回溯法在0_1背包问题中的应用

用值或称价值Pi。 他的问题就是在不超过背包载重量W的前提 下，优化所能携带的物品的总价值P。
该问题是0-1背包问题的一个典型实例。 其数学描述为：n 个物 品 ，重 量 分 别 为wi、价 值 分 别 为pi，其 中0≤i≤n-1，背 包 的 载重量为W。 用xi表示物品Vi被装入背包的情况，如果物品Vi被
{（x0，x1，…，xn-1）|xi=0或xi=1}。 若n=3，则此0-1背包问题的解空间 为 {（0，0，0）， （0，0，1）， （0，1，0）， （0，1，1）， （1，0，0）， （1，0，1）， （1，1，0），（1，1，1）}。 3.2 确定解空间的结构
可以用树的形式将解空间表达出来。 树中从第i层到第i+1 层 的 边 上 的 值 表 示 解 向 量 中 xi的 取 值 ， 并 假 定 第 i 层 的 左 子 树 描 述 物 品Vi被 装入 背 包 的 情 况 ， 右 子 树 描 述 物 品Vi被 拒 绝 的 情 况 。 则 该0-1背 包 问 题 的 状 态 空 间 树 就 表 示 为 一 棵 高 度 为 n的 完 全二叉树（如图1所示）。 从根结点到叶子结点的任一路径就对 应解空间中的一个解向量。 3.3 搜索解空间
n-1
Σ 选中，则xi=1；否则，xi=0。求满足目标函数P=max pixi和约束方 i=1 n-1
Σ 程 wixi≤W的物品组合（x0，x1，…，xn-1）与相应的总价值P。 i=1
3 回溯法求解0-1背包问题
3.1 定义问题的解空间 根 据 上 述 0-1背 包 问 题 的 数 学 描 述 ，解 向 量 可 以 表 示 成 X=
0-1背 包 问 题 。
关 键 词 ：回 溯 法 ；0-1背 包 问 题 ；求 解 ；解 空 间
中 图 分 类 号 ：TP312
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1672-7800 （2008）12-0054-02
0 引言
回溯法是算法设计的基本方法之一， 又称“通用解题法”。 使用回溯法可以系统地搜索所给问题的一个解或全部解。它适 用于求解一些涉及到寻找一组解的问题或者求满足某些约束 条件的最优解问题， 且适用于求解组合数量较大的问题。 因 此，了解回溯法的基本思想与解题步骤对解决现实生活中的诸 多问题具有非常重要的意义。
作 者 简 介 ：徐 颖 （1980~），女 ，江 苏 丰 县 人 ，西 安 石 油 大 学 计 算 机 学 院 硕 士 研 究 生 ，研 究 方 向 为 算 法 分 析 与 设 计 。
第 12 期
徐 颖:回溯法在 0-1 背包问题中的应用
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图1 n=3时0-1背包问题的状态空间树
求以后，无法达到目标函数的要求。 因此，最好优先选择那些既 能使目标函数的值增加最快， 又能使背包载重量消耗速度较慢 的物品装入背包 。 为了达到这个目的，首先把所有物品按价值重 量比的非增顺序排列，然后按照这个顺序进行搜索。
2005. （责任编辑：袁 月）
2 0-1背包问题
背包问题在现实生活中有着广泛的应用背景， 如预算控 制、项目选择、材料切割、货物装载等问题。 如果对每个对象只 提 供 两 种 选 择 ：全 部 接 受 或 全 部 拒 绝 ，则 该 背 包 问 题 就 是 0-1背 包问题。
假定一个旅行爱好者准备带着一个背包去旅行。进一步假 定旅行者知道背包所能承受的最大负荷为W，以及他想要携带 的n个不同的有用物品集，如帐篷、水壶、压缩饼干、洗漱用品 等，每个物品要么全部接受，要么全部拒绝。 假设每个物品i由 两个值来表征 ：一个是重量值Wi，一个是旅行者赋予物 品 的有
{ cw+=w［i］; //改变背包当前重量 b+=p［i］; //改变当前总价值
x［i］=1;//物 品 i装 入 背 包 } else b+=p［i］/w［i］*（c-cw）; } return b; //背包装满， 将所有物品的的总价值作为一个上 限返回 3.5 结果 基于上述思想设计的回溯算法运行结果如图２所示。
５ 结束语
综上所述，回溯法虽然是通过搜索问题的解空间来得到问 题的解，但它并不是首先生成问题的所有可能解，然后再去逐 一判断这些解是否满足约束条件和目标函数，而是每次只构造 可能解的一部分，然后评估这部分解。 如果这部分解有可能导 致当前最优解，则对其进一步构造；否则，就放弃这部分解，回 溯搜索其他可行解。因此，回溯法常常可以避免许多无效搜索。 以上算法在VC++ 6.0环境下得到验证， 实践证明了回溯法可以 有 效 地 解 决 0-1背 包 问 题 。 参考文献： ［1］ 王晓东.算法设计与分析［M］.北京：清华大学出版社，2003. ［2］ 王红梅.算法设计与分析［M］.北京：清华大学出版社，2006. ［3］ 霍 红 卫.算 法 设 计 与 分 析 ［M］.西 安 ：西 安 电 子 科 技 大 学 出 版 社 ，
1 回溯法的基本思想
回溯法通过系统地搜索一个问题的解空间来得到问题的 解。 为了实现回溯，首先需要针对所给问题，定义其解空间。 这 个解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。然后组 织解空间，确定易于搜索的解空间结构。 典型的组织方法是图 或树。 一旦定义了解空间的组织方法，即可按照深度优先策略 从开始结点出发搜索解空间。并在搜索过程中利用约束函数在 扩展结点处剪去不满足约束的子树，用目标函数剪去得不到最 优解的子树，避免无效搜索。
第7卷%第12期 2008年 12 月
软件导刊 Software Guide
Vol.7 No.12 Dec. 2008
回溯法在0-1背包问题中的应用
徐颖
（西安石油大学 计算机学院，陕西 西安 710065）
摘 要：结合0-1背包问题介绍了回溯法的基本思想和解题步骤 ，并在VC++ 6.0环境下验证了回溯法可以有效地解决
（1）按 价 值 重 量 比 的 非 增 顺 序 排 列 物 品 。 （2）初始化：当前背包重量cw为0，当前背包中物品总价值cp 为0，当前搜索深度i为0，当前解向量为x［i］=0，当前最优值p为0。 （3）调 用 限 界 函 数 。 （4）如 果 返 回 的 上 限 大 于 当 前 最 优 值 p，从 物 品 Vi开 始 把 物 品装入背包 ，直至没有物品可装或装 不下 物 品Vk为 止 ，并 生成 部分解。 转步骤（5）；否则，转步骤（6）。 （5）如 果k大 于 或 等 于 物 品 总 数 量 n，则 得 到 一 个 可 行 解 ，并 把 该 可 行 解 的 值 作 为 当 前 最 优 值 ，令 i=n，转 步 骤 （3），以 便 回 溯 搜 索 其 他 可 行 解 ； 否 则 ， 令 i=k+1， 拒 绝 物 品 k， 从 物 品 k+1 继 续 装 入 ，转 步 骤 （3）。 （6）当k>=0且 x［k］=0时 ，令 k=k-1，直 至 条 件 不 成 立 。 即 沿 着 右分支结点方向向上回溯，直至左分支结点。 （7）如 果 k<0，算 法 结 束 ；否 则 ，转 步 骤 8. （8）令x［k］=0，cw=cw-w［k］，cp=cp-w［k］，i=k+1，转步骤（3）。 其中， 限界函数用来估计由当前部分解可获取的最大价 值。 描述如下： b=cp;//变 量 b用 来 存 储 改 变 后 的 总 价 值 for（i<n;i++） //逐一考察各物品 { if（cw+w［i］<=c） // cw+w［i］没有超过背包容量
ห้องสมุดไป่ตู้图2 0-1背包问题的回溯法运行结果
4 算法分析
回溯算法的运行时间取决于它在搜索过程中所生成的结 点数。 而限界函数可以大大减少所生成的结点个数， 避免无效 搜索，加快搜索速度。 但调用限界函数计算上界需花费O（n）时 间。 最坏情况下有O（2n）个右儿子结点需调用限界函数 ， 故计 算0-1背包问题的回溯算法的时间复杂度为 O（n2n）。 回溯法的 另一个重要特性就是在搜索执行的同时产生解空间。在搜索过 程中的任何时刻， 仅保留从开始结点到当前可扩展结点的路 径， 其空间需求为O（从开始结点起最长路径的长度）。所以，该 算 法 的 空 间 复 杂 度 为 O（n）。
构造出问题的状态空间树以后，就可以从其根结点出发搜 索解空间 ，即决定每个物品的取舍 。 为了使目标函数的值增加最 快，可以优先选择价值最大的物品装入背包，然后是价值量次之 的 物 品 … … 直 至 背 包 装 不下 为 止 。 但 是 ，如 果所 选 择 的 物 品 重量 很大，使得背包载重量消耗速度太快，以至后续能装入背包的物 品迅速减少， 使得继续装入背包的物品在满足了约束方程的要
在装包过程中，要尽量优先选择价值重量比较高的物品装 入背包。表现在搜索过程中，就是要尽量沿着左子树结点前进。 当不能继续前进时（假设该结点为T），就得到问题的一个部分 解，并把搜索转移到右子树。 估计由该部分解所能得到的最大 价值，即结点T的上限。 可以用贪婪算法处理剩余物品：将按照 价值重量比非增顺序排列的剩余物品依次装入背包，至无法完 全装入下一个物品时，就将该物品的一部分装满背包。 这样就 可以得到一个上限。 如果该值为当前最优值：继续由右子树向 下搜索，扩大部分解，直至找到可行解；保存可行解，并把可行 解的值作为当前最优值，向上回溯，寻找其他可行解；若该值小 于当前最优值：丢弃当前正在搜索的部分解，向上回溯。反复使 用此方法，直至搜索完整个解空间。 3.4 应用回溯法求解0-1背包问题的算法步骤