二分法求函数零点
数值计算二分法
数值计算二分法
数值计算中的二分法，是一种基于区间不断缩小，最终求出函数零点的数学方法。
常用于解决各种数值计算问题，如求解非线性方程、寻找函数极值等。
二分法的基本思想就是将求解区间划分成两个子区间，通过确定零点所在的子区间，将求解区间不断缩小，最终得到精度要求的近似解。
具体算法如下：
1. 初始化区间：选择初始区间[a,b]，其中a<b，且f(a)和f(b)异号（即f(a)和
f(b)符号不同）。
2. 迭代过程：
- 求取区间中点c=(a+b)/2；
- 计算函数值f(c)；
- 若f(c)=0，则c为函数的零点，算法结束；
- 若f(c)与f(a)符号相同，则零点在[c,b]间，将a=c ；
- 若f(c)与f(b)符号相同，则零点在[a,c]间，将b=c；
- 反复迭代，缩小求解区间，直到满足预定的精度要求为止；
3. 输出结果：输出近似零点和算法的收敛性。
二分法的优点是简单易实现，只要函数在初始区间上连续且满足不同符号的条件，
即可确定解的存在性，并得到一个相对较为精确的解。
但其缺点也非常明显，比如收敛速度慢，对初值选取较为敏感等。
总之，二分法作为数值计算中的基础方法，既有其独特的优点，也有其明显的不足。
在实际应用中，应根据问题的具体情况，选择相应的数值计算方法，并进行优化，以优化算法效率和精度，提高解决问题的效果。
高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解变号零点与不变号零点的概念．2．理解函数零点的性质．3．会用二分法求近似值．1．函数零点的性质如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．3．用二分法求函数 f (x ) 零点近似值的步骤 给定精确度(1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点 x 1；(3)计算 f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则 x 1 就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令 b ＝x 1 (此时零点 x 0∈(a ，x 1))；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点 x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度，即若|a －b |<，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 (2)～(4)．1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2，4]上的零点必属于区间( ) A ．[－2，1] B ．⎣⎡⎦⎤52，4 C ．⎣⎡⎦⎤1，74 D ．⎣⎡⎦⎤74，52解析：选D ．由于f (－2)<0， f (4)>0，f (－2＋42)＝f (1)<0，f (1＋42)＝f (52)>0， f (1＋522)＝f (74)<0， 所以零点在区间⎣⎡⎦⎤74，52内．2．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0．5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0，0．5) f (0．25)B ．(0，1) f (0．25)C ．(0．5，1) f (0．75)D ．(0，0．5) f (0．125)解析：选A ．因为f (0)<0，f (0．5)>0， 所以函数f (x )的一个零点x 0∈(0，0．5)， 第二次计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0．25)．3．函数的零点都能用“二分法”求吗？解：不一定．例如：函数y ＝x 2的零点为x ＝0，但不能用二分法求解．判断函数在某个区间内是否有零点(1)指出方程 x 5－x －1＝0 的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0 的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．【解】(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1 个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，所以方程x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内．(2)证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是不间断的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，所以方程x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1<0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3<0，所以方程的另两根分别在区间(0，1)和(1，2)内．本题考查的是如何判断方程的根所在的大致区间问题，它是用二分法求方程近似解的前提．对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．已知f(x) 为偶函数，且当x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，求函数f(x)的零点，并判断哪些零点是变号零点，哪些零点是不变号零点．解：因为x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，而当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝(－x－1)2－1，而f(x) 为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以 f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≥0），（x ＋1）2－1（x <0）.解方程 (x －1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝2． 解方程 (x ＋1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝－2，故函数 f (x ) 共有 3 个零点为 －2，0，2，如图所示，可知函数 f (x )的变号零点为 －2，2，不变号零点为 0．用二分法求方程近似解用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0．1)．【解】由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表．1．5，所以1．5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．借助计算器，用二分法求方程(x＋1)(x －2)(x－3)＝1在区间(－1，0)内的近似解(精确到0．1)．解：令f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1<0，f(0)＝5>0，可取区间[－1，0]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：5－0．9即为区间(－1，0)内的近似解．1．函数零点判定定理的应用判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内必有零点．对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间[a，b]内不一定有零点，反之，f(x) 在区间[a，b]内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．即此方法只适合变号零点的判断，不适合不变号零点．2．二分法的使用条件和范围(1)二分法的理论依据：如果函数y＝f(x)是连续的，且f(a)与f(b)的符号相反(a<b)，那么方程f(x)＝0至少存在一个根在(a，b)之间．(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．(3)每一次二分有根区间(a，b)为两个小区间，区间的长度都是原来区间长度的一半．用零点存在性定理判断函数的零点时，两个条件是缺一不可的．因此，在判断已知函数在区间上的零点是否存在时，应首先确定图象是不间断的．1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析：选C．由二分法的定义知．2．设f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内() A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D3．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循，无法在计算机上完成；④只有在求函数零点时才用二分法． 答案：②4．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不间断曲线，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0， 则[a ，x 0]为新的区间． 答案：[a ，x 0][A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选D ．因为f (2)·f (3)＝(8－6－3)·(27－9－3)＝－15<0， 所以f (x )有零点的区间是(2，3)．2．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2．1，－1]B ．[1．9，2．3]C ．[4．1，5]D ．[5，6．1]解析：选B ．由不变号零点的特征易判断该零点在[1．9，2．3]内． 3．方程2x 3－4x 2＋7x －9＝0在区间[－2，4]上的根必定属于区间( ) A ．(－2，1) B ．(52，4)C ．(π4，1)D ．(1，74)解析：选D ．设f (x )＝2x 3－4x 2＋7x －9， 由f (1)·f (74)<0知选D ．4．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C ．由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2．72－4＝－1．28，f (2)＝g (2)－2－3＝7．39－5＝2．39，所以f (1)·f (2)<0．所以f (x )的一个零点所在的区间为(1，2)．5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正整零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1．2B ．1．3C ．1．4D ．1．5解析：选C ．由零点的定义知，方程的根所在区间为[1．406 25，1．437 5]，故精确到0．1的近似根为1．4．6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ． 答案：a 2＝4b7．方程x 3＝2x 精确到0．1的一个近似解是________． 解析：令f (x )＝x 3－2x ，f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，所以在区间[1，2]上求函数f (x )的零点，即为方程x 3＝2x 的一个根，依照二分法求解得x ＝1．4．答案：1．48．某方程有一无理根在区间D ＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0．1．解析：由3－12n ≤0．1，得2n ≥20，n >4，故至少等分5次． 答案：59．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点． (1)f (x )＝3x －6； (2)f (x )＝x 2－x －12； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1； (4)f (x )＝(x －2)2(x ＋1)x ． 解：(1)零点是2，是变号零点． (2)零点是－3和4，都是变号零点． (3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1，0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程 f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32． 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32． 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．[B 能力提升]11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：选C．根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上无法确定，可能有，也可能没有，如图所示：12．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点个数至少有3个．答案：313．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子．则：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)算一算要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：(1)如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7 次就够了．14．(选做题)求方程3x2－4x－1＝0的根的近似值．解：令f(x)＝3x2－4x－1，列出x，f(x)的一些对应值如下表：00若x0∈[－1，0]，取区间[－1，0]的中点x1＝－0．5，则f(－0．5)＝1．75，因为f(－0．5)·f(0)<0，所以x0∈[－0．5，0]．再取区间[－0．5，0]的中点x2＝－0．25，则f(－0．25)＝0．187 5，因为f(－0．25)·f(0)<0，所以x0∈[－0．25，0]．同理，可得x0∈[－0．25，－0．125]，x0∈[－0．25，－0．187 5]，x0∈[－0．218 75，－0．187 5]，区间[－0．218 75，－0．187 5]的左、右端点精确到0．1所取的近似值都是－0．2．所以把x0＝－0．2作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0∈[1，2]时，方程的根的近似值为1．5．2±7综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x1，2＝3，近似值为－0．2或1．5．。
二分法求函数零点教案(可编辑修改word版)
１、二分法的概念用二分法求方程的近似解对于在区间[a, b]上连续不断且 f (a ) · f (b ) < 0 的函数 y = f (x ) , 通过不断把函数f (x ) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数 f (x ) 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证： f (a ) · f (b ) < 0，确定精确度（２）求区间(a , b)的中点 x 1（３）计算 f (x 1 )若 f (x 1 ) =0, 则就 x 1 是函数的零点若 f (a ) · f (x 1 ) <０，则令 b = x 1 （此时零点 x 0∈(a,x 1 )）若 f (x 1 ) · f (b ) <０，则令 a = x 1 （此时零点 x 0∈( x 1 , b)） （４）判断是否达到精确度即若 | a – b | <, 则得到零点的近似值为 a （或 b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例 1：下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）解：应选 B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
1 例 2、 利用二分法求方程 x= 3 - x 的一个近似解（精确到 0.1）。
解：设 f (x ) = 1 + x - 3 ，则求方程 1= 3 - x 的一个近似解，即求函数 f (x ) 的一个近似零x x点。
∵ f (2) = - 1 < 0 ， f (3) = 1> 0 ，∴取区间[2,3]作为计算的初始区间。
2.4.2求函数零点近似解的一种方法——二分法
通 高
它的两个端点处的函数值异号，即 f (a) • f (b) 0
中 则，这个函数在这个区间上至少有一个零点，即
课 程
存在一点 x0 (a,b) 使得 f (x0 ) 0 。 不变号零点
标 准 如果函数图像通
y
过零点时没有穿
过x轴，则成这 a
样的零点叫不变 x0 b
x1
号零点。
bqr6401@
y=2x
y
4
y=4-x
1
x
012 4
提问：能否不画图确定根所在的区间？
bqr6401@
四、应用举例
例1：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）
解：设函数f (x)=2x+x-4
普 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
通 ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
普 通 高 中 课 程 标 准
良乡中学数学组 任宝泉 bqr6401@
书少成天勤劳才功山小才的就=有艰孩是不在苦子百路展分学于的勤之望劳习勤一为未动，的来径奋+老灵,正，感确学来努但，的懒百海徒力方惰分无法的之伤才+孩崖九少悲能子十苦谈享九成空作受的话现汗舟功在水！!！!!
普通高中课程标准数学1(必修)
普
区间
通
高
(2,3)
中
课
(2.5,3)
程
(2.5,2.75)
标
准
(2.5,2.625)
中点的值
2.5 2.75 2.625 2.5625
中点函数近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066
区间长度
求零点的方法
求零点的方法在数学中，零点是指一个函数在坐标系中与x轴相交的点，也就是函数的根或者零解。
求解一个函数的零点，对于数学学习者来说是一个基础而又重要的问题。
下面我们将介绍几种常见的求零点的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、图像法。
图像法是一种直观、直接的求解零点的方法。
对于给定的函数，我们可以通过作出函数的图像来找到它的零点。
具体步骤是先将函数在坐标系中画出来，然后观察函数图像与x轴的交点，这些交点就是函数的零点。
通过观察图像，我们可以直观地了解函数的零点分布情况，从而更好地理解函数的性质。
二、因式分解法。
对于一些特定的函数，我们可以通过因式分解的方法来求解它的零点。
具体步骤是先将函数进行因式分解，然后分别令每个因式等于零，得到每个因式的零点，最终得到整个函数的零点。
因式分解法对于一些简单的多项式函数是非常有效的，能够快速地求解函数的零点。
三、牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求解函数的零点。
具体步骤是先选取一个初始值作为迭代的起点，然后通过不断迭代的方式逼近函数的零点。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但需要选取合适的初始值，并且对一些特定的函数可能会出现迭代不收敛的情况。
四、二分法。
二分法是一种简单而又有效的求解函数零点的方法。
具体步骤是先找到函数的两个零点的区间，然后取区间的中点作为当前的估计值，通过比较中点处函数值的符号来缩小区间，最终逼近函数的零点。
二分法的优点是简单易行，但需要对函数的零点区间有一定的预估。
五、追赶法。
追赶法是一种用来求解三对角线性方程组的方法，但也可以用来求解函数的零点。
具体步骤是将函数表示为三对角形式，然后通过追赶法的迭代过程来逼近函数的零点。
追赶法对于特定形式的函数有较好的适用性，能够快速地求解函数的零点。
以上就是几种常见的求零点的方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际问题中，我们可以根据函数的性质和具体情况选择合适的方法来求解函数的零点，从而更好地理解和应用数学知识。
求函数零点近似解的一种计算方法----二分法_优质PPT课件
依题意得方程x2+（a-1）x+2=0有两个 相异的正数根，
则
(a 1)2
,
1 a 0
得a∈（－∞,1 2 2）.
7
bx 5.已知函数f（x）= 2 3x .若方程f（x） +2x=0有两个相等的实数根，则f（x）= .
由 bx +2x=0，得6x2-（b+4） 2 3x
x=0. 4x
11
题型１ 函数零点存在性判断
（1）求函数y=x3-2x2-x+2的零点；
（2）判断函数f（x）=log2x+ 1 x+2的零
点的个数.
2
12
（ 1 ） 由 y=x3-2x2-x+2=x2 （ x-2 ） （x-2）=（x-2）（x2-1）
=（x-2）（x-1）（x+1）. 令 （ x-2 ） （ x-1 ） （ x+1 ） =0 ， 解 得 x=2 或 x=1或x=-1. 所以函数y=x3-2x2-x+2的零点为-1,1,2.
基本初等函数（Ⅰ）
函数与方程
1
1.函数的零点 函数y=f（x）的零点是一个 实数，而不是 一个 点，它是函数的图象与x轴交点的横坐标. 2.二分法 用二分法求函数y=f（x）的 零点近似值的 步骤是：
2
第一步，确定区间［a,b］，验
证 f（a）、f（b）的正负
，给定精确度ε；
第二步，求区间［a,b］的中点x1； 第三步，计算 f（x1）；若 f（x1）=0 ， 则x1就是函数的零点；若 f（x1）f（b）＜0 ， 则令b=x1；若 f（a）f（x1）＜0 ，则令a=x1；
第四步，判断是否达到精确度ε，即若 |a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则 重复第二、三、四步.
21-22版：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（步步高）
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理.2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．知识点一 零点存在的判定及变号零点与不变号零点的概念 (1)零点存在的判定如果函数y ＝f (x )在一个区间[a ，b ]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a )·f (b )＜0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x 0∈(a ，b )，使f (x 0)＝0.(2)变号零点与不变号零点如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点． 知识点二 二分法 1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．二分法求函数零点的一般步骤已知函数y ＝f (x )定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度．用二分法求函数零点的一般步骤为：第一步 在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)·f (b 0)＜0，零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步 取区间[a 0，b 0]的中点，则此中点对应的坐标为x 0＝12(a 0＋b 0)．计算f (x 0)和f (a 0)，并判断：(1)如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 0)·f (x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f (a 0)·f (x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步 取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝12(a 1＋b 1)．计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：(1)如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 1)·f (x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1；(3)如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.…继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n －a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．1．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(×)2．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(√) 3．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(√)4．用二分法最后一定能求出函数零点．(×)题型一判断零点存在区间例1已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：x －2－1012345678f(x)－136－2161913－1－8－242998则下列判断正确的是________．①函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点．②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点．③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点．④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．答案①②③解析根据零点存在的条件判断．反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断．(3)总结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练1(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．(2)已知函数f(x)＝x3－2x2－x＋2，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在[a，b]内的零点个数为________．答案0或2解析f(x)＝(x－2)(x－1)(x＋1)的图象如图，由图象可知，f(x)在[a，b]内的零点个数为0或2.题型二二分法的概念例2(1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()(2)下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝(x－1)(x＋2)答案(1)C(2)C解析(1)A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.(2)结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．反思感悟二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3答案 D解析y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴的公共点，所以有4个．适合用二分法求零点，必须是变号零点，所以有3个．题型三用二分法求函数的近似零点例3求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．解由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a＝1，b＝2f(1)＝－2，f(2)＝6[1,2]x0＝1.5f(1.5)＝0.625>0[1,1.5]x1＝1.25f(1.25)＝－0.984<0[1.25,1.5]x2＝1.375f(1.375)＝－0.260<0[1.375,1.5]x3＝1.437 5f(1.437 5)＝0.162>0[1.375,1.437 5]由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度不大于0.1，因此可取1.4为所求函数的一个正实数零点的近似值．反思感悟二分法求函数零点的近似值的步骤跟踪训练3(1)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.64 B．0.74 C．0.7 D．0.6答案 C(2)用二分法求函数f (x )＝x 3－x －2的一个正实数零点(精确到0.1)．解 由f (1)＝－2<0，f (2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值定区间 a 0＝1，b 0＝2 f (1)＝－2，f (2)＝4 [1,2] x 0＝1＋22＝1.5 f (x 0)＝－0.125<0 [1.5,2] x 1＝1.5＋22＝1.75 f (x 1)≈1.609 4>0 [1.5,1.75] x 2＝1.5＋1.752＝1.625 f (x 2)≈0.666 0>0 [1.5,1.625] x 3＝1.5＋1.6252＝1.562 5f (x 3)≈0.252 2>0[1.5,1.562 5]由上表的计算可知，区间[1.5,1.562 5]的长度不大于0.1，因此可取1.5作为所求函数的一个正实数零点的近似值．所以f (x )＝x 3－x －2的一个正实数精确到0.1的近似零点为1.5.二分法思想的应用典例 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在⎝⎛⎭⎫0，12内还是在⎝⎛⎭⎫12，1内？ 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间解 ∵f (x )为R 上的增函数且f (0)＝20＋03－2<0，f (1)＝21＋13－2>0， ∴f (x )在(0,1)内有且仅有1个零点x 0.又f ⎝⎛⎭⎫12＝122＋⎝⎛⎭⎫123－2＝82－158＝128－2258<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1.[素养评析] 二分法思想的应用，一般根据函数y ＝f (x )的函数图象，观察图象与x 轴的交点个数，确定零点个数．依据图象估计零点所在的初始区间[m ，n ]，然后用二分法逐步缩小区间的“长度”，直到符合精确度，二分法的应用突出体现直观想象和数学运算的数学核心素养.1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案 A2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]答案 A3．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为()A．(－2,0) B．(0,2)C．[－2,0]D．[0,2]答案 B解析由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m＜0，∴0＜m＜2.4．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]答案 D解析因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D. 5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________________．答案(0,0.5)x0＝0.25时f(0.25)的值1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.。
高中数学例题：用二分法求函数的零点的近似值
高中数学例题：用二分法求函数的零点的近似值例.求函数()32=+--的一个正数零点(精确到0.1).f x x x x236【答案】1.7【解析】由于()()=-<=>，可取区间[]1,2作为计算的160,240f f初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：由上表计算可知，区间[1.6875， 1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.【总结升华】应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【变式1】用二分法求函数()25=-的一个正零点（精确到0.01）f x x【答案】2.24【解析】⑴由()()21, 2.5 1.25f f =-=，()()2 2.50f f <可知函数的一个正零点在[]2,2.5区间中；⑵取[]2,2.5的区间中点2.25；⑶计算()2.25 5.062550.0625f =-=；⑷由于()()2 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2,2.25 ⑸取[]2,2.25的区间中点2.125；⑹计算()2.125 4.49442550.505575f =-=-；⑺由于()()2.125 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.125,2.25； ⑻取[]2.125,2.25的区间中点2.1875；⑼计算()2.1875 4.785156350.248437f =-=-；⑽由于()()2.1875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.1875,2.25； ⑾取[]2.1875,2.25的区间中点2.21375；⑿计算()2.21375 4.90068950.099311f =-=-；⒀由于()()2.21375 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.21375,2.25； ⒁取[]2.21375,2.25的区间中点2.231875⒂计算()2.231875 4.98126650.018734f =-=-；⒃由于()()2.231875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.231875,2.25； ⒄取[]2.231875,2.25的区间中点2.2409375；⒅计算()2.2409375 5.02208150.022081f =-=；⒆由于()()2.231875 2.24093750f f <，⒇由于()()2.23640625 2.24093750f f <，则有零点的新区间为[]2.236406255,2.2409375；又因为零点要求精确到0.01，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数()25=-的一个正零点为：2.24.f x x。
计算函数零点的二分法
答案
应猜 400 与 800 的中间值 600.
问题 2:通过这种方法能猜到具体价格吗?
答案 能.
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如上所述,工人首先从线路的中点 C 查起,如果 CB 段正常,就选择 CA 的中点
D 测试;如果 DA 段正常,就选择 DC 的中点 E 继续测试……像检修线路所用的这
解.故选 A.
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方法总结
课堂导学
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据:其图象在零点附近是连
续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函
数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
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【巩固训练】
已知函数 f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解零点的个数
分别为(
D
A.4,4
解析
).
B.3,4
C.5,4
D.4,3
图象与 x 轴有 4 个交点,所以零点的个数为 4;左、右函数值异号的零点
有 3 个,所以可以用二分法求解零点的个数为 3,故选 D.
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任务 2: 用二分法求函数零点的近似值
我们已经知道 f(x)=ln x+2x-6 的零点在区间(2,3)内.
2
交点的横坐标在区间(0,1)内,另一个交点的横坐标大于 4.
故函数 f(x)=log 1 x+x-4 有两个零点.
2
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因为 f(6)=log1 6+6-4=log 1 6+2<log 1 4+2=0,
2
2
计算函数的零点和极值点
计算函数的零点和极值点在数学中，函数的零点和极值点是我们经常需要计算和分析的重要概念。
通过求解函数的零点，我们可以找到函数在坐标轴上与x轴交点的位置；而通过求解函数的极值点，我们可以确定函数在其定义域内取得最大值或最小值的位置。
本文将介绍计算函数零点和极值点的方法和步骤，并通过具体的例子进行说明。
一、计算函数的零点函数的零点即为函数取值为零的点，也可以称为函数的根或方程的解。
下面是计算函数零点的一般步骤：1. 首先，我们需要将函数表示为一个等式，也就是将函数 f(x) = 0，其中 f(x) 是已知的函数。
2. 接着，我们可以采用不同的方法来求解函数的零点，例如二分法、牛顿法、割线法等。
下面以二分法为例进行说明。
二分法求解函数零点的步骤如下：1. 选择一个区间[a, b]，使得函数在该区间内恰好有一个零点，即f(a) * f(b) < 0。
2. 计算区间的中点 c = (a + b) / 2。
3. 判断函数在中点 c 处的取值 f(c) 是否为零或非常接近零。
如果是，则 c 为函数的零点；如果不是，则执行下一步。
4. 判断函数在区间 [a, c] 或 [c, b] 内是否存在一个零点，即判断 f(a)* f(c) 或 f(c) * f(b) 是否小于零。
如果是，则继续在该区间内进行二分法计算；如果不是，则选择另一个区间进行二分法计算。
5. 重复步骤2至步骤4，直到找到函数的零点或达到指定的精度要求。
例如，我们想要计算函数 f(x) = x^2 - 4 在区间 [1, 3] 内的零点。
首先，确定函数在该区间内存在一个零点，因为 f(1) * f(3) = (1^2 - 4) *(3^2 - 4) = -3 * 5 < 0。
然后，我们可以使用二分法逐步逼近零点。
经过多次迭代计算，可以得到函数的零点为 x = 2。
这个结果可以通过代入函数进行验证，即计算 f(2) = 2^2 - 4 = 0。
用二分法求函数零点的步骤
<=>函数的图象与x轴有交点
<=>函数有零点
3. 函数零点存在的条件：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 像是_连__续_不__断__的一条曲线，并且 __f(_a_)·_f_(b_)_<_，那么函数y=f(x)在区 间0[a,b]内_有__零__点___，即存在 _c_∈__(a_,_b_) ，使得_f_(c_)_=_0__，则_c_就 是方程f(x)=0的__根__。
• 取区间(1,2)中点x1=1.5,计算 f(1.5) ≈0.33
• 由f(1)·f(1.5)<0,零点x0在区间(1,1.5)内 • 再取区间(1,1.5)中点x2=1.25,计算
f(1.25) ≈-0.87
• 由f(1.25)·f(1.5)<0
• 函数零点x0在区间(1.25,1.5)内
• 重复以上步骤，可列出表格 • 由表格可见 • |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 • 所以原方程的近似解是1.4375
重复以上步骤，得到如下表格：
区间
端点
中点 中点的函数值 区间距离
2
3
2.5 -0.083709268
1
2.5
3
2.75
0.511600912
0.5Βιβλιοθήκη 2.52.752.625 0.215080896 0.25
2.5
2.625
2.5625 0.065983344 0.125
2.5
2.5625 2.53125 -0.008786748 0.0625
练习2
• 用二分法求函数f(x)=x3-2在区间 (1,2)内的零点(=0.1)。
1241：二分法求函数的零点
1241：⼆分法求函数的零点我⼜来⽔博客啦这次的题⽬啊，真的⽔到不⾏，宁看看这题，没有输出⼊要求，就⼀个点，那我直接暴⼒输出不就⾏了，来看看我⼀开始的代码啊#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#define itn intusing namespace std;int main(){cout<<"1.849016"<<endl;return 0;} （前⾯的那⼀堆头⽂件是新建就有，不是我特意打上的，逃）宁看看，满打满算7⾏就够了，为什么要这么⿇烦，还⽤⼆分，但是⾔归正传，我们在⽔题的时候，当然可以解出⽅程来，输出。
可是如果这个式⼦再长⼀点，再难算⼀点呢？所以还是要正⼉⼋经的⽤⼆分。
（话说我们课上刚刚学了⼆分法解⽅程）找零点的时候，只⽤考虑[f（a）*f（b）<0]&&这个函数是连续不断的就可以了所以就看⼀下AC代码吧#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#define itn int#define E 1e-7using namespace std;double f(double x){double y=x*x*x*x*x-15*x*x*x*x+85*x*x*x-225*x*x+274*x-121;return y;}int main(){double left=1.5,right=2.4;while(left+E<right){double mid=(left+right)/2.0;if(f(mid)>0)left=mid;else right=mid;}if(f(left)==0)printf("%.6lf\n",left);elseprintf("%.6lf\n",left);return 0;} 按要求的六位输出别忘了， 还有就是千万别忘了开double，不然你出不来这个数。
用二分法求函数零点
用二分法求函数零点山东 刘春辉二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象连续不间断；②()()0f a f b <．二分法不适合不变号零点的情况．二分法求零点的基本方法是：第一步 取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步 取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，若11()0f x x =，就是所求零点，计算结束；若1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步 对已确定的区间，重复第二步，直到达到规定的误差要求，计算结束.实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]n n a b ，，当 2n n a b ε-<时，区间[]n n a b ，的中点1()2n n n x a b =+就是函数()y f x =的近似零点，这时函数()y f x =的近似零点与真正零点的误差不超过ε.这也就是说：函数的零点总位于区间[]n n a b ，内，得到一系列的有根区间0011[][][]n n a b a b a b L L ，，，輀葺?，其中每一个区间的长度都是前一个区间的一半.设区间[]n n a b ，的长度为n d ，则00122n n n n n nb a d b a xcd -=-=-<，，即0012n n b a x c +--<（其中c 为函数的真正零点）.所以当2n n a b ε-<时，1122n n n n x c d b a ε-<=-<.反过来，由n x c ε-<出发，0000111222n n n n b a b a x c d εε++---<=<>，（ε为精确度要求，00a b ，为初始区间端点值），根据该式可以确定n 的最小值0n ，这样我们做题时就可以事先知道需要0n 次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.例 用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点（精确到0.01）.解：3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(0f x x x x x x x x x x x x =+--=+-+=+-=+=∴函数的零点为1-，.23x x ==，，令2()3f x x =-也是函数2()3f x x =-的零点，∵ (1)20(2)10f f =-<=>，，， ∴可取初始区间[12]，用二分法逐次计算.由0012n b a ε+->，知12121000.01n +->=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取中点就能取得符合精确度要求的近似零点，列表如下：∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．。
函数的零点与解析问题及例题分析
函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。
求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。
下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。
例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。
解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。
2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。
3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。
4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。
2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。
解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。
解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。
以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。
- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。
解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。
3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。
解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。
即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。
因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。
以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。
希望对您有所帮助！。
二分法求函数零点的近似解及零点个数
函数与方程一、目标认知学习目标(1)进一步了解函数的广泛应用；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解.难点对函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.二、知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)；(2).思路点拨：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.解：(1)由得，所以函数的零点是；(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是1，-1.总结升华：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.解：(1)由求根公式解得(2)方程可化为由知所以函数的零点为1，-3；函数的零点为-3，1，2.总结升华：三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．无法确定思路点拨：可以利用函数图象或方程的判别式.解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.类型三、用二分法求函数的零点的近似值3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).解：由于，可取区间作为计算的初始区间，由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.总结升华：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）解：⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；⑵取的区间中点；⑶计算；⑷由于，则有零点的新区间为⑸取的区间中点；⑹计算；⑺由于，则有零点的新区间为；⑻取的区间中点；⑼计算；⑽由于，则有零点的新区间为；⑾取的区间中点；⑿计算；⒀由于，则有零点的新区间为；⒁取的区间中点⒂计算；⒃由于，则有零点的新区间为；⒄取的区间中点；⒅计算；⒆由于，⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500，1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格.总结升华：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).。
原创2：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（探究式）
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1
D.f(x)= −x2+2x+2
[解析] 对于C，f(x)=(x+1)2≥0，不能用二分法．
答案：A
课堂练习
3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
3.计算f(x1)
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a)·f(x1)<0，则此时零点x0∈ (a, x1) ；
若f(x1)·f(b)<0，则此时零点x0∈ ( x1,,b) ；
4.判断是否达到精确度ε，即若 |a−b|< ε 则得到零点近似值a(或b),
否则重复2~4.
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度
1.5625.
0.01)为________．
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1)
[解析] 初始区间（2，3），且f(2) < 0, f(3) > 0，列表：
区间(a,b)
中点值m
f(a)
f(b)
f(m)近似值 精确度|a−b|
（2，3）
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分法的概念
对于在区间［a, b］上连续不断且f(a) f(b)<0的函数y = f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.
给定精确度占，用二分法求函数-零点近似值的步骤如下:
(1)确定区间上，-,验证-■' 「v 0，给定精确度占；
⑵求区间"，/的中点& ;
⑶计算：」：
1若丿■■■，则：就是函数的零点；
2若v 0，则令上'=冷(此时零点」八⑺)；
3若丿-v 0，则令主=6 (此时零点I _ ■);
⑷判断是否达到精确度卫；即若山_ & | v日，则得到零点近似值吃(或* );否则重复步骤2-4 .
结论：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解
思考：为什么由'’V己，便可判断零点的近似值为二(或占)?
、能用二分法求零点的条件
例1下列函数中能用二分法求零点的是()
判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点•因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()
、求函数的零点
例2判断函数y = x3-x— 1在区间［1,1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1).
分析由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间［1,1.5］内有无零点，可用根的存在性定
理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在［1,1.5］内有零点后可用二分法求解.
解因为f(1) =— 1<0, f(1.5) = 0.875>0 ,且函数y = x3—x — 1的图象是连续的曲线，所以它在区间［1,1.5］内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
由于 |1.375 —
所以函数的一个近似零点为 1.312 5.
点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表
达.事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.
变式迁移2求函数f(x) = x3+ 2x2— 3x — 6的一个正数零点(精确度0.1).
解由于f(1) =— 6<0, f(2) = 4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算, 列表如下：
由于 |1.75 —
所以可将1.687 5作为函数零点的近似值.
三、二分法的综合运用
例3证明方程6-3x= 2x在区间［1,2］内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1).
分析由题目可获取以下主要信息：①证明方程在［1,2］内有唯一实数解；②求出方程的解•解
答本题可借助函数f(x) = 2x+ 3x-6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解.
证明设函数f(x) = 2x+ 3x-6,
••• f(1) =- 1<0, f (2) = 4>0,
又••• f (x)是增函数，所以函数 f (x) = 2x+ 3x- 6在区间［1,2］内有唯一的零点，
贝U方程6 — 3x= 2x在区间［1,2］内有唯一一个实数解.
设该解为x o,则x o€［1,2］,
取x= 1.5 , f(1.5) = 1.33>0 , f (1) f(1.5)<0 ,
••• x o € (1,1.5),
取X2= 1.25 , f (1.25) = 0.128>0 ,
f (1) f(1.25)<0 , •X。
€ (1,1.25),
取X3= 1.125 , f (1.125) =- 0.445<0 ,
f (1.125) f(1.25)<0 , •x°€(1.125,1.25),
取X4= 1.187 5 , f (1.187 5) =- 0.16<0 ,
f (1.187 5) f(1.25)<0 ,
•X。
€ (1.187 5,1.25) .
•/ |1.25 — 1.187 5| = 0.062 5<0.1 ,
•1.187 5可以作为这个方程的实数解.
点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩
小考察范围，逼近问题的解.
3
变式迁移3求2的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01).
解设x =寸2，则x— 2 = 0.
3
令f(x) = X3- 2，则函数f(x)的零点的近似值就是2的近似值，以下用二分法求其零点的近似值.
由于f (1) =- 1<0, f(2) = 6>0,故可以取区间［1,2］为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
由于 |1.265 625 — 1.257 812 5| = 0.007 81<0.01 ,
所以函数f(x)零点的近似值是1.26 ,
3
即2的近似值是1.26.
四、总结
1 •能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
1 2•二分法实质是一种逼近思想的应用•区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为2n.
3•求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同•精确度为刍是指在
计算过程中得到某个区间(a, b)后，若其长度小于s,即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，
否则应继续计算，直到|a—b|< s为止.
练习
1 •下列函数中不能用二分法求零点的是()
A. f (x) = 2x + 3 B •f (x) = ln x + 2x— 6
2 x
C. f (x) = x — 2x + 1 D •f (x) = 2 — 1
2 .设f (x) = 3x+ 3x— 8,用二分法求方程 3x+ 3x— 8= 0在x€ (1 , 2)内近似解的过程中得f(1)<0 ,
f (1.5)>0 , f(1.25)<0，则方程的根落在区间()
A. (1,1.25) B • (1.25,1.5)
C. (1.5,2) D .不能确定
3.函数f(x) = x2— 5的正零点的近似值(精确到0.1)是()
A. 2.0 B . 2.1 C . 2.2 D . 2.3
4 .方程2x—1 + x= 5的解所在的区间是()
A. (0,1) B . (1,2) C . (2,3) D . (3,4)
5 .用二分法研究函数f(x) = x3+ 3x— 1的零点时，第一次经计算 f (0)<0 , f(0.5)>0，可得其中一个零点x o€__________ ，第二次应计算 _________ .以上横线上应填的内容为()
A . (0,0.5) , f (0.25)
B . (0,1) , f (0.25)
C . (0.5,1) , f (0.25)
D . (0,0.5) , f(0.125)
6. ______________________________________ 在用二分法求方程f (x) = 0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0 ,f(0.75)>0 , f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为(精确度为0.1).
7. ______________________________________________________ 用二分法求方程x2— 5= 0在区间(2,3)的近似解经过_______________________________________________ 次二分后精确度能达到0.01.
8 .用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n, b n] (n€ N)上，当I a n—b n|<m时，函数
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x o=竺泸与真实零点a的误差最大不超过•答案m 的零点近似值
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