高中北师大版数学必修2：第1章5.2 平行关系的性质

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高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT

由此易知三者之间可以任意转化．另一种转化就是空间问题平面化，辅助面在转化空间问题为平面问题中有着重要作用．
3．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线．
∵M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点，
∴MK∥AD，NK∥DD1. 又∵MK 平面 ADD1A1，NK AD，DD1 平面 ADD1A1，
平面 ADD1A1，
∴MK∥平面 ADD1A1，NK∥平面 ADD1A1，又 MK∩NK＝K，∴平面 MNK∥平面 ADD1A1. 又 MN 平面 MNK，MN 平面 ADD1A1， ∴MN∥平面 ADD1A1.
规律方法以符号语言为载体考查位置关系问题的判断题，是高考选择题考查立体几何的主要形式，要熟悉相关定理是前提，全面分析问题是关键，合理应用模型及排除法是常用方法．
【变式 1】两个相交平面分别过两条平行直线中的一条，则它们的交线和这两条平行直线是什么位置关系？试说明理由．解平行．如右图，已知 a α，b β，a∥b，α∩β＝l. 因为 a α，b⃘α，且 a∥b，所以 b∥α.
【解题流程】 α∥β → AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′
→ 线段成比例 → S△A′B′C′ [规范解答] 相交直线 AA′、BB′所在平面和两平行平面 α、β 分别相交于 AB、A′B′，由面面平行的性质定理可得，AB∥A′B′.(2 分) 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面 α、β 分别相交于 BC、B′C′，从而 BC∥B′C′. 同理易证 AC∥A′C′.(4 分)

北师大版高中数学必修2课件：1.5.2 平行关系的性质(2)PPT课件

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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
γ
a
b
α
β
例题讲解
例1、求证: 夹在两个平行平面间的
平行线段相等.
如图 ,//,A B//C D , A
D
且A,C,
B ,D .
求证： A B C D B
C
例题讲解
证明：因为 AB//CD ，
所以过 A B ， C D 可作平面，
且平面与平面和分别相交于 A C 和 B D .
(A) 0 (B) 1 (√C) 0或1 (D) 1或2
2. 平面M∥平面N,直线a M,直线b N,
下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交
其中可能出现的情形有 ( )
(A)1种 (B) 2种 (√C)3种 (D)4种
例题讲解
例2、如图,设AB、CD为夹在两个平行平面、
在 B C A 中， N M //A C ， N M //平面
平面 //平面
NM/
平面 P N M //平面直线 M P//平面 .
课堂小结
1. 复习了平面与平面平行的概念及判定;
2. 学习并掌握平面与平面平行的性质.
1.5.2 平行关系（2）
问题引入 1、什么叫两平面平行？
2、两平面平行的判定定理？如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 3、推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.

北师版高中数学教材目录

北师大版高中教材目录第一章集合§1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念2.2 函数的表示法 2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像 4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充 2.2 指数运算的性质§3 指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数x y 2= 和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算 4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数x y 2log =的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判断方程解的存在 1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题 2.3 函数建模案例第一章立体几何初步 §1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体§2 直观图 §3 三视图3.1 简单组合体的三视图 3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平行关系的判定 5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定 6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率 1.2 直线的方程 1.3 两条直线的位置关系 1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分别5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2 变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3模拟方法——概率的应用第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 余弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3 正弦函数的性质§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像6.2 余弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像和性质7.3 正切函数的诱导公式§8 函数)sin(ϕ+ω=xAy的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表述4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大小值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式组与平面区域 4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理3.3 空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角5.3 直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点第一章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 综合法与分析法2.1 综合法2.2 分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.3 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用2.2 最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法第一章计数原理§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分类乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 独立性检验2.2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用 2.2 最大值、最小值问题第一章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3 独立性检验的基本思想2.4 独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法3.1 综合法3.2 分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法。

2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.5.2平行关系的性质

【做一做】如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是 .
答案:平行
2.平面与平面平行的性质定理
题型一
题型二
题型三
题型一
线面平行性质的应用
【例1】已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β. 求证:a∥l. 分析:先利用线面平行的性质将线面平行转化为线线平行,再利用平行公理证明. 证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b. ∵a∥α,∴a∥b. 过a作平面δ交平面β于c. ∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c. 又b⊈β,c⫋β,∴b∥β. 又b⫋α,α∩β=l,∴b∥l,∴a∥l.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】例2中若点P在α与β之间,在第(2)问的条件下,求 PD的长.
解:仿照例 2 易证得 AC∥BD, ∴ �� = �� , �� + �� + �� 即 = . �� 5 �� +3 3 ∴ = , 解得PD= .
1
2
3
4
5
2.如图所示是长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .
答案:平行四边形
1
2
3
4
5
3.如图所示,直线a∥平面α,点A和直线a分别在α的两侧,点B,C,D∈a. 线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则 EG= .
(1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β, 可使用面面平行的性质定理推出线线平行的关系,这样就转化为平面问题.

数学ⅱ北师大版1.5.2平行关系的性质练习

数学ⅱ北师大版1.5.2平行关系的性质练习第一章第六节平面与平面平行的性质定理课堂练习A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行C.平行于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交〔2〕,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，那么m ∥n ②m α⊂，m ∥β，那么α∥β③n αβ=，m ∥n ，那么m ∥α且m ∥β上面结论正确的有〔〕.A.0个B.1个C.2个D.3个〔3〕3个平面把空间分成6个部分，那么〔〕.A.三平面共线B.三平面两两相交C.有两平面平行且都与第三平面相交D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交〔4〕直线与两个平行平面中的一个平行，那么它与另一平面_______________. 〔5〕如下图，四边形ABCD 与ABEF 是两个全等的正方形，M N ，分别是AC 、BF 上的点，且AM FN =，求证：MN ∥平面BCE 、课后作业〔1〕AB 和CD 是夹在平行平面,αβ间的两条异面线段，,E F 分别是它们的中点，那么EF 和α〔〕.A.平行B.相交C.垂直D.不能确定〔2〕以下说法正确的选项是〔〕.A.假如两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条能够作许多个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.假如两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行〔3〕α∥β，,,a B αβ⊂∈那么在β内过点B 的所有直线中〔〕.A 、不一定存在与a 平行的直线B 、只有两条与a 平行的直线C 、存在许多条与a 平行的直线D 、存在唯一一条与a 平行的直线〔4〕平面//α平面β，P 是,αβ外一点，过点P 的直线m 与,αβ分别交于点,A C ，过点P 的直线n 与,αβ分别交于点,B D ，且6PA =，9AC =，8PD =，那么BD 的长为〔〕.A.16B.24或245C.14D.20〔创新题〕〔5〕如图，平面四边形ABCD 的四个顶点A B C D ，，，均在平行四边形A B C D ''''所确定的平面α外，且AA BB CC DD ''''，，，互相平行、求证：四边形ABCD 是平行四边形、参考答案课堂练习〔1〕选D ；提示：平行于同一个平面的两条直线平行、相交或者异面。

1.5.2 平行关系的性质课件(北师大必修2)

PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，

2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §5 5.2 平行关系的性质课件PPT

又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B.]
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2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，
G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，
EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
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A [∵EH∥FG，EH 平面BCD，FG 平面BCD， ∴EH∥平面BCD，∵EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.]
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[解] 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH 平面BCC1B1，B1C1 平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1. 又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1. 又FG 平面ADD1A1，A1D1 平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.
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面面平行性质的应用【例2】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点 (不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B 和C，D.
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(1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． [思路探究] 由PB与PD相交于点P，可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．
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2．面面平行的性质定理文字语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
图形语言
α∥β，
γ∩α＝a

，⇒a∥b
γ∩β＝b

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思考2：若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，直线a与平面β 有怎样的位置关系？直线a与直线b有怎样的位置关系？

北师大版高中数学必修二1.5.2 平行关系的性质

证明：连接CD, A, B, C, D在同一平面内,
设该平面为β. 则α∩β=CD.
A

B
AB
AB//CD
AC//BD

AB//平面α

C
D
四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
二、两个平面平行的性质 1.问题提出: 两个平面平行，它具有什么性质？

a

a

b
b
// a a // b b
A1 P
C1
（ 2）
EF 面AC EF // 面AC. BC 面AC EF // BC
E D
B1 C B
A
BE、CF显然都和面AC相交.
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α， AC//BD, 且AC, BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
线面平行则线线平行
3.应用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开, 应怎样画线？（2）所画的线和面AC是什么位置关系？（1）在面A1C内,过点P画直线EF, D1 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1 F 于点E、F, 连结BE、CF.
平面ACF∩β=BG 平面ACF∩γ=CF //

A
AD // GE DE
EF AG GF
BG // CF
AB DE .
BC EF
AG AB GF BC

B
G
E
F
C
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？为什么？ 2.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题是否正确：（1）若m//α, n//α, 则m//n;

北师大版高中数学必修2平行关系的性质

【规律总结】证明线面平行的三种方法：(1)利用定义，证明线面无公共点，一般利用反证法来证明；(2)利用直线与平面平行的判定定理；(3)利用平面与平面平行的性质．
如图，在四棱柱 ABCD
－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E， E1 分别是棱 AD，AA1 的中点．设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1∥平面 FCC1.
如图，E，H 分别是三棱锥 A－BCD 的棱 AB，AD 的中点，平面 α 过 EH 分别交 BC，CD 于点 F，G.求证：EH∥ FG.
证明：∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， ∴EH∥BD. 又∵EH 平面 BCD，BD 平面 BCD， ∴EH∥平面 BCD. 又∵EH 平面 α，平面 α∩平面 BCD＝FG， ∴EH∥FG.
平面 ABC∩平面 α＝EH，所以 AB∥EH，因为 AB∥平面 α，AB 平面 ABD，
平面 ABD∩平面 α＝FG，所以 AB∥FG，所以 EH∥FG，同理由 CD∥平面 α 可证 EF∥GH，所以四边形 EFGH 是平行四边形．
【规律总结】 (1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．(2)线面平行的判定与性质定理经常交替使用：通过线线平行得到线面平行，通过线面平行推出另一组线线平行．
3．两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面 α，β，给出下列
命题：①
nm∥αα⇒m∥n；②
m n
α ⇒m，n 不共面；③
β
n∥β m∥α
⇒m∥n，其中，错误的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：①中的 m 与 n 可能平行，也可能异面；②中可能 m∥ n，即 m 与 n 共面；③中不知平面 α 与平面 β 的位置关系，因而不能判定 m 与 n 的关系，故①②③均是错误的．

2020-2021学年北师大版数学必修2课件：第一章 5.2 平行关系的性质.

答案：l∥B1D1
5.如图，异面直线 AB，CD 被三个平行平面 α，β，γ 所截．A， D∈α，B，C∈γ，AC，AB，DB，DC 分别交 β 于点 E，F， G，H，试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由．
解析：四边形 EFGH 是平行四边形．理由如下：∵β∥γ，平面 ABC∩β＝EF，平面 ABC∩γ＝BC，∴EF∥BC.同理 GH∥BC.∴EF∥HG.同理可证 EH∥FG.∴四边形 EFGH 是平行四边形．
些空间线面平行、面面平行关系的简单问疑点：解题时易把异面直线当成同一平面
题.
内的直线而出错.
01 课前自主梳理 02 课堂合作探究 03 课后巩固提升
课时作业
一、直线与平面平行的性质文字语言
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的与该直线平行
[自主梳理] 图形表示
探究三平行关系的综合应用 [典例 3] 如图所示，已知 P 是▱ABCD 所在平面外一点，M、 N 分别是 AB、PC 的中点，平面 PAD∩平面 PBC＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论．
∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理，知 PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，得 PA∥GH.
利用线面平行的性质定理解题的步骤
1.如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G，H 分别是 AB， BC，CD，DA 上的点，当 BD∥平面 EFGH 时，下面结论正确的是( ) A．E，F，G，H 一定是所在边的中点 B．G，H 一定分别是 CD，DA 的中点 C．EB∶AE＝BF∶FC，且 DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且 BF∶FC＝DG∶GC

2019-2020学年高中数学北师大版必修2一课三测：1.5.2 平行关系的性质含解析

5．2平行关系的性质填一填1.直线与平面平行的性质文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．图形语言符号语言a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b判一判1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线只和这个平面内一条直线平行．（×）2．若a∥α，则在α内存在直线与a平行．(√）3．若平面α，β平行，γ∩α＝a，γ∩β＝b，在β中除了b之外还有无数条直线平行于直线a。

（√)4．平面α，β，γ满足γ∩β＝a，γ∩α＝b,则a∥b。

（×)5．若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面没有公共点．（√)6．若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的直线互相平行．（×）7．若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．（√)8．已知两个平面平行，想一想1.两个平面平行,那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？提示：不一定．因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点,它们平行或异面．2．两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？提示：平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点,则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点,所以它们平行．3．利用线面平行性质定理解题的步骤是什么？提示：4．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤是什么?提示:思考感悟：练一练1.已知直线m，n及平面α，β有下列关系:①m，nβ②nα③m∥α④m∥n。

现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论,组成一个真命题是________．答案：①②③⇒④或①②④⇒③2．设有不同的直线a，b和不同的平面α,β，γ,给出下列三个命题，其中正确的命题有（)①若a∥α，b∥α,则a∥b②若a∥α，a∥β,则α∥β③若α∥β，aα，则a∥βA．0个B．1个C．2个D．3个答案：B3．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案：A4．如图，在三棱锥S －ABC 中,E ，F 分别是SB ，SC 上的点，且EF ∥平面ABC ,则（ )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BCC ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能答案：B 5．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在的平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．答案：平行知识点一直线与平面平行性质的应用1。

北师大版高中数学必修二第一章5.2平行关系的性质

5.2 平行关系的性质问题导学1．直线与平面平行的性质活动与探究1如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.迁移与应用1．如图，E，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD 于点F，G.求证：EH∥FG.2．如图，AB∥α，CD∥α，AB与CD在平面α两侧且AB与CD不平行，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND．线、面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线、线平行―-----------------―→线、面平行的判定线、面平行――-----------------→线、面平行的性质线、线平行．2．平面与平面平行的性质活动与探究2如图，已知α∥β，点P 是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB ，PD 分别与α，β相交于点A ，B 和C ，D ．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．迁移与应用1．设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )．A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线2．如图，α∥β，AB交α，β于点A，B，CD交α，β于点C，D，AB∩CD＝O，O在两平面之间，AO＝5，BO＝8，CO＝6.求CD．利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论．3．用面面平行证线面平行活动与探究3如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD．迁移与应用如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.因为两个平行平面没有公共点，所以当两个平面平行时，其中一个平面内的任何一条直线必与另一个平面无公共点，所以可得线面平行关系．4．平行关系的综合应用活动与探究4如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．迁移与应用如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l.求证：l∥BC．1．熟练掌握空间平行关系中定理的条件与结论，注意它们之间的相互转化．2．在论证过程中，“已知位置关系，用性质”，“论证位置关系，用判定”．3．本例题是探索型问题，解决这类探索型问题的基本思路是：先假设所研究的对象成立或存在，然后以此为条件进行推理，得出存在的结论或得出矛盾．当堂检测1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )．A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点2．下列说法中正确的是( )．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④B．①②③C．②④D．①②④3．若α∥β，aα，下列四种说法中正确的是( )．①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①②B．②④C．②③D．①③④4．过两平行平面α，β外的点P有两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为__________．5．如图所示，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP 于F.求证：四边形BCFE是梯形．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.课前预习导学预习导引1．(1)平行过该直线交线(2)∥预习交流1 提示：不是．当直线a与平面α平行时，它和平面α内的直线有两种位置关系：平行与异面．预习交流2 提示：(1)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.三个条件缺一不可．(2)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．(3)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与直线a是异面直线．2．(1)平行交线(2)∥a b预习交流3 提示：a∥β.由于α∥β，所以α与β没有公共点，而aα，所以a与β也没有公共点．故必有a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法，即转化为面面平行．预习交流4 提示：直线a与b可能平行，也可能异面，但不可能相交．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．证明：连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点．又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM .又OM 平面BMD ，AP 平面BMD ，∴AP ∥平面BMD .∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，AP 平面PAHG ，∴AP ∥GH .迁移与应用 1.证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD .又BD 平面BCD ，EH 平面BCD ，∴EH ∥平面BCD .又EH α，α∩平面BCD ＝FG ，∴EH ∥FG .2．证明：连接AD 交平面α于点E ，连接ME 和NE .∵平面ACD ∩α＝ME ，CD ∥α， ∴CD ∥ME ，∴AM MC ＝AE ED. 同理，EN ∥AB ，∴AE ED ＝BN ND， ∴AM MC ＝BN ND . 活动与探究2 思路分析：由PB 与PD 相交于点P 可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．(1)证明：∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD .(2)解：由(1)得AC ∥BD ， ∴PA AB ＝PC CD . ∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)． ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)．迁移与应用 1．D 解析：依题意，由点B 和直线a 可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c ，则必有c ∥a ，且这样的直线c 是唯一的．2．解：∵AB ∩CD ＝O ，∴AB ，CD 可确定一个平面，记为平面γ.⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝AC β∩γ＝BD ⇒AC ∥BD ，∴AO OB ＝CO OD ，即58＝6OD， ∴OD ＝485，∴CD ＝485＋6＝785. 活动与探究3 思路分析：解题的关键是构造过MN 与平面OCD 平行的平面，根据题目条件中M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，可利用三角形中位线的性质构造平面．证明：取OB 的中点G ，连接GN ，GM .在△OAB 中，GM 为中位线，∴GM ∥AB .又AB ∥CD ，∴GM ∥CD .∵GM 平面OCD ，CD 平面OCD ，∴GM ∥平面OCD .在△OBC 中，GN 为中位线，∴GN ∥OC .∵GN 平面OCD ，OC 平面OCD ，∴GN∥平面OCD.由于GM∩GN=G，∴平面GMN∥平面OCD.∵MN平面GMN，MN平面OCD，∴MN∥平面OCD.迁移与应用证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1.∵CD1平面BPQ，PQ平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ.∵BQ平面BPQ，AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.活动与探究4 思路分析：可从“若两平面平行，则一平面内的任一直线都与另一平面平行”这一结论入手考虑，作过B点与平面AEC平行的平面，与PC的交点就是要找的点．解：存在．当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE .②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC .迁移与应用证明：因为BC ∥AD ，BC 平面PAD ，AD平面PAD ，所以BC ∥平面PAD . 又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，BC 平面PBC ，所以BC ∥l .当堂检测1．D 2．D 3．B 4．125．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，BC 平面BCFE ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 是梯形．。

北师大版高中数学必修二 5.2平行关系的性质(16张ppt)

证明： a//
a与没有公共点
a
又因为 b在内
b
a与 b没有公共点
又 a与b都在平面内
且没有公共点
a // b
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直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。
b
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识应用知识应用
【例2】三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD//平面EFGH
线面平行
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知识应用知识应用
【例1】已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证：另一条也平行于这个平面。
如图：已知直线 a ， b ， a//b ， a//。求证： b / /
a
b
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2.5.2 直线和平面平行的性质
复习
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行．
a
a
b
a
//
b
a // b
判定定理可概括为:线线平行
线面平行.
直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件问题，反之，如果已知直线与平面平行，可以得到什么结论呢？

2015高中数学北师大版必修二课件：《平行关系的性质》

∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴O 是 AC 的中点.
又 M 是 PC 的中点,
∴MO∥PA.
又 MO⊂平面 BDM,PA⊄平面 BDM,
∴PA∥平面 BDM.
又经过 PA 与点 G 的平面交平面 BDM 于 GH,
∴AP∥GH.
第十五页，编辑于星期五：十二点八分。
...
导学固思
如图,直线 AC、DF 被三个平行平面 α、β、γ
...
导学固思
如图,足球门的上边框与地面平行,我们发现不管什么时刻,只要
有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边
框保持着平行,大家思考过是什么原因吗?
第三页，编辑于星期五：十二点八分。
...
导学固思
问题1 我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,因为太阳离
地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的
D.有无数条,一定在 α 内
【解析】设直线 a 与点 P 确定的平面为 β,则 β 与 α 的交线
b 就是与直线 a 平行的直线.由 β 的唯一性知直线 b 也是唯一的.
2
若平面 α∥β,直线 a⊂α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有
直线中( D ).
A.不一定存在与 a 平行的直线
B.只有两条与 a 平行的直线
平面 ABC∩平面 PAB=AB,所以 DE∥AB,

所以在△PAB 中, =.
第八页，编辑于星期五：十二点八分。
...
导学固思
线面平行的性质和判定的综合应用
底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为
AC 的中点.求证:AB1∥平面 C1BD.

高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT

证明：因为AB // CD，
• 单击此所处以编过辑A母B，版C文D本可样作式平面，
• 二级
且• 三平级面与平面和分别相交于AC和BD.
• 四级
因为• 五/级/ ，所以BD // AC.
因此，四边形ABCD是平行四边形. 所以, AB CD.
8
单击此处编辑母版标题样式
两个平面平行的其它性质
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二为•级A三B级、CD 的中点，
A
C
求证• :四直级• 五线级MP // 平面 .
NPபைடு நூலகம்
M
B
D
11
单击此证明处: 连编接B辑C，母设其版中标点为题N，样式
连接MN，NP，MP • 单击此在处编B辑CD母中版，文NP本//样BD式，NP//平面
• 二•级三在级BCA中，NM//AC， NM//平面 • 平四级面 // 平面
2
单击此平处面编与辑平面母平版行的标性题质样式
• 单击此处若编辑母版//文本，样且式 a,则与的位
• 二•级置三级关系如何？
• 四级
设• 五级 b，则直线a、b的位置关系如何？为什么？
3
单击此处编辑母版标题样式
性质定理如果两个平行平面同时和第三个平
• 单击此面处相编交辑,母那版么文它本们样式的交线平行.
• 三级
•B四组级• 五级第2、3题.
14
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
1•.二5级.2 • 三级
谢谢大家 • 四级 • 五级
北师大版高中数学
15
• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
γ
a
b

高中北师大版数学必修2：第1章5.2 平行关系的性质

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