数学建模作业3
数学建模：第六章建模范例三
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，
数学建模答案 (3)
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答：为了某种特定的目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构成的原型替代物。
如地图。
苯分子图等。
2．数学模型答：由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。
3．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。
从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。
形象模型：直观模型，物理模型，分子模型等；抽象模型：思维模型，符号模型，数学模型等。
2．数学建模的基本步骤(1) 建模准备：确立建模课题的过程；(2) 建模假设：根据建模的目的将原型进行抽象，简化.有目的性的原则。
简明性原则，真实性原则和全面性原则。
(3) 构造模型：在模型假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻画实际问题的数学模型；(4) 模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；(5) 模型分析：根据建模的目的的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等；(6) 模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；(7) 数学应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析，研究和解决实际问题，充分发挥建模在生产和科研中的特殊作用。
3．数学模型的作用数学模型的根本作用在于他将客观原型化繁为简，化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。
正应为如此，数学建模在科学发展，科学预见，科学预测，科学管理，科学决策，驾控市场乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。
数学建模作业3、4
体育馆建设问题问题：某市政府打算修建一个小型体育馆。
通过竞标，一家建筑公司获得了此合同。
表1列出了工程的主要任务，需时均以星期计。
有些任务只有在某些其他任务完成之后才能进行。
试给出各项任务的施工次序，使得这项工程能尽早完成。
表1 体育馆施工数据表任务 描述 耗时/周 先决任务 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718工地布置 场地平整 打地基 通路及其它道路网络底层施工主场地施工 划分更衣室 看台电器布置 顶部施工照明系统 安装阶梯看台封顶 更衣室 建造售票处 第二通路 信号设施草坪与附属运动设施交付使用2 16 9 8 10 6 2 2 9 53 2 1 74 3 9 1没有 1 2 2 3 4，5 4 6 4，6 4 6 9 7 2 4，14 8，11，1412 17问题分析：此问题是个调度问题，需要先完成某些任务才能进行后面的一些任务，这一特点构成了模型的约束条件。
问题需要确定各项任务的施工次序，而施工次序与每项任务的施工时刻相一致，所以只需确定各项任务的施工时刻即可，由此设定决策变量。
问题的目标是尽早完成工程，即使得最后一项任务的完工时间最早即可。
模型的建立：设x i )18,...,2,1(=i 表示第i 项任务的施工时刻，t i 表示第i 项任务的耗时。
由于每项任务有先决任务约束，不妨记要施工的任务为i ，其先决任务为j 和k ，则显然只有当这两项任务都完工后才能对任务i 施工，于是有约束xtxx t x ikkijj≤+≤+其他先决条件可类似得到。
问题希望能尽快完工，即最后一项工程的完工时刻最小，所以以第18项工程的完工时刻作为目标函数，于是建立体育馆建设问题的数学模型如下：()18,,10,,,,,..min 18171717121216141416111116881514141544142213771299116610449669448667446556445334223222111818=≥≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤++=i t s f xxtx x t x xtx x t x x t x x t x x t x xt x x t x x t x x t x x t x x t x x t x xt x x t x x t x x t x xt x x t x x t x x t x t x i模型的求解：一、算法如下：二、详细编码实现：问题的最优解，即各个任务的开工周次为:0，2，18，29，27，37，37，44，43，37，43，52，39，30，37，46，54，63，相应各个任务的完工周次为：2，18，27，37，37，43，39，46，52，42，46，54，40，37，41，49，63，64．最优施工时间安排图，见图4.1（其中横坐标为施工周次，纵坐标为施工项目），最早完工时间为第64周．文件备份问题问题：某公司希望将一些重要的文件备份到软盘上。
数学建模习题3
数学建模习题3数学建模（I ）习题习题 31．⼀个包裹从100⽶⾼的⽓球上掉下，当时，⽓球的上升速度为2⽶/秒，请根据以下两种情况计算包裹落到地⾯上约需多少时间：（1）空⽓阻⼒不计（2）空⽓阻⼒与包裹的速度成正⽐，阻⼒系数为0.05。
2．⼤⽓压强p 可⽤对海拔⾼度h 的变化率dh dp 与p 成正⽐来建模，且位于海平⾯的压强为1013毫巴（⼤约每平⽅英尺7.14磅），位于海拔⾼度20公⾥处的压强为90毫巴。
)(a 解初始值问题:微分⽅程： kp dh dp = （k 是⼀个常数）初始条件： 0p p = （当0=h ）得到通过h 表⽰p 的表达式。
根据海拔⾼度—压强的给定数据确定0p 和k 的值。
（b ）在海拔⾼度50=h 公⾥处⼤⽓压强是多少?（c ）在海拔⾼度是多少公⾥处⼤⽓压强等于900毫巴？3．在某化学反应中，物质的数量随着时间的改变率与其当前的数量成正⽐。
例如，δ-醣蛋⽩内酯变成葡萄糖酸，当时间t 以⼩时为单位时，化学反应⽅程式是 y d t d y6.0-=如果当0=t 时，有δ-醣蛋⽩内酯100克，那么⼀⼩时后还剩下多少？4．从惠蒂尔峡⾕的油井中抽⾛了⼀定数量的⽯油，会使加利福尼亚的⽯油产量每年以10%的⽐率减少。
试问什么时候加利福尼亚的⽯油产量将降到当前值得五分之⼀？5．⼀个放电的电容器，电压的改变率和终端电压成正⽐，并且时间t 以秒为单位时，其满⾜的⽅程是V d t d V401-=解此⽅程，⽤0V 表⽰当0=t 时的V 值。
试问经过多长时间电压将降落到初始值得10%？6．粗糖的加⼯过程中，有⼀个步骤称为转化，这⼀步骤将改变粗糖的分⼦结构。
反应⼀旦开始，粗糖量的改变速率和粗糖量成正⽐，如果1000公⽄粗糖在10 ⼩时后只剩下100公⽄，那么再过14⼩时还剩下多少？7．在海洋表⾯下⽅x 英尺处的光的强度)(x L 满⾜微分⽅程kL dx dL-=潜⽔者根据经验知道，在加勒⽐海潜⽔到18 英尺深时光线强度⼤约降低到⽔⾯上的⼀半。
数学建模习题3答案
2.某种山猫在较好的，中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别是1.68%，0.55%，-4.5%。
假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：（1）三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；解：首先讨论紫檀环境下山猫的数量的演变。
记k年山猫的数量为x k，设自然条件下的年平均增长率为r(相当于假设年增长率r为常数)，则列式得：X k+1=x k*(1+r)，k=0,1,2,……解为等比数列X k=x0*(1+r)k ，k=0,1,2,……在以下的Matlab的程序里，分别取r=0.0168,0.0055,-0.045，取初始值x0 =100，用循环语句迭代计算出25年不同自然环境下山猫的数量的演变过程，将结果列表并绘图：n=25;r=[.0168,.0055,-.045];x=[100,100,100];for k=1:nx(k+1,:)=x(k,:).*(1+r);enddisp('自然条件下（b=0）山猫的数量的演变')%列表自然条件下（b=0）山猫的数量的演变disp(' 年较好中等较差') %每列项目的名称年较好中等较差disp([(0:n)',round(x)]) %舍入为整数，列表0 100 100 1001 102 101 962 103 101 913 105 102 874 107 102 835 109 103 796 111 103 767 112 104 728 114 104 699 116 105 6610 118 106 6311 120 106 6012 122 107 5813 124 107 5514 126 108 5215 128 109 5016 131 109 4817 133 110 4618 135 110 4419 137 111 4220 140 112 4021 142 112 3822 144 113 3624 149 114 3325 152 115 32plot(0:n,x(:,1),'k^',0:n,x(:,2),'ko',0:n,x(:,3),'kv')legend('r=0.0168','r=0.0055','r=-0.045',2)axis([-1,n+1,0,200])title('自然条件下（b=0）山猫数量的演变')xlabel('第k年'),ylabel('山猫的数量')（2）如果每年捕获三只，山猫的数量将会如何变化？会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？解：讨论每年捕获三只条件下山猫数量的演变。
数学建模3
3．4 上海市第四届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1995)上海市第四届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1995年5月举行，决赛于1995年9月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分，总共满分为180分．一、上海地铁一号线全长16.1公里，共13个车站，每站停靠30秒．(1)现知末班车在晚上9∶00自新客站发出，于9∶28到达终点站锦江乐园．试问列车行驶的平均速度是多少？(精确到0.1公里/小时)；(2)假设每相邻两站间的距离都相等，问列车在相邻两站间需要行驶几分钟？二、如图3－48(A)所示的家具，能否通过图3－48(B)中的长廊搬入房间？说明你的理由．(搬运过程中不准拆卸家具，不准破坏墙壁)三、如图3－49有一非整圆的内凹图，采用如图的测量方法，取圆柱的半径r＝14mm，现测得尺寸x1＝20mm，x2＝55mm，求此凹圆半径OC．四、长与宽分别为3a、2a的矩形镀锌铁皮，现要制造一个有底有盖的圆柱罐头．(1)使罐头体积最大，试问如何剪裁材料，并求出材料的利用率；(2)使罐头的表面积最大，试问如何剪裁材料？并求出这时的体积大小．五、某顾客欲购一套商品房，房产商允许顾客从以下两种付款方式中选择一种：(1)先付3万元，然后每过一年付款2.7万元，10次付清；(2)先付4万元，然后每过一年付款1.9万元，15次付清．试问顾客采取哪一种付款方式比较合算，为什么？(设年利率为10％，复利)六、黄浦江江面宽为a，一艘艘宽度为b的轮船(b＜a)在江心由北向南以等速v直线行驶，每艘轮船的船头到前一艘轮船的船尾的距离是c，一艘对江轮渡由浦东A点出发，如图3－50驶向浦西岸边B点．求能以最小的等速沿直线安全到达对岸所需要的时间．(黄浦江的一段两岸，江岸线可视为平行的两直线l1、l2，且不考虑水流的速度与方向，轮渡的宽度、长度忽略不计)七、一大厅15×10m2，需要铺设边长为10cm的正六边形地砖，如果在拼接角落，不足半块的，按半块计算．超过半块的按整块计算．如图3－51所示，地砖按AC分半块的，称为横半块，按BD分半块的，称为直半块．如果要完成铺设工作，不考虑拼接时，实际间隔膨胀，试估算一下，需要整块地砖、直半块地砖、横半块地砖各几块？(精确到整数)八、铁路AB段为抛物线，A点恰好在两条互相垂直道路MN、EF交点上，B点到EF、MN距离分别为9公里、6公里，某村庄C点到EF、MN距离分别为3公里，10公里，而道路MN正好是抛物线的对称轴．如图3－52所示，现要求在铁路AB线上设一个中转站D点，使CD距离为最短，求出中转站D点的位置与CD距离的最小值．九、花布设计师设计一种图形，在面积为6的正方形内，画出面积为3的3个正方形(不重合)想使这3个正方形中总能找出两个正方形公共面积小于1，这个想法是否合理，能否画出图形？为什么？十、长为360cm的铜棒，要截成十段材料，规格是12cm、23cm、37cm、46cm四种，每种规格都要有的，试找出材料利用率在97％以上的落料方案．十一、根据下列三视图，画出相应位置的立体图、展开图，并求出它的体积与表积面．十二、某厂有一批废料，是由边长为a的正方形内裁去半径为a的－54所示，试问当x取多大时，S1＋S2面积最大？并求出这块材料的利用率．(计算结果保留两位小数)十三、某公司筹划建化肥厂，若建大厂需要投资1000万元．若建小厂需投资200万元，根据以往情况，效益值(万元)如表：若市场预测(10年内)销路好的概率为0.65，销路差的概率为0.35，为在10年内尽可能多获利润，应决策筹建大厂还是小厂？十四、经调查某地区一种商品价格和需求的关系如下表：试问价格上涨到0.99元时，销售量为多少？十五、一艘货船可装货物30吨，装载体积是14立方米，现有五件货物待运，它们的重量、体积和获利如下表：试问装运哪几件才能获利最多？【决赛试题】决赛试题共五题，其中一、二、三题每题满分32分，四、五题每题满分为42分，共180分．一、有一种变压器，铁芯的截面是正十字形，如图3－55所示，为保证所需的磁通，需要一定的截面积．如果要求十字形面积为4cm2，应如何设计正十字形长y及宽x，才能使正十字形外接圆周长最短(从而可使绕在铁芯的铜线最省)？二、一艘货船可装货物100吨，现有六种货物待运，它们的重量和运价如下表：试用分枝定界算法求出轮船公司应承接哪些货物，才能使获利最大．三、某林场的树林每10年规划一次，或让其继续生长，或砍伐重栽，假设某种树林在其生长期的第一、第二、第三和第四个10年中，平均年生长率分别为15％、10％、5％、1％，以后的生长忽略不计，木材价格每年升值率为7％，银行贷款年利率12％，试问怎样确定砍伐周期，能使投资回报率最高？四、某厂准备制造一批雕塑物的装饰底座平台，平台用合金铁皮组成，平台上底、下底分别是边长为a的正方形、正八边形，侧面是边长为a的正方形、正三角形交叉排列，平台是十面体．(1)画出平台的直观图；(2)画出平台的三视图；(3)画出平台的展开图；(4)求出平台的表面积与体积．(画图时a取2cm)五、如图3－56，一进口零件有两处缺损，现需复制，由于其精确轮廓线未知，只能由若干实测点数据来推算缺损处的准确位置．现测得五个点的极坐标(r，θ)如下：A(2，0°)、B(1.915，10°)、C(1.721，20°)、D(1.336，40°)、E(1.204，50°)．试估计θ＝30°和60°两处轮廓线P1，P2的位置(极径r1，r2以及对应的直角坐标(x1，y1)和(x2，y2))．用两种方法进行计算．【初赛试题解答要点与参考答案】一、(1)42.9(公里/小时)；(2)1.9(分)．二、如图3－57所示，可搬入．＝1.27＜1.3．三、OC＝31.5mm．四、从四种方案中找出．(1)Vmax＝0.824a3，利用率p＝89.6％；(2)Smax＝5.38a3，V＝0.824a3，剪裁方法如图3－58所示．五、第一方案现值为七、铺设方案：八、设MN、EF分别为x轴，y轴，则D(5.34，4.62)，CDmin＝5.87(公里)．九、假设SAB、SBC、SCA均小于1．则覆盖面积：S＝SA＋SB＋SC－SAB－SBC－SCA＋SABC＝9－(SAB＋SBC＋SCA)＋SABC＞6(矛盾)．十、十一、立体图、展开图如图3－60、3－62所示．十二、x＝0.21a，(S1＋S2)max＝0.12a2．十三、S1＝[1000×0.65－200×0.35]×10＝5800万元，S2＝[150×0.65－10×0.35]×10＝940万元．所以，应筹建大厂．十四、设需求量y与价格x间函数关系为y＝f(x)．用形如y＝axb拟合，取对数lny ＝lna＋blnx，用最小二乘法得：f(0.99)＝115.3(吨)．十五、可行解为(1，0，0，1，1)，(0，0，1，1，1)．求得目标函数值：z(1，0，0，1，1)＝9．z(0，0，1，1，1)＝7．所以当装运第1，4，5号货物，利润最大为9(千元)．【决赛试题解答要点与参考答案】一、设圆直径为d，面积为S，则有二、可行解为(011001)，z＝130．公司应承运编号为2，3，6的货物，获利为130千元．三、10年回报率为1.5623， 20年回报率为1.7915，30年回报率为1.4952．因此，每20年重栽一次的方案使投资回报率最高．四、设高h，三视图(图3－62)．立体图(图3－63)，展开图略．x2＝0.536，y2＝0.928．(2)二次插入和外推r1＝1.528，x1＝1.323，y1＝0.762．r2＝1.112，x2＝0.556，y2＝0.963．(3)r ＝a＋bθ阿基米德螺线r ＝1.961－0.0136θ．r1＝1.554，x1＝1.346，y1＝0.777．r2＝1.144，x2＝0.573，y2＝0.992．(4)r ＝aebθ等角螺线r ＝2.003e－0.00927θ．(5)r1＝1.517，x1＝1.314，y1＝0.758．x2＝0.574，y2＝0.994．3．5 上海市第五届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1996)上海市第五届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1996年6月举行，决赛于1996年9月举行．【初赛试题】初赛试题共有15题，前10题每题满分为10分，后5题每题满分为16分，总共满分为180分．一、某人身高为a，在黄浦江边测得东方明珠塔尖的仰角为α，而在黄浦江的倒影中测得塔尖俯角为β，求东方明珠塔电视塔高h(写出计算公式)．如果具体测得α＝75.5°，β＝75.6°，α＝1.77米，那么塔高是多少米(保留一位小数)？二、某股份公司向社会公开发行4170万股股票，共有1652158人申购，每人申购1000股，现由计算机按申购先后次序给每个申购者一个编号，并在公众监督下摇号决定中签号码，申购者的编号末位数和中签号相同者可以购买股票，问应摇出几个不同的一位数，几个不同的二位数……几个不同的七位数？三、A、B两镇相距50公里，A镇位于一直线形河岸边，B镇离河岸BD＝30公里，两镇在此河边C处合设一个水厂取水，如图3－65所示，从水厂C到A镇和B镇水管费用每公里分别为500元和700元，问此水厂应设在何处，才能使水管费用最省，求出水管费用的最小值．四、在长为60cm、宽为40cm的矩形铁皮中要切成长为10.2cm、宽为9.3cm的长方形单件，怎样截法才能使材料的利用率最高，具体画出落料方案图，并求出材料利用率的最大值．五、一块矩形截去1/4圆的均匀的金属片，尺寸如图3－66所示，试确定它的重心位置．六、某学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应如何分组(一组制作课桌，另一组制作椅子)能使完成全部任务最快．七、用量球测量锥形套筒零件的上下底的内直径，已知套筒的高为30mm，先用半径r1＝5mm，r2＝15mm两个量球分别放入上、下底量出两端距离L1＝66mm，如图3－67所示．然后将r3＝10mm代替r1，再量出L2＝76.5mm，试求出套筒零件上、下底的内直径(结果保留一位小数)．八、某零件厂需要合金材料圆棒，长度13cm、18cm、25cm三种规格按1∶3∶2配套，现有2m长规格100根棒，问怎样落料使材料利用率最高，最多能裁出几套？此时材料利用率最大值是多少？九、某食品店每天顾客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1，每个蛋糕的进货价为2.5元，销售价为4元，若当天不能售完，剩下的以每只2元的价格处理，问该店每天进货多少只蛋糕为宜(进货量必须是50倍数)？十、一艘货船可装货物500吨，装载体积不能超过200立方，现有6件货物待运，它们需求量、利润列表如下：问如何确定运输方案能获利最高？十一、某工程总费用包括设计费、基建费、装修费和绿化费四个部分，设计方案有三种记为①、②、③；装修与绿化有二种记为(i)、(ii)，每种方案可由不同的工程队记为A、B、C承建，它们的价格由下表给出，问如何安排可使总费用最省？十二、有两个投资方案，方案Ⅰ：投资41万元，每年收益5万元，可持续收益10年；方案Ⅱ：投资32万元，每年收益3万元，可持续收益14年，试问那个投资方案更好？十三、(1)为了加速物资流通，现拟从陆家咀隧道出口处到上海第二国际机场沿原有的交通线路铺设一条轻轨线，浦东新区的交通简图如图3－68所示，图中的数字为距离(km)．设计一条最为经济的路线(即求最短路)．(2)金桥出口加工区正在研究如何进一步加强与新区各主要城镇的信息联络和建立电脑联网，为了降低成本，试设计一个布线方案，既能与各城镇连通(见3－68图)，且所花费用最少(已知电脑缆线0.8万元/km)．十四、工艺设计人员用十块边长为a的正三角形，二块边长为a的正五边形，拼成一个封闭的十二面体作为纪念塑像的底座平台，试画出它的立体图、三视图、展开图(画图时，a取2cm)，如果底座平台用铝合金制造成实心的实体，以及用1mm厚的合金铁皮制造成空心的几何体，试求用这两种材料制成的平台的重量(用含a表示)．铁皮比重7.2克/cm3，铝合金比重2.7克/cm3．十五、为了检验X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，照射次数记为t，共照射8次，各次照射后所剩细菌数y，按负指数规律减少，统计如下：试问：(1)如果照射10次，那么细菌数是多少？(2)如果细菌数控制在4以下，那么至少照几次？【决赛试题】一、在气象台A的正东方向300千米处有一台风中心．该台风中心正以每小时40千米的速度向西北方向移动，离台风中心250千米以内的地方将受其影响．问大约经过多少时间气象台所在地将受到台风影响？影响的持续时间将是多少？二、股票交易的开盘价是这样决定的：每天开盘前由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数．然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．试根据以下数据，确定该种股票的开盘价以及能即时成交的股数．(注：当卖方意向价低于开盘价以及买方意向价高于开盘价时即可成交)三、水上游乐场的人工瀑布是在离地面10米处建造一段水平的水槽．在水槽的末端设置一个坡度为30°，坡长为60厘米的挑水坎．用水泵把水抽入水槽中，冲上挑水坎，最后在空中下落形成美丽的瀑布(见图3－69)．已知槽内水的流速为6米/秒，试分析出槽水流曲线的类型，并计算人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S．四、图画挂在墙上，它的下缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者在离墙多远的地方，才能使视角最大(从而看得最清楚)？五、附表给出五位工人完成五种工作所能取得的效益，试求出分配该五位工人分别担任一项工作的方案，使取得的效益最大．六、如图3－70所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿AD为圆弧，其圆心O在BC上．圆半径为2米，AB、CD均垂直于BC，且BO＝CD＝1m．现要用这材料裁一个矩形做圆柱的侧面，裁一个圆做圆柱的底，做一个有底无盖的圆柱形桶(这里不考虑拚接、裁剪的损耗)．试问怎样落料能使水桶体积最大？并求出材料的利用率．七、一零件的轮廓由边长为a的正三角形ABC的等距曲线构成，等距为r(如图3－71)．为了用数控机床加工，要求出轮廓线的精确公式．设坐标原点O与三角形的重心重合，x轴与AB平行．试求曲线的七个工件安排在同一台机床上加工．设各工件的加工时间依次为14，6，24，12，6，18，12(分钟)．该机床一次只能加工一个工件，每一工件加工完毕即可运走投入下一工序．(1)试安排一个加工次序，使各工件的加工和等待时间之总和最小并说明理由．(2)若工件6，7必须先于工件2加工，工件1，2，4必须先于工件3加工，工件7必须先于工件4加工，工件3必须先于工件5加工，试找出使各工件的加工和等待时间之总和最短的加工次序．【初赛试题解答要点与参考答案】h＝490.1m．二、2个两位数，5个三位数，2个四位数，3个五位数，9个六位数，1个七位数．三、水厂设在离A镇9.4公里处，可使水管费用最省，水管费用最少值为34700元．四、可截24块，落料图略，利用率为94.86％．五、重心位置：距60一边为17.8；距50一边为13.4．六、用17名工人制椅、13名工人制课桌可使全部任务完成最快．七、上、下底内径分别为5.8、18.2．八、12根截13cm、18cm规格；42根截25cm规格；45根截18cm规格；1根截13cm×2，18cm×3，25cm×4，这样共可配170套，最高利用率为99.45％．九、进货量为200只或250只，期望收益值最大为235元．十、装载2、3、5号货物可获利最大为210万元．十一、采用方案③由C工程队施工，按装修与绿化，总费用为7百万元．十二、方案Ⅰ：投资收益率r1＝0.0378．方案Ⅱ：投资收益率r2＝0.0385，因此方案Ⅱ比较好．十三、1．陆家咀→洋泾→金桥→合庆→蔡路→机场，距离为28.3公里．2．各城镇连通图：如下图所示：各边之和所需电缆线的长为84.8km．最少费用＝84.8×0.8＝67.84万元．十四、三视图、立体图、展开图，如图3—72所示．h ＝0.85a，V＝1.6a3，S表＝7.8a2．w1＝1.6a3×2.7＝4.3a3克．w2＝7.8a2×0.1×7.2＝5.6a2克．十五、 y＝ae－kt＝547.028e－0.4533e．(1)f(10)＝5.88≈6．细菌个数是6．(2)f(11)＝3.7≈4．至少照11次控制细菌个数4以下．【决赛试题解答要点与参考答案】一、以气象台A为坐标原点，正东方向为x轴正向建立平面直角坐标系，则台风中心B坐标参数方程为时气象台将受到台风的影响．解此不等式，得即 1.99≤t≤8.61．约经过2小时后，气象台所在地将开始受到台风的影响，持续时间大约7小时．二、可确定开盘价为2.20，可能成交股数为600．三、以挑水坎末端A为坐标原点，以水平方向和垂直方向分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系．水离开A点时的速度Vt可由下式求得．方向沿挑水坎方向．设当时间t＝0时，某个水质点D在A处，则当时间为t时，D 点坐标满足方程得人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S＝8.3米．四、由题意，观察者的视角θ＝∠BPA＝∠BPH－∠APH．显然0＜θ＜90°，故tgθ＝tg(∠BPH－∠APH)五、首先取附表中每一列之最大值，如下页表所示．表中有“*”号的数字为所在列蝗最大值，显然．这些有“*”号的数字和(最后一列有两个带“*”号的数字，求和时取一个)是进行五项工作的最大效益．但不满足每人一项工作的要求．以此表为基础进行调整，使调整后满足每人一项工作的要求，且与上表的差值最小．容易验证下表所示为调整后的最佳方案．即最佳方案为A→4(A做第四项工作)，B→2，C→1，D→3，E→5．六、根据经验可按下图所示裁剪矩形与圆．第一种方法：以BE为圆柱底周长进行裁剪．此时应满足可见按第一种方法进行裁剪所得圆柱之体积最大．裁BE＝2.07，EG＝1.69的矩形．剩下材料裁半径为0.33的圆．得到的圆柱体积为0.58m3．七、弧段LM由直线部分LN与圆弧NM构成．圆弧NM的表示式为八、(1)因为加工和等待时间的总和为T＝∑(8－i)Ti，其中Ti为安排在第i位加工的工件的加工时间．因此使其总和最小的加工顺序应是2→5→4→7→1→6→3其中2和5，4和7的位置可以对调．(2)根据给出的条件可画出下面的网络：据此网络图，可先对工件1，2，4，6，7进行排序．首先，4，2，7，6这四个工件可有以下几种排序法：6→7→4→2，7→6→4→2，7→4→6→2，6→7→2→4，7→6→2→4．由于t6＝18＞t7＝12，6→7→4→2和6→7→2→4两种情况可不考虑．又因t4＝12＞t2＝6，7→6→4→2情况也可不考虑．这样就剩下以下两种情况：7→4→6→2，7→6→2→4．再考虑工件1的位置．对7→4→6→2情况，可有以下几种情形：(a)1→7→4→6→2，(b)7→1→4→6→2，(c)7→4→1→6→2，(d)7→4→6→1→2，(e)7→4→6→2→1．由于t1＝14＞t7＝12，t1＝14＞t4＝12知(b)优于(a)，(c)优于(b)；又由于t1＝14＞t2＝6，可知(e)优于(d)．比较(e)与(c)两种情况下的等待与加工的总耗时：(e)5t7＋4t4＋3t6＋2t2＋t1，(c)5t7＋4t4＋3t1＋2t6＋t2，可知(e)优于(c)也就是说情形7→4→6→2→1→3→5耗时最少．同理可判定情形7→4→6→2→1→3→5耗时也最少．最少的耗时为T＝7t7＋6t4＋5t6＋4t2＋3t1＋2t3＋t5＝366(分钟)．。
人教版(B版)高中数学必修第2册 数学建模活动(3)
提出问题 建立模型 参数求解 模型检验
你能进一步改进 这个模型吗？
可以以第9段为界 分段描述或者更换函数 模型.
若以第9段为界分段描述： 将 H (9) 153.6, H (11) 180.79 代入 H (x) AeBx ，可解得：
H (x) 74.096e0.081x ,
所以
0.458e0.670x , H (x) 74.096e0.081x ,
年龄/岁 身高/cm 年龄/岁 身高/cm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
你能看出7岁以下女童身高的哪些生长规律？
0
-3.53 0
0
x 8, x 9.
4 7.73
6.68 -1.05
10 174.9
-8.34
69.56
5 16.55 13.05 -3.5
11 180.79
0
0
6 经计算， 32.55 在H(x)模型 25.51 下，误差的 -7.04 平方和约为
145.06.
因此，我们可以通过计算不同模型下误差的平方和 来比较模型之间的优劣. 在玉米植株生长规律问题中，
对于女童身高生长规律问题，利用
提出问题
g(x) 26.7 x 49.7 计算对应函数值，可得下表：
年龄/岁 0 0.5
1
1.5
2
2.5
3 建立模型
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
g(x) 49.7 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 参数求解
数学建模实验三 Lorenz模型与食饵模型
数学建模实验三 Lorenz模型与食饵模型一、实验目的1、学习用Mathematica求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析；2、学习用MATLAB求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。
二、实验材料问题图是著名的洛仑兹混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。
洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。
以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环；4)极限环面。
除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。
事实上这种想法是非常错误的。
1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。
而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。
例如，数据加密中。
我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢图洛仑兹混沌吸引子假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x为兔子数量,y表狐狸数量。
假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。
如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。
狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为。
而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为。
建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。
预备知识1、求解常微分方程的Euler 折线法求初值问题⎩⎨⎧=='00)(),,(y x y y x f y （） 在区间],[0n x x 上的数值解，并在区间插入了结点)()(110n n x x x x <<<<- 。
数学建模作业3
数学建模第三次作业-写作训练要求：（1）在下一次上课之前将结果发到我的邮箱视为有效； （2）我的邮箱的地址为：xcg743@ （3）文件名称(word 文件）格式为： 张三(信号20081234).doc （4）写作格式要求按照正式数学建模论文格式要求进行写作，可参考我们制作的写作模板。
（5）本次作业应该重视，占期末总成绩的20分。
题目：螺旋线与平面交点的实时计算已知空间螺旋线的方程为：cos sin x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，现要求讨论任意平面0Ax By Cz D +++=与该螺旋线的交点情况，要求完成下面几个问题：（1）先建立一般的数学模型，然后就下面三个特殊的平面给出你的计算结果：①230x y ++=；②3450x y z ++=；③ 661x y z ++=。
（2）就某一种较特殊的情况进行讨论（此时A ，B ，C 大致满足某种关系），给出此时交点个数的结论并证明之。
空间平面与空间螺旋曲线交点探究 摘要本文以空间中的平面与曲线的交点个数为研究对象，详细分析了具体平面与螺旋曲线的交点和一些较为特殊的平面系列与螺旋曲线的交点，建立了简单明了的数学模型，运用数学软件mathematic 进行了详细求解。
对问题（1）由于三个平面均为具体的平面，因此求结果过程类似，具体采用的是图解分析的方法，利用图形分析简单易懂，求解迅速，而且求解的结果准确详细（详见附录1、2、3）。
对于问题（2）的求解，考虑到此题是一个较为开放的题目，因此在求解之时先假设了一些特殊关系，例如在本文中假设的关系如下：0=D ，a C a B a A 3,2,===。
利用这一特殊关系进行适当的化简就可以解出本题所探究的答案。
本文最大的特点是采用图解分析的方法，图解法直观、明了，求解快，不必采用较为繁杂的计算过程。
关键词：空间平面、空间螺旋线、交点一、问题提出螺旋线与平面交点的实时计算已知空间螺旋线的方程为：cossinx ty tz t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，现要求讨论任意平面0Ax By Cz D+++=与该螺旋线的交点情况，要求完成下面几个问题：（1）先建立一般的数学模型，然后就下面三个特殊的平面给出你的计算结果：①230x y++=；②3450x y z++=；③661x y z++=。
数学建模习题及答案课后习题
数学建模习题及答案课后习题第⼀部分课后习题1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432⼈住在C宿舍。
学⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。
（2）节中的Q值⽅法。
（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种⽅法的道理吗。
如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。
将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。
（4）你能提出其他的⽅法吗。
⽤你的⽅法分配上⾯的名额。
2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。
⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的元，⼆者单位重量的价格⽐是：1。
试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减少的程度变⼩。
解释实际意义是什么。
3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法。
假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：⾝长（cm）重量76548211627374821389652454（g）胸围（cm）先⽤机理分析建⽴模型，再⽤数据确定参数4.⽤宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹⾓应多⼤（如图）。
若知道管道长度，需⽤多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
数学建模与应用3规划模型的典型例题
数学建模与应用3规划模型的典型例题(1) 平板装货问题有七种规格的包装箱要装到两辆平板车上。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度t (厘米)和重量w (公斤)是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度，重量以及数量。
每辆平板车有10.2米的地方可用来装包装箱(象面包片那样)，载重为40吨。
由于地区货运的限制，对C5, C6, C7类包装箱的总数有一个特别的限制：这三类包装箱所占空间(厚度)不能超过302.7厘米。
问题要求：设计一种装车方案，使剩余的空间最小。
•首先找到已知的参量o各类型的包装的厚度： \small t_i(i=1\dots7) 。
o各类型的包装的重量： \small w_i(i=1\dots7) 。
o各类型包装的件数： \small n_i(i=1\dots7) 。
o平板车的空间： \small Space=1020cm 。
o平板车的载重： \small Weight=40000kg 。
o三类包装箱所占的空间上限： \smallLimit=302.7 。
•设出需要使用的变量：o第一辆车上装载的各类型包装的数量： \smallx_i(i=1\dots7)o第二辆车上装载的各类型包装的数量： \smally_i(i=1\dots7)•明确问题的要求：\min\{2\times Space-\displaystyle\sum^{7}_{i=1}t_ix_i- \displaystyle\sum^{7}_{i=1}t_iy_i\}\\x_i+y_i\leq n_i(i=1\dots7)\\ ~~\\ \displaystyle\sum^{7}_{i=1}w_i(x_i+y_i)\leq40000\\ ~~\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_ix_i\leq1020\\ ~~\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_iy_i\leq1020\\ ~~\\\displaystyle \sum^{7}_{i=5}t_i(x_i+y_i)\leq302.7\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}w_i(x_i+y_i)\leq40000\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_ix_i\leq1020\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_iy_i\leq1020\\\displaystyle \sum^{7}_{i=5}t_i(x_i+y_i)\leq302.7\\model:!程序由model开始，由end结束;sets:!sets开始设置变量，endsets结束变量设置;num/1..7/:t,w,n,x,y;!定义5个数组分别为t,w,n,x,yendsetsdata:!数据设置由data开始，由enddata结束;t=48.7,52.0,61.3,72.0,48.7,52.0,64.0;w=2000,3000,10 00,500,4000,2000,1000;n=8,7,9,6,6,4,8;enddatamin=(1020 -@sum(num:t*x))+(1020-@sum(num:t*y));!说明需要优化的为min;!以下是进行条件限制的量@sum(num:t*x)<=1020;@sum(num:t*y)<=1020;@sum(num:w*x)< =40000;@sum(num:w*y)<=40000;@for(num(i):x(i)+y(i)<=n(i ));@sum(num(i)|i#ge#5#and#i#le#7:(x(i)+y(i))*t(i))<=30 2.7;@for(num:@gin(x));@for(num:@gin(y));end(2) 选修课策略问题某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。
4.建模作业_MATLAB(3)
《数学建模》课程作业题第七章MATLAB(3)1.MATLAB图形处理的高级技术都有哪些？颜色映像。
1）colormap函数进行调用颜色映像；2）Pcolor、rgbplot、colorbar等函数用户可以条用所定义的颜色映像为图形服务；3）pcolor一般与函数shading相结合，用于以不同方式为图形着色；4）Rgbplot是一种直接显示颜色的函数；5）第三个用来显示颜色映像最常用的函数是colorbar。
视角与光照。
1）视角控制函数view,viewmtx及rotate3D；2）光照控制函数lighting‘光源模式’；3）图像处理。
2.MATLAB图形处理的基本技术都有哪些？1）图像控制坐标控制：axis([xmin,xmax,ymin,ymax])平面坐标网格函数：grid on/grid off2）图形的标注①．坐标轴标注：xlabel(‘标注’,’属性’),ylabel,zlabel②．文本标注：text（x,y,’标注文本及控制字符串’）③．交互式文本标注：gtext④．图例标注：legend （‘标注1’，‘标注2’） 3）图形的保持与子图：hold on,hold off,subplot(m,n,p) 3.3. 编写如下问题的M 文件7.4.1绘制下列曲线.(1) 21100x y +=, 运行程序：clear; clc; x=0:0.1:1; y=100./(1+x.^2); plot(x,y);(2) 2221xe y -=π, 运行程序 clear;clc; x=0:0.01:1;y=(1/(2*pi))*exp(((-x.^2)/2)); plot(x,y);(3) 122=+y x ,ezplot('x^2+y^2=1')(4) ⎩⎨⎧==325ty t x . t=0:1:50; x=t.^2; y=t.^3; plot(x,y)title('参数方程 ');7.4.2绘制下列极坐标图.(1) 4cos 5+=θρ,clear; clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=5*cos(x)+4; polar(x,y)(2) θρ12=,clear; clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=12./sqrt(x); polar(x,y);(3) 7cos 5-=θρ, clear; clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=5./cos(x)-7; polar(x,y)(4) 23θπρ=.clear;clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=pi/3*x.^2; polar(x,y)7.4.3绘制下列三维图形.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x sin cos ,clear; clc;t=0:0.01*pi:2*pi; x=cos(t); y=sin(t); z=t;plot3(x,y,z)(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=u z v u y v u x sin sin )cos 1(cos )cos 1(,u=0:pi/20:10*pi; v=0:pi/20:10*pi; x2=(1+cos(u)).*cos(v); y2=(1+cos(u)).*sin(v); z2=sin(u); plot3(x,y,z)(3) 5=z ,[x3,y3]=meshgrid(-100:100);%形成一个100×100的网格z3=5*ones(size(x3));%将Z与上面网格对应起来mesh(x3,y3,z3)(4) 半径为10的球面.x0=2;y0=3;z0=0;%球心r=10;%半径[x,y,z]=sphere;mesh(r*x+x0,r*y+y0,r*z+z0);axis equal7.4.4在同一图形窗口采用子图形式分别绘制正方形、圆、三角形和六边形.ord=[3 4 6 2^20] for i=1:4 subplot(2,2,i)theta=linspace(pi/ord(i),2*pi+pi/ord(i),ord(i)+1);%%圆等分点 plot(cos(theta),sin(theta));xlim(1.5*[-1,1]);ylim(1.5*[-1,1]);axis equal ; end7.4.5分别用plot 和fplot 函数绘制下列分段函数的曲线：⎪⎩⎪⎨⎧<--+=>+++=0 ,510 ,00 ,51)(342x x x x x x x x ffunction y=work414(x) y=[];%定义空矩阵 for i = x if i > 0y = [y, i^2+(1+i)^0.25+5]; %将算出值与矩阵y 结合形成新矩阵y elseif i == 0 y = [y, 0]; elsey = [y, i^3+sqrt(1-i)-5]; end end endclearclcx=-10:0.5:10;y=work414(x);subplot(2, 1, 1);plot(x,y)grid on; title('plot');subplot(2, 1, 2);fplot(@(x)work414(x),[-5,5])grid on; title('fplot');7.4.6某工厂2005年度各季度产值(单位：万元)分别为：450.6、395.9、410.2、450.9，试绘制折线图和柄状图，并说明图形的实际意义.subplot(1, 1, 1); clear; clc;x = 1 : 4;y = [450.6, 395.9, 410.2, 450.9];subplot(1, 2, 1);plot(x, y);title('折线图-四个季度产值变化'); xlabel('第i个季度'); ylabel('产值/万元'); grid on; axis([0, 5, 360, 480]);subplot(1, 2, 2);pie(y);title('饼图-每个季度占总产值的百分比');意义：第一季度与第四季度产值高，二三季度产值偏低7.4.7绘制一个长方形，将长方形3等份，每等份分别着不同的颜色.vert = [0, 0; 1, 0; 2, 0; 3, 0; 3, 1; 2, 1; 1, 1; 0, 1]; %画最大长方形fac = [1, 8, 7, 2; 2, 7, 6, 3; 3, 6, 5, 4];%区域涂色分割mc = jet(3);patch('Vertices', vert, 'Faces', fac, 'FaceVertexCData', mc, 'FaceColor', 'flat'); %着色函数7.4.8生成一个长方体，每小面着不同颜色，并进行光照和材质处理.clear;clc;vert = [0, 0, 0; 1, 0, 0; 1, 1, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 1; 0, 1, 1];fac = [1, 5, 6, 2; 2, 6, 7, 3; 3, 7, 8, 4; 4, 8, 5, 1; 1, 4, 3, 2;5, 8, 7, 6];mc = jet(6);patch('Vertices', vert, 'Faces', fac, 'FaceVertexCData', mc,'FaceColor', 'Flat'); % 顶点集，小面上定点axis([-0.5, 2.5, -0.5, 2.5, -0.5, 2.5]); grid on; axis square;xlabel('x-axis'); ylabel('y-axis'); zlabel('z-axis');title('方块');light('Color', 'b', 'Style', 'local', 'Position', [1, 1, 1]);lighting flat; % 均匀入射光material shiny; % 镜面反射光hold on;plot3(2, 2, 2, 'p'); text(2, 2, 2, 'light');hold off7.4.9气象变换情况的可视化：下表是气象学家测量得到的气象数据，它们分别表示在南半球地区按不同纬度、不同月份的平均气旋数字，根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图，并计算2月份在纬度11度处的气旋值.南半球气旋数据表clear;clc;x=1:12;y=5:10:85;z=[2.4 1.6 2.4 3.2 1.0 0.5 0.4 0.2 0.5 0.8 2.4 3.6 ;18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16;20.8 18.5 18.2 16.6 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5;22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6;37.3 28.8 27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4;48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9;25.6 24.2 25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3;5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.66.3 6.6;0.3 0 0 0.3 0 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.3];[xi,yi]=meshgrid(1:12,5:1:85);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');z=interp2(x,y,z,2,11,'cubic')mesh(xi,yi,zi)hold on;plot3(2,11,z,'*r')xlabel('月份'),ylabel('纬度'),zlabel('气旋'),axis([0 12 0 90 0 50])title('南半球气旋可视化图形')红点表示2月份在纬度11度处的气旋值z =16.2040。
全国数学建模大赛题目
全国数学建模大赛题目
题目一：城市交通优化方案
某城市的交通状况日益拥堵，为了解决交通问题，需要制定一个交通优化方案。
假设该城市的道路网络呈现网状结构，拥有多个交叉口和道路，每个交叉口都有多个入口和出口道路。
现在需要你们设计一个算法，以找到最优的交通优化方案，使得城市的车辆数最小化，同时满足交通流量平衡和道路容量约束。
题目二：无人机配送路径规划
某公司使用无人机进行货物配送，无人机需要从指定的起点出发，依次经过多个目标点进行货物的投放，最后返回起点。
每个目标点有不同的货物量和不同的时间窗限制。
现在需要你们设计一个路径规划算法，以最小化无人机在配送过程中的总飞行距离，同时满足货物量和时间窗的要求。
题目三：自然灾害预测与应急响应
某地区常常受到洪水的威胁，为了及时应对洪水灾害，需要建立一个洪水预测和应急响应系统。
现有该地区多个监测站点，能够实时测量水位、降雨量等数据，并预测洪水的发生时间和范围。
现在需要你们设计一个预测模型，以准确预测洪水的发生时间和范围，并制定相应的应急响应措施，以最大程度地减少洪灾对人民生命和财产的威胁。
题目四：物流中心选址与配送路径规划
某公司计划在某区域新建一个物流中心，以提高货物配送的效率。
现在需要你们选取一个最佳的物流中心位置，并设计一个配送路径规划算法，以最小化货物配送的总距离和成本。
同时，
由于该区域存在不同的道路类型和限制条件，需要考虑不同道路类型的通行能力和限制，以确保货物配送的顺利进行。
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载在物流运输中，分派与装载是一项重要的任务，旨在最大化运输效益并降低成本。
在这个案例分析中，我们将使用最优化方法来解决一个分派与装载的问题。
问题描述：一家货运公司负责将货物从一处仓库运输到多个目的地。
仓库具有不同类型的货物，每个目的地需要不同类型的货物，并且每个货物具有不同的重量和体积。
公司有多辆不同载重和容量的卡车可供选择。
目标是通过合理地分派和装载货物，使得每辆卡车的装载量最大，并且所有货物都被及时运送到目的地。
数据收集与整理：1.仓库中可用货物的类型和数量。
2.每个目的地所需货物的类型和数量。
3.每种货物的重量和体积。
4.每辆卡车的载重和容量。
问题思路及数学建模：1.首先，我们将定义一些决策变量，包括每辆卡车所装载的每种货物的数量。
令x[i,j]表示第i辆卡车所装载的第j种货物的数量（i=1,2,...,m，j=1,2,...,n，其中m为卡车数量，n为货物类型数量）。
2. 其次，我们需要定义一些约束条件，确保每辆卡车所装载的货物不超过其载重和容量。
例如，对于每辆卡车i，其载重约束可表示为∑(j=1 to n) (x[i,j] * weight[j]) ≤ max_weight[i]，其中weight[j]表示第j种货物的重量，max_weight[i]表示第i辆卡车的最大载重量。
3. 我们还应该确保每个目的地所需货物的数量都能够得到满足。
例如，对于每个目的地k，其需求约束可表示为∑(i=1 to m) x[i,k] = demand[k]，其中demand[k]表示目的地k所需货物的数量。
4. 最后，我们需要定义一个目标函数，以最大化卡车的装载量。
例如，目标函数可定义为maximize ∑(i=1 to m) ∑(j=1 to n) x[i,j]。
5.将上述决策变量、约束条件和目标函数整合在一起，形成一个数学模型。
最后，我们可以使用最优化方法，如线性规划或整数规划，来求解这个数学模型，并得到最优的分派与装载方案。
数学建模matlab编程三
数学建模matlab编程三水仙花数水仙花数是指一个3位自然数，其各位数字的立方和等于该数本身，输出1000以内的水仙花数，并求其个数。
y=[];%空矩阵count=0;for i=100:999a=rem(i,10);b=rem(fix(i/10),10);c=fix(i/100);if(a^3+b^3+c^3==i)y=[y,i];%不断扩充count=count+1;endendy,count突变素数当一个素数（只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数）与其前一个素数的差值大于等于5时，将其称之为“突变素数”(2不是“突变素数”)，求10000以内的“突变素数”的个数.y=[];k=0;count=0;for i=1:10000if isprime(i)==1if (i-k)>=5y=[y,i];count=count+1;endk=i;endendy,count结果：count=820方差分析1试验3种猪饲料的饲养效果，得到9头猪的增重(单位：kg)如下：用matlab编程做作方差分析，估计各个总体的未知参数μi 和μ。
（不允许用anova1工具箱）先用sas得到结果方便后面检验：data ex;do a=1 to 3;input n@@;do i=1 to n;input x@@;output;end;end;cards;4 51 40 43 483 23 25 262 23 28;proc anova data=ex;class a;model x=a;run;sst——(每个因素的均值-总均值)^2的和ssa——每个水平的个数*(每个水平的均值-总均值)^2的和sse=sst-ssaf=(ssa/(r-1))/(sse/(n-r)) r为水平个数a1=[51,40,43,48];a2=[23,25,26];a3=[23,28];a=[a1,a2,a3];n=length(a);b=[1 1 1 1 2 2 2 3 3];sst=0;for i=1:nsst=sst+(a(i)-mean(a))^2;endssa=0;for i=1:3an=a(b==i);num=length(an);ssa=ssa+num*(mean(an)-mean(a))^2;endsse=sst-ssa;f=(ssa/2)/(sse/(n-3));p=1-fcdf(f,2,n-3);ssa,sse,sst,f,p可以看出和sas所得结果一样方差分析2测定4种种植密度下金皇后玉米的千粒重(单位：g)如下：用matlab编程做作方差分析，估计各个总体的未知参数mi和μ。
数学建模第三次作业
院系: 数学学院专业: 信息与计算科学年级: 2014级学生姓名: 王继禹学号: 2教师姓名: 徐霞6、6 习题3、一个慢跑者在平面上沿着她喜欢的路径跑步,突然一只狗攻击她,这只狗以恒定速率跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者,计算并画出狗的轨迹。
解:(1)模型分析建立:狗的轨迹:在任意时刻,狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。
假设1:慢跑者在某路径上跑步,她的运动由两个函数X(t)与Y(t)描述。
假设2:当t=0时,狗就是在点(x0,y0)处,在时刻t时,它的位置就是(x(t),y(t))那么下列方程成立:(1)狗以恒定速率跑: X’2+y’2=w2(2) 狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量:将上述方程带入等式:,可得:再将λ代入第二个方程,可得狗的轨迹的微分方程:(2)程序及结果dog函数[dog、m]function [zs,isterminal,direction] = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dogX=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h);if nargin<3 || isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch(flag)case'events'zs = nh-1e-3;isterminal = 1;direction = 0;otherwiseerror(['Unknow flag:' flag]);endend慢跑者的运动轨迹方程,水平向右[jogger、m]function s = jogger(t);s = [8*t;0];标记的函数[cross、m]function cross(Cx,Cy,v)Kx = [Cx Cx Cx Cx-v Cx+v];Ky = [Cy Cy+2、5*v Cy+1、5*v Cy+1、5*v Cy+1、5*v] plot(Kx,Ky);plot(Cx,Cy,'o');主程序:静态显示[main1、m]global wy0 = [60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y] = ode23('dog',[0,20],y0,options);clf;hold on;axis([-10,100,-10,70]);plot(Y(:,1),Y(:,2));J=[];for h=1:length(t),w = jogger(t(h));J=[J;w'];endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;动态显示[main2、m]global w;y0=[60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options); J=[];for h=1:length(t);w= jogger(t(h));J=[J;w'];endxmin = min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax = max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin = min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax = max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;hold on;axis([xmin-10 xmax ymin-10 ymax]);title('The jogger and the Dog');for h = 1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-','Color','red','EraseMode ','none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-','Color','green','EraseMo de','none');drawnow;pause(0、1);endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12、2761812635281,在12、27秒后狗追上慢跑者。
数学建模3
数学建模3您的得分100/100答对题数15/15答题解析单选题多选题判断题1A、B两家电视机厂竞争的二人零和纯策略博弈模型中，B厂应生产的电视机型号为？[ 单选题：6 分]A 1B 2C 3D 不确定试题解析您的答案：B回答正确2二人零和纯策略博弈求解时采用的原则是？[ 单选题：6 分]A 考虑到最坏的可能性的基础上争取最好结果B 考虑到最好的可能性的基础上争取最好结果C 考虑到最坏的可能性的基础上争取最坏结果D 考虑到最好的可能性的基础上争取最坏结果试题解析您的答案：A回答正确31981年美国国会表决里根总统年度财政预算时，共和党应该采取的策略是？[ 单选题：6 分]A 大体支持里根B 反对里根C 完全支持里根D 与民主党妥协试题解析您的答案：C回答正确4A、B两家电视机厂竞争的二人零和纯策略博弈模型中，A厂应生产的电视机型号为？[ 单选题：6 分]A 1B 2C 3D 4试题解析您的答案：B回答正确51981年美国国会表决里根总统年度财政预算时，民主党应该采取的策略是？[ 单选题：6 分]A 大体支持里根B 反对里根C 完全支持里根D 弃权试题解析您的答案：A回答正确6本节讲述的矩阵博弈模型有？[ 多选题：8分]A 二人零和纯策略博弈B 二人非零和纯策略博弈C 三人零和纯策略博弈D 三人非零和纯策略博弈试题解析您的答案：AB回答正确7二人非零和纯策略博弈模型的求解原则有？[ 多选题：8分]A 理性原则B 无悔原则C 自由原则D 随机原则试题解析您的答案：AB回答正确8求纳什均衡点时，采用的方法是[ 多选题：8分]A 对赢利表中的赢利对的第一个元素按列求出最大值,将最大元素标上“*”B 对赢利对的第二个元素按行求出最大值,将最大元素标上“*”C 两个元素同时标有“*”号的即为纳什均衡点D 一个元素标有“*”号的即为纳什均衡点试题解析您的答案：ABC回答正确9二人零和纯策略博弈问题中，利用最大最小原则（最小最大原则）对A的赢利矩阵进行操作，得到的最优解aij满足？[ 多选题：8分]A aij是它所在行中的最小值B aij是它所在列中的最小值C aij是它所在行中的最大值D aij是它所在列中的最大值试题解析您的答案：AD回答正确10二人零和纯策略博弈的求解时，采用的原则可以称为？[ 多选题：8分]A 最大最小原则B 最小最大原则C 最大最大原则D 最小最小原则试题解析您的答案：AB回答正确11二人零和纯策略博弈模型中，鞍点对应的策略符合最小最大原则[ 判断题：6分]正确错误试题解析您的答案：正确回答正确12二人非零和纯策略博弈模型中，无悔原则和理性原则是一回事[ 判断题：6分]正确错误试题解析您的答案：错误回答正确13二人非零和纯策略博弈模型中，一方之所失即为另外一方之所得[ 判断题：6分]正确错误试题解析您的答案：错误回答正确14二人零和纯策略博弈模型中，一方之所失即为另外一方之所得[ 判断题：6分]正确错误试题解析您的答案：正确回答正确15二人非零和纯策略博弈模型中，对应任意的赢利矩阵，纳什均衡点必然存在[ 判断题：6分]正确错误试题解析您的答案：错误回答正确。
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数学建模第三次作业-写作训练要求：（1）在下一次上课之前将结果发到我的邮箱视为有效； （2）我的邮箱的地址为：xcg743@ （3）文件名称(word 文件）格式为： 张三(信号20081234).doc （4）写作格式要求按照正式数学建模论文格式要求进行写作，可参考我们制作的写作模板。
（5）本次作业应该重视，占期末总成绩的20分。
题目：螺旋线与平面交点的实时计算已知空间螺旋线的方程为：cos sin x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，现要求讨论任意平面0Ax By Cz D +++=与该螺旋线的交点情况，要求完成下面几个问题：（1）先建立一般的数学模型，然后就下面三个特殊的平面给出你的计算结果：①230x y ++=；②3450x y z ++=；③ 661x y z ++=。
（2）就某一种较特殊的情况进行讨论（此时A ，B ，C 大致满足某种关系），给出此时交点个数的结论并证明之。
空间平面与空间螺旋曲线交点探究 摘要本文以空间中的平面与曲线的交点个数为研究对象，详细分析了具体平面与螺旋曲线的交点和一些较为特殊的平面系列与螺旋曲线的交点，建立了简单明了的数学模型，运用数学软件mathematic 进行了详细求解。
对问题（1）由于三个平面均为具体的平面，因此求结果过程类似，具体采用的是图解分析的方法，利用图形分析简单易懂，求解迅速，而且求解的结果准确详细（详见附录1、2、3）。
对于问题（2）的求解，考虑到此题是一个较为开放的题目，因此在求解之时先假设了一些特殊关系，例如在本文中假设的关系如下：0=D ，a C a B a A 3,2,===。
利用这一特殊关系进行适当的化简就可以解出本题所探究的答案。
本文最大的特点是采用图解分析的方法，图解法直观、明了，求解快，不必采用较为繁杂的计算过程。
关键词：空间平面、空间螺旋线、交点一、问题提出螺旋线与平面交点的实时计算已知空间螺旋线的方程为：cossinx ty tz t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，现要求讨论任意平面0Ax By Cz D+++=与该螺旋线的交点情况，要求完成下面几个问题：（1）先建立一般的数学模型，然后就下面三个特殊的平面给出你的计算结果：①230x y++=；②3450x y z++=；③661x y z++=。
（2）就某一种较特殊的情况进行讨论（此时A，B，C大致满足某种关系），给出此时交点个数的结论并证明之。
二、基本假设假设空间螺旋线与所给的平面存在交点，则交点应同时满足两个方程。
三、符号说明A,B,C,D为确定平面的参数。
给定平面时的情况下A,B,C,D均为常数。
四、问题分析对于问题（1），由于是实际给出的平面，可以将所给平面的方程与螺旋线方程组合联立求解。
运用数学软件（如mathematic）求出方程组的解，若方程组有解则有所给的平面与螺旋线存在交点，若无解则证明所给的平面与螺旋线不存在交点。
因此，总的来说问题一采用方程组求解的方法得出交点是否存在。
对于问题（2），这个问题是一个思维发散型的题目，解决的方式比较开放，前提是在自定义平面的几个量之间的关系，在给定关系的前提下，找出此种情况下所给平面与螺旋线之间的交点情况，然后得出响应的结论，并对此结论给出合理的推导过程。
五、5.1问题（1）的模型建立与求解5.1.1模型Ⅰ的建立与求解对给定的平面230x y++=，要求出该平面与螺旋线的交点建立如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===032y x t z sint y cost x可以将方程组转化为关于参数t 的方程如下；03sin 2cos =++t t由mathematic 可以画出3sin 2cos ++=t t f 的函数图形如下:很显然函数f与x 轴不存在交点，即是上述方程组不存在解，故而平面032=++y x 与螺旋线不存在交点。
5.1.2模型Ⅱ的建立与求解 对给定的平面3450x y z ++=，要求出该平面与螺旋线的交点建立如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===054y 3x t z sint y cost x z将方程组转化成关于参数t 的方程如下:05sin 4cos 3=++t t t由mathematic 可以画出t t t f 5sin 4cos 3++=的函数图形如下:由图形可以知道函数f 与x 轴在原点附近存在着交点，用mathematic 找到这一交点为: t=-0.318916,将t 值分别代入x,y,z 可以求解出交点为： {0.949576,-0.313537,-0.318916}5.1.3模型Ⅲ的建立与求解 对给定的平面661x y z ++=，要求出该平面与螺旋线的交点建立如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===16y 6x t z sint y cost x z将方程组转化成关于参数t 的方程如下:01sin 6cos 6=-++t t t由mathematic 可以画出1sin 6cos 6-++=t t t f 的函数图形如下:由图形可以知道函数f 与x 轴存在着5个交点，用mathematic 找到这5个交点为: -6.08129，-4.65669，-0.596161，2.53852，5.00609 将这5个t 值分别代入x,y,z 得到5个交点坐标如下：{0.979688,0.200527,-6.08129}，{-0.0556672,0.998449,-4.65669} {0.827497,-0.56147,-0.596161}，{-0.823596,0.567176,2.53852} {0.289497,-0.957179, 5.00609}5.2问题（2）的模型建立与求解未给定的平面0Ax By Cz D +++=，现不妨假设A,B,C,D 存在某一关系，在此，我们设0=D ，a C a B a A 3,2,===。
现探索这系列的平面与螺旋线的交点。
同样地，我们先找出方程组如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++===0C By Ax t z sint y cost x D z代入所列出的A,B,C,D 的关系，将上述方程组化为一个关于t 的参数方程为：0sin cos =+++D Ct t B t A 。
化简方程可以得到：0)sin(22=++++D Ct t B A β，其中B Aarctan=β又因为0=D ，a C a B a A 3,2,===，故而有：03)sin(52=++at t a β，其中21arctanarctan ==B A β即是03)21arctansin(5=++t t令tt g 3)21arctan sin(5++=，出函数g 的图像如下：由图像可知函数与x轴的交点有且只有一个。
找到该交点为t -0.196651，进而可以求出交点为{0.980726,-0.195386,-0.196651}六、模型的评价与推广本问题中所建立的两个数学模型都比较明了简单，适用于较特殊的空间平面与空间曲线的交点。
在求解时只需变动空间曲线与平面的方程即可。
七、参考文献[1] 姜启源等, 数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003年8月[2] 田俐萍，曹思越主编，高等数学（第二版），成都：西南交通大学出版社，2008年6月八、附录8.1 附录清单附录1：求解问题（1）Ⅰ的Mathematica程序附录2：求解问题（1）Ⅱ的Mathematica程序及完整数据结果附录3：求解问题（1）Ⅲ的Mathematica程序及完整数据结果附录4：求解问题（2）的Mathematica程序8.2 附录正文附录1：求解问题（1）Ⅰ的Mathematica程序Plot[Cos[t]+2*Sin[t]+3,{t,-20,20}]附录2：求解问题（1）Ⅱ的Mathematica程序及完整数据结果程序：Plot[3*Cos[t]+4*Sin[t]+5*t,{t,-20,20}]FindRoot[3*Cos[t]+4*Sin[t]+5*t,{t,0}]数据结果：{t -0.318916}{t -0.3189157876728618`}{Cos[t],Sin[t],t}/.%{t -0.318916}{0.949576,-0.313537,-0.318916}{0.9495759170375146`,-0.3135372031870588`,-0.3189157876728618`}附录3：求解问题（1）Ⅲ的Mathematica程序及完整数据结果程序：Plot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-20,20}]FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-6}]数据结果：FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-6}]{t -6.08129}{t -6.0812897657518254`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t -6.08129}{0.979688,0.200527,-6.08129}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-5}] {t -4.65669}{t -4.6566929735375435`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t -4.65669}{-0.0556672,0.998449,-4.65669}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,0}] {t -0.596161}{t -0.5961613213609774`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t -0.596161}{0.827497,-0.56147,-0.596161}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,2}] {t 2.53852}{t 2.538519185981246`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t 2.53852}{-0.823596,0.567176,2.53852}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,4}] {t 5.00609}{t 5.00609042149173`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t 5.00609}{0.289497,-0.957179,5.00609}附录4：求解问题（2）的Mathematica 程序g Plot5Sin t ArcTan 1 23t,t ,FindRoot5Sin t ArcTan 1 2 3t,注：上课时间周六上午第一讲1、 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法，假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：解：我们假定池中只有一种鱼。