二分法求零点习题讲解
二分法求函数零点的近似解及零点个数
函数与方程一、目标认知学习目标(1)进一步了解函数的广泛应用；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解.难点对函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.二、知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)；(2).思路点拨：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.解：(1)由得，所以函数的零点是；(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是1，-1.总结升华：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.解：(1)由求根公式解得(2)方程可化为由知所以函数的零点为1，-3；函数的零点为-3，1，2.总结升华：三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．无法确定思路点拨：可以利用函数图象或方程的判别式.解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B. 类型三、用二分法求函数的零点的近似值3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).解：由于，可取区间作为计算的初始区间，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.总结升华：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）解：⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；⑵取的区间中点；⑶计算；⑷由于，则有零点的新区间为⑸取的区间中点；⑹计算；⑺由于，则有零点的新区间为；⑻取的区间中点；⑼计算；⑽由于，则有零点的新区间为；⑾取的区间中点；⑿计算；⒀由于，则有零点的新区间为；⒁取的区间中点⒂计算；⒃由于，则有零点的新区间为；⒄取的区间中点；⒅计算；⒆由于，⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500，1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格.总结升华：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).9总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
二分法求零点习题讲解
何为二分法就是不断的取中间数。
一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
假定f(x)在区间（x，y）上连续
先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],
现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b
①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，
如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2>=a，从①开始继续使用
中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，从①开始继续使用
中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
另外，二分法不能计算复根和重根。
所以要求函数必须是连续函数，D明显不可以。
函数应用零点二分法知识点和练习
一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
高中数学二分法例题
高中数学二分法例题一、例题11. 题目- 用二分法求函数f(x)=x^3-x - 1在区间[1,2]内的零点（精确到0.1）。
2. 解析- 首先计算f(1)=1^3-1 - 1=-1，f(2)=2^3-2 - 1 = 5。
- 因为f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间[1,2]内有零点。
- 取区间[1,2]的中点x_{1}=(1 + 2)/(2)=1.5。
- 计算f(1.5)=1.5^3-1.5 - 1 = 0.875。
- 因为f(1)f(1.5)<0，所以零点在区间[1,1.5]内。
- 再取区间[1,1.5]的中点x_{2}=(1+1.5)/(2)=1.25。
- 计算f(1.25)=1.25^3-1.25 - 1=-0.296875。
- 因为f(1.25)f(1.5)<0，所以零点在区间[1.25,1.5]内。
- 再取区间[1.25,1.5]的中点x_{3}=(1.25 + 1.5)/(2)=1.375。
- 计算f(1.375)=1.375^3-1.375 - 1 = 0.224609。
- 因为f(1.25)f(1.375)<0，所以零点在区间[1.25,1.375]内。
- 再取区间[1.25,1.375]的中点x_{4}=(1.25+1.375)/(2)=1.3125。
- 计算f(1.3125)=1.3125^3-1.3125 - 1=-0.051514。
- 因为f(1.3125)f(1.375)<0，所以零点在区间[1.3125,1.375]内。
- 此时区间[1.3125,1.375]的长度为1.375 - 1.3125 = 0.0625<0.1。
- 所以函数f(x)在区间[1,2]内的零点近似值为1.3。
二、例题21. 题目- 已知函数y = f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)<0，当用二分法求函数y = f(x)的零点时，第一次所取的区间是[a,b]，若f((a + b)/(2))=0，则函数y = f(x)的零点是（）- A.a B.b C.(a + b)/(2) D.以上都不对2. 解析- 二分法的基本思想是将区间不断地一分为二，根据函数值的正负来确定零点所在的子区间。
二分法求近似零点陈志斌PPT课件
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23
练一练
解：设函数f(x)= -x3-3x+5
f( 1 ) 1 0 ,f( 2 ) 9 0
f( 1 . 5 ) 1 . 5 3 3 1 . 5 5 3 . 3 4 7 . 5 5 5 2 . 8 于f是 (1 )f(1 有 .5 )0 由 ,1 .5 于 1 0 .5 0 .6 所以,原方程的近似解可取1。为
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875)
f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)
2 .5 3 9 0 6 2 5 2 .5 3 1 2 5 0 .0 7 8 1 2 5 0 .0 1
.
26
练一练
借助计算器或计算机，列出表格
区间
区间长度 中点的值 中点函数近似值
(1,2)
1
1.5
-2.875
(1,1.5)
0.5
1.25
-0.70
(1,1.25)
0.25
1.125
0.20
(1.125,1.25) 0.125
1.1875
-0.24
(1.125,1.1875) 0.0625
.
27
练一练
1 方程实根与对应函数零点之间的联系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
1
.
２ 函数零点所在区间的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０，那 么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即
存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也
用二分法求方程的近似解题型及解析
用二分法求方程的近似解题型及解析1.下列函数中能用二分法求零点的是（）分析：判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号时，才可以用二分法，函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，分析选项可得答案解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有C能满足此条件．故选C2.下列函数的零点能用二分法求解的是（）①y=log2x；②y=x0.5；③y=|log2x|；④y=2x﹣1．A．①②B．①③ C．①④ D．②③分析：根据二分法的定义，函数必须是连续函数，且函数在零点两侧的函数值异号，从而可得结论．解：①y=log2x的零点是1，图象穿过x轴，能用二分法求解；②y=x0.5零点是0，图象不穿过x轴，不能用二分法求解；③y=|log2x|零点是1，图象不穿过x轴，不能用二分法求解；④y=2x﹣1的零点是0，图象穿过x轴，能用二分法求解，故选C3.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（）A．①②B．①③ C．①④ D．③④分析：用二分法求函数零点的条件是：函数在零点左右两侧的函数值符号相反，穿过x轴，分析选项可得答案解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有②④能满足此条件，①③不满足题意，故选B4.下图是函数f（x）的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）在区间（）上的零点 A．[﹣2.1，1] B．[1.9，2.3] C．[4.1，5] D．[5，6.1]分析：利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，根据函数图象可得答案．解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，不能用二分法求出函数f（x）在区间为[1.9，2.3]．故选B5.以下区间中，一定存在函数f（x）=﹣x3+3x+5的零点的是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]分析：要判断函数f（x）=﹣x3+3x+5的零点的位置，我们可以根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．解：∵f（﹣1）=1﹣3+5=3，f（0）=5，f（1）=﹣1+3+5=7，f（2）=-8+6+5=3，f（3）=-27+9+5=-13，根据零点存在定理，∵f（2）•f（3）＜0，故[2，3]存在零点，故选D6.函数f（x）=x3+4x2﹣5x在区间[﹣1，1]上有个零点分析：根据三次函数的图象，结合函数零点的定义，即可得到结论．解：∵f（0）=0，f（1）=1+4﹣5=0，∴0和1是函数的两个零点，∵f（﹣1）=﹣1+4+5=8＞0，当x→﹣∞时，f （x）＜0，∴在（﹣∞，﹣1）内函数f（x）也存在一个零点，∵f（x）最多有三个零点，∴f（x）=x3+4x2﹣5x 在区间[﹣1，1]上有2个零点7.函数f（x）=x3﹣x2﹣x+1在[0，2]上有个零点分析：利用因式分解直接解方程即可得到结论．解：由f（x）=x3﹣x2﹣x+1=0，得x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）（x2﹣1）=（x﹣1）2（x+1）=0，解得x=1或x=﹣1，故在[0，2]上有两个相同的零点1，故答案为28.用二分法求函数f（x）=lgx+x﹣3的一个零点，根据参考数据，可得函数f（x）的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg2.5≈0.398，lg2.75≈0.439，lg2.5625≈0.409）A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56分析本题考查的是二分法求方程的近似解的问题．在解答时可以先根据函数的特点和所给的数据计算相关的函数值，再结合零点存在性定理即可获得解答．解：由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5﹣3=0.398﹣0.5＜0，f（2.5625）=lg2.5625+2.5625﹣3=0.409﹣0.4375＜0，f（2.75）=lg2.75+2.75﹣3=0.439﹣0.25＞0，又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．故选C9.已知函数f（x）=2x+2x﹣6，用二分法求方程2x+2x﹣6=0在x∈（1，3）内近似解的过程中，取区间中点x0=2，那么下一个有根区间为分析：根据f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＞0，及函数零点的判定方法即可求出下一个有根的区间解：∵f（1）=21+2×1﹣6=﹣2＜0，f（3）=23+2×3﹣6=8＞0，f（2）=22+2×2﹣6=2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴f（x）=0的下一个有根的区间为（1，2）10.函数f（x）在区间（2.5755，2.5769）上有一个零点，现研究这个零点的近似值；（1）如果耍精确到0.01，那么这个近似解为；（2）如果f（2.5755）＞0，f（2.5769）＜0，f（2.5762）＞0，并给定精确度0.001，那么这个近似解为分析：由f（2.5755）＞0，f（2.5769）＜0，f（2.5762）＞0，结合精确度，即可得出结论解：（1）函数f（x）在区间（2.5755，2.5769）上有一个零点，精确到0.01，那么这个近似解为2.58，（2）如果f（2.5755）＞0，f（2.5769）＜0，f（2.5762）＞0，所以f（x）在区间（（2.5762，2.5769）上有一个零点，并给定精确度0.001，那么这个近似解为2.576，故答案为：（1）2.58，（2）2.27611.方程2x﹣x3=0的一个近似解为 1.5 ．（精确到0.1）分析：利用二分法求方程的近似解的方法把区间一次次缩小，一直缩小到答案找出为止即可．解：由已知令f（x）=2x﹣x3，∵f（2）＜0，f（1）＞0，方程2x﹣x3=0的x∈（1，2），由二分法知计算f（1.5）＞0，方程2x﹣x3=0的x∈（1.5，2），由二分法知计算f（1.75）＜0，方程2x﹣x3=0的x∈（1.5，1.75），由二分法知计算f（1.625）＜0，方程2x﹣x3=0的x∈（1.5，1.625），由二分法知计算f（1.5625）＜0，方程2x﹣x3=0的x∈（1.5，1.5625），由二分法知计算f（1.53125）＜0，方程2x﹣x3=0的x∈（1.5，1.53125），故符合要求的选项只有1.512.求函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正的零点（精确度为0.1）分析：此题考查的是二分法求方程的近似解的问题．在解答的时候可以根据题目所给的信息逐一进行计算函数值，由表格找出正的零点区间，结合数据的特点即可获得问题的解答解：由于f（1）=-2＜0，f（2）=6＞0，可取区间（1，2）作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下由上表可知|1.4375﹣1.37 5|=0.0625＜0.1．所以函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2精确度为0.1的零点可取为1.375或1.437 5．即函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正的零点取近似值为1.413.求证：方程5x2﹣7x﹣1=0的根在一个在区间（﹣1，0）上，另一个在区间（1，2）上．分析：根据方程5x2﹣7x﹣1=0的根在一个在区间（﹣1，0）上，另一个在区间（1，2）上，转化为f（x）=5x2﹣7x﹣1的图象有x轴在（﹣1，0）上和（1，2）上各有一个交点，根据零点判定定理即可得到f（-1）＞0，f （0）＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，而此不等式组显然成立，故可证明结论正确证明：设f（x）=5x2﹣7x﹣1，∵f（-1）＞0，f（0）＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，即5+7-1＞0，-1＜0,5-7-1＜0,20-14-1＞0且y=f（x）的图象在（﹣1，0）和（1，2）上是连续不断的曲线，∴方程的根在（﹣1，0）上，另一个根在（1，2）上14.若关于x的方程x2+（k﹣2）x+2k﹣1=0的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，求实数k 的取值范围．分析：由条件利用二次函数的性质、函数零点的判定定理，求得实数k的取值范围解：设f（x）=x2+（k﹣2）x+2k﹣1，由题意可得，由此求得1／2＜k＜2／3，即k 的范围是（1／2，2／3）。
求函数零点的方法二分法
,
b0]
的中点，那么此中点对应的横坐标为
x0=(1+2)/2=1.
1 1 (3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令a2=x1,b2=b1.
xa 点时不变号，这样的零点叫做不变号零点 (ba) (ab).
2 2 变号零点：x1 , x2
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令 a2=x1,b2=b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an,bn] ，函数的零点总位 于区间[an,bn] 上，当an 和 bn 按照给定的精确度所取的近 似值相同时，这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点， 计算中止.这时函数y=f(x) 的近似零点满足给定的精确度.
例题分析
求函数f (x) = x3+x2-2x-2 的一个正实数零点〔精确到0.1〕
解： 由于f (1)=-2<0,f (2)=6>0可以确定区间[1,2]作为 计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值
定区间
a0=1, b0=2
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
0
f (x2)=-0. 计 算 f(x)与 f(a)， 并 判 断 ：
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
(1)如果 f (x0)=0 用二分法逐步计算，列表如下：
4375] 的左右端点保
，那么
x0就是f (x)
的零点，计算中止
留两位有效数字所取的近似值都是1.
函数的零点求法(二分法)经典练习及答案
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()
解析根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
∴f(1.1875)·f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.1875,1.25)．
∵|1.25－1.1875|＝0.0625＜0.1，
∴1.2可作为这个方程的实数解．
[能力提升]
7．(多选)若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题不正确的是()
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；
用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
答案BCD
4．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________.
∴x0∈(1,1.5)；
取x2＝1.25，∵f(1.25)≈0.128＞0，
∴f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)；
取x3＝1.125，∵f(1.125)≈－0.444＜0，
∴f(1.125)·f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.125,1.25)；
取x4＝1.1875，∵f(1.1875)≈－0.16＜0，
解析(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数．
二分练习题5二分法求函数的零点题解
⼆分练习题5⼆分法求函数的零点题解有函数：f(x)=x3+6.375×x2+3×x−26已知f(1.0)<0,f(2.0)>0 且⽅程f(x)=0 在区间 [1.0,2.0] 有且只有⼀个根，请⽤⼆分法求出该根。
输⼊格式⽆。
输出格式输出该⽅程在区间 [1.0,2.0] 中的根。
要求四舍五⼊到⼩数点后 3 位。
样例输⼊⽆。
样例输出不提供。
题⽬分析本题涉及算法：⼆分。
我们之前都使⽤的是整数的⼆分，⽽这道题⽬使⽤的是实数之间的⼆分，所以在细节处理中和整数的⼆分稍有区别，但是万变不离其宗，我们只需要知道了这道题⽬的⼆分思想，那么解决这道题⽬就会变的很轻松。
题⽬已经告诉我们f(1.0)<0,f(2,0)>0 ，⽽我们的函数图像是连续的，所以在区间 [1.0,2.0] 之间⼀定存在⼀个可⾏的解x0满⾜f(x0)=0 ，然后我们就可以⼆分了。
我们⼀开始令L=1.0 ，令R=2.0 （注意这⾥的L和R都是实数）。
然后我们循环到R−L<10−5在这种情况下我们能够保证循环结束时的L和R保留三位⼩数的结果是相同的。
然后我们每次取mid=(L+R)/2 ，会有两种情况：情况1：f(mid)>0 ，这种情况下说明答案在区间 [mid,R] 中，所以我们令L=mid；情况2：f(mid)≤0 ，其实在f(mid)=0 时我们是直接可以退出循环了，但是为了和情况1进⾏相同的处理，我们令R=mid。
这样循环处理，我们能保证循环结束时L和R的前 4 位⼩数相差不超过 10−5，那么这个时候选择L或者R并保留两位有效数组的结果就是我们的答案。
实现代码如下：#include <bits/stdc++.h>using namespace std;double f(double x) {return x*x*x + 6.375*x*x + 3.0*x - 26.0;}int main() {double L = 1.0, R = 2.0;while (R - L >= 1e-5) { // 1e-4是科学计数法，表⽰1乘10的-4次⽅double mid = (L + R) / 2.0;if (f(mid) > 0.0) R = mid;else L = mid;}printf("%.3lf\n", R); // 因为R-L<=1e-4，所以这个时候输出L和R都⼀样return 0;}Processing math: 100%。
计算函数零点的二分法
答案
应猜 400 与 800 的中间值 600.
问题 2:通过这种方法能猜到具体价格吗?
答案 能.
课前预学
课堂导学
如上所述,工人首先从线路的中点 C 查起,如果 CB 段正常,就选择 CA 的中点
D 测试;如果 DA 段正常,就选择 DC 的中点 E 继续测试……像检修线路所用的这
解.故选 A.
课前预学
方法总结
课堂导学
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据:其图象在零点附近是连
续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函
数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
课堂导学
课前预学
【巩固训练】
已知函数 f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解零点的个数
分别为(
D
A.4,4
解析
).
B.3,4
C.5,4
D.4,3
图象与 x 轴有 4 个交点,所以零点的个数为 4;左、右函数值异号的零点
有 3 个,所以可以用二分法求解零点的个数为 3,故选 D.
课前预学
课堂导学
任务 2: 用二分法求函数零点的近似值
我们已经知道 f(x)=ln x+2x-6 的零点在区间(2,3)内.
2
交点的横坐标在区间(0,1)内,另一个交点的横坐标大于 4.
故函数 f(x)=log 1 x+x-4 有两个零点.
2
课堂导学
课前预学
因为 f(6)=log1 6+6-4=log 1 6+2<log 1 4+2=0,
2
2
4.4.2计算函数零点的二分法 课件(共32张PPT)——高中数学湘教版(2019)必修第一册
间为( C)
A. 2.5,3
B.2.25, 2.5
C.2, 2.25
D.不能确定
解析：显然函数 f x x ln x 2x 6在 x 2,3 上是连续不断的曲线，
由于 f (2) 0 ， f (2.25) 0 ，所以 f 2 f 2.25 0 ， 由零点存在性定理可得： f x x ln x 2x 6的零点所在区间为2, 2.25 ， 所以方程 x ln x 2x 6 0 在区间2, 2.25 内一定有根.
2
由于 f 0.625 f 0.75 0 ，可知零点在 0.625,0.75 上.
为了表述清楚，记零点所在区间为 a,b ，其中点 m
1a 2
b . 继续计算列出表
格：
从表中计算数据看出，计算到 10 次，包含零点的区间长度小于 0.002 . 取此区 间中点与零点的距离不超过区间长度的一半，即 0.001 . 于是可取 0.653 作为零点的 近似值，也即方程 x3 3x2 1 0 的一个近似解.
f
1
1
0
，
f
3 2
ln
3 2
0
，即
f
1
f
3 2
0
，
因此，函数
f
x
ln
x
2x
3 的零点所在的一个区间是 1,
3 2
.
故选：C.
4.设函数 f x x ln x 2x 6，用二分法求方程 x ln x 2x 6 0 在 x 2,3 内的近似
解的过程中，计算得 f (2) 0 ， f (2.5) 0 ， f (2.25) 0 ，则下列必有方程的根的区
由 f 1 1 0和 f 2 ln 2 0 可知， f x 在区间 1, 2 内有一个零点；由 f x 单调递增可知，它只有这一个零点. 用二分法计算，列表如下:
函数的零点(二分法)
计算函数零点的二分法一. 求黄金数与查找线路故障许多人都知道黄金分割和黄金数0.618，但对怎么得到的这个黄金数并不十分清楚，至于谈到黄金数与查找线路故障的关系更觉得莫名其妙。
下面我们就来探讨这个问题. 其实所谓黄金分割是指线段上一点把这条线段分成这样两部分，使其中一部分是另外一部分和整条线段的比例中项。
在下图中，点C 为线段AB 的黄金分割点,即有ACCB ABAC =.设线段AB=1,AC=x,CB=1-x,则有x x -=12,012=-+x x .换句话说我们要求的黄金数就是方程012=-+x x 的解,就是函数1)(2-+=x x x f 的零点.通过计算知1)0(-=f ,1)1(=f ,可见函数1)(2-+=x x x f 图象上的点))0(,0(f 在x 轴下方,点))1(,1(f 在x 轴上方,因此函数1)(2-+=x x x f 图象在0和1之间穿过x 轴.1)(2-+=x x x f 的零点是0与1之间的一个数.对于这样的答案我们显然不满意,太粗糙了!能否提高一些精确度?这就需要缩小搜索区间.借助计算机我们可以计算)1.0(f ,)2.0(f ,)3.0(f 等等的值,看什么时候函数值由负值变为正值,这样就可以缩小搜索区间提高函数零点的精度了.这样我们可以确定函数的零点在0.6和0.7之间,但是说黄金数是0.6或0.7还是显得粗糙,这就需要继续缩小搜索区间,提高函数零点的精确度.怎么办?依次计算)61.0(f ,)62.0(f ,⋯⋯,吗?我们相信如此继续下去总可以继续提高函数零点的精确度.但这样搜素下去工作量很大,能否减少搜索的工作量呢?现在换个话题:如何查找线路故障? “ 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。
这是一条10km 长的线路，在这条线路上大约有200多根电线干。
想一想：维修工人怎样查找最合理？象我们上面搜素函数的零点那样从水库闸房出发逐段地查找吗？维修工人不是这样工作的，他首先从线路的中点C 查起，如果CB 段正常，就选择CA 的中点D 测试，如果DA 段正常，就选择DC 的中点E 继续测试,⋯⋯。
求函数零点近似解的一种计算方法二分法(共21张PPT)
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障，在这条10 km长的线路
上，如何迅速查出故障所在？
：能够借助用二分法求给定方程的变号 零点的近似值；(重点） ：体验求方程近似解的二分法的探究 过程，感受方程与函数之间的联系；（难点） ：通过新旧知识的认识冲突，激发学生 的求知欲,通过合作学习，培养学生团结协作的品质.
则f(a)f(b)<0;方程在区间（a,b)内有偶数个解，
中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点 由上表计算可知,区间[12 55作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中 点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点．当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点．
【变式训练】
判断函数y＝x3－x－1在区间[]内有无零点，如果有，求 出一个近似零点(精确到0.1)． 分析：由题目可获取以下主要信息： ①判断函数在区间[]内有无零点，可用根的
存在性定理判断；
②精确到0.1.解答本题应判断出在[]内有
零点后可用二分法求解．
解：因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数 y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[]内有
在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间
近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取 Ａ．［－２，１］ Ｂ．［２．５，４］
用二分法求函数零点的步骤
<=>函数的图象与x轴有交点
<=>函数有零点
3. 函数零点存在的条件：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 像是_连__续_不__断__的一条曲线，并且 __f(_a_)·_f_(b_)_<_，那么函数y=f(x)在区 间0[a,b]内_有__零__点___，即存在 _c_∈__(a_,_b_) ，使得_f_(c_)_=_0__，则_c_就 是方程f(x)=0的__根__。
• 取区间(1,2)中点x1=1.5,计算 f(1.5) ≈0.33
• 由f(1)·f(1.5)<0,零点x0在区间(1,1.5)内 • 再取区间(1,1.5)中点x2=1.25,计算
f(1.25) ≈-0.87
• 由f(1.25)·f(1.5)<0
• 函数零点x0在区间(1.25,1.5)内
• 重复以上步骤，可列出表格 • 由表格可见 • |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 • 所以原方程的近似解是1.4375
重复以上步骤，得到如下表格：
区间
端点
中点 中点的函数值 区间距离
2
3
2.5 -0.083709268
1
2.5
3
2.75
0.511600912
0.5Βιβλιοθήκη 2.52.752.625 0.215080896 0.25
2.5
2.625
2.5625 0.065983344 0.125
2.5
2.5625 2.53125 -0.008786748 0.0625
练习2
• 用二分法求函数f(x)=x3-2在区间 (1,2)内的零点(=0.1)。
高中必修1二分法求函数的零点
2020/1/19
5
思考4 ：已知函数 f (x) 2ax2 x 1在区间[0，1]内有且只有
一个零点，求实数a的取值范围.
2020/1/19
6
3.1.2 用二分法求方程的近似解
2020/1/19
7
知识探究（一）:二分法的概念
思考1:有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相 等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个
例1 用二分法求方程 2x 3x 7 的近似解（精确到 0.1）.
2020/似值的基本步骤：
1．确定区间[a,b]，使f(a)·f(b)<0 ，给定精度ε； 2. 求区间(a,b)的中点c；
3. 计算f(c)： （1）若f(c)=0，则c就是函数的零点； （2）若f(a)·f(c)<0 ，则令b=c，此时零点 （3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点
确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
y 32x
求区间的中点c，并计算f(c)的值
2020/1/19
11
思考3:若f(c)=0说明什么？ 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ， 则分别说明什么？
若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)；
思考3:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二 分法的基本思想是什么？
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使
区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法.
2020/1/19
计算函数零点的二分法(2知识点+4题型+强化训练)(学生版) 24-25学年高一数学上学期必修第一册
4.4.2 计算函数零点的二分法课程标准学习目标（1）结合具体连续函数及其图象的特点, 了解函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图, 能借助计算工具用二分法求方程近似解, 了解用二分法求方程近似解具有一般性。
（1）理解二分法的概念;（2）会用二分法求方程近似解.（难点)知识点01 二分法的概念对于在区间[a , b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y =f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.解释 求f (x )=x 2―x ―2，g (x )=2x ―1的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数f (x )=x 3+x 2―1或g (x )=e x +x ―2的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础.【即学即练1】下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．y =2xB ．y =(x ―2)2C ．y =x +1x ―3D ．y =ln x知识点02 用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a , b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a , b)的中点c;(3)计算f(c)，(i)若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；(ii)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a , c))(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c , b))(4)判断是否达到精确度ε：即若|a―b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复(2)~(4)解释（1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间[a , b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0；（2）所选的区间[a , b]的范围尽量小，且f(a),f(b)比较容易求;(3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算.【即学即练2】用二分法求函数f(x)=5x+7x―2的一个零点的近似值，其参考数据如下：x0.06250.093750.1250.156250.1875f(x)-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根据上述数据，可得f(x)=5x+7x―2的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（）A．0.09375B．0.109375C．0.125D．0.078125【题型一：用二分法求近似解的条件】例1．下列方程中不能用二分法求近似解的为（）A．ln x+x=0B．e x―3x=0C．x3―3x+1=0D．4x2―+5=0变式1-1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）A．B．C．D．变式1-2．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）A．f(x)=2x B．f(x)=x2+2C．f(x)=x+1―3D．f(x)=ln x+3x【方法技巧与总结】1 对于在区间[a , b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2 不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号.【题型二：用二分法求近似解的过程】例2．用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x―1,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A．5B．6C．7D．8变式2-1．用“二分法”求方程x3―2x―5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是（）A．[2,2.5]B．[2.5,3]C．[2,2.25]D．[2.75,3]变式2-2．用二分法求方程x+lg x―3=0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（）A．[1,2]B．[2,3]C．[3,4]D．[4,5]变式2-3．若f(x)=x3+x2―2x―2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：f(1)=―2f(1.5)=0.625f(1.25)=―0.984f(1.375)=―0.260f(1.438)=0.165f(1.4065)=―0.052那么方程x3+x2―2x―2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5变式2-4．用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2―3x，并用计算器得到下表：x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.07940.1918-0.3604-0.9989则由表中的数据，可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解（误差不超过0.05）为（）A．1.125B．1.3125C．1.4375D．1.46875变式2-5．在使用二分法计算函数f(x)=2x―2+x―2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（）次区间中点的函数值．A．2B．3C．4D．5【方法技巧与总结】1 用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a , b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a , b)的中点c;(3)计算f(c)，(i)若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；(ii)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a , c))(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c , b))【题型三：用二分法求方程的近似解】例3．求曲线y=ln x和直线x+y=2的交点的横坐标（误差不超过0.01）．变式3-1．判断方程x3―x―1=0在区间[1,1.5]内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）―3．变式3-2．已知函数f(x)=x+1x(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解（精确度为0.1）．变式3-3．利用计算器，求方程lg x=3―x的近似解（精确到0.1）.变式3-4．已知函数f(x)=2x2―8x+m+3为R上的连续函数．(1)若函数f(x)在区间[―1,1]上存在零点，求实数m的取值范围．(2)若m=―4，判断f(x)在(―1,1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．【方法技巧与总结】，并确定f(x3)符号，若f(x1)f(x3)<0在(x1,x3 1 二分法求零点区间：(x1,x2)中f(x1)f(x2)<0取x3=x1+x22)继续上一步骤；若f(x3)f(x2)<0在(x3,x2)继续上一步骤，直到得到合适区间;2 所选的区间[a , b]的范围尽量小，且f(a),f(b)比较容易求;3 利用二分法时，满足精确度便可停止计算.【题型四：二分法思想的其他应用】例4．在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路有一处发生了故障.这是一条10km长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?(2)要把故障可能发生的范围缩小到50m―100m,最多要查多少次?变式4-1．在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称次就可以发现假币.变式4-2．一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（）A．4次B．6次C．7次D．50次变式4-3．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？变式4-4．0.1，参考数据：1.3753≈2.5996，1.43753≈2.9705）．一、单选题1．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（）A．用二分法求方程的近似解一定可以得到f(x)=0在[a,b]内的所有根B．用二分法求方程的近似解有可能得到f(x)=0在[a,b]内的重根C．用二分法求方程的近似解有可能得出f(x)=0在[a,b]内没有根D．用二分法求方程的近似解有可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A．logx+x=0B．e x+x=0C．x2―2x+1=0D ln x=03.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是（）A．[―2,1]B．[―1,0]C．[0,1]D．[1,2]4.用二分法求方程x3―2x―5=0在区间[2,3]内的实根，下一个有根区间是（）A．[2,2.5]B．[2.5,3]C．[2,2.25]D．[2.75,3]5.利用二分法求方程log3x=3―x的近似解，可以取的一个区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)6.已知函数y=f(x)为[0,1]上的连续函数，且f(0)⋅f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A．2B．3C．4D．57.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（）A．0.68B．0.72C．0.7D．0.68.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）A．4次B．6次C．8次D．30次二、多选题9．在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为[―2,4]，则第二次所取区间可能是（）A．[―2,―1]B．[―2,1]C．[2,4]D．[1,4]10.某同学用二分法求函数f(x)=2x+3x―7的零点时，计算出如下结果：f(1.5)=0.33，f(1.25)=―0.87，f(1.375)=―0.26，f(1.4375)=0.02，f(1.4065)=―0.13，f(1.422)=―0.05，下列说法正确的有（）A．精确到0.1的近似值为1.375B．精确到0.01的近似值为1.4065C．精确到0.1的近似值为1.4375D．精确到0.1的近似值为1.2511.教材中用二分法求方程2x+3x―7=0的近似解时，设函数f(x)=2x+3x―7来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5f(x)―0.87―0.26ℎ―0.050.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A．ℎ>0B．方程2x+3x―7=0有实数解C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375三、填空题12．某同学在借助计算器求“方程lg x=2―x的近似解（精确度为0.1）”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8．那么他在取的x的4个值依次是．13.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，即可得出方程的一个近似解为（精确度为0.2）.14.已知函数f(x)=3x2―1在区间(0,1)上有唯一零点x0，如果用“二分法”求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值，那么将区间(0,1)等分的次数至少是.此时规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a―b|<ε，则可用a+b作为零点的近似值，由此求得x0=.2四、解答题15．若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，求实数a的值.16.已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.（1）证明f(x)有且只有一个零点；.（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于1417.用二分法求方程0.9x―2x=0的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）2118．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？(1)当a=12时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当a=26时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？19.阅读材料求方程x2―2=0的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：第一步：令f(x)=x2―2．因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2．第二步：令m=x1+x2，判断f(m)是否为0．若是，则m为所求；2若否，则继续判断f(x1)⋅f(m)大于0还是小于0．第三步：若f(x1)⋅f(m)>0，则x1=m；否则，令x2=m．第四步：判断|x1―x2|<0.005是否成立？若是，则x1,x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑x2―2=0的一种等价形式，∴x+x=x∴x=变形如下：x=2x这就可以形成一个迭代算法：给定x0根据x k+1k+k=0，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值(1)4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；0.001）．(2)。
函数的零点与解析问题及例题分析
函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。
求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。
下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。
例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。
解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。
2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。
3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。
4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。
2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。
解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。
解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。
以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。
- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。
解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。
3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。
解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。
即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。
因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。
以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。
希望对您有所帮助！。
二分法求函数-零点
二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；(2)求区间，的中点；(3)计算：1若=，则就是函数的零点；2若·＜0，则令=（此时零点）；3若·＜0，则令=（此时零点）；(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．结论:由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？一、能用二分法求零点的条件例1下列函数中能用二分法求零点的是()判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()二、求函数的零点例2判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解．解因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5) 1.25－0.3(1.25,1.5) 1.3750.22(1.25,1.375) 1.3125－0.05(1.3125,1.375) 1.343750.08由于|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．变式迁移2求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．解由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2) 1.5－2.625(1.5,2) 1.750.2344(1.5,1.75) 1.625－1.3027(1.625,1.75) 1.6875－0.5618(1.6875,1.75) 1.71875－0.1707由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．三、二分法的综合运用例3证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①证明方程在[1,2]内有唯一实数解；②求出方程的解．解答本题可借助函数f (x )＝2x ＋3x －6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解．证明设函数f (x )＝2x ＋3x －6，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又∵f (x )是增函数，所以函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x 0，则x 0∈[1,2]，取x 1＝1.5，f (1.5)＝1.33>0，f (1)·f (1.5)<0，∴x 0∈(1,1.5)，取x 2＝1.25，f (1.25)＝0.128>0，f (1)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1,1.25)，取x 3＝1.125，f (1.125)＝－0.445<0，f (1.125)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.125,1.25)，取x 4＝1.1875，f (1.1875)＝－0.16<0，f (1.1875)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴1.1875可以作为这个方程的实数解．点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．变式迁移3求32的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．解设x ＝32，则x 3－2＝0.令f (x )＝x 3－2，则函数f (x )的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1,2] 1.5 1.375[1,1.5] 1.25－0.0469[1.25,1.5] 1.3750.5996[1.25,1.375] 1.31250.2610[1.25,1.3125] 1.281250.1033[1.25,1.28125]1.2656250.0273[1.25,1.265625] 1.2578125－0.01[1.2578125,1.265625]1.261718750.0086由于|1.265625－1.2578125|＝0.00781<0.01，所以函数f (x )零点的近似值是1.26，即32的近似值是1.26.四、总结1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n 次后，精确度为12n .3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a ，b )后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a －b |<ε为止．练习1．下列函数中不能用二分法求零点的是()A ．f (x )＝2x ＋3B ．f (x )＝ln x ＋2x －6C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x －12．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间()A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定3．函数f (x )＝x 2－5的正零点的近似值(精确到0.1)是()A ．2.0B ．2.1C ．2.2D ．2.34．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)6．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．7．用二分法求方程x 2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N )上，当|a n －b n |<m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n2与真实零点a 的误差最大不超过______．答案m 2。
《用二分法求函数的零点》 讲义
《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。
简单来说，如果存在一个实数 x₀，使得函数 f(x) 在 x ＝ x₀处的函数值f(x₀) ＝ 0，那么 x₀就是函数 f(x) 的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0，解得 x＝ 1，所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
二、为什么要研究函数的零点研究函数的零点具有重要的意义。
首先，它有助于我们理解函数的性质和图像。
通过确定零点的位置，我们可以更好地描绘函数的变化趋势。
其次，在实际问题中，很多情况下需要找到函数的零点来解决问题。
比如在物理学中，求解物体运动的特定时刻位置为零的点；在经济学中，找到成本和收益相等的点（即零点）来确定最优策略等。
三、二分法的概念二分法是一种用于求函数零点近似值的方法。
其基本思想是：如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a)×f(b) ＜ 0），那么在区间 a, b 内至少存在一个零点。
然后，我们可以将区间 a, b 一分为二，得到中点 c ＝（a ＋ b) ／ 2 。
计算 f(c) 的值，如果 f(c) ＝ 0，那么 c 就是函数的零点；如果 f(c) 与f(a) 异号，那么零点就在区间 a, c 内；如果 f(c) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 c, b 内。
重复以上步骤，不断缩小包含零点的区间，直到达到我们所需要的精度。
四、二分法的具体步骤以下是使用二分法求函数零点的具体步骤：1、确定初始区间 a, b ：使得函数 f(x) 在这个区间上连续，且f(a)×f(b) ＜ 0 。
2、计算中点 c ： c ＝（a ＋ b) ／ 2 。
3、计算函数在中点处的值 f(c) 。
4、判断 f(c) 的符号：如果 f(c) ＝ 0 ，则 c 就是函数的零点，结束计算。
二分法求函数零点教案(最新整理)
２、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤：
（１）确定区间[a, b], 验证： f (a) · f (b) < 0，确定精确度
（２）求区间(a , b)的中点 x1
（３）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) =0, 则就 x1 是函数的零点 若 f (a) · f (x1 ) <０，则令 b = x1 （此时零点 x0∈(a, x1 )） 若 f (x1 ) · f (b) <０，则令 a = x1 （此时零点 x0∈( x1 , b)）
( )1
个零点．方法二：作出 y＝ x 与 y＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选 B. 2
5、方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)
D．(3,4)
【解析】 令 f(x)＝2x－1＋x－5，则 f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从
解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例 2、
1
利用二分法求方程
3
x 的一个近似解（精确到 0.1）。
x
解：设 f x 1 x 3 ，则求方程 1 3 x 的一个近似解，即求函数 f x 的一个近似零
x
x
点。∵ f 2 1 0 ， f 3 1 0 ，∴取区间 2,3作为计算的初始区间。
f 2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
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何为二分法就是不断的取中间数。
一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
假定f(x)在区间（x，y）上连续
先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],
现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b
①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，
如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2>=a，从①开始继续使用
中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，从①开始继续使用
中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
另外，二分法不能计算复根和重根。
所以要求函数必须是连续函数，D明显不可以。