空间几何体的表面积和体积讲解与经典例题

空间几何体的表面积和体积

一．课标要求：

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．命题走向

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色：

（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；

三．要点精讲

1．多面体的面积和体积公式

侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式

表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。

四．典例解析

题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨

⎧=++=++24

)(420

)(2z y x zx yz xy )2()1(

由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16

所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=

3

π

。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ，

∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos

3

π

=3×21=23

∴AO=4

cos

πAM =223

。

又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－

29=2

9，

P

A

B C

D

O E ∴A 1O=

223，平行六面体的体积为2

2

345⨯

⨯=V 230=。 题型2：柱体的表面积、体积综合问题

例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．2

3

B ．3

2

C ．6

D ．

6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝

2，c ＝3，则对角线l 的长为

l =6222=++c b a ；答案D 。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1

将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，

∴S △AEF =

4

1S, V 1=

31h(S+41S+41⋅S )=12

7

Sh

V 2=Sh-V 1=

12

5

Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型3：锥体的体积和表面积 例5． （2008卷6）

右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是D (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π （2008卷10）

连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上

运动，有下列四个命题：

①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为C

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 （2008卷3）

用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为B A.

38π

B. 328π

C. π28

D. 3

32π

点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力

方面主要考查空间想象能力。 例6．（2008，19）． （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==

，2AB DC ==

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．

（Ⅰ）证明：在ABD △中，

由于4AD =，8BD =

，AB = 所以2

2

2

AD BD AB +=．

故AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ⊂平面MBD ，

故平面MBD ⊥平面PAD ．

（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．

因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，

A

B

C

M P

D A

B

C

M P

D O