行列式与矩阵幂迹代数关系
线性代数中行列式与矩阵的比较
线性代数中行列式与矩阵的比较作者：王振尤兰来源：《课程教育研究·新教师教学》2015年第35期【基金项目】盐城工学院人才引进项目（XKR2011022）。
【中图分类号】O151.22-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0003-02行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念，贯穿整个线性代数课程。
但部分同学在学完了线性代数之后，对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚，往往混淆。
多年来已有一些作者对这一对概念进行分析，但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到，所以详细地、多角度地分清这两个基本概念，对学好、用好线性代数这门课程非常必要。
文献[1，2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析，下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析，给出它们之间的区别与联系，串起线性代数中大部分内容，希望能对线性代数的教与学提供一个参考。
1.概念的比较1.1行列式与矩阵概念的区别由行列式和矩阵的定义可知，虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表，再在两边加上一个符号的形式，但这两个概念是完全不同的。
首先，两边所加的符号不同：行列式两边用竖线“||”，而矩阵两边用圆括弧“（）”或方括弧“”[ ]。
其次，形状不同：行列式的行数与列数必须相等，但矩阵的行数与列数可以不相等。
再次，意义不同：n阶行列式是由n个数a（1≤i，j≤n）按规定的运算法则所确定的一个数，而m行n列矩阵是由m×n个数aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一个数表。
故两个表面不一样的行列式，它们的值却可能相等；而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等，所以两个不同型的零矩阵是不相等的。
1.2与行列式、矩阵相关的一些概念当A是方阵（行数=列數）时，有对应的行列式|A|，称为方阵A阵的行列式；当A不是方阵时，没有对应的行列式。
在一般m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
矩阵相乘 行列式-概述说明以及解释
矩阵相乘行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述矩阵相乘和行列式是线性代数中非常重要的概念。
矩阵相乘是将两个矩阵按照一定顺序相乘得到一个新的矩阵的运算，而行列式则是一个矩阵的一个标量值，用于判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的性质。
本文将深入探讨矩阵相乘和行列式的定义、性质以及它们之间的关系，旨在帮助读者更深入理解和应用这两个重要的概念。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将介绍矩阵相乘和行列式的基本概念，并阐述本文的目的和意义。
在正文部分，我们将详细讨论矩阵相乘和行列式的原理和计算方法，以及它们之间的关系。
我们将介绍如何进行矩阵相乘运算，以及如何计算一个矩阵的行列式。
我们还将讨论矩阵相乘和行列式在数学和其他领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵相乘和行列式的重要性，并探讨它们在不同应用领域中的作用。
我们还将展望未来，在哪些领域矩阵相乘和行列式可能会有更广泛的应用。
1.3 目的：本文的目的在于探讨矩阵相乘和行列式的概念和性质，通过深入理解这两个数学概念之间的关系，帮助读者更好地理解和运用矩阵运算以及行列式计算。
具体来说，我们的目的包括但不限于以下几点：- 解释矩阵相乘和行列式的定义和计算方法；- 探讨矩阵相乘和行列式在数学和实际应用中的重要性；- 分析矩阵相乘和行列式之间的关系，包括它们的性质和特点；- 提供矩阵相乘和行列式在实际问题中的具体应用案例；- 展望未来矩阵相乘和行列式研究的发展方向和可能应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地理解矩阵相乘和行列式的概念和重要性，以及它们在数学理论和实际应用中的价值和意义，从而为进一步学习和研究提供基础和启发。
2.正文2.1 矩阵相乘矩阵相乘是线性代数中非常重要的运算之一。
在进行矩阵相乘时，我们需要满足两个矩阵的维度匹配规则，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
如果我们有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B相乘，那么它们的乘积将会是一个m×p的矩阵。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
线性代数中行列式与矩阵的比较
行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念,贯穿整个线性代数课程。
但部分同学在学完了线性代数之后,对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚,往往混淆。
多年来已有一些作者对这一对概念进行分析,但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到,所以详细地、多角度地分清这两个基本概念,对学好、用好线性代数这门课程非常必要。
文献[1,2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析,下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析,给出它们之间的区别与联系,串起线性代数中大部分内容,希望能对线性代数的教与学提供一个参考。
1.概念的比较1.1行列式与矩阵概念的区别由行列式和矩阵的定义可知,虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表,再在两边加上一个符号的形式,但这两个概念是完全不同的。
首先,两边所加的符号不同:行列式两边用竖线“||”,而矩阵两边用圆括弧“()”或方括弧“”[]。
其次,形状不同:行列式的行数与列数必须相等,但矩阵的行数与列数可以不相等。
再次,意义不同:n 阶行列式是由n 2个数a ij(1≤i,j ≤n)按规定的运算法则所确定的一个数,而m 行n 列矩阵是由m×n 个数a ij (1≤i ≤m ,1≤j ≤n)按行按列排成的一个数表。
故两个表面不一样的行列式,它们的值却可能相等;而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等,所以两个不同型的零矩阵是不相等的。
1.2与行列式、矩阵相关的一些概念当A 是方阵(行数=列数)时,有对应的行列式|A|,称为方阵A 阵的行列式;当A 不是方阵时,没有对应的行列式。
在一般m×n 矩阵A 中,任取k 行与k 列(k ≤m,k ≤n),位于这些行列交叉处的k 2个元素,不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
当A 是方阵时,由A 的行列式|A|的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵,其中余子式M ij 均是将|A|中的第i 行,第j 列划去所得到的n-1阶行列式。
矩阵的秩与行列式
矩阵的秩与行列式矩阵是数学中的一个重要概念，它通过行与列组成的矩形区域来表示一组数。
在矩阵运算中，矩阵的秩与行列式是两个基本概念，它们在解决线性方程组、计算逆矩阵等问题中具有重要的作用。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨矩阵的秩与行列式的关系。
一、矩阵的秩的定义与性质秩是矩阵的一个重要指标，用来描述矩阵线性无关的程度。
对于一个m×n的矩阵A，它的秩记作r(A)，满足以下几个性质：1. 秩的定义：矩阵A的秩是指矩阵A的非零行数与非零列数中的较小值。
即r(A) = min{m, n}。
2. 行、列等价性：对于任意的矩阵A，它的行秩和列秩是相等的，即r(A) = r(A的转置)。
3. 矩阵的秩与行列式：矩阵的秩与其行列式之间存在一定的联系。
二、矩阵的行列式的定义与性质行列式是矩阵的一个标量值，在线性代数的课程中得到广泛的应用。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，行列式具有如下性质：1. 行列式的定义：对于n阶方阵A，行列式det(A)等于矩阵A所有元素的代数余子式按照特定规则组成的代数和。
2. 行、列互换：如果交换矩阵的两行或两列，它的行列式的值将变为相反数。
3. 行列式的性质：行列式具有多个性质，包括行列式与矩阵的行列互换、某一行或一列元素乘以一个常数、两行或两列相等等，行列式的值也将发生相应的变化。
三、矩阵秩与行列式的关系矩阵的秩与行列式在一定程度上存在一些关联关系，这一关系体现在以下两个方面：1. 矩阵的秩与行列式的关系：对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)等于它的行列式det(A)不等于零的最大阶数。
即r(A) = k，当且仅当A的k阶子式不等于零，而A的所有比k阶更大的子式均等于零。
2. 行列式的性质对秩的影响：若一个n阶矩阵A的行列式det(A)不等于零，那么该矩阵的秩r(A)等于其阶数n；若矩阵A的行列式det(A)等于零，那么该矩阵的秩r(A)小于n。
这是因为矩阵的秩与其行列式的零空间相关联，若行列式不为零，则矩阵的零空间只有零向量，从而秩等于阶数；若行列式为零，则矩阵的零空间存在非零向量，从而秩小于阶数。
线性代数中的行列式与向量组探索
线性代数中的行列式与向量组探索在线性代数中，行列式和向量组是两个重要的概念。
行列式是矩阵的一个标量值，它具有很多重要的性质和应用。
向量组则是由一组向量所生成的集合，它们之间存在着紧密的联系。
本文将探索行列式和向量组在线性代数中的重要性以及它们之间的关系。
一、行列式的定义和性质行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以通过一定的计算规则来求解。
行列式的定义是通过递归的方式来定义的，对于一个2x2的矩阵而言，其行列式为ad-bc，其中a、b、c、d分别为矩阵中的元素。
对于更高阶的矩阵，行列式的计算规则稍微复杂一些。
行列式具有一些重要的性质。
首先，行列式的值可以告诉我们一个矩阵是否可逆。
如果一个矩阵的行列式为0，那么它是不可逆的；如果行列式不为0，那么它是可逆的。
其次，行列式的绝对值可以告诉我们一个矩阵对应的线性变换对空间的伸缩程度。
如果行列式的绝对值大于1，那么线性变换会对空间进行放大；如果行列式的绝对值小于1，那么线性变换会对空间进行缩小。
此外，行列式还具有交换性、线性性等重要的性质。
二、向量组的定义和线性相关性向量组是由一组向量所生成的集合。
向量组的定义是线性代数中的基本概念之一。
一个向量组可以包含任意多个向量，这些向量可以是行向量或者列向量。
向量组可以通过线性组合的方式生成新的向量。
向量组的线性相关性是指向量组中的向量之间是否存在一种线性关系。
如果向量组中的向量之间存在一种非平凡的线性关系，那么向量组是线性相关的；如果向量组中的向量之间不存在任何非平凡的线性关系，那么向量组是线性无关的。
线性相关性的判断可以通过求解向量组的线性方程组来进行。
三、行列式与向量组的关系行列式和向量组之间存在着紧密的关系。
首先，对于一个n维向量组，如果它是线性相关的，那么它所生成的行列式为0。
这是因为线性相关的向量组中存在非平凡的线性关系，因此它们所生成的矩阵的行列式为0。
其次，行列式可以用来判断向量组的线性相关性。
线性代数行列式算与性质
线性代数行列式算与性质————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。
十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。
绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。
不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。
此外，矩阵的绝对值是没有定义的。
因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。
例如，一个矩阵：A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ihgfedcba，行列式也写作，或明确的写作：A=ihgfedcba，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
3一、行列式的定义与计算一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下：其中，是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对全部元素的求和，即对于每个，在加法算式中出现一次；对于每一对满足的数对，是矩阵 A 的第i 行第j 列的元素。
矩阵的秩和行数列数的关系
矩阵的秩和行数列数的关系矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它是由若干行（或若干列）数按照一定的顺序排列而成的矩形阵列，往往用大写字母表示。
在线性代数的学习中，矩阵的秩和行数、列数之间的关系是非常重要的一部分，本文将对此做一些详细的介绍和阐述。
1. 什么是矩阵的秩？在线性代数的学习中，矩阵的秩是一个十分重要的概念，它是指矩阵中非零行的最大个数，通俗地说就是指矩阵所有的行线性无关的行向量的个数。
其中，任意一个行向量都不能用其他行向量的线性组合来表示，也就是说，这些行向量相互独立。
因此，秩的大小是反映矩阵列向量空间的维数，通常用rank(A)表示。
对于一个m行n列的矩阵A，其矩阵秩为r(A)。
2. 矩阵秩和行数、列数的关系对于一个m行n列的矩阵，其行数和列数对于矩阵的秩和行列向量的关系有着重要的作用。
当矩阵A满秩时，即r(A)=min(m,n)，这时n>=m时，可以推出A的列向量张成了n维空间，A的任意m行线性无关。
反之，m>n时，A的行向量张成了m维空间，A的任意n个列向量线性无关。
这就体现出了秩与行数、列数之间的关系。
何时矩阵可以达到满秩？一个简单的结论是，如果矩阵的行数和列数的比值较小，那么矩阵就很可能达到满秩。
也就是说，当m>>n时，如果矩阵的每m/n行向量都线性无关，则此矩阵可以达到满秩。
反之同理，当m<<n时，只要每n/m列向量都线性无关，此矩阵也可以达到满秩。
3. 矩阵行列式和矩阵秩的关系对于一个n阶矩阵，如果它的行列式不为0，那么它的秩就为n，即满秩。
反之亦然，如果矩阵的行列式为0，则矩阵不满秩。
这一点可以通过行列式的定义来证明。
行列式定义：对于一个n阶矩阵A=(ai j)，其行列式为：det(A)=|a11 a12 a13…an1 an2 an3…ann|具体证明如下：若矩阵A的行列式不为0，则有：det(A) ≠0则方程组A·x = 0 （1）必有非零解已知A·x = 0即表示A的各列与x线性相关，则A的各列有一个非零的线性组合，使得其和等于零，即Ao xi+ A1 xi+ A2 xi+……An xi=0其中Ao,A1,A2…….An表示A的各列向量，xi表示相应的系数。
行列式与矩阵的相似与不同(论文)
行列式和矩阵的相似与不同学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：完成日期：中文摘要在本论文中主要讨论了高等代数中的行列式和矩阵两个重要概念，并且深入观察和比较行列式和矩阵的形式方面行列式表示一个数,矩阵表示为一个数表.概念中它们的本质与相等方面有区别。
性质方面主要区别为转置,进行一些初等变换的结果不同。
运算方面行列式和矩阵对加法来说都满足交换律,结合律与分配律，但矩阵对乘法来说不满足交换律,并且它们的数乘方法也不同，还有应用等方面阐述了行列式和矩阵的相似与不同和它们之间关系。
关键词：行列式；矩阵；相似；不同；应用。
1目录中文摘要 (1)引言 (1)1. 形式方面 (1)1.1相似： (1)1.2区别 (1)2. 概念方面 (2)2.1本质不同 (2)2.2相等方面不同 (2)3.性质方面 (3)3.1相同点 (3)3.2区别 (3)4. 运算方面 (5)4.1相同点 (5)4.2区别 (6)5. 应用方面 (8)5.1相同点 (8)5.2区别 (8)总结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)2引言行列式和矩阵是高等代数中，特别是线性代数中的两个基本概念。
它们从一般地计算到求出线性方程组的解，判断向量的线性关系，线性变换和一些实际问题中广泛的应用。
虽然，行列式和矩阵是互不相同的两个概念，但它们也具有一些相同的性质。
所以要明确它们之间的相似与不同是很重要的。
1. 形式方面1.1相似：行列式和矩阵表面上看比较相似，即它们中的元素有顺序地排成行列表。
1.2区别：行列式中行数和列数必须相同，即行数必须等于列数，正因为如此，所以说行列式时称为n阶行列式，n为行列式中行数或列数。
且行列式在数表两端加竖线，表示由这个数表确定的一个数。
如：D=11121 2122212...... ............nnn n nn a a a a a a a a a矩阵中，行数和列数无丝毫关系，即可以不同。
行列式性质及其计算方法
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1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
行列式发展历史
行列式发展历史引言概述：行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍行列式的发展历史，从早期的发展到现代的应用，分为五个部分进行详细阐述。
一、早期数学家对行列式的研究1.1 行列式的起源：行列式的概念最早可以追溯到18世纪，由日本数学家关孝和引入。
1.2 行列式的初步研究：关孝和提出了行列式的定义和性质，但当时并没有给出具体的计算方法。
1.3 行列式的发展：在关孝和的基础上，欧洲的数学家们开始对行列式进行深入研究，并发展出了一些计算行列式的方法。
二、行列式的发展与线性代数的关系2.1 行列式与线性方程组：行列式的引入为解决线性方程组提供了新的方法，通过行列式的性质可以判断线性方程组的解的情况。
2.2 行列式的性质与应用：行列式具有许多重要的性质，如可交换性、可加性等，这些性质为后续的线性代数理论奠定了基础。
2.3 行列式与矩阵的关系：行列式与矩阵密切相关，通过行列式可以计算矩阵的逆、行列式的行列式等重要结果。
三、行列式在数学中的应用3.1 行列式在线性代数中的应用：行列式是线性代数中的基本概念，广泛应用于矩阵理论、向量空间等领域。
3.2 行列式在微积分中的应用：行列式可以用于计算曲线的面积、曲面的体积等，是微积分中重要的工具之一。
3.3 行列式在概率统计中的应用：行列式在概率统计中有广泛的应用，如多元高斯分布的计算、协方差矩阵的判定等。
四、行列式在物理中的应用4.1 行列式在量子力学中的应用：行列式是量子力学中描述波函数的重要工具，用于计算粒子的能级、态函数等。
4.2 行列式在电磁学中的应用：行列式在电磁学中用于描述电场、磁场的分布情况，计算电磁场的能量、功率等。
4.3 行列式在力学中的应用：行列式在力学中用于描述刚体的运动、力的分布情况，计算刚体的转动惯量、动能等。
五、行列式在工程中的应用5.1 行列式在控制工程中的应用：行列式在控制工程中用于描述系统的稳定性、可控性和可观性等性质。
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
关于行列式的研究
二维矢量组的行列式行列式是矢量形成的平行四边形的面积在一个二维平面上，两个矢量和的行列式是：[27]比如说，两个矢量和的行列式是：经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是矢量和形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：▪行列式为零当且仅当两个矢量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线[29]。
▪如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将逆时针“转到”处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。
如右图中，和所构成的平行四边形的面积就是正的[31]。
行列式是一个双线性映射。
也就是说，，并且[29]。
行列式其几何意义是：以同一个矢量v作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的矢量u和u'加起来后的矢量：u + u'和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。
[编辑]三维矢量组的行列式在三维的有向空间中，三个三维矢量的行列式是：。
[28]比如说，三个矢量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是：当系数是实数时，行列式表示、和三个矢量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个矢量的混合积。
同样的，可以观察到如下性质[32]：▪行列式为零当且仅当三个矢量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零[30]。
两个相邻平行六面体的体积之和▪三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。
比如右图中（u, v, w）所形成的平行六面体的体积是正的，而（u, w, v）所形成的平行六面体的体积是负的。
这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中矢量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。
如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积[30][33]。
▪这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个矢量有，对第二、第三个矢量也是如此。
矩阵的秩与矩阵的行列式
矩阵的秩与矩阵的行列式矩阵是数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数、计算机科学等领域。
在矩阵的研究中，我们常常涉及到矩阵的秩和矩阵的行列式两个概念。
本文将探讨矩阵的秩与矩阵的行列式之间的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的秩的定义和性质矩阵的秩是描述矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量中线性无关向量的个数。
定义：一个m×n的矩阵A的秩，记作rank(A)，是指它的最大线性无关向量组所含向量的个数。
性质1：若矩阵A的行秩和列秩相等，则称其秩为r，且等于行秩或列秩。
性质2：任意一个m×n矩阵的秩不可能大于min(m, n)。
性质3：若矩阵A的秩为r，则矩阵A必定存在r阶非零子式，且所有r阶子式都非零。
二、矩阵的行列式的定义和性质矩阵的行列式是一个与矩阵相关的数值，它用于表示线性变换对$n$维空间的扩大或收缩的比例。
定义：对于一个n阶方阵A，A的行列式，记作det(A)或|A|，等于它的n阶子行列式的代数和。
性质1：对于一个n阶方阵A，若A可逆，则其行列式不为0，即det(A) ≠ 0。
性质2：若矩阵B由矩阵A的行（列）交换得到，则det(B) = -det(A)。
性质3：若矩阵B由矩阵A的一行（列）乘以常数k得到，则det(B) = k*det(A)。
三、矩阵的秩与矩阵的行列式的关系矩阵的秩与矩阵的行列式之间有着紧密的联系，下面我们来详细介绍。
定理1：对于一个n×n的矩阵A，A的秩与其行列式的关系为rank(A) = n，当且仅当det(A) ≠ 0时成立。
理解：当一个矩阵的秩等于其阶数时，意味着所有的行向量或列向量都是线性无关的，此时行列式不等于0。
反之亦然，当行列式等于0时，说明矩阵的行向量或列向量之间存在线性相关关系，从而秩小于n。
定理2：对于任意一个m×n的矩阵A，矩阵的主子式及其扩展子式（包括省略的行列）的非零子式所组成的最大阶数，即其秩rank(A)。
矩阵的迹等于
矩阵的迹等于矩阵，这是数学界中一个概念极为重要的字眼，它可以看作一类矩形数组，由它来描述复杂的关系和求解复杂的数学方程，其应用非常之广泛。
矩阵中有一个概念是迹（Trace），用于表示某个矩阵的“限定”，也可用于表示这个矩阵的项数。
所谓矩阵的迹，就指矩阵中元素的和，以矩阵A的迹的计算来说，它要求求和所有与主对角线相平行的元素，也就是和A的对角元素之和。
其计算结果就是矩阵的迹值。
矩阵的迹的特性是：若矩阵A为同角二次形矩阵(即A的特征值及特征向量均为实数)，那么它的迹就等于它的特征值之和；若矩阵A为非同角二次形矩阵，那么它的迹就等于0。
矩阵的迹可以用来表达某一矩阵的具体指标，并且这个指标是极其重要的。
例如，在线性代数中，使用矩阵的迹来计算行列式的值，行列式的值，表示一个线性方程组的解的有效性，若行列式的值不为零，则说明线性方程组的解的有效性，而使用矩阵的迹来计算行列式的值，也就是通过求得矩阵A的迹，来计算解的行列式值。
此外，还有更多的应用，比如矩阵的迹可以用来计算矩阵的行列式的逆矩阵，也就是求解矩阵A的逆矩阵，不过，要求矩阵A的行列式值不为零。
另外，矩阵的迹也可以用来计算矩阵的幂，也就是求解矩阵A的幂。
由于矩阵的迹值具有重要的指标意义，所以它也可以用于判断矩阵的相似性，用迹的大小来判断矩阵A和矩阵B的相似性，由于矩阵A和矩阵B相似，则它们的迹值一定也是相等的。
另外，矩阵的迹也有它自己的乘法定理，如果把n阶矩阵A和n 阶矩阵B分别称为A和B，则有:A*B=Tr(A)*Tr(B)。
于是，乘法定理也就定义了矩阵A和矩阵B的迹值之积，也就是矩阵A*B的迹值。
由于矩阵的迹的这些重要的特性和它的广泛的应用，它已经成为一个极为重要的数学概念，在数学中再次展现了它的重要性。
各种数学研究，矩阵的迹都有着重要的作用，它的运用可以让研究变得更加得心应手，更加简单，更加规范。
总而言之，矩阵的迹是一个非常重要的数学概念，其计算方法也是极为重要的，它有着极为广泛的应用，也可以让研究者更加容易解决问题。
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行列式与矩阵幂迹的代数关系计算]det[xB A +的公式 （1）递归推导法：∑=+=ii i x C xB A w ]det[]det[...]det[)(]det[)(]det[]det[)()ln (]det[21)(ln )(ln w v v w w v w ww w w w w tr tr tr tr e tr e x x x tr x tr x x +∂=∂=∂=∂=∂=∂-001)](det[]det[)(!==+∂=∂=x i x x n x i tr i C v w w ...2)()()()()()(3111111111122111vww ww ww w w ww ww w w ww w w w w v v w w ww w w v -=∂∂∂-∂∂-∂=∂∂∂+∂∂∂=∂-=∂-∂=∂∂=∂-------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x)()1)..(1)(()(n m mn x tr n m m m tr ++-----=∂v v ()mx m nm m n m n x x i x i iii tr tr tr n m m m tr m tr tr i C x C x )()()()1)..(1)(()()(1)(!det ]det[100B A v vv v v AB A -=+==+-----=-=∂+∂==+∑ （2）直接展开法∑∏∑∑∏∑∑∏∑∑∏∑∏∑∑∏∑∑∑∑∑=-+∞==+∞==∞===∞==∞=+=∞=+--∑-=+∑-=∑=∑==∑=≡-=-=+=++≡+=+=+njm m m i m i m i n nnjm m m i m i m i n nnjm m i m i n n m i m i jm m i im m i m m m m i im m i mi i i m m i i i i m i i i i jj i iiii jj i ii ii jj i iii i i jji i i i i i i i i i m tr xx i m tr xm P x m P x m x P m x P P x m i tr x m i tr x x tr x x x x x },{)1(0},{)1(0},{0}{}{0},{1011011!)))((()1(]det[]det[!))(()1(!!!!)(!1))()1((!1))()1(exp())ln(exp(]det[]det[det ]det[det ]det[det ]det[B A A B A D D D D δD δD δA B A δA B A δA B A 111按照分配....}!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/{}!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/{}!4/)()!22/()()!22/()(3/4/{})(32{6)}(){(21]det[614222223321331123223124112415166513222221231123141554122222131443233222++-+-+-+-++-+++++--++-++-++-+-++=+trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD x D tr trD x xtrD x D δ可以在∞→x 极限下，寻找D det 的关系DC C x Cx Dx xD n ni nnii n det det )det(,n 0=→→+∑=δ有阶矩阵对于对1阶矩阵 D trD D ==det 对2阶矩阵)}(){(21detD 22D tr trD -=对3阶矩阵！3)(23detD 323trD trD trD trD +-= 对4阶矩阵!4/)()!22/()()!22/()(3/4/detD 41222221314trD trD trD trD trD trD trD +-++-=对5阶矩阵!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/det 5132222212311231415trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD D ++++--=对6阶矩阵!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/det 61422222332133112322312411241516trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD D +-+-+-+-++-=由于n 阶矩阵展开式]det[xD +δ最高项是n 次项，因此n i C i >=,0，即对于1 阶矩阵)}(){(2122D tr trD -=0，03)(23323=+-！trD trD trD trD ， 0!4/)()!22/()()!22/()(3/4/41222221314=+-++-trD trD trD trD trD trD trD ，!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，等 由于mmD trD =也就是说，各系数和为0；对于2阶矩阵03)(23323=+-！trD trD trD trD ，0!4/)()!22/()()!22/()(3/4/41222221314=+-++-trD trD trD trD trD trD trD ，!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，等等 对于3阶矩阵0!4/)()!22/()()!22/()(3/4/41222221314=+-++-trD trD trD trD trD trD trD ，!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD 等等 对于4阶矩阵!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD 等等。