数学分析方向导数和梯度共21页
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数学分析-方向导数与梯度
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk , 故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
3 1 在 P0 ( , ,0)处梯度为 0. 2 2
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
思考题
1. 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
2. 考虑下面各项之间的关系
f 可微
f 连续
f x , f y , f z 存在
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
p
x
y
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
考虑
z
, 如当 P 沿着 l 趋于 P时，
0
lim
f ( x x, y y ) f ( x, y )
存在, 称此极限为函数在点 p 沿方向 l
的方向导数.
记为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim . l 0
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例2
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z
3 1 在 P0 ( , ,0)处梯度为 0. 2 2
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
思考题
1. 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
2. 考虑下面各项之间的关系
f 可微
f 连续
f x , f y , f z 存在
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
p
x
y
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
考虑
z
, 如当 P 沿着 l 趋于 P时，
0
lim
f ( x x, y y ) f ( x, y )
存在, 称此极限为函数在点 p 沿方向 l
的方向导数.
记为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim . l 0
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例2
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z
高等数学方向导数与梯度
且 f f cos f cos f cos
l P0 x P0
y
P0
z P0
其中 cos ,cos ,cos 为l 的 方 向 余 弦.
7
例 设 n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)
处指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8 y2
偏导数 f lim f ( x x, y) f ( x, y)
x x0
x
f
f ( x, y y) f ( x, y)
lim
y y0
y
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线
的变化率. Δx、Δy可正可负！
3
定理9.12 如果z f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )处可微,
t
f ( x0 , y0 )
O
P0
x
1
存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)
处沿方向 l 的方向导数,
记为 f l
,或
P0
f ( x0 , y0 ) . l
注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率.
如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向
.
定义9.6
G
f x
,
f y
为函数
z
f (x,
y)
在点P( x, y)处的梯度, 记作 gradf ( x, y).
即
gradf
( x,
y)
f x
,
f y
f x
i
f y
2.1方向导数与梯度ppt课件
证明:i). fx(0,0,0)
条件 , 但不必要 .
limf( x,0,0)f(0,0,0)
x 0
x
lim x , x0 x
fx(0 ,0 ,0 )不 存 在 ;同 理 , fy ( 0 ,0 ,0 ) ,fz ( 0 ,0 ,0 ) 不 存 在 .
:
i i ) .记 l 的 方 向 数 为 l 0 l x , l y , l z, 则
l
对 二 元 函 数 f(x,y),
•P
y
定义 定理1
fl(P0)li m 0 f(P)f(P0)
••
P 0 x
o
fx (P 0 )c o s fy (P 0 )c o s
x
其 中 和 是 l的 方 向 角 . :
例 1. 设 f(x,y,z)xy2z3, 求 f在 点 P0(1,1,1)处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 . 其 中 i).l为 方 向 (2, 2,1);
i i i ) . g r a d u v u g r a d v v g r a d u ,
iv ). g ra du vug ra d v u 2 vg ra d u,
v ) . g r a d fu f( u ) g r a d u .
:
证明:iv). u v xuvxu 2uxv, u v yuvyu 2uyv
l
0
0
存在 , 则称此极限值为函数 f 在点P0沿l 方向的方向导数。
P P0
o
y
记为 f l
或 fl (P0 )、 fl (x0, y0, z0 ).
P0
:
x
在方向导数定义式 f lim f (P) f (P0) 中，
方向导数和梯度ppt课件.ppt
z cos 2cos 2 .
l
2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2 在点（1，1）
沿与 x轴夹角为 的射线 l 的方向导数.并问在怎
样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx(1,1)cos
l
y
l
• P
沿什么方向是上坡且坡度最陡？
沿什么方向是下坡且坡度最小？
••
P( x0 , y0 )
o
x
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
• P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
••
设 x 轴与射线l 的夹角
u x2 y2 z2
ngrad2uxi22xiyj22yzjk2z2kx, ,2 y,2z
例如： 函数
u x2 y2 z2
gradu 如图所示.
gradu {2 x,2 y,2z} 梯度方向为向径方向
等 量 面 为 ： x2 y2 z2 c1 , x2 y2 z2 c2, x2 y2 z2 c3, x2 y2 z2 c4 ,
^
此式表明，当方向l和G方向一致时，即cos(G, l ) 1时，
方向导数u 取最大值，其值为: l
u G . l
由此得出，向量G就是函数 f 变化率最大的
方 向 ， 即 方 向 导 数 取 最大 值 的 方 向G，的 模
G 正好就是最大的方向导数值.
定义 设函数 u f ( x, y, z) 在区域 D 内具有一
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
方向导数与梯度
f l
(x0, y0)
=|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),^el). , .
函数在一点的梯度是这样一个向量, 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ . >>>
函数f(x, 在点 沿方向l 在点P 的方向导数: 函数 , y)在点 0沿方向 (el=(cosα, cosβ))的方向导数: 的方向导数
f l
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ .
第六节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、总结
一、方向导数
设函数z= , 在点 在点P 的某一邻域U(P0)内有定义, 内有定义, 设函数 =f(x, y)在点 0(x0, y0)的某一邻域 的某一邻域 内有定义 l是xOy平面上以 0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单 平面上以P 为始点的一条射线, 是 平面上以 为始点的一条射线 同方向的单 位向量为el=(cosα, cosβ). 位向量为 . 方向导数
1 n= ( fx(x0, y0), f y(x0, y0)) . 2 2 fx (x0, y0)+ f y (x0, y0)
提示: 等值线f(x, = 是曲面 是曲面z= , 被平面 所截得的曲线 被平面z= 提示: 等值线 , y)=c是曲面 =f(x, y)被平面 =c所截得的曲线
z = f (x, y) z =c
方向导数与梯度-极值
f f j ，这向量称为函数 都可定出一个向量 i x y z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度，记为 f f gradf ( x , y ) i j. x y 设 e cos i sin j 是方向 l 上的单位向量，
3 1 在 P0 ( , ,0) 处梯度为 0. 2 2
a b x y 例5 求函数 z 1 ( 2 2 ) 在点 ( , ) 处 2 2 a b 2 2 x y 沿曲线 2 1 的内法线方向的方向导数 a2 b
f f f cos sin ， 存在，且有 l x y x 其中 为 轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f f f cos cos cos . l x y z
2 2 2 例 3 设n 是曲面 2 x 3 y z 6 在点 P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数 1 1 2 2 2 n u (6 x 8 y ) 在此处沿方向 的方向 z
f f cos sin . x y
例 1 求函数 z xe 2 y 在点 P (1,0) 处沿从点
P (1,0) 到点Q ( 2,1) 的方向的方向导数.
解
l 这里方向 即为 PQ {1, 1} , l 故 x 轴到方向 的转角 . 4
z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, y ( 1 , 0 )
高等数学方向导数梯度
2 (1, 2, 2) 9
解答完毕
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--24
2. 函数u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (考研题)
解答:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
l 0 x
y
z
2012.3
证明完毕 D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--3
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--2
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
,
x2 y2 0
在(0,0)点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--17
思考题解答
依定义知在(0,0)
处，
f
x
方向导数与梯度
方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。
它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。
理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。
方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。
给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。
具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。
方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。
例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。
梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。
给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。
具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。
梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。
在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。
例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。
梯度是方向导数的最大值。
换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。
这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。
这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。
这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。
方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。
方向导数与梯度ppt课件
lim φ( ρ) φ(0)
ρ0
ρ
φ (0).
本质上，方向导数计算可归结 为一元函数导数计算
例1 求f ( x, y) xy 在点 (1, 2) 处沿方向
el (cos m,cos n) 的方向导数. 解 ( x0, y0 ) (1,2), cosα cos m, cos β cos n,
P
o
x
f ( x ρcos π, y ρcos π ) f ( x, y)
lim
2
ρ0
ρ
– lim
ρ0
f (x
ρ, y) –ρ
f (x, y)
(
f x
)
f x
但
f 存在
x
f i
(el
i)
存在
f (
i
)
(el
i )
y
Pl
证 由函数
f ( x, y) 在点 可P微0 ,
f fx ( x0, y0) x f y( x0, y0)
得
y o( ρ)o P0
el y
x x
[
] o( ρ)
f [
故
f
lim f
l ( x0 , y0 ) ρ0 ρ
] o( ρ)
l ( x0 , y0 ) ρ0
ρ
注 1º方向导数的其他形式：
f l
( x0 , y0 )
lim
ρ0
f ( x0
ρcos α, y0 ρcos β) ρ
f ( x0, y0 )
lim f ( x Δx, y Δy) f ( x, y)
高等数学方向导数梯度
z02 c4
2
x0 2 a4
y02 b4
z02 c4
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--22
解 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上点M0(x0 y0 z0)处有外法向量为
n
(
x0 a2
,
y0 b2
,
z0 c2
)
其单位向量为
en (cos,cos,cos )
x2 a4
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 l
梯度在方向 l 上的投影.
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--14
思考题
讨论函数 z f ( x, y) x2 y2 在(0,0)点处的
偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--15
思考题解答
z x
(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim | x |. x0 x
同理：z y
(0,0)
lim |
y0
y y
|
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y, z}的方向导数,
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
高等数学第九章第七节方向导数与梯度课件.ppt
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
思考与练习
1. 设函数
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
高等数学高数课件 9.7方向导数与梯度
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
u
6;
x p
14
u
8;
y p
14
例5
设
n
是曲面
2x2
3
y2
z2
6
在点
P(1,1,1)
处的指向外侧的法向量, 求函数
在此处沿方向
n
的方向导数.
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
u x
p
6; 14
u y
p
8; 14
u z p
6x2 8y2
z2
14.
p
所以
u n
p
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx (1,1)cos
f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin
(1,1)
(1,1)
cos sin
2
sin
4
,
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
2
sin
4
,
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
2 sin
在此处沿方向
n
的方向导数.
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
Fx p
4,
Fy p
6, Fz p
2,
n
{4,6,2},
|n|
2 14,
cos 2 , cos 3 , cos 1 .
14
高数讲义第七节方向导数与梯度
故
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点
处沿方向
的方向导数定义为
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
例3 设 是曲面
在点
处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数.
解： 令 则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为
（2）等值线与梯度 等值线在点 P ( x , y ) 处的一 个法向量可取为
梯度与等值线的关系：
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
一、问题的提出
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
仅反映函数在水平方向 （横轴方向）上的变化率。 同理，偏导数 仅反映函数在垂直平方向 上的变化率。 在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,4)，(5,4)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(4,3)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
解 由梯度计算公式得 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为 解
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 （3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为
数学分析8-7方向导数和梯度
y
cos α =
2 , cos β = 3 , cos γ = 1 . 14 14 14
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u′(0) = lim
t→0
(性质2) 梯度向量的模 等于方向导数的最 大值;
r 称为函数 f在点 M 0沿方向 l 的方向导数 .记作
∂f r ∂l
z = f ( x, y)
L
•
f ( x0 + t cosα , y0 + t cosβ , z0 + t cosγ ) − f ( x0 , y0 ) t
证明
由于函数可微，则增量可表示为 故 = cos α + sin α = 2 sin( α + π ), 4 π 时， 方向导数达到最大值 2 ; 4
5π 时， 方向导数达到最小值 − 2 ; 4
∂f ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = ∆x + ∆y + o(ρ ) ∂x ∂y
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设 e = cosϕi + sin ϕj 是任意 给定 的 单位 向 量 ，
r
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．