分类加法计数原理PPT课件
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分类加法与分步乘法计数原理-PPT
(1)4＋3＋2＝9（种）
(2)4×3×2＝24（种）
20
典例讲评
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上 的指定位置，求共有多少种不同的挂 法？
3×2＝6（种）
21
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数
原理，都是解决完成一件事的方法数的
计数问题，其不同之处在于，前者是针
例2 某班有男生30名，女生24名， 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛，求共有多少种不同 的选派方法？
30×24＝720（种）
19
例3 书架有三层，其中第一层放有4本 不同的计算机书，第二层放有3本不同的 文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不 同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本 书，有多少种不同的取法？
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
34
例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
3种
N＝5×4×3＝60（种）
40
5. 用5种不同颜色给图中A，B，C，D四 个区域涂色，每个区域只涂一种颜色， 相邻区域的颜色不同，求共有多少种不 同的涂色方法？
54
A C3
(2)4×3×2＝24（种）
20
典例讲评
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上 的指定位置，求共有多少种不同的挂 法？
3×2＝6（种）
21
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数
原理，都是解决完成一件事的方法数的
计数问题，其不同之处在于，前者是针
例2 某班有男生30名，女生24名， 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛，求共有多少种不同 的选派方法？
30×24＝720（种）
19
例3 书架有三层，其中第一层放有4本 不同的计算机书，第二层放有3本不同的 文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不 同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本 书，有多少种不同的取法？
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
34
例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
3种
N＝5×4×3＝60（种）
40
5. 用5种不同颜色给图中A，B，C，D四 个区域涂色，每个区域只涂一种颜色， 相邻区域的颜色不同，求共有多少种不 同的涂色方法？
54
A C3
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
数为A45＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 答案：1 080
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
分类加法计数原理与分步乘法计数原理ppt
9 × 10 ×10 × 10 × 10 =9 × 104
15
变式6：0---9这十个数一共可以组成多少个数字不重复的 5位数字？
9 × 9 × 8 × 7 × 6 =27216 注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
16
变式7:如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种
不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必
2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商 场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的 方式？
3、如图,要给下面四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一 种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
19
4、如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路； 从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲 地到丁地共有多少种不同地走法？
完成这件事情共有多少种不同的方法
3步 不能 3种 2种 4种 3×2×4=24种 8
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
15
变式6：0---9这十个数一共可以组成多少个数字不重复的 5位数字？
9 × 9 × 8 × 7 × 6 =27216 注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
16
变式7:如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种
不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必
2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商 场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的 方式？
3、如图,要给下面四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一 种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
19
4、如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路； 从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲 地到丁地共有多少种不同地走法？
完成这件事情共有多少种不同的方法
3步 不能 3种 2种 4种 3×2×4=24种 8
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时PPT课件(人教版)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班 学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4 类,从四班学生中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一 人任组长.
加法计数原理知共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是 对于较复杂应用问题的元素分成互相排挤的几类,逐类解决,用分 类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然 后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
探究二探Leabharlann 三素养形成当堂检测
变式训练2要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶 梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则从一层到三层有多少种不 同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,从教学楼的一层到三层的不同走法有
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法. 2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
分类加法与分步乘法计数原理ppt课件
a,b, c {3, 2,0,1, 2,3}. 则可以得到多少个
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案. 在第1类方案
中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不 同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的 方法，则完成这件事共有
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1
种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
探究：
如果完成一件事情需要三个步骤，做第1个步骤 有m1种不同方法，做第2个步骤有m2种不同方法， 做第3个步骤有m3种不同方法，那么完成这件事共 有多少种不同的方法？
如果完成一件事情，需要n个步骤，做每一个步骤中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 方案，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案. 在第1类方案
中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不 同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的 方法，则完成这件事共有
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1
种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
探究：
如果完成一件事情需要三个步骤，做第1个步骤 有m1种不同方法，做第2个步骤有m2种不同方法， 做第3个步骤有m3种不同方法，那么完成这件事共 有多少种不同的方法？
如果完成一件事情，需要n个步骤，做每一个步骤中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 方案，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(人教版)
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
分类加法计数原理和分步乘法计数原理 课件
问题 5 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方 法，在 C 大学中有 3 种专业选择方法．又由于三所大学没有 共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可 能的专业选择种数为 5＋4＋3＝12. 小结 如果完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中 有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方 法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成 这件事共有 m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同的方法．
小结 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应 用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是 “分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成 一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不 断体会和思考，基本原则是“化繁理：完成一件事有两类不同方案，在第 1
类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法. 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法.
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 A、B 两
所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理2课件(人教版)
步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成，
因此，分析一条指令在整个模块的执行路径
需要用到两个计数原理
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为
18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法
计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
1,2,…，9的九宫格中的9个小正方形（如图）,使得
任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不
相同，且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜
色，则符合条件的所有涂法有 108 种.
解:分三步：第一步，先给标号1.5.9的正方形涂色，有3种涂法第二步，给标号2,3.6的小正方形涂色，又分两类：一是标号3
同方法数N2=3×4×6=72. .故这三人出游的不同方法数N= N1 +N2 =102
若选择①③④,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100
若选择②③④,则三人出游的不同方法数N=5×5×5=125.
巩固练习 排队问题:
汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎上的五个螺栓，记为A、B、
C、D、E(在正五边形的顶点上）,紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1
个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有
10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号
同的方法……做第n步有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有N=m1× m2× …× mn种不同的方法.
因此，分析一条指令在整个模块的执行路径
需要用到两个计数原理
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为
18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法
计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
1,2,…，9的九宫格中的9个小正方形（如图）,使得
任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不
相同，且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜
色，则符合条件的所有涂法有 108 种.
解:分三步：第一步，先给标号1.5.9的正方形涂色，有3种涂法第二步，给标号2,3.6的小正方形涂色，又分两类：一是标号3
同方法数N2=3×4×6=72. .故这三人出游的不同方法数N= N1 +N2 =102
若选择①③④,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100
若选择②③④,则三人出游的不同方法数N=5×5×5=125.
巩固练习 排队问题:
汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎上的五个螺栓，记为A、B、
C、D、E(在正五边形的顶点上）,紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1
个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有
10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号
同的方法……做第n步有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有N=m1× m2× …× mn种不同的方法.
分类加法计数原理ppt课件
6
例：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣 的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他有多少中选择？
在这个例题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择， B大学有4个专业可以选择，那么用分类计数原理，得到这名同学可能的专业选择种 数为6+4=10，对吗？
1
汽车
杭州
火车
杭州
2
北京
3种
3 3+2=5种
1
北京
2种
2
2
引例2 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多 少种不同的号码？
编一个号码可以分成两类
N=26＋10=36
3
引例3
两个袋子里分别装有40个不同的红球，60个不同的白球，从中任取一个球，有多少种取 法？
取一个球可以分成两类，
67,68,69,
78,79,
89.
注：当分类不易说明时，多数是需要进行分类讨论
11
例：A与B是I={1,2,3,4}的子集,若A∩B={1,2},则称(A,B)为
一个理想配集,若将(A,B)与(B,A)看成不同的“理想配集”,则符合
此条件的“理想配集”的个数是( ).
A.4
B.8
C.9
D.16
枚举法
对子集A进行分类讨论. 当A是二元集{1,2}时,B可以{1,2,3,4},{1,2,4},{1,2,3},{1,2},共4种情况; 当A是三元集{1,2,3}时,B可以为{1,2,4},{1,2},共2种情况; 当A是三元集{1,2,4}时,B可以为{1,2,3},{1,2},共2种情况; 当A是四元集{1,2,3,4}时,此时B为{1,2},共1种情况.
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
主，难度将会变小．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
数学《分类加法计数原理》优秀课件
完成一件事
分类（类类独立） 分步（步步关联）
不重不漏 步骤完整
例3.乘积 a1 a2 a3 b1 b2 c1 c2 c3 c4 展开后，共有
__2_4__ 项．
例4.（1）在图I的电路中，只合上一只开关
以接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图II的电路中，合上两只开关以
四、分步乘法计数原理推广
完成一件事需要 n个步骤.做第1步有 m1 种不同的方
法，做第2步中有 m2 种不同的方法，...,在第n步中有mn
种不同的方法，那么完成这件事共有
N m1 m2 ... mn 种不同的方法
说明
各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到 完成这件事的方法总数.
随着交通的便利，从A地出发到B地还有
飞机2班，共有多少种不同的走法？火车1
要完成的“一件事”？
火车2 火车3
怎样完成？ 可以推广到n类吗？
A地
汽车1
B地
汽车2
飞机1
飞机2
二、分类加法计数原理推广
完成一件事有 n类不同方案. 在第1类方案中有m1 种不同的方法，在第2类方案中有 m2 种不同的方法，...,
探究点3 分步乘法计数原理
问题1 甲从A地出发到B地，可以乘火车，也可
以乘汽车.一天之中，火车有3班，汽车有2班， 问一天中乘坐这些交通工具从A地到B地共有多少
种不同的走法？
问题2 甲第一天从A地出发到B地，第二天从B地 出发去C地.已知B地到C地的汽车有3班，问这两天
中甲乘坐这些交通工具从A地到C地共有多少种不
同的走法？
火车1
火车2 火车3
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1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
思考 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字 给教室里的座位编号,总共能编出多少种不同的号 码? 因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出26 10 36种不同的号码.
探究 你能说说这个问题的特征吗?
上述问题中,最重要的特征是"或" 字的出现: 每个座位 可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号.由于英文 字母、阿拉伯数字各不相同,因此用英文字母编出的号 码与用阿拉伯数字编出的号码也是各不相同的.
这个问题与前一个问题不同.在前一 字 数 得到的
个问题中,用26个英文字母中的任何 母 字 号码
一 个 或10 个 阿 拉 伯 数 字 中 的 任 何一 个,都可以给出一个座位号码.而在这 个问题中,号码必须由一个英文字母 和 一 个 作 为 下 标 的 阿 拉伯 数 字 组 成, 得到一个号码必须经过先确定一个
探究 你能说说这个问题的特征吗?
上 述 问 题 中,最 重 要 的 特 征 是" 和" 字 的 出 现: 每个座位由一个英文字母和一个阿拉伯数 字 构 成, 每 个 英 文 字 母 与 不 同 的数 字 组 成 的 号码是各不相同的.
一 般 地,有 如 下 原 理: 分步乘法计数原理 完 成一件事需 要 两 个 步 骤,做 第1步 有m种 不 同 方 法, 做 第2步 有n种 不 同 方 法,那 么 完 成 这 件 事 共 有N m n 种 不 同 的 方 法.
无论第1步采用哪种方法,都不影响第 2步方法的选取.
例2 设某班有男生30名,女生24 名.现要从中 选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有 多少种不同的选法?
分析 选出一组参赛代表,可分两个步骤.第 1步选男生,第2步选女生. 解 第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同 选法; 第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择; 根据分步乘法计数原理,共有30 24 720 种不同的选取法.
在小学我们学了加法和乘法 ,这是将若干个" 小的" 数结合成" 较大" 数的最基本 技巧.这种 技巧经过推广就成了本章将要学习的分类加 法计数原理和分步乘法计数原理.这是解决计 数问题的两个最基本、最重要的方法.应用这 两个计数原理,我们可以得到两类特殊计数问 题 的 计 算 公 式,即 排 列 数 公 式 和 组 合 数公 式, 应 用它们就可以方便地解决一些计数问题.作为 计数 原理与计数公式的一个应用,本章我们还 学习在数学上有广泛应用的二项式定理.
择共有 5 4 9种.
探究 如果完成一件事有三类不同方案, 在第1类方法中有m1种不同的方法,在第2 种方案中有m2 种不同的方法,在第3类方 案中有m3 种不同方法.那么完成这件事共 有多少种不同的方法?
思考 用前6个大写英文字母和1~ 9九个 阿拉伯数字,以 A1, A2, ,B1,B2, 的方式给 教室里的座位编号,总共能编出多少个不 同的号码?
探究 如果完成一件事需要三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法,做第2步有 m2种不同的方法,做第3步有m3种不同 的方法,那么完成这件事共的多少种不 同的方法?
1 A1 2 A2 3 A3 4 A4
英文字母,后确定一个阿拉伯数字这 A 5 A5
两个步骤.用图1.1 1的方法可以列出
6 A6
所有可能的号码.
7 A7
图1.11是解决计数间题常用的" 树形 图".请你用树形图列出所有可能号码.
8 A8 9 A9
我们还可以这样来思考: 由于前6个英文字母的任意一个都能与9 个数 字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不 相同,因此共有6 9 54 个不同的号码.
你能举一些生活中类似的例子吗?
一般地,有如下原理: 分类加法计数原理 完成一件事有两 类 不 同 方 案, 在 第 1 类 方 案 中 有m 种 不 同方法,在第2类方案中有n 种不同方 法.那么完成这件事共有 N m n 种 不同方法.
两类中的方法互不相同.
例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生 了 解 到, A,B两 所 大 学 各 有 自 己 感 兴趣 的 强 项 专业,具体情况如下:
数的方法,计算自己拥有玩具的数量;学校要 举 行 班 际 篮 球 比 赛, 在 确 定 赛 制 后, 体 育 组 老
师要算一算共需要举行多少场比赛;用红、
黄 、 绿 三 面 旗 帜 组 成 航海 信 号, 颜 色 的 不 同 排列表示不同的信号,共可以组成多少种不 同的信号 虽然用列举所有各种可能性的方法,即一个 一 个 去 数 , 可 以 求 出 相 应 的 数, 但 当 这 个 数 很 大 时 ,列 举 的 方 法 很 难 实 施 .本 章 所 关 心 的是如何能不通过一个一个地 数而确定出 这个数.
汽车牌照一般从 26 个英文字母、10个阿拉伯 数字中选出若干个 ,并按照 适当顺序排列而 成,随着人们生活水平的提 高 ,家庭 汽车拥有 量迅速增长 ,汽车牌子号码需要扩容 .另外,许 多车主还希望自己的牌 照"个性化".那么,交通 管理部门应如何确定汽 车牌照号码的组成方 法,才能满足民众的需求呢 ? 这就要 " 数出"某 种汽车牌照号码组成方 案下所有可能的号码 数,这就是计算 .日常生活、生产中类似 的计数 问题大量存在 .例如幼儿会通过一个一 个地数
A大学 生物学
B大学 数学
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会计学 信息技术Biblioteka 法学那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?
分析 由于这名同学在A,B两所大学中只 能选择一所,而且只能选择一个专业,又由 于两所大学没有共同的强 项专业,因此符 合分类加法计数原理的条件. 解 这名同学可以选择A,B两所大学中的 一所.在 A 大学有5 种专业选择方法,在B大 学中有4 种专业选择方法.又由于没有一个 强 项专业 是两所大学共有的 ,因此根据分 类加法计数 原理 ,这名同学可能的专业选