贝塞尔函数

贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数

是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。

这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法

对其进行定性分析。

这里，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为n 是整数，对

应解称为n阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对

α和-α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0点的不

光滑性）。

定义

贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。

历史

几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链

振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路

易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国

数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问

题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。

现实背景和应用范围

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程

时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

* 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；

* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；

贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径

方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各

阶类似振动形态的叠加。