2014全国新课标1数学理及答案
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参考答案
一、选择题 ADCAD CDCBB CB 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.（1）证明：由题意得 所以 又因为 所以 所以 （2）解：假设存在，使得为等差数列. 由（1）知 因为
所以 因为 所以 所以 故 所以是首项为1，公差为4的等差数列， 是首项为3，公差为4的等差数列， 所以 因此存在，使得为等差数列.
.是偶函数 .是奇函数 .是奇函数 .是奇函数
4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）. .. . .
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.
. .. . 6.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射 线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示 为的函数，则在上的图像大致为（ ）.
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正 态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产 品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（i）的结果，求. 附：，若～，则，.
19.（本小题满分12分） 如图三棱锥中，侧面为菱形，. （Ⅰ）证明：；
21.解：（1）函数的定义域为，, 由题意可得, 故 （2）由（1）知，从而等价于. 设函数，则. 所以当时，;当时, . 故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为 . 设函数，则. 所以当时，;当时，.故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为. 综上，当时，,即.
22.（1）由题设得，四点共面，所以 由已知得， ,所以
（2）设，连接,则由,知 所以在上，又不是的直径，为中点，故 即所以,故. 又，故由（1）知 所以为等边三角形。
23.（1）曲线C的参数方程为 直线的普通方程为 （2）在曲线C上任意取一点到的距离为 则其中为锐角。且 当时， 当
24.（1）由得，当且仅当时等号成立。 故且当且仅当时等号成立。 由于，从而不存在。
18.解： （1）抽取产品的质量指标值的样本平均数 （2）（1）由（1）知，，从而 （2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为 依题意知，所以
19.解： （1）连结，交于，连结.因为侧面为菱形，所以，且为与的中点. 又，故 （2）因为且为的中点，所以 又因为，所以 故，从而，，两两互相垂直. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角 坐标系. 因为，所以为等边三角形.又，则 ，，， ，，
设是平面的法向量， 即 所以可取 设是平面的法向量，则 同理可取 则 所以二面角的余弦值为.
20.解： （1）设，由条件知，，得 又，所以， 故的方程为. （2）依题意设直线： 将代入得 当，即时， 从而 又点到直线的距离，所以的面积 设，则， 因为，当且仅当，即时等号成立，且满足 所以当的面积最大时，的方程为 .
已知数列的前项和为，，，，其中为常数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.
18.（本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组 数据用该区间的中点值作代表）；
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的一项. 1.已知集合，，则（ ）.
....
2.wk.baidu.com ）. ... .
3.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的 是（ ）.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意： 只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将 所选题号后的方框 涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.
7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的（ ）.
.. . .
8.设，，且，则（ ）. . .. .
9.不等式组的解集记为.有下面四个命题： ：， ：, ：， ：.
其中真命题是（ ）. .， .， .， .，
10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦 点，若，则（ ）.
（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分） 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦
点，直线的斜率为，为坐标原点. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
21.（本小题满分12分） 设函数，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：.
... .
11.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（ ）. .. . .
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）.
. .. .
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必 考题，每个考生都必 须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.的展开式中的系数为 .（用数字填写答案）
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市； 丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为 .
16.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）. （Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； （Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与
最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若，且. （Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.
一、选择题 ADCAD CDCBB CB 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.（1）证明：由题意得 所以 又因为 所以 所以 （2）解：假设存在，使得为等差数列. 由（1）知 因为
所以 因为 所以 所以 故 所以是首项为1，公差为4的等差数列， 是首项为3，公差为4的等差数列， 所以 因此存在，使得为等差数列.
.是偶函数 .是奇函数 .是奇函数 .是奇函数
4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）. .. . .
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.
. .. . 6.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射 线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示 为的函数，则在上的图像大致为（ ）.
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正 态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产 品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（i）的结果，求. 附：，若～，则，.
19.（本小题满分12分） 如图三棱锥中，侧面为菱形，. （Ⅰ）证明：；
21.解：（1）函数的定义域为，, 由题意可得, 故 （2）由（1）知，从而等价于. 设函数，则. 所以当时，;当时, . 故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为 . 设函数，则. 所以当时，;当时，.故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为. 综上，当时，,即.
22.（1）由题设得，四点共面，所以 由已知得， ,所以
（2）设，连接,则由,知 所以在上，又不是的直径，为中点，故 即所以,故. 又，故由（1）知 所以为等边三角形。
23.（1）曲线C的参数方程为 直线的普通方程为 （2）在曲线C上任意取一点到的距离为 则其中为锐角。且 当时， 当
24.（1）由得，当且仅当时等号成立。 故且当且仅当时等号成立。 由于，从而不存在。
18.解： （1）抽取产品的质量指标值的样本平均数 （2）（1）由（1）知，，从而 （2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为 依题意知，所以
19.解： （1）连结，交于，连结.因为侧面为菱形，所以，且为与的中点. 又，故 （2）因为且为的中点，所以 又因为，所以 故，从而，，两两互相垂直. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角 坐标系. 因为，所以为等边三角形.又，则 ，，， ，，
设是平面的法向量， 即 所以可取 设是平面的法向量，则 同理可取 则 所以二面角的余弦值为.
20.解： （1）设，由条件知，，得 又，所以， 故的方程为. （2）依题意设直线： 将代入得 当，即时， 从而 又点到直线的距离，所以的面积 设，则， 因为，当且仅当，即时等号成立，且满足 所以当的面积最大时，的方程为 .
已知数列的前项和为，，，，其中为常数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.
18.（本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组 数据用该区间的中点值作代表）；
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的一项. 1.已知集合，，则（ ）.
....
2.wk.baidu.com ）. ... .
3.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的 是（ ）.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意： 只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将 所选题号后的方框 涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.
7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的（ ）.
.. . .
8.设，，且，则（ ）. . .. .
9.不等式组的解集记为.有下面四个命题： ：， ：, ：， ：.
其中真命题是（ ）. .， .， .， .，
10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦 点，若，则（ ）.
（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分） 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦
点，直线的斜率为，为坐标原点. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
21.（本小题满分12分） 设函数，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：.
... .
11.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（ ）. .. . .
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）.
. .. .
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必 考题，每个考生都必 须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.的展开式中的系数为 .（用数字填写答案）
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市； 丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为 .
16.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）. （Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； （Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与
最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若，且. （Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.