分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多
少种不同的挂法？
3× 2
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变式1:要把3个球放入2两个不同的口袋,有几种不 同的放法? 变式2: 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上 日班和晚班，有多少种不同的选法？
变式3: 要把1,2,3,4四个数放入下面三个格子里, 数字不可重复,有多少种不同的放法？
说明
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
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情境2：
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从草地 逃回到自己的房子（安全地）。
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变式8：五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项， 报名方法的种数为多少？
N=4×4×4×4×4
注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
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来自百度文库
课堂练习：
1、一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品 有4种，外地的产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多 少种不同的选法？ 2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商 场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的 方式？ 3、如图,要给下面四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一 种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
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狐狸总共有多少种方法逃到安全地？ 情境2: 如果狐狸还要多一步到达安全地呢?
3
草地
种
方 法
小岛
2 种 方 法
房子
4 种 方 法
安 全 地
N=3×2=6
N=3×2×4=24
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情境2:
3
草地
种 方 法
小岛
2 种
方
房子
4 种
方 法
安 全 地
法
问题剖析 我们要做的一件事情是什么 完成这个事情需要分几步
完成这个事情的方法有几类方案 每类方案中的任一种方法能否独立完 成这件事情 每类方案中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法
草地到安全地 3类
能
2种 3种 4种
2+3+4=9种
4
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的 方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
区别三
各类办法是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是相关联的 10
例题讲解：
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
11
变式：
若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融 学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共 有多少种？ A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学
生物学
化学 医学
金融学
人力资源学
物理学
工程学
注意：分类加法计数做到不重，不漏！
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例2
要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，
说明
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
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分类计数与分步计数原理的区别和联系： 加法原理 乘法原理
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变式4:体育彩票中的排列5中奖号码有5位数码，每位数 若是0--9这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的 种数是多少？
10
× 10
×10 × 10 × 10
=105
变式5：0---9这十个数一共可以组成多少5位数字？
9
× 10
×10 × 10 × 10
=9 × 104
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变式6：0---9这十个数一共可以组成多少个数字不重复 的5位数字？
草地到安全地 3步 不能 3种 2种 4种 3×2×4=24种 8
每步中的任一方法能否独立完成这件 事情 每步方法中分别有几种不同的方法
完成这件事情共有多少种不同的方法
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
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9
×9
×8
×7 × 6
=27216
注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
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变式7:如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域 必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
N = 5 × 4 ×3×4 = 240
注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
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4、如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路； 从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地 到丁地共有多少种不同地走法？
甲 丙
乙 丁
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探究性思考：
书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放 有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书。从 书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
分类加法计数原理 与
分步乘法计数原理
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创设情境：
情境1：
狐狸一共有多少种不同的方法，可以从草地逃到小岛。
2
狐狸总共有多少种方法逃到安全地？ 情境1: 如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢?
2种 3种 4种
草地
安全地
N=2+3=5
N=2+3+4=9
3
2种
情境1:
草地
3种 4种
安全地
问题剖析
狐狸要做的一件事情是什么
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
联系
区别一
区别二
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
提示：先分类，再分步。
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作业布置：
必做题：P6 选做题：
练习1，2，3
五名学生报名参加四项体育比赛，他们争夺这四
项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
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课堂小结：
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前 提和条件. 这两个原理都是指完成一件事,区别在于： （1）分类加法计数原理是“分类”，每类办法 中的每一种方法都能独立完成一件事； （2）分步乘法计数原理是“分步”；每种方法 都只能做这件事的一步, 不能独立完成这件事, 只有各个步骤都完成才算完成这件事情!