《原子物理学》第一章习题解答

第一章习题解答

1-1 速度为v 的非相对论α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子

的最大偏离角为104- rad 。

证：α粒子在实验系及在质心系下的关系有：

ααc c v v v +=

由此可得：

⎩⎨⎧+=+=c c c L c c c L v v v v v v θθθθαα

ααcos cos cos cos ①

由②解得：

u

C C

L +=

θθθcos sin tan 其中u=αc c v v ②

()c e v m m v m +=αα0 0v m m m v e

c +=

∴αα

③

∵ ce c c e v v v v v -=-=ααα，与坐标系的选择无关

∴ce c v v v -=α0 ④

又 ∵ 0=+ce e v m v m αα

∴0v m m v e

ce α

-

= 代入④式，可得：

0v m m m v e e

c α

α+=

由此可以得到：

e

c m m v v α

α=

代入②式中，可以得到： rad m m m m e

c e

c L 410cos sin tan -≈≤

+=

α

α

θθθ 证毕。

1-2 (1)动能为5.00Mev 的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参

数）为多大？

（2）如果金箔厚1.0µm ，则上述入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射例子的百分之几？ 解：

（１）由库仑散射公式可得:

b =2a cot 2θ=21E e Z Z 02214πεcot 2θ=21⨯E Z Z 21⨯

24πεe cot 4π =

2

1⨯5

792⨯⨯1.44⨯1=22.752 fm

（2）在大于90°的情况下，相对粒子数为:

⎰N dN '

＝

nt(E Z Z 421⨯

24πεe )2

⎰Ω2

sin

4θd =t N M A A ρ

(E Z Z 421⨯024πεe )2

θθ

θπππ

d ⎰

2

42

sin

sin 2

=9.4⨯105-

1-3 试问：4.5Mev 的α粒子与金核对心碰撞的最小距离是多少？若把金核改为

7

Li 核，则结果如何？

解：

α粒子与金核对心碰撞时金核可看作静止，由此可得到最小距离为：

r m =a=E e Z Z 02214πε=E Z Z 21⨯

2

4πεe =1.44⨯105-⨯5

79

2⨯≈50.56 fm

α粒子与7Li 核对心碰撞时，我们可以在质心系下考虑，此时α粒子与金核相对于质心的和动量为零，质心系能量为各粒子相对于质心的动能之和，因此有：

221v E C μ=＝m

r e Z Z 02

214πε＋０＝L Li Li E m m m +α

其中L E ＝

2

1

mv 2为入射粒子实验室动能，由此可以得到

m r =02

4πεe L

E Z Z 21Li Li

m m m +α＝3.02 fm

1-4 （1）假定金核的半径为7.0fm 试问：入射质子需要多少能量，才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？

（2）若金核改为铝核，使质子在对头碰撞时刚好到达铝核表面，那么，入射质子的能量应为多少？设铝核半径为4.0fm. 解：

仍然在质心系下考虑粒子的运动，由１-３题可知：ＥC ＝m

r e Z Z 02

214πε

(1)对金核可视为静止，实验系动能与质心系动能相等，由此得到 Ｅ＝16.25Mev

(2)对铝核，Ｅ＝1.44⨯Al Al p m m m +⨯413=4.85Mev

1-5 动能为1.0Mev 的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5mg/cm 2

的金箔上，计数器纪录以60°角散射的质子，计数器圆形输入孔的面积为1.5cm ²，离金箔散射区的距离为10cm ，输入孔对着且垂直于射到它上面的质子。试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质量厚度定义为

m ρ=ρt ，其中ρ为质量密度，t 为厚度）

解：

在立体角Ωd 上的粒子数为：

2

sin )44(2sin )44(4

22102422102

θπερθπεΩ

⨯=Ω⨯=d E Z Z e M N d E Z Z e Nnt dN A m A

此时

2

2105

.1=∆=

Ωr S d 代入上式可得：

610898.8-⨯=N

dN

1-6 一束α粒子垂直射至一重金属箔上，试求α粒子被金属箔散射后，散射角大于60°的α粒子数与散射角大于90°的粒子数之比。 解：

1:32

sin 2sin 2

4

3

4

90600

0=ΩΩ=

⎰⎰>>π

π

π

π

θ

θ

d d N N

1-7 单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm ²的钽箔上，这时以散射角0θ>20°散射时的相对粒子数（散射粒子数与入射粒子数之比）为4.0310-⨯.试计算：散射角θ=60°相对应的微分散射截面Ω

d d σ

。 解：

由微分散射截面定义)(θσc =(E Z Z 421⨯

24πεe )22

sin

14θ

,在θ>0θ=20°散射时有：

θ

θθ

ππερθπεd E Z Z e M N d E

Z Z e Nnt N dN A m A cos 2

sin 4)44(2sin )44(0000

18020322102180204

22102

⎰⎰-⨯=Ω⨯=

=ππερ4)44(22102E

Z

Z e M N A m A ⨯2cot 10°=3100.4-⨯ 查表可知：

mol g M M Ta A /181)(==

故 sr m N M m A A c /1038.230sin 110cot 4100.42274

23)60(--︒⨯=︒

︒⨯⨯⨯=πρσ

1-8 (1)质量为1m 的入射粒子被质量为2m （12m m ≤）的静止靶核弹性散射，试证明：入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角L θ由下式决定：