经济数学基础(线性代数)讲义

经济数学线性代数学习讲义

合川电大兰冬生

1，矩阵：

A =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，称为矩阵。认识矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列， 第一行依次0,1,2， 第二行1,1,4 第一列0,1,2

这是一个三行三列矩阵， 再给出一个三行四列矩阵

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

2222111211，这个矩阵记作n m A ⨯，表明这个矩阵有m 行，n 列，注意行

m 写在前面,列n 写在后面，括号里面的称为元素，记为ij a ，i 是行，j 是列， 例如：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12614231213252是三行四列矩阵，也说成43⨯矩阵，注意行3在前面，列4在后面，这里211=a （就是指的第一行第一列那个数） 123-=a （就是指的第二行第三列那个数） 2，矩阵加法

矩阵加法，满足行列相同的矩阵才能相加，对应位置的数相加。

例如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101010

+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210=⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021512220 减法是对应位置的数相减。,

3，矩阵的乘法

矩阵乘法参看以下法则：注意字母对应

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3332312322211312

11b b b b b b

b b b ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=33332332133132

332232123131

3321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3332

312322211312

11b b b b b b

b b b =

⎦

⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

2221

1211

c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b ，注意是对应元素相乘，再求和。

乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

依次类推，结果元素ij c 等于第i 行乘以第j 列，

举例：

矩阵 A AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡--1412 第一行乘以第一列，)2(4)2(1061-=⨯-+⨯+⨯ 第一行乘以第二列，11)2(2031=⨯-+⨯+⨯ 第二行乘以第一列，4401)2(61=⨯+⨯-+⨯ 第二行乘以第二列，1102)2(31-=⨯+⨯-+⨯

可以乘的条件：第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同，就是尾首必须相同，v w n m B A ⨯⨯可以乘必须是A 矩阵脚标的尾n 等于B 矩阵脚标的首w 相等，

w n =

例如: 3332⨯⨯B A 可乘3432⨯⨯B A 不可乘，

只要尾首相同就可乘，v w n m B A ⨯⨯乘积为v m ⨯矩阵 例如: 3332⨯⨯B A 可乘，乘积结果为32⨯C 矩阵

2334⨯⨯B A 可乘，乘积结果为24⨯C 矩阵

矩阵的数乘，一个数乘以一个矩阵，等于这个矩阵的每个元素乘以这个数

例：A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，3A =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--063603. 矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法不可交换，一般情况下BA AB ≠ 4，矩阵的转置

矩阵A 转置矩阵记为T A ,

转置就是把矩阵的行列元素对调，也可以看成沿主对角线翻转！

A

A 则⎢⎢⎢⎣⎡-=T A

A T 是3×2矩阵（3行2列），

2012年1月考题：

设A 为3×4矩阵，B 为5×2矩阵，且乘积矩阵AC T B T 有意义，则C 为（ B ）矩阵。

A. 4×2

B. 2×4

C. 3×5

D. 5×3

分析：根据尾首相同法AC T B T 可表示为（3×4）（ ）（2×5），中间一个就是4×2，注意是C T ，所以C 就是2×4。 对称矩阵：

对称矩阵的元素依主对角线对称：

1．设⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵．

5，求矩阵的逆

预备知识：（1），在数的学习中，数的单位是1，13

1

3=⨯

， 矩阵的单位是⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=100010001 I ,除主对角是1以外，其余全是0，并且，单位矩阵全是方阵（行数与列数相等）

任何矩阵乘以单位阵不变AI =A ，（可以试一试）

例，3阶单位阵，I =⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡100010001，我们以3阶阵来说逆， 已知A =⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210 与前面13

1

3=⨯

类似，能不能找到一个矩阵，使得A 乘以这个矩阵等于单位阵？ 记为I AA =-1,1-A 称为A 的逆，

（2）矩阵的初等变换，

①将矩阵的任意两行互换，

②把某一行乘以一个数（指对这一行的每个元素都乘以这个数）， ③把某一行乘以一个数，然后加到另外一行。 求逆

求逆原理：][][1-→A I I A ,

举例：设矩阵A =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 分析： 第一步：把A 和单位阵I 写在一起,

[A I ] =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-100010001012411210 第二步：初等变换

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-→100001010012210411，（由于第一行第一个数是0，要化成前面是单位

阵，这里就不能是0，于是交换1,2行，随便两行都可以交换，因为第二行第一