分类技术原理

思考：
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数 分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。
分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 4 条 第二类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电.
点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1
A
m2
B
……
mn
乘法原理看成“串联电路”
A m1
B m2 …... mn
１）每人参加一项有多少种不同的方法？36 729 ２）每项１人，且每人至多参加一项，有多
少种不同的方法？ 65 4 120
３）每项１人，每人参加的项数不限，有多
少种不同的方法？ 63 216
一、排数字问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
1.1 两个基本计数原理
高二 数学备课组
实际问题
世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分 成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按 确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军， 此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多 少场比赛？前4名有多少不同的结果？
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知 识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类 计数原理与分步计数原理．
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多 少?首位数字是0的密码数又是多少?
A
B
A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色
两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不 同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根
C
D
据A与D同色与不同色分成两大类。
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5×4×3×2＝120种方法。
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
(2) 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛， 每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(3) 有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军， 你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有 一人）
学案P46-2
该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？
A
B
分类完成 分步完成
。
五、综合问题:
例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
例5、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于 75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成 2l 3 j 5k 7l
(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?
(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n
①
③
④
②
(1)
① ③④
② (2)
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成,
铁路1 铁路2
乙地
因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件 事，有3条公路，2条铁路，所以共有：
3＋2＝5 （种）
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法.
在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类方法中有m2种不同的方法，……， 在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 :
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
种不同的走法。
Leabharlann Baidu
问题3：加法原理和乘法原理的共同点是什么？ 不同点什么？
加法原理
乘法原理
相同点
它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同 的方法
方式的不同
不 分类完成
分步完成
同
任何一类办法中的任 这些方法需要分步,各 何一个方法都能完成 个步骤顺次相依,且每
点 这件事
一步都完成了,才能完
成这件事情
问题4：何时用加法原理、乘法原理呢?
数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不
允许重复的四位数?
二、映射个数问题:
•例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多 少种不同的映射?
三、染色问题:
例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在① ②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一 种颜色.
分步乘法计数原理与分步有关。
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
每类办法都能独立地完成 每一步得到的只是中间结果，
这件事情，它是独立的、 任何一步都不能独立完成这件
区别2 一次的、且每次得到的是 事，缺少任何一步也不能完成
5、将３种作物种植在如图所示的５块试验
田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不
能种植同一种作物，不同的种植方法共有
种（以数字作答）
42
四、子集问题
规律：n元集合 A
同子集有个 2n。
{a1
,
a2
,
...,
an
}
的不
例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ，真子集个数为 ，非空 子集个数为 ，非空真子集个数为
的形式,其中 0 i 4 ,0 j 3 ,0 k 2,0 l 1
于 是 , 要 确 定 75600 的 一 个 约 数 , 可 分 四 步 完 成 , 即 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5 种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
甲地
乙地
丙地
这个问题与前一个问题不同．在这个问题中， 必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙地两个步 骤，才能从甲地到丙地．
因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有 2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法：
3×2＝6 （种）．
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。
做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
说明 N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例1.书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有 3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？
学案P46-1
练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
分 左边
两 步
甲
完
成乙
右边 乙 丙 甲 丙
第一步 第二步 3×2
甲
丙
乙
例 2．解下列各题： (1) 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上
日班和晚班，有多少种不同的选法？
(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法? 有3类方法,根据分类加法计数原理 N=4+3+2=9
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法? 分3步完成,根据分步乘法计数原理 N=4×3×2=24
解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还 是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人 要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路， 某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
甲地
公路1 公路2 公路3
第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多 少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成;
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5 种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据 分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。
根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
4、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、 黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜 色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反 复使用，那么共有多少种涂色方法？
加法原理
完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成.
分类要做到“不重不漏”
乘法原理
完成一件事情有n个步骤,若每一步的 任何一种方法只能完成这件事的一部 分,并且必须且只需完成互相独立的 这n步后,才能完成这件事.
分步要做到“步骤完整”
练习：
三个比赛项目，六人报名参加。
练习
如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到
丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地
到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的
走法？
学案P47-s4
解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成;
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?
课堂小结
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 种不同m的n 方法.