二分法求函数零点

分法的概念

对于在区间［a, b］上连续不断且f(a) f(b)<0的函数y = f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.

给定精确度占，用二分法求函数-零点近似值的步骤如下:

(1)确定区间上，-,验证-■' 「v 0，给定精确度占；

⑵求区间"，/的中点& ;

⑶计算：」：

1若丿■■■，则：就是函数的零点；

2若v 0，则令上'=冷(此时零点」八⑺)；

3若丿-v 0，则令主=6 (此时零点I _ ■);

⑷判断是否达到精确度卫；即若山_ & | v日，则得到零点近似值吃(或* );否则重复步骤2-4 .

结论：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解

思考：为什么由'’V己，便可判断零点的近似值为二(或占)?

、能用二分法求零点的条件

例1下列函数中能用二分法求零点的是()

判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点•因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.

变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()

、求函数的零点

例2判断函数y = x3-x— 1在区间［1,1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1).

分析由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间［1,1.5］内有无零点，可用根的存在性定

理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在［1,1.5］内有零点后可用二分法求解.

解因为f(1) =— 1<0, f(1.5) = 0.875>0 ,且函数y = x3—x — 1的图象是连续的曲线，所以它在区间［1,1.5］内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：

由于 |1.375 —

所以函数的一个近似零点为 1.312 5.

点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表

达.事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.

变式迁移2求函数f(x) = x3+ 2x2— 3x — 6的一个正数零点(精确度0.1).

解由于f(1) =— 6<0, f(2) = 4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算, 列表如下：

由于 |1.75 —

所以可将1.687 5作为函数零点的近似值.

三、二分法的综合运用

例3证明方程6-3x= 2x在区间［1,2］内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1).

分析由题目可获取以下主要信息：①证明方程在［1,2］内有唯一实数解；②求出方程的解•解

答本题可借助函数f(x) = 2x+ 3x-6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解.

证明设函数f(x) = 2x+ 3x-6,

••• f(1) =- 1<0, f (2) = 4>0,

又••• f (x)是增函数，所以函数 f (x) = 2x+ 3x- 6在区间［1,2］内有唯一的零点，

贝U方程6 — 3x= 2x在区间［1,2］内有唯一一个实数解.

设该解为x o,则x o€［1,2］,

取x= 1.5 , f(1.5) = 1.33>0 , f (1) f(1.5)<0 ,

••• x o € (1,1.5),

取X2= 1.25 , f (1.25) = 0.128>0 ,

f (1) f(1.25)<0 , •X。€ (1,1.25),

取X3= 1.125 , f (1.125) =- 0.445<0 ,

f (1.125) f(1.25)<0 , •x°€(1.125,1.25),

取X4= 1.187 5 , f (1.187 5) =- 0.16<0 ,

f (1.187 5) f(1.25)<0 ,

•X。€ (1.187 5,1.25) .

•/ |1.25 — 1.187 5| = 0.062 5<0.1 ,

•1.187 5可以作为这个方程的实数解.

点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩

小考察范围，逼近问题的解.

3

变式迁移3求2的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01).

解设x =寸2，则x— 2 = 0.

3

令f(x) = X3- 2，则函数f(x)的零点的近似值就是2的近似值，以下用二分法求其零点的近似值.

由于f (1) =- 1<0, f(2) = 6>0,故可以取区间［1,2］为计算的初始区间.

用二分法逐步计算，列表如下：

由于 |1.265 625 — 1.257 812 5| = 0.007 81<0.01 ,

所以函数f(x)零点的近似值是1.26 ,

3

即2的近似值是1.26.

四、总结

1 •能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.

1 2•二分法实质是一种逼近思想的应用•区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为2n.

3•求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同•精确度为刍是指在

计算过程中得到某个区间(a, b)后，若其长度小于s,即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，

否则应继续计算，直到|a—b|< s为止.

练习

1 •下列函数中不能用二分法求零点的是()

A. f (x) = 2x + 3 B •f (x) = ln x + 2x— 6

2 x

C. f (x) = x — 2x + 1 D •f (x) = 2 — 1

2 .设f (x) = 3x+ 3x— 8,用二分法求方程 3x+ 3x— 8= 0在x€ (1 , 2)内近似解的过程中得f(1)<0 ,

f (1.5)>0 , f(1.25)<0，则方程的根落在区间()

A. (1,1.25) B • (1.25,1.5)

C. (1.5,2) D .不能确定

3.函数f(x) = x2— 5的正零点的近似值(精确到0.1)是()

A. 2.0 B . 2.1 C . 2.2 D . 2.3

4 .方程2x—1 + x= 5的解所在的区间是()

A. (0,1) B . (1,2) C . (2,3) D . (3,4)

5 .用二分法研究函数f(x) = x3+ 3x— 1的零点时，第一次经计算 f (0)<0 , f(0.5)>0，可得其中一个零点x o€__________ ，第二次应计算 _________ .以上横线上应填的内容为()

A . (0,0.5) , f (0.25)

B . (0,1) , f (0.25)

C . (0.5,1) , f (0.25)

D . (0,0.5) , f(0.125)

6. ______________________________________ 在用二分法求方程f (x) = 0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0 ,f(0.75)>0 , f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为(精确度为0.1).