§7.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量
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定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
7
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动
量之和．
Li miri2
L Li (miri2) ( miri2 ) J
i
i
i
刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的 转动惯量与角速度的乘积．方向沿该转动 轴，并与这时转动的角速度方向相同．
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
与OB方向成θ角，则有
l0 (m M)v1 l(m M)v2 sin
v2
(m
m2 M)2
v02
k(l m
l0 )2 M
arcsin
l0mv0
l m2v02 k(l l0 )2 (m M)
第3章 刚体力学基础
3.质点角动量守恒定律
若 M 0 ，则
r L
rr
mvv 常数
质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
刚体定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量•转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量1、转动惯量定义：说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。
2、转动惯量的计算：①质量不连续分布情况：其中：表示质点对转轴的距离。
②质量连续分布的情况：3、平行轴定理若两轴平行，距离为d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为,则刚体对一轴转动惯量为：证明：如右图示，刚体的二轴分别为z和轴，由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。
4、垂直轴定理：（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度）即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。
证明：如右图所示，则：∴注意：垂直轴定理适用条件：x、y、z轴过同一点，且互相垂直，z轴垂直于板面x、y轴在板面内。
例1：均质杆长l，质量为m，求对过杆一端点的转动惯量。
解：由平行轴定理：例2：求一薄板质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量I。
解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）：解法二：由垂直轴定理：又∵∴二、刚体定轴转动的动力学方程——对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为z轴）的角动量：应用质点系对Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中为外力对Z轴的力矩；为刚体的角加速度在Z轴上的投影，可正可负。
三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量以质量相等的两质点m，中间以一轻连杆组成刚体，绕Z轴转动为例，如图示：设，杆与水平方向成α角，求此刚体对轴上任一点O的角动量。
∵∴若Z轴过杆的中点，即：，则有：上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量不一定沿转轴方向（或方向）。
四、刚体的重心1、定义：刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作重心。
2、重心的位置与质心有何关系：如果刚体的形状不是特别大，保证各处的是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点o的力矩：∴一般有，且与不平行，故有：∴即：重心和质心重合。
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
典型例子
[例题]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中
左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
7 9
2 处，闸 R 3
门及钢架对质点的总转动惯量为 I mR 2 ,可用钢丝 绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架 部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为 重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理 FT FN W mac 向x及y轴投影得
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
2
人— ，盘— （对地的角位移） d d m 1 2 dt dt
I1d I 2 d
1 2 0
2
1 M 2
I d I d
0
2m 2 2m M
例：
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时， 两者静止．求：人在盘上沿边 缘走过一周时，盘对地面转过 的角度．
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
刚体定轴转动的力矩转动定律转动惯量资料重点
L L/ 2
12
例2、均质细圆环的转动惯量
任取线元dl ， dm=dl，距离轴 r
I r2dm r2 dm mr2
例3、质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量
可看作由半径不同的圆环构成，盘面
单位面积的质量为 m R2
任取面元ds（离r 远处dr 宽细环）
R
dm 2rdr
对转动惯量的贡献为: dI r2dm 2 r3dr
5）假想将物体的质量集中在半径为 rc 的细圆环
上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体 的回转半径.
I mrc2
注意
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状 及转轴的位置 .
说 明：
（1）实际上只有对于形状简单、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分的方法算出它们的转动惯量。
（2）对于任意刚体的转动惯量，通常是用实验的方法 测定出来的。
2、M 符号 ——使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；
确定了转轴方向时， M 方向与转轴方向相同取为正;
M 方向与转轴方向相反取为负.
§ 转动惯量的计算
1、定义（对轴）:
I miri2
i
（ri 为质元相对于转轴的垂直距离）
dm ➢ 物理意义：描述刚体对轴转动惯
性大小的物理量.
m
r
理论计算:
JC
J
Cdm
平行
1）对同一轴 I 具有可叠加性
I Ii
2）平行轴定理
I Ic md 2 d --两平行轴距离
2） 平行轴定理
质量为m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为 JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
IO IC md 2
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
dt 2
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，
刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不
同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，
但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平 面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通
过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴
的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转
轴的方位，可以统一地用角速度矢ω量 来描ω述。 的大小d
7.3.6
7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1
§1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保
持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， θ称为角坐标， 规定逆时针方向转动的θ为 正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转 动的运动学方程。
都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学 （对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，
刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不
同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，
但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平 面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通
过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴
的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转
轴的方位，可以统一地用角速度矢ω量 来描ω述。 的大小d
7.3.6
7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1
§1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保
持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， θ称为角坐标， 规定逆时针方向转动的θ为 正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转 动的运动学方程。
都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学 （对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
大学物理-刚体绕定轴转动的角动量
M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒 力的功 动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心 的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线 （称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大 推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由 于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使 它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。 若整个流体沿水平方向加速运动？ 加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解 由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa
漆安慎《力学》教案第07章 刚体力学
角速度 lim Δ d
Δt0 Δt dt
在定轴转动中, 只有两个转向
第七章 刚体力学
P(t+t )
+ P(t)
O
x
逆时针转动时 >0； 顺时针转动时 < 0.
角速度用每分 n 转表示时： 2πn πn rad/s
60 30
类似地可得： 角加速度
lim Δ d
d (t)dt
t
0
(t)dt
0
d (t) dt
t
0
(t)dt
0
匀速转动时 =常量
匀变速转动时 =常量
0 t 0 t
0
t
1 t2
2
2 02 2（ 0）
与质点作匀速或匀变速直线运动的公式完全对应!!!
特点
(1) 刚体可以看成由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元
(2) 刚体内任意两点间的距离保持不变. 所以将刚体称为“不变质点系”.
研究刚体的基本方法 将刚体看作质点系，并运用已知的质
点系的运动规律去研究.
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第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
刚体最基本的运动形式有： ⑴平动；⑵绕固定轴的转动；⑶平面运动
r j
z
r k
其中
x
dx
dt
y
dy
dt
z
dz
dt
当刚体作定轴转动时，可令转轴与 z 轴重合，
则有
x y 0 x y
r
z
r k
Δt0 Δt dt
在定轴转动中, 只有两个转向
第七章 刚体力学
P(t+t )
+ P(t)
O
x
逆时针转动时 >0； 顺时针转动时 < 0.
角速度用每分 n 转表示时： 2πn πn rad/s
60 30
类似地可得： 角加速度
lim Δ d
d (t)dt
t
0
(t)dt
0
d (t) dt
t
0
(t)dt
0
匀速转动时 =常量
匀变速转动时 =常量
0 t 0 t
0
t
1 t2
2
2 02 2（ 0）
与质点作匀速或匀变速直线运动的公式完全对应!!!
特点
(1) 刚体可以看成由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元
(2) 刚体内任意两点间的距离保持不变. 所以将刚体称为“不变质点系”.
研究刚体的基本方法 将刚体看作质点系，并运用已知的质
点系的运动规律去研究.
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第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
刚体最基本的运动形式有： ⑴平动；⑵绕固定轴的转动；⑶平面运动
r j
z
r k
其中
x
dx
dt
y
dy
dt
z
dz
dt
当刚体作定轴转动时，可令转轴与 z 轴重合，
则有
x y 0 x y
r
z
r k
03刚体的定轴转动
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
24
转动中的功和能
一. 力矩的功
设刚体上P点受到外力 F 的作用， z
位移为 d
r,
dW F ds
功为 d
三. 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚
体做匀变速转动 .
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2 v02 2a(x x0 )
2 02 2 ( 0 )
5
定轴转动刚体的 转动定律 力矩 角动量 转动惯量
Li
质元mi对转轴Z的角动量为：
x
Liz
Li
cos( π 2
)
mi Riv i
sin
mi ri vi
对组成刚体的所有质元的角动量求和
z
vi
mi
ri Li
Ri
O
y
Lz Liz (rimivi) (miri2)ω
9
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J miri2
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
i
Lz Jω
刚体绕OZ轴转动的角动量
注意：
转动惯量、角动量都是相对量，都必须指明它们是
第七章-刚体力学I
弧长
s r
y
et
线速度
切向加速度 法向加速度
vt r
at r
an vt r
2
r O
2
s
x
r
注: r 的原点必须在转轴上.
三、角速度矢量
角速度是矢量，其方向沿转轴且与
刚体转动方向成右手螺旋系统.
若刚体同时参与两个轴的转动，则 合成角速度按平行四边形法则进行合成.
k
r1
r2
v1 v 2 r
2.转轴为非对称轴
如图, k 对O点同样有
L1 r1 m 1 v 1 m 2v2 L 2 r2 L L1 L 2
L1 r1m 1 v 1 L 2 r2 m 2 v 2
轴与屏幕垂直.
y
2 1
r A
y
rB
B
x
x
O
刚体平面运动 = 基点B的平动 + 绕B点轴定轴转动
rB ( t ) x B ( t )i y B ( t ) j
(t )
3. 平面运动的刚体上任意一点的速度
y
平面上A点相对于Oxy系的位置矢量
r rB r
*注：角速度总是与无限小角位移相联系, 无限小角位移是矢量, 所以角速度也是矢量.
A'
O
A''
2
而有限角位移不是矢量.
O
1
A
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
x i y j z k
d dt x i y j z k
物理-刚体定轴转动的角动量与转动惯性
一、刚体对定轴的角动量
刚体相对转轴的角动量 量 值
(1) I 为刚体对转轴的转动惯量
(2)角动量 与角速度
L z
的方向沿转轴， 的方向相同。
z
Lz I
二、刚体对定轴的转动惯量
说明
1、对同一轴的转动惯量具有可加性； 2、刚体的转动惯性不仅与其质量有关，
还与其形状、大小、质量分布及转轴的位 置有关；
二、刚体对定轴的转动惯量
3、对于质量连续分布 的刚体
dm
V 表示刚体所占据的空间 区域。
二、刚体对定轴的转动惯量
质量为线分布
dl
质量为面分布
dS dS
质量线密度： 质量面密度：
质量为体分布
dV dV
质量体密度：
关键在于根据质量分布特点，选取恰当的质量微元！
二、刚体对定轴的转动惯量
例1：分别求匀直细杆对质心轴、端垂轴的转动惯量 设单位长度的质量（质量的线密度）为 dm dr
（轴与圆环平面垂直并通过圆心）
解： 在细圆环上任取一质元dm
OR dm
讨论：(1) 质量与半径均相等的匀质薄圆筒对同一轴 的I =？ 结果：同匀质细圆环！ 原因：对同一轴的质量分布没变！
二、刚体对定轴的转动惯量
例2 求质量为m、半径为R的匀质细圆环的转动惯量。
（轴与圆环平面垂直并通过圆心） 解： 在细圆环上任取一质元dm
第十六讲
刚体对定轴的角动量与转动惯量
一、刚体对定轴的角动量
刚体相对转轴的角动量
定 义
刚体相对转轴任一点的角 动量沿转轴的分量。
量 值
一、刚体对定轴的角动量
(1) 质元
量
Li
m对i 转轴上o点的角动
刚体运动学、转动惯量、定轴转动
角量
角速度
v r
r
线量 速度
v
角加速度
定轴转动的特点
加速度
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一维（类似质点的直线运动）
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
转过的圈数 （2）t
75π N 37.5 r 2π 2π
6s 时，飞轮的角速度
π 0 t 5 π 6 4 π rad s 1 6
t （ 3）
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
平动：若刚体中所有点的运 动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平 行于它们的初始位置间的连线
刚体平动
质点运动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
A
刚体的一般运动
d dt d d 2
dt dt
2
a
an r
v ret
at r an r
2
et v a
t
2 a ret r en
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
物理学刚体力学
[例题4]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方质点 转动，总质量为m,质心在距转轴32 R处，闸门及钢架对质点的总 转动惯量为I 7 m R2,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认
9 为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为
a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
y
平面上A点相对于Oxyz系的位置矢量
r rB r
y rB
r是A点
相v对Bd点r
的位矢
drB
dt dt
dr dt
vB
O
v
r A
B
x
x
刚体绕过基点的角速度
v
r
v vB r
基点通常选择质心
17
3.无滑滚动(纯滚动)条件 (1)有滑动滚动和无滑动滚动 有滑滚动——接触面之间有相对滑动的滚动(摩擦力不够大). 无滑滚动——接触面之间无相对滑动的滚动(摩擦力足够
dL 0,
dt L 恒矢量
Mz
r1F1 sin
Mz
r1F1 sin
L Li ri mivi
i
i
Mi
M
i内
M i外
M i外
Lz rimivi sin i
M iz
M
iz内
M iz外
M iz外
Mz
dLz dt
M i外
dLi dL dt dt
d M i外z dt
vc
2 3
3gh
22
大) 也称纯滚动.
无滑滚动条件: vcy zr
v
vc
y
r
vc
v
C
vc
P
A
9 为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为
a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
y
平面上A点相对于Oxyz系的位置矢量
r rB r
y rB
r是A点
相v对Bd点r
的位矢
drB
dt dt
dr dt
vB
O
v
r A
B
x
x
刚体绕过基点的角速度
v
r
v vB r
基点通常选择质心
17
3.无滑滚动(纯滚动)条件 (1)有滑动滚动和无滑动滚动 有滑滚动——接触面之间有相对滑动的滚动(摩擦力不够大). 无滑滚动——接触面之间无相对滑动的滚动(摩擦力足够
dL 0,
dt L 恒矢量
Mz
r1F1 sin
Mz
r1F1 sin
L Li ri mivi
i
i
Mi
M
i内
M i外
M i外
Lz rimivi sin i
M iz
M
iz内
M iz外
M iz外
Mz
dLz dt
M i外
dLi dL dt dt
d M i外z dt
vc
2 3
3gh
22
大) 也称纯滚动.
无滑滚动条件: vcy zr
v
vc
y
r
vc
v
C
vc
P
A
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a
2 a 2 h / t 自由落体公式：
r
I+I0
T m
T
mg
联系方程： a / r 2h / (rt 2 )
解得：
2 gt I mr 2 ( 1) I 0 2h
例3 已知：弧形闸门 例3 ， R，m， rc 2 3 R o(z) 2 Io 7 9 mR ，a 0.1g，
I x 2 dm x 2 dx
1 3 x 3
l 2 l 2
l 2 l 2
l/2 O
l/2 x dx
x
l3 12
m l3 m 1 将 代入, I ml 2 l 12 l 12
例2 均匀细棒绕垂直于通过左端点转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
i i
I x mi yi2
i
I y mi xi2
i
因此， I
z
Ix Iy
特例：薄圆板 Ix =Iy=mR2/4
6、性质
转动惯量具有可加性 刚体对某轴的转动惯量
各个部分对转轴转动惯量的和
=
例
o l r
Io I杆o I盘o
1 I 杆o m l l 2 3 1 I 盘o mr r 2 mr (r l ) 2 2
T1
x T2 m2 a2 N
[解]建立坐标系，令 x 轴坚直向上， m1 取逆时针方向为正的转动方向。 a1
m1 g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2
1 T1 R T2 R mR 2 2
T1
T2
mg
例1
a1 a2 R 由于绳子不可伸长且不打滑 ，
因不计绳的质量
§7.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量
一、刚体定轴转动的角动量
Liz rm i i υi
Lz Li z rm i ii
i
z
vi ri mi
i
O
i ri
Lz (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ mi ri 2 ) I z
i
二、刚体对转轴的转动惯量
1、定义：
2 I m r ①质量不连续分布情况： z i i i
T2 T2 , T1 T1
2(m1 m2 ) g 上述方程联立求解可得：a1 a2 m 2(m1 m2 ) (m 4m2 )m1 (m 4m1 )m2 T1 g, T2 g m 2(m1 m2 ) m 2(m1 m2 )
m1 m2 若滑轮质量 m 0, T1 T2 , a g m1 m2
I r
I0
m
例2 已知：转台的转动惯量为 I0，轮 例2 轴半径r，重物质量为m, 由静止落下 的高度为h，所用时间为t， 求：物体的转动惯量I。 解：分别以转动系统和重物m为研 h,t 究对象，受力及运动情况如图所示。 由转动定理： Tr ( I I0 )
由牛顿第二定律：mg T ma
令 R1 R2 R ，即得细圆环的转动惯量：I mR2
2 令 R1 0, R2 R，即得圆盘的转动惯量：I 1 mR 2
几种典型形状刚体的转动惯量
ω
L
R
R1
R2
1 圆柱 I mR 2 2
ω
1 2 ) 圆筒 I m( R12 R2 2
ω
R
R
圆球
球壳
2 I mR 2 5
dI r 2dm r 2 2 rdr 2 r 3dr
R2 3
r dr
1 4 R2 1 m 4 4 I 2 r dr 2 r |R1 ( R R 2 1 ) 2 2 4 2 ( R2 R1 ) R1 2 2 1 m ( R R （证毕） 1 2 ) 2
r o
R r
Io I1o I 2o Io
I1o I 2 o 1 R 2 2 mr m ( ) 2 2
三、刚体定轴转动的转动定理
刚体的角动量：Lz=Izz
dLz d I z z d z Mz Iz I z z dt dt dt
比较： F dp d ( mv ) m dv ma
②质量连续分布的情况： 2、物理意义：
I z r 2dm
I 是物体转动时惯性大小的量度； m 是物体平动时惯性大小的量度。
3、因素 转动惯量的大小取决于刚体的质量、质量相对 转轴的分布及转轴的位置.
4、刚体对转轴的转动惯量的计算 例1：均匀细棒绕垂直于通过质心转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
dt dt dt
解题步骤
(1)确定研究对象 (2)作隔离体图，分析受力、力矩情况 (3)分析运动情况，判断加速度、角加速度 (4)建立坐标系，列方程
质点：牛顿第二定律
刚体：质心运动定理、转动定理 联系方程 (5)求解，进行讨论
例1 阿特伍德机，m1>m2 ，滑轮的半径 为 R，质量为 m 。求：它们的加速 度及绳两端的张力 T1 和 T2 。
2 I mR 2 3
5、定理 平行轴定理 若两轴平行，距离为 d ，其中一轴过质心，刚 体对它的转动惯量为 Ic , 则刚体对另一轴转动惯
IC
I
量为：I = Ic + md2
5、定理 垂直轴定理( 仅适用于厚度无穷小的薄板 )
Iz I x I y
证明：
I z mi ri2 mi xi2 yi2
I x dm x dx
2 2 0 l
l O’ x dx
x
1 3 x 3
l 0
l3 1 2 ml 3 3
I o
l 2 Io m( ) 2
例3 证明：空心圆盘对过质心与盘面垂直的轴的转 动惯量
I m( R1 R2 )
1 2 2 2
R2
R1
证明：在坐标r处取宽度为dr的 细圆环为微元，其转动惯量为：
y N
C
T
a x
mg
求:开始提升瞬时的拉力T和支撑力N？
解：以弧形闸门及钢架为研究对象，建立如图所示 坐标系，取逆时针方向为正的转动方向。 由质心运动定理： T N mg mac
由转动定理：
联系方程：
解得：
TR mg 2 3 R I o a 2 ; ac rc a R 3 67 29 T mg; N mg 90 90
2 a 2 h / t 自由落体公式：
r
I+I0
T m
T
mg
联系方程： a / r 2h / (rt 2 )
解得：
2 gt I mr 2 ( 1) I 0 2h
例3 已知：弧形闸门 例3 ， R，m， rc 2 3 R o(z) 2 Io 7 9 mR ，a 0.1g，
I x 2 dm x 2 dx
1 3 x 3
l 2 l 2
l 2 l 2
l/2 O
l/2 x dx
x
l3 12
m l3 m 1 将 代入, I ml 2 l 12 l 12
例2 均匀细棒绕垂直于通过左端点转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
i i
I x mi yi2
i
I y mi xi2
i
因此， I
z
Ix Iy
特例：薄圆板 Ix =Iy=mR2/4
6、性质
转动惯量具有可加性 刚体对某轴的转动惯量
各个部分对转轴转动惯量的和
=
例
o l r
Io I杆o I盘o
1 I 杆o m l l 2 3 1 I 盘o mr r 2 mr (r l ) 2 2
T1
x T2 m2 a2 N
[解]建立坐标系，令 x 轴坚直向上， m1 取逆时针方向为正的转动方向。 a1
m1 g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2
1 T1 R T2 R mR 2 2
T1
T2
mg
例1
a1 a2 R 由于绳子不可伸长且不打滑 ，
因不计绳的质量
§7.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量
一、刚体定轴转动的角动量
Liz rm i i υi
Lz Li z rm i ii
i
z
vi ri mi
i
O
i ri
Lz (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ mi ri 2 ) I z
i
二、刚体对转轴的转动惯量
1、定义：
2 I m r ①质量不连续分布情况： z i i i
T2 T2 , T1 T1
2(m1 m2 ) g 上述方程联立求解可得：a1 a2 m 2(m1 m2 ) (m 4m2 )m1 (m 4m1 )m2 T1 g, T2 g m 2(m1 m2 ) m 2(m1 m2 )
m1 m2 若滑轮质量 m 0, T1 T2 , a g m1 m2
I r
I0
m
例2 已知：转台的转动惯量为 I0，轮 例2 轴半径r，重物质量为m, 由静止落下 的高度为h，所用时间为t， 求：物体的转动惯量I。 解：分别以转动系统和重物m为研 h,t 究对象，受力及运动情况如图所示。 由转动定理： Tr ( I I0 )
由牛顿第二定律：mg T ma
令 R1 R2 R ，即得细圆环的转动惯量：I mR2
2 令 R1 0, R2 R，即得圆盘的转动惯量：I 1 mR 2
几种典型形状刚体的转动惯量
ω
L
R
R1
R2
1 圆柱 I mR 2 2
ω
1 2 ) 圆筒 I m( R12 R2 2
ω
R
R
圆球
球壳
2 I mR 2 5
dI r 2dm r 2 2 rdr 2 r 3dr
R2 3
r dr
1 4 R2 1 m 4 4 I 2 r dr 2 r |R1 ( R R 2 1 ) 2 2 4 2 ( R2 R1 ) R1 2 2 1 m ( R R （证毕） 1 2 ) 2
r o
R r
Io I1o I 2o Io
I1o I 2 o 1 R 2 2 mr m ( ) 2 2
三、刚体定轴转动的转动定理
刚体的角动量：Lz=Izz
dLz d I z z d z Mz Iz I z z dt dt dt
比较： F dp d ( mv ) m dv ma
②质量连续分布的情况： 2、物理意义：
I z r 2dm
I 是物体转动时惯性大小的量度； m 是物体平动时惯性大小的量度。
3、因素 转动惯量的大小取决于刚体的质量、质量相对 转轴的分布及转轴的位置.
4、刚体对转轴的转动惯量的计算 例1：均匀细棒绕垂直于通过质心转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
dt dt dt
解题步骤
(1)确定研究对象 (2)作隔离体图，分析受力、力矩情况 (3)分析运动情况，判断加速度、角加速度 (4)建立坐标系，列方程
质点：牛顿第二定律
刚体：质心运动定理、转动定理 联系方程 (5)求解，进行讨论
例1 阿特伍德机，m1>m2 ，滑轮的半径 为 R，质量为 m 。求：它们的加速 度及绳两端的张力 T1 和 T2 。
2 I mR 2 3
5、定理 平行轴定理 若两轴平行，距离为 d ，其中一轴过质心，刚 体对它的转动惯量为 Ic , 则刚体对另一轴转动惯
IC
I
量为：I = Ic + md2
5、定理 垂直轴定理( 仅适用于厚度无穷小的薄板 )
Iz I x I y
证明：
I z mi ri2 mi xi2 yi2
I x dm x dx
2 2 0 l
l O’ x dx
x
1 3 x 3
l 0
l3 1 2 ml 3 3
I o
l 2 Io m( ) 2
例3 证明：空心圆盘对过质心与盘面垂直的轴的转 动惯量
I m( R1 R2 )
1 2 2 2
R2
R1
证明：在坐标r处取宽度为dr的 细圆环为微元，其转动惯量为：
y N
C
T
a x
mg
求:开始提升瞬时的拉力T和支撑力N？
解：以弧形闸门及钢架为研究对象，建立如图所示 坐标系，取逆时针方向为正的转动方向。 由质心运动定理： T N mg mac
由转动定理：
联系方程：
解得：
TR mg 2 3 R I o a 2 ; ac rc a R 3 67 29 T mg; N mg 90 90