分类加法计数原理与
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 培养学生运用计数原理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高思维能力和创新能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）了解分类加法计数原理的概念。
（2）学会运用分类加法计数原理解决问题。
2. 分步乘法计数原理：（1）了解分步乘法计数原理的概念。
（2）学会运用分步乘法计数原理解决问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）分类加法计数原理的应用。
（2）分步乘法计数原理的应用。
2. 教学难点：（1）理解分类加法计数原理的含义。
（2）理解分步乘法计数原理的含义。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。
2. 运用实例分析，让学生直观理解计数原理。
3. 组织小组讨论，培养学生合作交流能力。
五、教学准备1. 课件、黑板、粉笔等教学工具。
2. 相关实例和练习题。
教案内容：一、分类加法计数原理1. 导入：通过生活中的实例，如“统计班级男生女生人数”，引出分类加法计数原理。
2. 讲解：解释分类加法计数原理的概念，即把总数分成几个部分，分别计算每个部分的数量，再相加得到总数。
3. 练习：让学生运用分类加法计数原理解决实际问题，如“统计学校三个年级的学生总数”。
二、分步乘法计数原理1. 导入：通过实例“做一批玩具，每组有5个，一共要做3组”，引出分步乘法计数原理。
2. 讲解：解释分步乘法计数原理的概念，即每步的数量相乘得到最终结果。
3. 练习：让学生运用分步乘法计数原理解决实际问题，如“做一批玩具，每组有5个，一共要做4组，需要多少个玩具？”教学过程：一、分类加法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如统计人数、物品数量等。
2. 讲解分类加法计数原理的概念和步骤。
3. 让学生举例说明并计算。
二、分步乘法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如制作玩具、做饭等。
2. 讲解分步乘法计数原理的概念和步骤。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。
（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。
（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。
3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。
2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。
3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。
五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。
3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。
4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。
六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个互斥的部分，这个事件发生的总次数就等于各部分事件发生次数的和。
公式：P(A) = P(A1) + P(A2) + + P(An)2. 分步乘法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个相互独立的步骤，这个事件发生的总次数等于各步骤事件发生次数的乘积。
公式：P(A) = P(A1) ×P(A2) ××P(An)三、教学重点与难点1. 教学重点：分类加法计数原理的概念和公式。
分步乘法计数原理的概念和公式。
2. 教学难点：如何运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和公式。
2. 运用案例分析法引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力。
五、教学步骤1. 导入新课，介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 讲解分类加法计数原理的公式和应用示例。
3. 讲解分步乘法计数原理的公式和应用示例。
4. 开展案例分析，让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
5. 进行小组讨论，让学生分组讨论和解决问题，分享解题心得。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解程度。
2. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的表现，包括问题解决能力和逻辑思维能力。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的参与程度、团队合作能力和问题解决能力。
七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、清晰，是否需要调整或补充。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理11分类加法计数原理又被称为情况分类计数法，它是将一个计数问题分解为若干个相互独立的子问题，然后对每个子问题进行计数，并将计数结果相加得到最终的答案。
该原理适用于问题可以被划分为多个不重叠情况的情况，每种情况又可以用数学方法计数的情况。
以一个具体的例子来说明，假设有一个5人小组，要从10个人中选出3个人组成小组，要求其中必须包含代表A和代表B两人。
这个问题可以使用11分类加法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个情况：选出的小组中分为三种情况，即A和B分别在小组中被选中（情况1），A被选中但B没有被选中（情况2），B被选中但A没有被选中（情况3）。
（2）计算每个情况下的可能性：情况1中，需要从除去A和B以外的8个人中选出1个人，共有8种选择方式；情况2和情况3中，需要从除去A和B以外的8个人中选出2个人，共有C(8,2)=28种选择方式。
（3）求解最终答案：将每个情况下的可能性求和，即8+28+28=64、所以符合条件的小组共有64种。
通过以上步骤，我们可以使用11分类加法计数原理解决了该问题。
分步乘法计数原理指的是将一个计数问题分解为若干个小问题，并将每个小问题的计数结果相乘得到最终的答案。
该原理适用于问题可以划分为几个步骤，并且每个步骤的结果可以相互独立地计数的情况。
同样以例子来说明，假设有一个国际象棋棋盘，要求将8个皇后放置在棋盘上，使得彼此之间不能互相攻击。
这个问题可以使用分步乘法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个步骤：要放置8个皇后，可以将问题划分为逐行放置皇后，每行只能放置一个皇后的步骤。
（2）计算每个步骤的可能性：在棋盘上的第一行放置皇后，有8种选择；在棋盘上的第二行放置皇后，有7种选择；以此类推，最后一行只有一个位置可以放置皇后。
（3）求解最终答案：将每个步骤的可能性相乘，即8×7×6×5×4×3×2×1=40,320。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
的偶数共有( )
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
解析：由题意，首位数字只能是 4,5，若万位是 5，则有 3×A34＝72(个)；若万位 是 4，则有 2×A34＝48(个)，故比 40 000 大的偶数共有 72＋48＝120(个)．故选 B.
分类加法计数原理与分步乘法计 数原理
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案 中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的 方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
(4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝ 1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法．( √ ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )
题组二 教材改编 2．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N 这两个集合中各选一
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a2>a3，则称这样的三位数为凸
数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 C．729
B．204 D．920
解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个．若 a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸 数”有 2×3＝6(个)．若 a2＝4，满足条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，…，若 a2 ＝9，满足条件的“凸数”有 8×9＝72(个)． 所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．
初中数学：1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理
U A C
A G C
U G
A C G U
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、
G、U中任选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U
中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 种 .
例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9， 问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
个计数原理。
结束
2）在实际测试中，程序
员总是把每一个子模块看
开始
成一个黑箱，即通过只考
察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块。18条子执模行块路1 径 这样，他可以先分别单独
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
测试5个模块，以考察每
A
个子模块的工作是否正常。
总共需要的测试次数为：
方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事
共有
种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的
共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关。
分类计数原理
分步计数原理
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【解析】选B.分两步:第1步,选男生,有5种选法;第2步, 选女生,有3种选法,根据分步乘法计数原理,共有 5×3=15种不同的选法.
2.书架的第1层放有10本不同的语文书,第2层放有12本 不同的数学书,第3层放有10本不同的英语书,从书架中 任取一本书,则不同的取法种数为 ( A.32 B.100 C.120 )
【解析】选B.因为P={x,1},Q={y,1,2},且P⊆Q, 所以x∈{y,2}. 所以当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况; 当x=y时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况. 故共有7+7=14种情况,即这样的点的个数为14.
3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数 的个数为________. 世纪金榜导学号12560332
【解析】(1)选C.若焦点在x轴上,则a>b,a=2时,有1 个;a=4时,有3个;a=6时,有5个;a=8时,有7个,共有 1+3+5+7=16个. 若焦点在y轴上,则b>a,b=3时,有1个;b=4时,有1个;b=5 时,有2个;b=6时,有2个;b=7时,有3个,b=8时,有3个.共 有1+1+2+2+3+3=12个.故共有16+12=28个.
【解析】分以下三种情况计数. (1)第一层有3×2=6种路径; (2)第二层有1种路径; (3)第三层有2种路径; 由分类加法计数原理知,共有6+1+2=9种路径. 答案:9
【母题变式溯源】
题号 1 2 3
知识点 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理综合
源自教材 P4·例2 P5·例3 P12·A组T4
考向一 【典例1】
分类加法计数原理
2 2 x y (1)已知椭圆 2 2 1 ,若a∈{2,4,6,8},b∈{1,2,3,4, a b
5,6,7,8},这样的椭圆有________个. A.12 B.16 C.28 D.32
(
)
(2)我们把中间位数上的数字最大,而两边依次减小的 多位数称为“凸数”.如132,341等,那么由1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 ________. 世纪金榜导学号12560331
【解析】根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6, 7,8的情况分成8类,在每一类中满足题设条件的两位数 分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加 法计数原理知:符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+ 1=36(个). 答案:36
1 ,log43,log49=log23(舍 2
若a=9,b=2,3,4时,有log92,log93= 1 (舍去),log94=
2
log32(舍去),1个,共有1+3+2+2+1=9个.
2.已知集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2, 3,„,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对 (x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 ( A.9 B.14 C.15 D.21 )
【巧思妙解】题(1)中椭圆中a≠b,而a=b有4种情况,故 椭圆的个数为4×8-4=28.
(2)根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故 分三类,第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种 (132,231); 第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放 在4的两边,故有6种;
分步 需要两个步骤,做第1
完成这件事共有的方法
乘法
计数
步有m种不同的方法,
做第2步有n种不同的
m×n 种不同的方法 N=_____
原理
方法
【金榜状元笔记】 1.一个共同点 两个原理的一个共同点是同为研究做一件事的方法数.
2.两个不同点 (1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事. (2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的 一部分.
【同源异考·金榜原创】 1.从1,2,3,4,9中每次取出两个数记为a,b,则可得到 logab的不同值的个数为 A.9 B.10 C.13 ( ) D.16
【解析】选A.显然a≠1,若a=2,3,4,9,b=1时,有 logab=0,1个; 若a=2,b=3,4,9时,有log23,log24=2,log29,3个; 若a=3,b=2,4,9时,有log32,log34,log39=2(舍去),2个; 若a=4,b=2,3,9时,有log42= 去),2个;
3.三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”,步步相连.
【教材母题变式】 1.设某小组有8名同学,其中男生5人,现从中选出男、 女生各一名代表小组参加学校组织的活动,则不同选法 的种数为 A.8 C.40 ( ) B.15 D.56
第十章 计数原理、概率、随机 变量及其分布
教材基础回顾】
两个计数原理 完成一件事的策略
分类 加法 计数 原理
完成这件事共有的方法
有两类不同方案,在 第1类方案中有m种不 m+n 种不同的方法 同的方法,在第2类方 N=____ 案中有n种不同的方 法
完成一件事的策略
D.1 200
【解析】选A.有三类方法,第1类从第1层取1本语文书, 有10种方法;第2类从第2层取1本数学书,有12种方法; 第3类从第3层取1本英语书,有10种方法,由分类加法计 数原理,共有10+12+10=32种不同的取法.
3.如图,要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联 单元只有一个开关闭合的情况),可有________条不同 的路径.
第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个 放在5的两边,故有12种; 根据分类加法计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无 重复数字的三位“凸数”的个数是2+6+12=20. 答案:20
【技法点拨】 应用分类加法计数原理解决实际问题的步骤 (1)审题:认真阅读题设条件,理清题目要求. (2)分类:依据题设条件选择分类标准,做到不重不漏. (3)整合:整合各类情况得出结论.