2005年江苏省普通高校专转本数学真题

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
注意事项：
1、考生务必将密封线内的各项填写清楚；
2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效；
3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）
1、0=x 是x
x x f 1sin )(=的 A 、可去间断点
B 、跳跃间断点
C 、第二类间断点
D 、连续点
2、若2=x 是函数)21
ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=a A 、1- B 、21 C 、2
1-
D 、1
3、若
⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin
A 、C x F +)(sin
B 、
C x F +-)(sin C 、C F +(cos)
D 、C x F +-)(cos
4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则：=+⎰⎰dxdy y x xy D
)sin cos (
A 、⎰⎰1
)sin (cos 2
D dxdy y x
B 、⎰⎰1
2
D xydxdy
C 、⎰⎰+1
)sin cos (4
D dxdy y x xy
D 、0
5、设y
x
y x u arctan
),(=，22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是 A 、
y
v x u ∂∂=∂∂ B 、
x
v
x u ∂∂=
∂∂ C 、x v y u ∂∂=∂∂ D 、y v y u ∂∂=∂∂ 6、正项级数(1)
∑∞
=1
n n u 、(2)
∑∞
=1
3
n n u ，则下列说法正确的是
A 、若（1）发散、则（2）必发散
B 、若（2）收敛、则（1）必收敛
C 、若（1）发散、则（2）不定
D 、若（1）、（2）敛散性相同
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、=----→x x x
e e x x x sin 2lim
； 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 9、
=++⎰
-1
1
2
11
x
x π ；
10、设向量{}1,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ； 11、交换二次积分的次序=⎰
⎰-+-dy y x f dx x x 2
11
1
),( ；
12、幂级数
∑∞
=-1
)12(n n
x
n 的收敛区间为 ；
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、设函数⎪⎩
⎪⎨⎧+=a x
x x f x F sin 2)()( 00
=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('
=f ，求a . 14、设函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧-==t
t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy 、2
2dx y
d . 15、计算⎰
xdx x sec tan 3.
16、计算
⎰1
arctan xdx
17、已知函数),(sin 2
y x f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z
∂∂、y
x z ∂∂∂2
18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线1
2354:
z
y x L =+=-的平面方程. 19、把函数2
2
2)(x
x x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间. 20、求微分方程0'=-+x
e y xy 满足e y x ==1的特解.
四、证明题（本题8分）
21、证明方程：0133
=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.
五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）
22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6'
'，求)(x f .
23、已知曲边三角形由x y 22
=、0=x 、1=y 所围成，求： （1）、曲边三角形的面积；
（2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.
24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F u
y
u
⎰
⎰=)()(1
，)1(>u
（1）、交换)(u F 的积分次序； （2）、求)2('
F .
2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学参考答案
1、A
2、C
3、D
4、B
5、A
6、C
7、2
8、1-e
9、2
π
10、5
11、
dx y x f dy y y ⎰
⎰---1
11
2
),(
12、)1,1(-
13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以
)0()(lim 0
F x F x =→，
8262)0(2)
0()(sin 2)()('0
lim lim
lim =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x ，
a F =)0(，故8=a .
14、t t t t t t dt
dx dt dy
dx dy -=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d t
t csc sin 1)('''22=--==. 15、原式
C x x x x xd x d x xdx x x +-=-=-==⎰⎰⎰sec sec 3
1
sec sec sec sec )1(sec sec tan tan 3222.
16、原式⎰⎰++-=+-=102
21
021
1)
1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(21
4x +-=
π
2ln 2
1
4-=π 17、'
1cos f x x
z ⋅=∂∂，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x y x z =⋅=∂∂∂ 18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-=
{}22,9,82
4112
5
--=-=⨯=k
j i l π
平面点法式方程为：
0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .
19、x x x x x x x x f -⋅++⋅=-++=1132
116)1121(3)(222
n
n n n x x ∑∞
=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=01212)1(3
，收敛域为11<<-x .
20、x
e y x y x
=⋅+1'
，通解为
x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-
11
因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为x
e y x
=.
21、证明：令13)(3
+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(<⋅-f f ，
由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上至少有一实根. （致远为学cn dinyuan www ..提醒：本题亦可用反证法证明）
22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('
-=f ，0)2('
'=f .
由a x y +=6''，0)2(''=y 得12-=a ，即126'
'-=x y .
因为126'
'-=x y ，故12
'
123C x x y +-=，由3)2('
-=y ，解得91=C . 故22
3
96C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：2962
3
++-=x x x y . 23、（1）6
16
1211
3
1
02=
==⎰y dy y S （2）4
021
)()21(2
210
2
π
ππ
=-=-=⎰
x x dx x V x
24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤ （1）⎰⎰
⎰⎰⎰-===
u
x
u D
dx x f x dy x f dx d x f u F 1
1
1
)()1()()()(σ；
（2）)()1()('
u f u u F -=，1)2()2()12()2('
==-=f f F .。