向量
a
3a 3a
6a
2 (3a) (2 3)a
一般地
2013-1-10
( a) ( )a
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 8
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
4.已知非零向量 a , b ,试作出 2(a b) 和 2a 2b , 并进行比较. a a
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
16
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.90 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组9.10 练习1.2.3.4.5.6
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
共起点
A
a
首
尾
尾首
B
a b
A
a+b
b a
C
b
a+b
B
O
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3、向量减法的三角形法则
口决：共起点，指被减 4、向量减法的平行四边形法则 共起点 b A A
a a a+b a
数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)
运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是， 向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反 向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$， 以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也 具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。
向量数乘运算及其几何意义
2023向量数乘运算及其几何意义contents •向量数乘运算的基本概念•向量数乘运算的几何意义•向量数乘运算在物理中的应用•向量数乘运算在数学中的拓展应用•向量数乘运算的实践应用案例目录01向量数乘运算的基本概念向量的定义零向量零向量记作0，是一个长度为0的向量，其所有分量都是0。
向量的模向量v的模记作|v|，定义为v的分量值的平方和的平方根。
向量的分量一个n维向量v可以表示为一个有序数组v = [v1, v2, ..., vn]，其中每个vi称为向量v的分量。
010203•向量数乘的定义：对于一个标量a和一个向量v，a数乘v的结果是一个向量，其每个分量是v的分量乘以a。
即，如果v = [v1, v2, ..., vn]，则av = [av1, av2, ..., avn]。
向量数乘的定义1向量数乘的运算性质23a(v + w) = av + aw，其中a是标量，v和w是向量。
标量与向量的数乘满足分配律a(bw) = (ab)vw，其中a和b是标量，v和w是向量。
向量数乘满足结合律av = (ab)v，其中a和b是标量，v是向量。
向量数乘满足交换律02向量数乘运算的几何意义向量的方向向量的方向与数乘的顺序有关向量数乘运算的结果与数乘的顺序有关，不同的顺序可能得到不同的结果。
例如，对于两个向量a和b，如果先对a进行数乘，再对结果进行加法运算，得到的结果与先进行加法运算，再对结果进行数乘是不同的。
数乘可以改变向量的方向如果一个向量与一个正数相乘，那么它的方向将与原向量相同；如果与一个负数相乘，那么它的方向将与原向量相反。
例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的方向将与k的方向相同；如果a与负数k相乘，那么a的方向将与k的方向相反。
如果一个向量与一个正数相乘，那么它的长度将变为原向量的k倍；如果与一个负数相乘，那么它的长度将变为原向量的k分之一。
例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k倍；如果a与负数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k分之一。
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义数乘是指将一个向量与一个标量相乘。
数乘运算可以用来改变向量的大小和方向，并且在几何上具有重要的意义。
首先，考虑一个向量v，并将其数乘一个正数k。
当k>1时，数乘会使得向量v的大小增大，但方向不变。
当k=1时，数乘不会改变向量v的大小和方向。
当0<k<1时，数乘会使向量v的大小减小，同时方向保持不变。
当k=0时，结果是一个零向量，其大小为零。
当k<0时，向量v被反向，并且大小也被取绝对值后增大。
因此，数乘可以使向量扩大、缩小、翻转。
在几何中，数乘具有以下几何意义：1.缩放：数乘可以用来缩放一个向量。
当数乘的绝对值大于1时，向量的大小会增大，而当绝对值小于1时，向量的大小会减小，但方向保持不变。
这意味着数乘可以用来缩放一个对象。
2.平行：当数乘为正数时，数乘后的向量与原向量的方向是相同的，它们是平行的。
当数乘为负数时，数乘后的向量与原向量的方向是相反的，它们也是平行的。
这意味着数乘可以用来判断两个向量是否平行。
3.方向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，即改变向量的方向。
这意味着数乘可以用来改变向量的方向。
4.零向量：当数乘为零时，结果是一个零向量，其大小为零。
这意味着数乘可以用来判断向量是否为零向量。
5.反向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，并且大小也会取绝对值后增大。
这意味着数乘可以用来使向量翻转。
6.平面的法向量：考虑一个向量v，它在x轴和y轴上的分量分别为vₓ和vᵧ。
如果将一个向量与一个数乘后的向量相加，结果为零向量，则这个数乘后的向量是由vₓ和vᵧ的相反数构成的。
这表明数乘后的向量是平面上法向量的一种表示方法。
总而言之，数乘在几何中具有重要的意义，它可以用来缩放、改变方向、判断平行性和零向量，以及使向量翻转。
这些几何意义使数乘成为向量运算中的一个重要操作。
高中数学——必修四-向量数乘运算及其几何意义
课 堂 互 动 探 究
菜单
演示结束
新课标 ·数学 必修4
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业新课标 ·数学 必修4教 Nhomakorabea学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
学
方
案
1.掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点)
设 计
课标
2.掌握向量共线定理的应用．(难点)
当 堂 双
课
解读
基
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学 必修4
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学 必修4
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学 必修4
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
标
主
导
学
课
课
堂
时
互
作
动
业
探
究
菜单
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义首先，数乘可以用于描述向量的数量特征。
对于一个向量A = (a1,a2, ...,an)，它的数乘kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k是一个数。
数乘可以改变向量的大小，当k > 1时，向量的大小会增大；当k < 1时，向量的大小会缩小；当k = 0时，向量会变为零向量。
这个特性使得数乘可以用于描述向量的缩放效果。
其次，数乘还可以用于推导向量的几何性质。
假设有两个向量A和B，在数学中可以证明以下几何性质：1.数乘的交换律：k(A+B)=kA+kB。
这个性质说明了数乘对向量的线性运算。
即两个向量之和的数乘等于分别对每个向量进行数乘后再相加。
2.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)。
这个性质说明了数乘的运算是可结合的。
即连续进行两次数乘的结果与将两个数乘因子相乘再对向量进行数乘的结果相同。
3. 数乘的单位向量：kį = (ka1, ka2, ..., kan)。
这个性质说明了单位向量与数乘之间的关系。
即单位向量的每个分量等于将数与向量的各个分量相乘后得到的向量。
利用数乘的几何性质，可以帮助我们推导出一些向量的几何意义。
以下是数乘的一些几何意义：1.向量的平移：当数乘k>0时，等式kA可以表示向量A的平移。
向量A的平移kA代表了将向量A移动到离原点O的距离为，k，倍的位置。
2.向量的伸缩：当数乘k>1时，等式kA可以表示向量A的伸缩。
向量A的伸缩kA代表了将向量A的大小按比例增大k倍。
3.向量的反向：当数乘k<0时，等式kA可以表示向量A的反向。
向量A的反向kA代表了将向量A方向反转180°，同时改变其大小。
4.零向量：当数乘k=0时，等式kA可以表示零向量。
零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，方向为任意。
虽然向量的数乘在数学中有很多定义和性质，但它们的几何意义可以被统一地描述为向量的平移、伸缩、反向和零向量。
向量的数乘不仅在理论数学中有重要的地位，也在实际应用中起到了至关重要的作用。
向量数乘运算及其几何意义
向量数乘运算及其几何意义
1. 嘿，你知道向量数乘运算吗？就像给向量穿上了超级装备！比如，一辆车本来向前开，速度乘以 2 后，那速度变得超快！这多神奇啊！
2. 向量数乘运算可有意思啦！它就像给向量施了魔法一样，能让向量变大或变小。
想想看，一个力乘以 3，那效果得多厉害呀！
3. 哇塞，向量数乘运算啊，这可是个厉害的家伙！就如同给向量注入了能量，让它发生奇妙的变化。
好比一只鸟的飞行速度乘以 0.5，它的状态就完全不同了呢！
4. 嘿呀，向量数乘运算不简单呢！简直就是改变向量命运的钥匙！像水流的速度乘以 4，那冲击力可就大多了！
5. 你瞧，向量数乘运算多重要啊！它就像给向量开了外挂，能产生意想不到的效果。
比如说一个人的跑步速度乘以 1.5，那跑起来得多带劲！
6. 哎呀，向量数乘运算可太神奇了！就好像给向量赋予了新的生命！比如把灯光的亮度乘以 0.8，整个氛围都不一样了呢！
7. 哇哦，向量数乘运算可有趣了！这不就是让向量七十二变嘛！像风的力度乘以 2，那刮起来得多猛啊！
8. 嘿，想想向量数乘运算，那真的是太酷啦！如同给向量打造了独特的风格！就好比把音乐的音量乘以 1.2，那感觉完全不一样了呀！
9. 哇，向量数乘运算简直了！就像给向量安装了加速器！比如把运动员的爆发力乘以 1.3，那表现得多惊人！
10. 哎呀呀，向量数乘运算，这可是个宝贝啊！它的几何意义就像是给向量打开了新世界的大门！比如说把一个图形的边长乘以 0.5，那形状都变了呢！
我的观点结论：向量数乘运算及其几何意义真的是非常有趣且重要的知识，能让我们看到向量的奇妙变化和作用。
【数学】2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(人教A版必修4)1
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
向量数乘运算及其几何意义
练习：计算： （1）（2 2a 6b 3c) 3(3a 4b 2c);
(2)已知3(x a) 2(x 2a) 4(x a b) 0 求x.
解：（1）原式 4a 12b 6c 9a 12b 6c
13a
（2）3x 3a 2x 4a 4x 4a 4b 0
x 3a 4b 0 x 3a 4b
(1)AD 1 (AB AC) 2
解2:
Ａ
过点B作BE,使 BE AC 连接CE
Ｂ Ｄ
则四边形ABEC是平行四边形,D是BC 中点，则D也是AE中点.
Ｃ 由向量加法平行四边形法则有
AB AC AE 2AD
E
AD 1 (AB AC) 2
例8. 在 ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
定理
向量
v b
与非零向量
v a
共线
vv
有且仅有一个实数 ，使得 b a．
例4.如图：已知 AD 3 AB ， DE 3BC ， 试判断 AC 与 AE 是否共线．
AB
AC
AC '
为
AC
上的单位向量
AC
则
AB
AC
的方向为∠BAC的角平分线AD的方向
AB AC
y
（如图）
B
B’
D
(P)
A
C’
C
0
x
又λ∈［0，＋∞）
AB
AB
AC 的方向与
AC
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
[解析] 把已知中的两等式看做关于m、n的方程，联立 方程组3mm－＋32nn＝＝ba，， 解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积 以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的 方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(13a－b)－3(a＋23b)＋(2b －a)＝________.
个点，动点
P
满足O→P＝O→A＋λ
→ AB →
＋
→ AC →
，λ∈[0，＋∞)，则
|AB| |AC|
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．外心 C．重心
[答案] B
B．内心 D．垂心
[解析]
易知A→P＝λ
→ AB →
＋
→ AC →
.
|AB| |AC|
→→
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
注：向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.
三、共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
例2:如图：已知 AD 3AB ，DE 3BC ，
试判断 AC 与 AE 是否共线． E
(1)掌握实数与向量的积的定义; (2)掌握实数与向量的积的运算律， 并进行有关的计算; (3)掌握共线向量基本定理，并会判断 两个向量是否共线； (4)能运用向量判断点共线、线共点等.
已知非零向量 a
a
作出：a a a a a a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
锦山蒙中学案（高一年级组）
班 级 姓 名
学 科
时 间
课 题 向量数乘运算及其几何意义
学 习 目 标
1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律；
3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.
过 程
双色笔纠错
一、复习引入：
1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法遵从 法则和 法则
2.向量的减法：a 加上b 相反向量，叫做a
与b 的差，即：
a
- b =
二、讲解新课：
1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a
)
OC =OA AB BC ++ =a +a +a =3a
PN =PQ QM MN ++ =(-a )+(-a )+(-a )=-3a
（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a
|；
（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a
|
作图：
2．实数与向量的积：实数λ与a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa
|=
（2）λ>0时λa 与a
方向 ；
λ<0时λa 与a
方向 ；
λ=0时λa
=
3．运算定律
结合律：λ(μa
)=
①第一分配律：(λ+μ)a
=
②第二分配律：λ(a +b
)=
=±）（b a 21
μμλ
4．向量共线的充要条件：
若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa ，则a
与b 为共线向量。
若a 与b 共线(a ≠0 )且 |b |：|a
|=μ，则 当
a
与
b
同向时
b
= ；
当 a
与 b 反 向 时 b = 从而得：
向量共线定理 向量b 与向量a (a
≠0)共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使
三、范例学习：
例 1. 如图，已知任意两个与非零向量a
，b ，试作
OA =a +b ,OB ＝a +2b ,OC =a +3b ，
你能判断A,B,C 三点之间的位置关系吗？为什么？ （教材例6） 例2.在
ABCD 中，对角线交于点M, 设AB =a ,AD =b ,试
用a , b
表示MA ,MB ,MC ,MD .（例7）
达标检测
3.如图，已知AB AD 3=、BC DE 3=，试判断AC 与AE 是否共线?
1、判断下列各小题中的向量a 与b 是否共线
12121212
(1)2,2(2),22(3),2 a e b e
a e e
b e e a e e b e e =-==-=-+=-=+ C E
A
B
D
课后作业： 1．在
ABCD 中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a , b
表示
AB ，BC
2.在△ABC 中,AB =a , BC =b
，AD 为边BC 的中线，G 为
△ABC 的重心，求向量AG。
知 识 构 建。